5.8: Experimento Numérico (Campo Estelar)

Con la Tierra en el origen, podemos especificar las posiciones estelares para los Dippers Grandes y Pequeños en coordenadas homogéneas tridimensionales. Con años luz como nuestras unidades, tenemos G\(^T\) =

1.5441      -1.2064     153.0875    1.0000
-1.0386     8.4588      142.7458    1.0000
-8.7955     26.2870     198.0698    1.0000
-12.8807    19.0964     106.5383    1.0000
-18.8926    17.461      90.6185     1.0000
-45.1364    54.2706     215.1148    1.0000
-9.6222     20.1734     88.0062     1.0000
-33.7097    -8.4048     64.6574     1.0000
-33.7144    -8.7191     52.3806     1.0000
-43.8531    -1.1483     59.7193     1.0000
-36.1086    2.3667      55.7927     1.0000
-34.2309    8.2181      52.1260     1.0000
-30.7876    11.8182     46.9810     1.0000
-61.8581    31.5183     80.7615     1.0000

Para hacer uso de estos datos, necesitamos una función para mostrarlos. Entra y guarda la siguiente generalización de la función de la Demo 1 en “Gráficos vectoriales: Representación de Imagen Bidimensional”. Llámalo vhgraph.m.

function vhgraph (P,L,A,ps,ls);
% vhgraph(P,L,A,PS,LS) graphs images whose points are
% stored in P and whose lines are stored in L. The points
% in P must be in homogeneous coordinates in either 2 or 3
% dimensions, with each column of P representing a point.
% The lines are coded in L, with each column of L containing
% 2 integers pointing to a pair of points in P to be
% connected by a line segment. If A is present, the points
% in P are transformed to A*P beforre graphing. For 3D data
% points, only the first two coordinates are graphed, so A
% should include the desired projection from 3D to 2D. The
% point symbol may be specified in PS and the line type in
% LS, if desired
%
% Richard T. Behrens, October 1989.
%
% The first dection of the program determines the sizes of
% all the input matrices and chacks that they make sense.
[mp,np] = size(P);
if (nargin > 1)
   [ml,nl] = size(L);
else
    ml = 2; nl = 0;
end
if (nargin <=2)
    A = eye(mp);
end
[mA,nA] = size(A);
if ((mp~= nA) | (ml~=2))
    error('Incompatible sizes of input matrices.")
end
if (nargin <= 3);
    ps = '*';
end

P = A*P;    % Performs the transformation A on the points
            % (effect is only local to this function).

% The next section contains a loop that renormalizes the
% homogeneous coordinates of the points if necessary.
renorm = find((P(mA,:)~= 1));
if~isempty(renorm)
    for i = 1:length(renorm)
        P(:,renorm(i)) = P(:,renorm(i))/P(mA,renorm(i));
    end
end
 
% The next program line sets a fixed scale output window
% from -50 to 50 in both x and y directions on the screen.
% For automatic scaling to include all points of the
% image, we could use instead the line q = min(min(P));
% r = max(max(P));
q = -50; r = 50;
axis([q r q r])
axis('square')
plot(P(1,:),P(2,:),ps)  % Plots the points with symbol ps.
hold on                 % Saves the points while we plot
for i = 1:nl            % lines with line type LS.
plot([P(1,L(1,i))P(1,L(2,i))],..
     [P(2,L(1,i))P(2,L(2,i))],ls)
end
hold off

Ingresa la matriz de puntos dada al inicio de esta sección (y toma su transposición para ponerla en la forma habitual). También ingrese la matriz de líneas de la Demo 1 en “Gráficos vectoriales: Representación de imágenes bidimensionales”. Guarde estas dos matrices e intente mirar la imagen

≫ save dip3d
≫ vhgraph(G,H)

No hay cazos a la vista, ¿verdad? Sin especificar una matriz de transformación\(A\), por defecto hemos mirado hacia abajo en el\(x-y\) plano desde\(z=\infty\) (una proyección paralela). Así se verían las constelaciones desde una galaxia distante (digamos, mil millones de años luz al norte de aquí) a través de un enorme telescopio. Necesitamos una perspectiva desde el origen (Tierra), pero primero necesitamos un conjunto de funciones que nos den los operadores fundamentales con los que podamos construir la proyección deseada.

Toma R\(_y(\theta)\) como ejemplo. La función para construirlo parece

 function Ry = vhry (theta) ;
% Rotation matrix about y-axis for 3-D homogeneous
% coordinates.
    Ry = eye(4);
    Ry(1,1) = cos(theta);
    Ry(3,3) = cos(theta);
    Ry(3,1) = -sin(theta);
    Ry(1,3) = sin(theta);

Entra y guarda hry.m como se indica. Luego escribe funciones para

\ [\ begin {reunió}
\ mathrm {R} _ {x} (\ theta)\ quad vhrx. \ mathrm {m}\\
\ mathrm {R} _ _ {z} (\ theta)\ quad vhrz. \ mathrm {m}\\
\ mathrm {S}\ izquierda (s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}\ derecha)\ quad vhs. \ mathrm {m}\\
\ mathrm {T}\ izquierda (t_ {x}, t_ {y}, t_ {z}\ derecha)\ quad vht. \ mathrm {m}\\
\ mathrm {M} (d)\ quad vhm. \ mathrm {m}
\ final {reunido}\ nonumber\]

Las funciones útiles de MATLAB para esta tarea incluyen ceros, ojo y diag.

Ahora construye y usa una proyección en perspectiva con punto de vista Tierra y plano de proyección\(z=1000\) detrás de las inmersiones:

1. traducir la Tierra para\(z=-1000\) que el plano de proyección coincida con el\(x-y\) plano: T (O,0, −1000);
2. utilizar la proyección de perspectiva fundamental: M (-1000); y
3. traducir de nuevo: T (O,0,1000)

≫ A = vht(0,0,1000) * vhm(-1000) * vht(0,0,-1000)
≫ vhgraph(G,H,A)

¡Uy! Ahora la imagen es demasiado grande; está mayormente fuera de la pantalla. Escalarlo y echar otra mirada:

≫ A = vhs(.06,.06,.06) * A
≫ vhgraph(G,H,A)

Ahora la vista debería parecer familiar. Deja\(A\) como es ahora:

≫ save dip3d

Experimentar con escala y rotación alrededor del eje z. Por ejemplo, prueba

≫ vhgraph(G,H,vhrz(pi/2) * A)

Las posiciones de estrella bidimensionales dadas en la Demo 1 en “Gráficos vectoriales: representación de imagen bidimensional” se obtuvieron a partir de las posiciones tridimensionales con el operador compuesto A que está utilizando ahora. Para comparar los dos, escriba

≫ Gnew = A * G

≫ for i = 1:14
Gnew(;,i) = Gnew(:,i)/Gnew(4,i);
end

≫ Gnew

y compare las\(y\) coordenadas\(x\) y con las de la Demo 1 en “Gráficos vectoriales: Representación de Imagen Bidimensional”.

Los astrónomos dan posiciones estelares en coordenadas ecuatoriales usando ascensión derecha, declinación y distancia. La siguiente función convierte las coordenadas ecuatoriales, que son esféricas, en coordenadas cartesianas con el eje z apuntando hacia el norte, el eje x apuntando al equinoccio vernal (primavera) en la constelación Piscis, y el eje y apuntando hacia el solsticio de invierno en la constelación Opheuchus.

function v = starxyz(rah,ram,decd,decm,dist)
% starxyz is the cartesian coordinates of a star whose
% spherical coordinates ( e.g. from a star catalog) are
%
%          rah     right ascension hours
%          ram     right ascension minutes
%          decd    declination degrees
%          decm    declination minutes (should be negative
%                  if decd is negative)
%          dist    distance (light years)
%
phi = (pi/180) * (decd + decm/60);
theta = (pi/12) * (rah + ram/60);
r = dist;
v = [r * cos(phi) * cos(theta); -r * cos(phi) * sin(theta);
    r * sin(phi)];

¿Alguna vez te has preguntado cómo serían las constelaciones de otros lugares de la galaxia? Pronto veremos la respuesta. Primero veremos los cazos de Alpha Centauri, la estrella más cercana, cuyas coordenadas son

 -1.5680     1.3157      -3.6675.

Miraremos hacia el centroide de las catorce estrellas en los dippers, ubicados en

-26.3632      12.8709      100.4714.

Para obtener la vista deseada, debemos

1. traducir el punto de vista al origen;
2. rotar el centroide (dirección para mirar) al eje z; tenga en cuenta que el centroide tendrá nuevas coordenadas después del paso (1); y
3. aplicar el compuesto A=S (.06, .06, .06) *T (0,0,1000) *M (-1000) *T (0,0, -1000) (como se usa para ver desde la Tierra).

Escribe una función vhz.m basada en el Ejercicio 5 de “Gráficos Vectoriales: Coordenadas Homogéneas Tridimensionales” para lograr el paso (2). Pruébalo en varios puntos aleatorios para asegurarte de que funciona bien. Ahora escribe una función general de proyección en perspectiva llamada vhview.m. La función vhview debe aceptar como entradas dos vectores, el primero especificando el punto de vista y el segundo el punto a mirar hacia. Su salida debe ser un operador compuesto que realice los tres pasos anteriores.

Ahora queremos mirar hacia el centroide de los dippers de Alpha Centauri. Para ello, ingresa los vectores para los dos puntos de interés y construye la vista así:

≫ acentauri = [-1.5680; 1.3157; -3.6675]
≫ centroid = [-26.3632; 12.8709; 100.4714]
≫ A = vhview(acentauri,centroid)
≫ vhgraph(G,H,A)
≫ title('From Alpha Centauri')

Cuanto más nos alejemos de la Tierra, más distorsionados se verán los cazos en general. Ahora debería ser fácil verlos desde cualquier ubicación deseada. Simplemente elija un punto de vista, recalcular el operador compuesto para ese punto de vista usando vhview y use vhgraph. Siga este procedimiento para ver los cazos de cada una de las estrellas en la siguiente lista. Primero necesitarás usar starxyz para convertir sus coordenadas.

El Cuadro 1 es una tabla de seis filas y cuatro columnas con la primera fila como cabecera, la primera columna describe diferentes estrellas y los valores de la segunda a la cuarta columnas que describen la ascensión derecha, declinación y distancia correspondientes para cada estrella.

Star	Ascensión Derecha	Declinación	Distancia (ly)
Alfa Centauri	14h 40m	-60° 50'	4.2
Sirius	6h 45m	-16°43'	9.5
Arcturus	14h 16m	19°11'	16.6
Pollux	7h 45m	28°02'	35.9
Betelgeuse	5h 55m	7°24'	313.5

Por supuesto, la visualización de estrellas no es la única aplicación de gráficos vectoriales. Haz algunos experimentos con el cubo unitario (ver Ejercicio 2 de “Gráficos vectoriales: Coordenadas homogéneas tridimensionales”). Visualiza el cubo desde la ubicación (4,3,2) mirando hacia el origen usando el procedimiento que acabamos de esbozar para las estrellas. Es posible que deba ajustar la escala para obtener una vista significativa.