7.5: Resolver ecuaciones racionales
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- Usar funciones racionales
- Resolver una ecuación racional para una variable específica
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Resolver:\(\dfrac{1}{6} x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\)
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.2.9. - Resolver:
- Resuelve la fórmula\(5x+2y=10\) para\(y\)
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.4.10.
Después de definir antes los términos 'expresión' y 'ecuación', los hemos utilizado a lo largo de este libro. Hemos simplificado muchos tipos de expresiones y resuelto muchos tipos de ecuaciones. Hemos simplificado muchas expresiones racionales hasta el momento en este capítulo. Ahora vamos a resolver una ecuación racional.
Una ecuación racional es una ecuación que contiene una expresión racional.
Debes asegurarte de conocer la diferencia entre expresiones racionales y ecuaciones racionales. La ecuación contiene un signo igual.
\[\text {Rational Expression }\quad \quad \text{ Rational Equation} \nonumber \]
\[\dfrac{1}{8} x+\dfrac{1}{2} \quad \quad \dfrac{1}{8} x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4} \nonumber \]
\[\dfrac{y+6}{y^{2}-36} \quad \quad \quad \dfrac{y+6}{y^{2}-36}=y+1 \nonumber \]
\[\dfrac{1}{n-3}+\dfrac{1}{n+4} \quad \quad \quad \quad \dfrac{1}{n-3}+\dfrac{1}{n+4}=\dfrac{15}{n^{2}+n-12} \nonumber \]
Resolver ecuaciones racionales
Ya hemos resuelto ecuaciones lineales que contenían fracciones. Encontramos la LCD de todas las fracciones de la ecuación y luego multiplicamos ambos lados de la ecuación por la LCD para “borrar” las fracciones.
Utilizaremos la misma estrategia para resolver ecuaciones racionales. Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por la LCD. Entonces, tendremos una ecuación que no contenga expresiones racionales y así nos resulte mucho más fácil de resolver. Pero debido a que la ecuación original puede tener una variable en un denominador, debemos tener cuidado de no terminar con una solución que haga que un denominador sea igual a cero.
Entonces, antes de comenzar a resolver una ecuación racional, la examinamos primero para encontrar los valores que harían cero a cualquier denominador. De esa manera, cuando resolvamos una ecuación racional sabremos si hay alguna solución algebraica que debemos descartar.
Una solución algebraica a una ecuación racional que haría que cualquiera de las expresiones racionales fuera indefinida se denomina solución extraña a una ecuación racional.
Una solución extraña a una ecuación racional es una solución algebraica que haría que cualquiera de las expresiones de la ecuación original fuera indefinida.
Observamos cualquier posible solución extraña,\(c\), escribiendo\(x\neq c\) junto a la ecuación.
Resolver:\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \nonumber \]
Solución
Paso 1. Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
Si\(x=0\), entonces\(\dfrac{1}{x}\) es indefinido. Entonces escribiremos\(x \neq 0\) junto a la ecuación.
\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}, x \neq 0 \nonumber \]
Paso 2. Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación.
Encuentre la pantalla LCD de\(\dfrac{1}{x}\)\(\dfrac{1}{3}\), y\(\dfrac{5}{6}\)
El LCD es\(6x\).
Paso 3. Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD.
Multiplique ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD,\(6x\).
\[{\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}\right)={\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right) \nonumber \]
Utilice la Propiedad Distributiva.
\[{\color{red}6 x} \cdot \dfrac{1}{x}+{\color{red}6 x} \cdot \dfrac{1}{3}={\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right) \nonumber \]
Simplifica - y nota, ¡no más fracciones!
\[6+2 x=5 x \nonumber \]
Paso 4. Resuelve la ecuación resultante.
Simplificar.
\[\begin{aligned} &6=3 x\\ &2=x \end{aligned} \nonumber \]
Paso 5. Cheque.
Si alguno de los valores encontrados en el Paso 1 son soluciones algebraicas, deséchelos. Verifique cualquier solución restante en la ecuación original.
No obtuvimos 0 como solución algebraica.
\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \nonumber \]
Sustituimos\(x=2\) en la ecuación original.
\[\begin{aligned} \frac{1}{2}+\frac{1}{3}&\overset{?}{=}\frac{5}{6} \\ \frac{3}{6}+\frac{2}{6}&\overset{?}{=}\frac{5}{6} \\ \frac{5}{6}&=\frac{5}{6} \surd \end{aligned} \nonumber \]
La solución es\(x=2\)
Resolver:\[\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{5} \nonumber \]
- Contestar
-
\(y=-\dfrac{15}{7}\)
Resolver:\[\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{x} \nonumber \]
- Contestar
-
\(x=\dfrac{15}{3}\)
Se muestran los pasos de este método.
- Paso 1. Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
- Paso 2. Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación.
- Paso 3. Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD.
- Paso 4. Resuelve la ecuación resultante.
- Paso 5. Comprobar:
- Si alguno de los valores encontrados en el Paso 1 son soluciones algebraicas, deséchelos.
- Verifique cualquier solución restante en la ecuación original.
Siempre empezamos por señalar los valores que provocarían que cualquier denominador fuera cero.
Resolver:\[1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \nonumber \]
Solución
Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
\[1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}}, y \neq 0 \nonumber \]
Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación. El LCD es\(y^2\).
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD.
\[y^{2}\left(1-\dfrac{5}{y}\right)=y^{2}\left(-\dfrac{6}{y^{2}}\right) \nonumber \]
Distribuir.
\[y^{2} \cdot 1-y^{2}\left(\dfrac{5}{y}\right)=y^{2}\left(-\dfrac{6}{y^{2}}\right) \nonumber \]
Multiplicar.
\[y^{2}-5 y=-6 \nonumber \]
Resuelve la ecuación resultante. Primero escribe la ecuación cuadrática en forma estándar.
\[y^{2}-5 y+6=0 \nonumber \]
Factor.
\[(y-2)(y-3)=0 \nonumber \]
Utilice la Propiedad de Producto Cero.
\[y-2=0 \text { or } y-3=0 \nonumber \]
Resolver.
\[y=2 \text { or } y=3 \nonumber \]
Cheque. No conseguimos\(0\) como solución algebraica.
Comprobar\(y=2\) y\(y=3\) en la ecuación original.
\[1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \nonumber \]
\[1-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{2^{2}} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{3^{2}} \nonumber \]
\[1-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=}-\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber \]
\[\dfrac{2}{2}-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad \dfrac{3}{3}-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber \]
\[-\dfrac{3}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad -\dfrac{2}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber \]
\[-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{2} \surd \quad \quad \quad -\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2}{3} \surd \nonumber \]
La solución es\(y=2,y=3\)
Resolver:\[1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{15}{x^{2}} \nonumber \]
- Contestar
-
\(x=-3, x=5\)
Resolver:\[1-\dfrac{4}{y}=\dfrac{12}{y^{2}} \nonumber \]
- Contestar
-
\(y=-2, y=6\)
En el siguiente ejemplo, los últimos denominadores es una diferencia de cuadrados. Recuerda factorizarlo primero para encontrar la pantalla LCD.
Resolver:\[\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{x-1}{x^{2}-4} \nonumber \]
Solución
Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
\[\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{x-1}{(x+2)(x-2)}, x \neq-2, x \neq 2 \nonumber \]
Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación. El LCD es\((x+2)(x-2)\).
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD.
\[(x+2)(x-2)\left(\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}\right)=(x+2)(x-2)\left(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}\right) \nonumber \]
Distribuir.
\[(x+2)(x-2) \dfrac{2}{x+2}+(x+2)(x-2) \dfrac{4}{x-2}=(x+2)(x-2)\left(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}\right) \nonumber \]
Eliminar factores comunes.
\[\cancel {(x+2)}(x-2) \dfrac{2}{\cancel {x+2}}+(x+2){\cancel {(x-2)}} \dfrac{4}{\cancel {x-2}}=\cancel {(x+2)(x-2)}\left(\dfrac{x-1}{\cancel {x^{2}-4}}\right) \nonumber \]
Simplificar.
\[2(x-2)+4(x+2)=x-1 \nonumber \]
Distribuir.
\[2 x-4+4 x+8=x-1 \nonumber \]
Resolver.
\[\begin{aligned} 6 x+4&=x-1\\ 5 x&=-5 \\ x&=-1 \end{aligned}\]
Comprobar: No obtuvimos 2 o −2 como soluciones algebraicas.
Consulta\(x=-1\) la ecuación original.
\[\begin{aligned} \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2} &=\dfrac{x-1}{x^{2}-4} \\ \dfrac{2}{(-1)+2}+\dfrac{4}{(-1)-2} &\overset{?}{=} \dfrac{(-1)-1}{(-1)^{2}-4} \\ \dfrac{2}{1}+\dfrac{4}{-3} &\overset{?}{=} \dfrac{-2}{-3} \\ \dfrac{6}{3}-\dfrac{4}{3} &\overset{?}{=} \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{3} &=\dfrac{2}{3} \surd \end{aligned} \nonumber \]
La solución es\(x=-1\).
Resolver:\[\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{x^{2}-1} \nonumber \]
- Contestar
-
\(x=\dfrac{2}{3}\)
Resolver:\[\dfrac{5}{y+3}+\dfrac{2}{y-3}=\dfrac{5}{y^{2}-9} \nonumber \]
- Contestar
-
\(y=2\)
En el siguiente ejemplo, el primer denominador es un trinomio. Recuerda factorizarlo primero para encontrar la pantalla LCD.
Resolver:\[\dfrac{m+11}{m^{2}-5 m+4}=\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1} \nonumber \]
Solución
Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero. Usa la forma factorizada del denominador cuadrático.
\[\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}=\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1}, m \neq 4, m \neq 1 \nonumber \]
Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es\((m-4)(m-1)\)
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD.
\[(m-4)(m-1)\left(\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}\right)=(m-4)(m-1)\left(\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1}\right) \nonumber \]
Distribuir.
\[(m-4)(m-1)\left(\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}\right)=(m-4)(m-1) \dfrac{5}{m-4}-(m-4)(m-1) \dfrac{3}{m-1} \nonumber \]
Eliminar factores comunes.
\[\cancel {(m-4)(m-1)}\left(\dfrac{m+11}{\cancel {(m-4)(m-1)}}\right)=\cancel {(m-4)}(m-1) \dfrac{5}{\cancel{m-4}}-(m-4)\cancel {(m-1)} \dfrac{3}{\cancel {m-1}} \nonumber \]
Simplificar.
\[m+11=5(m-1)-3(m-4) \nonumber \]
Resuelve la ecuación resultante.
\[\begin{aligned} m+11&=5 m-5-3 m+12 \\ 4&=m \end{aligned} \nonumber \]
Cheque. La única solución algebraica fue 4, pero dijimos que 4 haría un denominador igual a cero. La solución algebraica es una solución ajena.
No hay solución a esta ecuación.
Resolver:\[\dfrac{x+13}{x^{2}-7 x+10}=\dfrac{6}{x-5}-\dfrac{4}{x-2} \nonumber \]
- Contestar
-
No hay solución.
Resolver:\[\dfrac{y-6}{y^{2}+3 y-4}=\dfrac{2}{y+4}+\dfrac{7}{y-1} \nonumber \]
- Contestar
-
No hay solución.
La ecuación que resolvimos en el ejemplo anterior tenía sólo una solución algebraica, pero era una solución extraña. Eso nos dejó sin solución a la ecuación. En el siguiente ejemplo obtenemos dos soluciones algebraicas. Aquí una o ambas podrían ser soluciones extrañas.
Resolver:\[\dfrac{y}{y+6}=\dfrac{72}{y^{2}-36}+4 \nonumber \]
Solución
Factorizar todos los denominadores, así podemos anotar cualquier valor de la variable que haga cero cualquier denominador.
\[\dfrac{y}{y+6}=\dfrac{72}{(y-6)(y+6)}+4, y \neq 6, y \neq-6 \nonumber \]
Encuentra el mínimo denominador común. La pantalla LCD es\((y-6)(y+6)\)
Despeja las fracciones.
\[(y-6)(y+6)\left(\dfrac{y}{y+6}\right)=(y-6)(y+6)\left(\dfrac{72}{(y-6)(y+6)}+4\right) \nonumber \]
Simplificar.
\[(y-6) \cdot y=72+(y-6)(y+6) \cdot 4 \nonumber \]
Simplificar.
\[y(y-6)=72+4\left(y^{2}-36\right) \nonumber \]
Resolver la ecuación resultante.
\[\begin{aligned} y^{2}-6 y&=72+4 y^{2}-144\\ 0&=3 y^{2}+6 y-72 \\ 0&=3\left(y^{2}+2 y-24\right) \\ 0&=3(y+6)(y-4) \\ y&=-6, y=4 \end{aligned} \nonumber \]
Cheque.
\(y=-6\)es una solución ajena. Consulta\(y=4\) la ecuación original.
\[\begin{aligned} \dfrac{y}{y+6} &=\dfrac{72}{y^{2}-36}+4 \\ \dfrac{4}{4+6} &\overset{?}{=}\dfrac{72}{4^{2}-36}+4 \\ \dfrac{4}{10} &\overset{?}{=} \dfrac{72}{-20}+4 \\ \dfrac{4}{10} &\overset{?}{=} -\dfrac{36}{10}+\dfrac{40}{10} \\ \dfrac{4}{10} &=\dfrac{4}{10} \surd \end{aligned} \nonumber \]
La solución es\(y=4\).
Resolver:\[\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{32}{x^{2}-16}+5 \nonumber \]
- Contestar
-
\(x=3\)
Resolver:\[\dfrac{y}{y+8}=\dfrac{128}{y^{2}-64}+9 \nonumber \]
- Contestar
-
\(y=7\)
En algunos casos, todas las soluciones algebraicas son extrañas.
Resolver:\[\dfrac{x}{2 x-2}-\dfrac{2}{3 x+3}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12 x^{2}-12} \nonumber \]
Solución
Comenzaremos factorizando todos los denominadores, para facilitar la identificación de soluciones extrañas y el LCD.
\[\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)} \nonumber \]
Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
\[\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)}, x \neq 1, x \neq-1 \nonumber \]
Encuentra el mínimo denominador común. El LCD es\(12(x-1)(x+1)\).
Despeja las fracciones.
\[12(x-1)(x+1)\left(\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}\right)=12(x-1)(x+1)\left(\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)}\right) \nonumber \]
Simplificar.
\[6(x+1) \cdot x-4(x-1) \cdot 2=5 x^{2}-2 x+9 \nonumber \]
Simplificar.
\[6 x(x+1)-4 \cdot 2(x-1)=5 x^{2}-2 x+9 \nonumber \]
Resolver la ecuación resultante.
\[\begin{aligned} 6 x^{2}+6 x-8 x+8&=5 x^{2}-2 x+9\\ x^{2}-1&=0 \\ (x-1)(x+1)&=0 \\ x&=1 \text { or } x=-1 \end{aligned} \nonumber \]
Cheque.
\(x=1\)y\(x=-1\) son soluciones extrañas.
La ecuación no tiene solución.
Resolver:\[\dfrac{y}{5 y-10}-\dfrac{5}{3 y+6}=\dfrac{2 y^{2}-19 y+54}{15 y^{2}-60} \nonumber \]
- Contestar
-
No hay solución.
Resolver:\[\dfrac{z}{2 z+8}-\dfrac{3}{4 z-8}=\dfrac{3 z^{2}-16 z-16}{8 z^{2}+2 z-64} \nonumber \]
- Contestar
-
No hay solución.
Resolver:\[\dfrac{4}{3 x^{2}-10 x+3}+\dfrac{3}{3 x^{2}+2 x-1}=\dfrac{2}{x^{2}-2 x-3} \nonumber \]
Solución
Factorizar todos los denominadores, así podemos anotar cualquier valor de la variable que haga cero cualquier denominador.
\[\dfrac{4}{(3 x-1)(x-3)}+\dfrac{3}{(3 x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{(x-3)(x+1)}, x \neq-1, x \neq \dfrac{1}{3}, x \neq 3\nonumber \]
Encuentra el mínimo denominador común. El LCD es\((3 x-1)(x+1)(x-3)\).
Despeja las fracciones.
\[(3 x-1)(x+1)(x-3)\left(\dfrac{4}{(3 x-1)(x-3)}+\dfrac{3}{(3 x-1)(x+1)}\right)=(3 x-1)(x+1)(x-3)\left(\dfrac{2}{(x-3)(x+1)}\right) \nonumber \]
Simplificar.
\[4(x+1)+3(x-3)=2(3 x-1) \nonumber \]
Distribuir.
\[4 x+4+3 x-9=6 x-2 \nonumber \]
Simplificar.
\[7 x-5=6 x-2 \nonumber \]
\[x=3 \nonumber \]
La única solución algebraica fue\(x=3\)pero dijimos que eso\(x=3\) haría un denominador igual a cero. La solución algebraica es una solución ajena.
No hay solución a esta ecuación.
Resolver:\[\dfrac{15}{x^{2}+x-6}-\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{2}{x+3} \nonumber \]
- Contestar
-
No hay solución.
Resolver:\[\dfrac{5}{x^{2}+2 x-3}-\dfrac{3}{x^{2}+x-2}=\dfrac{1}{x^{2}+5 x+6} \nonumber \]
- Contestar
-
No hay solución.
Usar funciones racionales
Trabajar con funciones que son definidas por expresiones racionales a menudo conduce a ecuaciones racionales. Nuevamente, utilizamos las mismas técnicas para resolverlos.
Para la función racional,\(f(x)=\dfrac{2 x-6}{x^{2}-8 x+15}\):
- Encuentra el dominio de la función
- Resolver\(f(x)=1\)
- Encuentra los puntos en la gráfica en este valor de función.
Solución
- El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que hacen indefinida la expresión racional. Entonces, para encontrarlos, pondremos el denominador igual a cero y resolveremos.
\[\begin{aligned} x^{2}-8 x+15&=0 \\ (x-3)(x-5)&=0 \quad \text{Factor the trinomial.}\\ x-3&=0 \quad \text {Use the Zero Product Property.}\\ x-5&=0 \quad \text {Use the Zero Product Property.}\\ x=3 &\; x=5 \text{ Solve.} \end{aligned} \nonumber \]
El dominio es todo números reales excepto\(x \neq 3, x \neq 5\)
- \[f(x)=1 \nonumber \]
Sustituto en la expresión racional.
\[\dfrac{2 x-6}{x^{2}-8 x+15}=1 \nonumber \]
Facturar el denominador.
\[\dfrac{2 x-6}{(x-3)(x-5)}=1 \nonumber \]
Multiplique ambos lados por la pantalla LCD,\((x-3)(x-5)\)
\[(x-3)(x-5)\left(\dfrac{2 x-6}{(x-3)(x-5)}\right)=(x-3)(x-5)(1) \nonumber \]
Simplificar.
\[2 x-6=x^{2}-8 x+15 \nonumber \]
Resolver.
\[0=x^{2}-10 x+21 \nonumber \]
Factor.
\[0=(x-7)(x-3) \nonumber \]
Utilice la Propiedad de Producto Cero.
\[x-7=0 \quad x-3=0 \nonumber \]
Resolver.
\[x=7 \quad x=3 \nonumber \]
- El valor de la función es 1 cuando\(x=7, x=3\)Entonces los puntos en la gráfica de esta función cuando\(f(x)=1\)será\((7,1),(3,1)\).
Para la función racional,\(f(x)=\dfrac{8-x}{x^{2}-7 x+12}\)
- Encuentra el dominio de la función.
- Resolver\(f(x)=3\).
- Encuentra los puntos en la gráfica en este valor de función.
- Contestar
-
- El dominio es todo números reales excepto\(x \neq 3\) y\(x \neq 4\)
- \(x=2, x=\dfrac{14}{3}\)
- \((2,3),\left(\dfrac{14}{3}, 3\right)\)
Para la función racional,\(f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}-6 x+5}\)
- Resolver\(f(x)=4\).
- Encuentra los puntos en la gráfica en este valor de función.
- Contestar
-
- El dominio es todo números reales excepto\(x \neq 1\) y\(x \neq 5\)
- \(x=\dfrac{21}{4}\)
- \(\left(\dfrac{21}{4}, 4\right)\)
Resolver una ecuación racional para una variable específica
Cuando resolvimos ecuaciones lineales, aprendimos a resolver una fórmula para una variable específica. Muchas fórmulas utilizadas en negocios, ciencia, economía y otros campos utilizan ecuaciones racionales para modelar la relación entre dos o más variables. Ahora veremos cómo resolver una ecuación racional para una variable específica.
Cuando desarrollamos la fórmula de punto-pendiente a partir de nuestra fórmula de pendiente, limpiamos las fracciones multiplicando por la LCD.
\[\begin{aligned} m &=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}} \\ m\left(x-x_{1}\right) &=\left(\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\right)\left(x-x_{1}\right) \quad \text{Multiply both sides of the equation by } x-x_1.\\ m\left(x-x_{1}\right) &=y-y_{1} \quad \text {Simplify.}\\ y-y_{1} &=m\left(x-x_{1}\right) \quad \text {Rewrite the equation with the y terms on the left.} \end{aligned} \nonumber \]
En el siguiente ejemplo, utilizaremos la misma técnica con la fórmula de pendiente que usamos para obtener la forma punto-pendiente de una ecuación de una línea a través del punto\((2,3)\). Vamos a añadir un paso más para resolver para\(y\).
Resolver:\(m=\dfrac{y-2}{x-3}\) para\(y\).
Solución
\[m=\dfrac{y-2}{x-3} \nonumber \]
Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
\[m=\dfrac{y-2}{x-3}, x \neq 3 \nonumber \]
Borrar las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD,\(x-3\).
\[(x-3) m=(x-3)\left(\dfrac{y-2}{x-3}\right) \nonumber \]
Simplificar.
\[x m-3 m=y-2 \nonumber \]
Aislar el término con\(y\).
\[x m-3 m+2=y \nonumber \]
Resolver:\(m=\dfrac{y-5}{x-4}\) para\(y\).
- Contestar
-
\(y=m x-4 m+5\)
Resolver:\(m=\dfrac{y-1}{x+5}\) para\(y\).
- Contestar
-
\(y=m x+5 m+1\)
Recuerda multiplicar ambos lados por la LCD en el siguiente ejemplo.
Resolver:\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1\) para\(c\)
Solución
\[\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1 \text { for } c \nonumber \]
Anote cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.
\[\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1, c \neq 0, m \neq 0 \nonumber \]
Borrar las fracciones multiplicando ambos lados de las ecuaciones por la LCD,\(cm\).
\[cm\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}\right)=cm(1) \nonumber \]
Distribuir.
\[cm\left(\frac{1}{c}\right)+cm \frac{1}{m}=cm(1) \nonumber \]
Simplificar.
\[m+c=cm \nonumber \]
Recoger los términos con\(c\) a la derecha.
\[m=cm-c \nonumber \]
Factorar la expresión a la derecha.
\[m=c(m-1) \nonumber \]
Para aislar\(c\), dividir ambos lados por\(m-1\).
\[\dfrac{m}{m-1}=\dfrac{c(m-1)}{m-1} \nonumber \]
Simplifique eliminando factores comunes.
\[\dfrac{m}{m-1}=c \nonumber \]
Observe que a pesar de que excluimos\(c=0\) y\(m=0\) de la ecuación original, ahora también debemos exponer eso\(m \neq 1\).
Resolver:\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=c\) para\(a\).
- Contestar
-
\(a=\dfrac{b}{c b-1}\)
Resolver:\(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{y}\) para\(y\)
- Contestar
-
\(y=\dfrac{3 x}{x+6}\)
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