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7.5: Resolver ecuaciones racionales

  • Page ID
    51799
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje
    • Resolver ecuaciones racionales
    • Utilizar funciones racionales
    • Resolver una ecuación racional para una variable específica

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Resuelve: \(\dfrac{1}{6} x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\)
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.2.9.
    2. Resuelve:
    3. Resuelve la fórmula \(5x+2y=10\) para \(y\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.4.10.

    Después de definir antes los términos 'expresión' y 'ecuación', los hemos utilizado a lo largo de este libro. Hemos simplificado muchos tipos de expresiones y resuelto muchos tipos de ecuaciones. Hemos simplificado muchas expresiones racionales hasta ahora en este capítulo. Ahora resolveremos una ecuación racional.

    Ecuación Racional

    Una ecuación racional es una ecuación que contiene una expresión racional.

    Debes asegurarte de conocer la diferencia entre las expresiones racionales y las ecuaciones racionales. La ecuación contiene un signo igual.

    \[\text {Rational Expression }\quad \quad \text{ Rational Equation} \nonumber \]

    \[\dfrac{1}{8} x+\dfrac{1}{2} \quad \quad \dfrac{1}{8} x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4} \nonumber \]

    \[\dfrac{y+6}{y^{2}-36} \quad \quad \quad \dfrac{y+6}{y^{2}-36}=y+1 \nonumber \]

    \[\dfrac{1}{n-3}+\dfrac{1}{n+4} \quad \quad \quad \quad \dfrac{1}{n-3}+\dfrac{1}{n+4}=\dfrac{15}{n^{2}+n-12} \nonumber \]

    Resolver ecuaciones racionales

    Ya hemos resuelto ecuaciones lineales que contenían fracciones. Encontramos el LCD de todas las fracciones en la ecuación y luego multiplicamos ambos lados de la ecuación por el LCD para “borrar” las fracciones.

    Usaremos la misma estrategia para resolver ecuaciones racionales. Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por el LCD. Entonces, tendremos una ecuación que no contiene expresiones racionales y por lo tanto es mucho más fácil de resolver para nosotros. Pero debido a que la ecuación original puede tener una variable en un denominador, hay que tener cuidado de que no terminemos con una solución que haría un denominador igual a cero.

    Entonces, antes de comenzar a resolver una ecuación racional, la examinamos primero para encontrar los valores que harían a cualquier denominador cero. De esa manera, cuando resolvamos una ecuación racional sabremos si hay alguna solución algebraica que debemos descartar.

    Una solución algebraica a una ecuación racional que causaría que cualquiera de las expresiones racionales fuera indefinida se llama una solución extraña a una ecuación racional.

    Solución extraña a una ecuación racional

    Una solución extraña a una ecuación racional es una solución algebraica que causaría que cualquiera de las expresiones en la ecuación original sea indefinida.

    Notamos cualquier posible solución extraña, \(c\), escribiendo \(x\neq c\) al lado de la ecuación.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\): Cómo resolver una ecuación racional

    Resolver: \[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \nonumber \]

    Solución

    Paso 1. Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría que cualquier denominador sea cero.

    Si \(x=0\), entonces \(\dfrac{1}{x}\) está indefinido. Entonces escribiremos \(x \neq 0\) junto a la ecuación.

    \[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}, x \neq 0 \nonumber \]

    Paso 2. Encuentra el denominador menos común de todos los denominadores en la ecuación.

    Encuentre la pantalla LCD de \(\dfrac{1}{x}\)\(\dfrac{1}{3}\), y \(\dfrac{5}{6}\)

    El LCD es \(6x\).

    Paso 3. Despeje las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.

    Multiplica ambos lados de la ecuación por el LCD, \(6x\).

    \[{\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}\right)={\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right) \nonumber \]

    Utilice la Propiedad Distributiva.

    \[{\color{red}6 x} \cdot \dfrac{1}{x}+{\color{red}6 x} \cdot \dfrac{1}{3}={\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right) \nonumber \]

    Simplifica - y fíjate, ¡no más fracciones!

    \[6+2 x=5 x \nonumber \]

    Paso 4. Resuelve la ecuación resultante.

    Simplificar.

    \[\begin{aligned} &6=3 x\\ &2=x \end{aligned} \nonumber \]

    Paso 5. Chequear.

    Si alguno de los valores encontrados en el Paso 1 son soluciones algebraicas, deséchelos. Verifique las soluciones restantes en la ecuación original.

    No obtuvimos 0 como solución algebraica.

    \[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \nonumber \]

    Sustituimos \(x=2\) en la ecuación original.

    \[\begin{aligned} \frac{1}{2}+\frac{1}{3}&\overset{?}{=}\frac{5}{6} \\ \frac{3}{6}+\frac{2}{6}&\overset{?}{=}\frac{5}{6} \\ \frac{5}{6}&=\frac{5}{6} \surd \end{aligned} \nonumber \]

    La solución es \(x=2\)

    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    Resolver: \[\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{5} \nonumber \]

    Contestar

    \(y=-\dfrac{15}{7}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

    Resolver: \[\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{x} \nonumber \]

    Contestar

    \(x=\dfrac{15}{3}\)

    Se muestran los pasos de este método.

    cómo Resolver ecuaciones con expresiones racionales.
    • Paso 1. Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría que cualquier denominador sea cero.
    • Paso 2. Encuentra el denominador menos común de todos los denominadores en la ecuación.
    • Paso 3. Despeje las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.
    • Paso 4. Resuelve la ecuación resultante.
    • Paso 5. Comprobar:
      • Si alguno de los valores encontrados en el Paso 1 son soluciones algebraicas, deséchelos.
      • Verifique las soluciones restantes en la ecuación original.

    Empezamos siempre señalando los valores que causarían que cualquier denominador fuera cero.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\): Cómo resolver una ecuación racional usando la propiedad de producto cero

    Resolver: \[1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \nonumber \]

    Solución

    Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría que cualquier denominador sea cero.

    \[1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}}, y \neq 0 \nonumber \]

    Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación. El LCD es \(y^2\).

    Despeje las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.

    \[y^{2}\left(1-\dfrac{5}{y}\right)=y^{2}\left(-\dfrac{6}{y^{2}}\right) \nonumber \]

    Distribuir.

    \[y^{2} \cdot 1-y^{2}\left(\dfrac{5}{y}\right)=y^{2}\left(-\dfrac{6}{y^{2}}\right) \nonumber \]

    Multiplicar.

    \[y^{2}-5 y=-6 \nonumber \]

    Resuelve la ecuación resultante. Primero escribe la ecuación cuadrática en forma estándar.

    \[y^{2}-5 y+6=0 \nonumber \]

    Factor.

    \[(y-2)(y-3)=0 \nonumber \]

    Utilice la Propiedad de Producto Cero.

    \[y-2=0 \text { or } y-3=0 \nonumber \]

    Resolver.

    \[y=2 \text { or } y=3 \nonumber \]

    Chequear. No llegamos \(0\) como solución algebraica.

    Comprobar \(y=2\) y \(y=3\)en la ecuación original.

    \[1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \nonumber \]

    \[1-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{2^{2}} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{3^{2}} \nonumber \]

    \[1-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=}-\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber \]

    \[\dfrac{2}{2}-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad \dfrac{3}{3}-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber \]

    \[-\dfrac{3}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad -\dfrac{2}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber \]

    \[-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{2} \surd \quad \quad \quad -\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2}{3} \surd \nonumber \]

    La solución es \(y=2,y=3\)

    Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

    Resolver: \[1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{15}{x^{2}} \nonumber \]

    Contestar

    \(x=-3, x=5\)

    Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

    Resolver: \[1-\dfrac{4}{y}=\dfrac{12}{y^{2}} \nonumber \]

    Contestar

    \(y=-2, y=6\)

    En el siguiente ejemplo, los últimos denominadores es una diferencia de cuadrados. Recuerda factorizarlo primero para encontrar el LCD.

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Resolver: \[\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{x-1}{x^{2}-4} \nonumber \]

    Solución

    Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría que cualquier denominador sea cero.

    \[\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{x-1}{(x+2)(x-2)}, x \neq-2, x \neq 2 \nonumber \]

    Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación. El LCD es \((x+2)(x-2)\).

    Despeje las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.

    \[(x+2)(x-2)\left(\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}\right)=(x+2)(x-2)\left(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}\right) \nonumber \]

    Distribuir.

    \[(x+2)(x-2) \dfrac{2}{x+2}+(x+2)(x-2) \dfrac{4}{x-2}=(x+2)(x-2)\left(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}\right) \nonumber \]

    Eliminar los factores comunes.

    \[\cancel {(x+2)}(x-2) \dfrac{2}{\cancel {x+2}}+(x+2){\cancel {(x-2)}} \dfrac{4}{\cancel {x-2}}=\cancel {(x+2)(x-2)}\left(\dfrac{x-1}{\cancel {x^{2}-4}}\right) \nonumber \]

    Simplificar.

    \[2(x-2)+4(x+2)=x-1 \nonumber \]

    Distribuir.

    \[2 x-4+4 x+8=x-1 \nonumber \]

    Resolver.

    \[\begin{aligned} 6 x+4&=x-1\\ 5 x&=-5 \\ x&=-1 \end{aligned}\]

    Cheque: No obtuvimos 2 o −2 como soluciones algebraicas.

    Compruebe \(x=-1\) en la ecuación original.

    \[\begin{aligned} \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2} &=\dfrac{x-1}{x^{2}-4} \\ \dfrac{2}{(-1)+2}+\dfrac{4}{(-1)-2} &\overset{?}{=} \dfrac{(-1)-1}{(-1)^{2}-4} \\ \dfrac{2}{1}+\dfrac{4}{-3} &\overset{?}{=} \dfrac{-2}{-3} \\ \dfrac{6}{3}-\dfrac{4}{3} &\overset{?}{=} \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{3} &=\dfrac{2}{3} \surd \end{aligned} \nonumber \]

    La solución es \(x=-1\).

    Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

    Resolver: \[\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{x^{2}-1} \nonumber \]

    Contestar

    \(x=\dfrac{2}{3}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{6}\)

    Resolver: \[\dfrac{5}{y+3}+\dfrac{2}{y-3}=\dfrac{5}{y^{2}-9} \nonumber \]

    Contestar

    \(y=2\)

    En el siguiente ejemplo, el primer denominador es un trinomio. Recuerda factorizarlo primero para encontrar el LCD.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Resolver: \[\dfrac{m+11}{m^{2}-5 m+4}=\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1} \nonumber \]

    Solución

    Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría que cualquier denominador sea cero. Utilice la forma factorizada del denominador cuadrático.

    \[\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}=\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1}, m \neq 4, m \neq 1 \nonumber \]

    Encuentra el mínimo denominador común de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es \((m-4)(m-1)\)

    Despeje las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.

    \[(m-4)(m-1)\left(\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}\right)=(m-4)(m-1)\left(\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1}\right) \nonumber \]

    Distribuir.

    \[(m-4)(m-1)\left(\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}\right)=(m-4)(m-1) \dfrac{5}{m-4}-(m-4)(m-1) \dfrac{3}{m-1} \nonumber \]

    Eliminar los factores comunes.

    \[\cancel {(m-4)(m-1)}\left(\dfrac{m+11}{\cancel {(m-4)(m-1)}}\right)=\cancel {(m-4)}(m-1) \dfrac{5}{\cancel{m-4}}-(m-4)\cancel {(m-1)} \dfrac{3}{\cancel {m-1}} \nonumber \]

    Simplificar.

    \[m+11=5(m-1)-3(m-4) \nonumber \]

    Resuelve la ecuación resultante.

    \[\begin{aligned} m+11&=5 m-5-3 m+12 \\ 4&=m \end{aligned} \nonumber \]

    Chequear. La única solución algebraica fue 4, pero dijimos que 4 haría un denominador igual a cero. La solución algebraica es una solución extraña.

    No hay solución a esta ecuación.

    Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

    Resolver: \[\dfrac{x+13}{x^{2}-7 x+10}=\dfrac{6}{x-5}-\dfrac{4}{x-2} \nonumber \]

    Contestar

    No hay solución.

    Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

    Resolver: \[\dfrac{y-6}{y^{2}+3 y-4}=\dfrac{2}{y+4}+\dfrac{7}{y-1} \nonumber \]

    Contestar

    No hay solución.

    La ecuación que resolvimos en el ejemplo anterior tenía sólo una solución algebraica, pero era una solución extraña. Eso nos dejó sin solución a la ecuación. En el siguiente ejemplo obtenemos dos soluciones algebraicas. Aquí una o ambas podrían ser soluciones extrañas.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Resolver: \[\dfrac{y}{y+6}=\dfrac{72}{y^{2}-36}+4 \nonumber \]

    Solución

    Factor todos los denominadores, por lo que podemos anotar cualquier valor de la variable que haría cualquier denominador cero.

    \[\dfrac{y}{y+6}=\dfrac{72}{(y-6)(y+6)}+4, y \neq 6, y \neq-6 \nonumber \]

    Encuentra el denominador menos común. La pantalla LCD es \((y-6)(y+6)\)

    Despeja las fracciones.

    \[(y-6)(y+6)\left(\dfrac{y}{y+6}\right)=(y-6)(y+6)\left(\dfrac{72}{(y-6)(y+6)}+4\right) \nonumber \]

    Simplificar.

    \[(y-6) \cdot y=72+(y-6)(y+6) \cdot 4 \nonumber \]

    Simplificar.

    \[y(y-6)=72+4\left(y^{2}-36\right) \nonumber \]

    Resuelve la ecuación resultante.

    \[\begin{aligned} y^{2}-6 y&=72+4 y^{2}-144\\ 0&=3 y^{2}+6 y-72 \\ 0&=3\left(y^{2}+2 y-24\right) \\ 0&=3(y+6)(y-4) \\ y&=-6, y=4 \end{aligned} \nonumber \]

    Chequear.

    \(y=-6\) es una solución extraña. Compruebe \(y=4\) en la ecuación original.

    \[\begin{aligned} \dfrac{y}{y+6} &=\dfrac{72}{y^{2}-36}+4 \\ \dfrac{4}{4+6} &\overset{?}{=}\dfrac{72}{4^{2}-36}+4 \\ \dfrac{4}{10} &\overset{?}{=} \dfrac{72}{-20}+4 \\ \dfrac{4}{10} &\overset{?}{=} -\dfrac{36}{10}+\dfrac{40}{10} \\ \dfrac{4}{10} &=\dfrac{4}{10} \surd \end{aligned} \nonumber \]

    La solución es \(y=4\).

    Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

    Resolver: \[\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{32}{x^{2}-16}+5 \nonumber \]

    Contestar

    \(x=3\)

    Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

    Resolver: \[\dfrac{y}{y+8}=\dfrac{128}{y^{2}-64}+9 \nonumber \]

    Contestar

    \(y=7\)

    En algunos casos, todas las soluciones algebraicas son extrañas.

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Resolver: \[\dfrac{x}{2 x-2}-\dfrac{2}{3 x+3}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12 x^{2}-12} \nonumber \]

    Solución

    Empezaremos por factorizar todos los denominadores, para facilitar la identificación de soluciones extrañas y la LCD.

    \[\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)} \nonumber \]

    Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría que cualquier denominador sea cero.

    \[\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)}, x \neq 1, x \neq-1 \nonumber \]

    Encuentra el denominador menos común. El LCD es \(12(x-1)(x+1)\).

    Despeja las fracciones.

    \[12(x-1)(x+1)\left(\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}\right)=12(x-1)(x+1)\left(\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)}\right) \nonumber \]

    Simplificar.

    \[6(x+1) \cdot x-4(x-1) \cdot 2=5 x^{2}-2 x+9 \nonumber \]

    Simplificar.

    \[6 x(x+1)-4 \cdot 2(x-1)=5 x^{2}-2 x+9 \nonumber \]

    Resuelve la ecuación resultante.

    \[\begin{aligned} 6 x^{2}+6 x-8 x+8&=5 x^{2}-2 x+9\\ x^{2}-1&=0 \\ (x-1)(x+1)&=0 \\ x&=1 \text { or } x=-1 \end{aligned} \nonumber \]

    Chequear.

    \(x=1\) y \(x=-1\) son soluciones extrañas.

    La ecuación no tiene solución.

    Ejercicio \(\PageIndex{11}\)

    Resolver: \[\dfrac{y}{5 y-10}-\dfrac{5}{3 y+6}=\dfrac{2 y^{2}-19 y+54}{15 y^{2}-60} \nonumber \]

    Contestar

    No hay solución.

    Ejercicio \(\PageIndex{12}\)

    Resolver: \[\dfrac{z}{2 z+8}-\dfrac{3}{4 z-8}=\dfrac{3 z^{2}-16 z-16}{8 z^{2}+2 z-64} \nonumber \]

    Contestar

    No hay solución.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Resolver: \[\dfrac{4}{3 x^{2}-10 x+3}+\dfrac{3}{3 x^{2}+2 x-1}=\dfrac{2}{x^{2}-2 x-3} \nonumber \]

    Solución

    Factor todos los denominadores, por lo que podemos anotar cualquier valor de la variable que haría cualquier denominador cero.

    \[\dfrac{4}{(3 x-1)(x-3)}+\dfrac{3}{(3 x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{(x-3)(x+1)}, x \neq-1, x \neq \dfrac{1}{3}, x \neq 3\nonumber \]

    Encuentra el denominador menos común. El LCD es \((3 x-1)(x+1)(x-3)\).

    Despeja las fracciones.

    \[(3 x-1)(x+1)(x-3)\left(\dfrac{4}{(3 x-1)(x-3)}+\dfrac{3}{(3 x-1)(x+1)}\right)=(3 x-1)(x+1)(x-3)\left(\dfrac{2}{(x-3)(x+1)}\right) \nonumber \]

    Simplificar.

    \[4(x+1)+3(x-3)=2(3 x-1) \nonumber \]

    Distribuir.

    \[4 x+4+3 x-9=6 x-2 \nonumber \]

    Simplificar.

    \[7 x-5=6 x-2 \nonumber \]

    \[x=3 \nonumber \]

    La única solución algebraica fue \(x=3\),pero dijimos que eso \(x=3\) haría un denominador igual a cero. La solución algebraica es una solución extraña.

    No hay solución a esta ecuación.

    Ejercicio \(\PageIndex{13}\)

    Resolver: \[\dfrac{15}{x^{2}+x-6}-\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{2}{x+3} \nonumber \]

    Contestar

    No hay solución.

    Ejercicio \(\PageIndex{14}\)

    Resolver: \[\dfrac{5}{x^{2}+2 x-3}-\dfrac{3}{x^{2}+x-2}=\dfrac{1}{x^{2}+5 x+6} \nonumber \]

    Contestar

    No hay solución.

    Usar Funciones Racionales

    Trabajar con funciones que son definidas por expresiones racionales a menudo conducen a ecuaciones racionales. Nuevamente, utilizamos las mismas técnicas para resolverlos.

    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Para la función racional, \(f(x)=\dfrac{2 x-6}{x^{2}-8 x+15}\):

    1. Encuentra el dominio de la función
    2. Resolver \(f(x)=1\)
    3. Encuentre los puntos en la gráfica en este valor de función.

    Solución

    1. El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que hacen indefinida la expresión racional. Entonces para encontrarlos, fijaremos el denominador igual a cero y resolveremos.

    \[\begin{aligned} x^{2}-8 x+15&=0 \\ (x-3)(x-5)&=0 \quad \text{Factor the trinomial.}\\ x-3&=0 \quad \text {Use the Zero Product Property.}\\ x-5&=0 \quad \text {Use the Zero Product Property.}\\ x=3 &\; x=5 \text{ Solve.} \end{aligned} \nonumber \]

    El dominio son todos los números reales excepto \(x \neq 3, x \neq 5\)

    1. \[f(x)=1 \nonumber \]

    Sustituto en la expresión racional.

    \[\dfrac{2 x-6}{x^{2}-8 x+15}=1 \nonumber \]

    Factor el denominador.

    \[\dfrac{2 x-6}{(x-3)(x-5)}=1 \nonumber \]

    Multiplica ambos lados por la pantalla LCD, \((x-3)(x-5)\)

    \[(x-3)(x-5)\left(\dfrac{2 x-6}{(x-3)(x-5)}\right)=(x-3)(x-5)(1) \nonumber \]

    Simplificar.

    \[2 x-6=x^{2}-8 x+15 \nonumber \]

    Resolver.

    \[0=x^{2}-10 x+21 \nonumber \]

    Factor.

    \[0=(x-7)(x-3) \nonumber \]

    Utilice la Propiedad de Producto Cero.

    \[x-7=0 \quad x-3=0 \nonumber \]

    Resolver.

    \[x=7 \quad x=3 \nonumber \]

    1. El valor de la función es 1 cuando \(x=7, x=3\).Por lo que los puntos en la gráfica de esta función cuando \(f(x)=1\),será \((7,1),(3,1)\).
    Ejercicio \(\PageIndex{15}\)

    Para la función racional, \(f(x)=\dfrac{8-x}{x^{2}-7 x+12}\)

    1. Encuentra el dominio de la función.
    2. Resolver \(f(x)=3\).
    3. Encuentre los puntos en la gráfica en este valor de función.
    Contestar
    1. El dominio es todos los números reales excepto \(x \neq 3\) y \(x \neq 4\)
    2. \(x=2, x=\dfrac{14}{3}\)
    3. \((2,3),\left(\dfrac{14}{3}, 3\right)\)
    Ejercicio \(\PageIndex{16}\)

    Para la función racional, \(f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}-6 x+5}\)

    1. Resolver \(f(x)=4\).
    2. Encuentre los puntos en la gráfica en este valor de función.
    Contestar
    1. El dominio es todos los números reales excepto \(x \neq 1\) y \(x \neq 5\)
    2. \(x=\dfrac{21}{4}\)
    3. \(\left(\dfrac{21}{4}, 4\right)\)

    Resolver una ecuación racional para una variable específica

    Cuando resolvimos ecuaciones lineales, aprendimos a resolver una fórmula para una variable específica. Muchas fórmulas utilizadas en los negocios, la ciencia, la economía y otros campos utilizan ecuaciones racionales para modelar la relación entre dos o más variables. Ahora veremos cómo resolver una ecuación racional para una variable específica.

    Cuando desarrollamos la fórmula punto-pendiente a partir de nuestra fórmula de pendiente, despejamos las fracciones multiplicándolas por la LCD.

    \[\begin{aligned} m &=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}} \\ m\left(x-x_{1}\right) &=\left(\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\right)\left(x-x_{1}\right) \quad \text{Multiply both sides of the equation by } x-x_1.\\ m\left(x-x_{1}\right) &=y-y_{1} \quad \text {Simplify.}\\ y-y_{1} &=m\left(x-x_{1}\right) \quad \text {Rewrite the equation with the y terms on the left.} \end{aligned} \nonumber \]

    En el siguiente ejemplo, utilizaremos la misma técnica con la fórmula para pendiente que usamos para obtener la forma punto-pendiente de una ecuación de una recta a través del punto \((2,3)\). Agregaremos un paso más para resolver \(y\).

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Resolver: \(m=\dfrac{y-2}{x-3}\) para \(y\).

    Solución

    \[m=\dfrac{y-2}{x-3} \nonumber \]

    Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría que cualquier denominador sea cero.

    \[m=\dfrac{y-2}{x-3}, x \neq 3 \nonumber \]

    Borrar las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD, \(x-3\).

    \[(x-3) m=(x-3)\left(\dfrac{y-2}{x-3}\right) \nonumber \]

    Simplificar.

    \[x m-3 m=y-2 \nonumber \]

    Aísle el término con \(y\).

    \[x m-3 m+2=y \nonumber \]

    Ejercicio \(\PageIndex{17}\)

    Resolver: \(m=\dfrac{y-5}{x-4}\) para \(y\).

    Contestar

    \(y=m x-4 m+5\)

    Ejercicio \(\PageIndex{18}\)

    Resolver: \(m=\dfrac{y-1}{x+5}\) para \(y\).

    Contestar

    \(y=m x+5 m+1\)

    Recuerda multiplicar ambos lados por la pantalla LCD en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Resolver: \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1\) para \(c\)

    Solución

    \[\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1 \text { for } c \nonumber \]

    Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría que cualquier denominador sea cero.

    \[\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1, c \neq 0, m \neq 0 \nonumber \]

    Borrar las fracciones multiplicando ambos lados de las ecuaciones por el LCD, \(cm\).

    \[cm\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}\right)=cm(1) \nonumber \]

    Distribuir.

    \[cm\left(\frac{1}{c}\right)+cm \frac{1}{m}=cm(1) \nonumber \]

    Simplificar.

    \[m+c=cm \nonumber \]

    Recoge los términos con \(c\) a la derecha.

    \[m=cm-c \nonumber \]

    Factor la expresión de la derecha.

    \[m=c(m-1) \nonumber \]

    Para aislar \(c\), divida ambos lados por \(m-1\).

    \[\dfrac{m}{m-1}=\dfrac{c(m-1)}{m-1} \nonumber \]

    Simplifique eliminando factores comunes.

    \[\dfrac{m}{m-1}=c \nonumber \]

    Note que aunque excluimos \(c=0\) y \(m=0\) de la ecuación original, también debemos ahora afirmar eso \(m \neq 1\).

    Ejercicio \(\PageIndex{19}\)

    Resolver: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=c\) para \(a\).

    Contestar

    \(a=\dfrac{b}{c b-1}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{20}\)

    Resolver: \(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{y}\) para \(y\)

    Contestar

    \(y=\dfrac{3 x}{x+6}\)

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