6.1: Introducción al Factoring

Objetivos de aprendizaje

• Determinar el mayor factor común (GCF) de los números naturales.
• Determinar el GCF de los monomios.
• Factorizar el GCF de un polinomio.
• Factorizar un polinomio de cuatro términos por agrupación.

GCF de números naturales

El proceso de escribir un número o expresión como producto se denomina factoring. Si escribimos\(60 = 5\cdot 12\), decimos que el producto\(5 ⋅ 12\) es una factorización de\(60\) y eso\(5\) y\(12\) son factores. Por lo general, hay muchas formas de factorizar un número. Por ejemplo,

\( \begin{array}{lc}{60=6\cdot 10}&{}\\{60=2\cdot 30}&{\color{Cerulean}{Factorizations\:of\:60}}\\{60=4\cdot 3\cdot 5}&{} \end{array}\)

Recordemos que un número primo se define como un número natural con exactamente dos factores numéricos naturales,\(1\) y él mismo. Los primeros diez números primos siguen:

\(2,\:3,\:5,\:7,\:11,\:13,\:17,\:19,\:23,\:29,\:\dots\)

Cualquier número natural mayor que se\(1\) puede escribir de manera única como producto de números primos. Este producto se llama la factorización prima. La factorización de primos se\(60\) puede determinar continuando factorizando hasta que solo quede un producto de números primos.

\(\begin{aligned}60&=2\cdot 30\\&=2\cdot 2\cdot 15\\&=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 \end{aligned}\)

Dado que la factorización prima es única, no importa cómo escojamos factorizar inicialmente el número; el resultado final será el mismo. La factorización principal de los\(60\) siguientes:

\(60=2^{2}\cdot 3\cdot 5\qquad\color{Cerulean}{The\:prime\:factorization\:of\:60}\)

Recordemos que el mayor factor común (GCF) de cualquiera de dos números naturales es el producto de todos los factores primos comunes.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentra el GCF de 60 y 140.

Solución:

Primero, determinar las factorizaciones primos de ambos enteros.

\(\begin{array} {c|c}{140=10\cdot 14}&{60=6\cdot 10}\\{=2\cdot 5\cdot 2\cdot 7}&{=2\cdot 3\cdot 2\cdot 5}\\{=\color{Cerulean}{2^{2}}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{5}\color{black}{\cdot 7}}&{=\color{Cerulean}{2^{2}}\color{black}{\cdot 3\cdot}\color{Cerulean}{5}} \end{array}\)

El producto de los factores primos comunes es\(2^{2}\cdot 5\); de ahí el GCF (\(60, 140)=2^{2}⋅5=20\). Para ver que es el mayor factor común, podemos escribir lo siguiente:

\(\begin{aligned} 140&=\color{Cerulean}{20}\color{black}{\cdot 7}\\ 60&=\color{Cerulean}{20}\color{black}{\cdot 3} \end{aligned}\)

Respuesta:

El mayor factor común de\(60\) y\(140\) es\(20\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el GCF de 504 y 1,080.

Solución:

Primero, determinar las factorizaciones primos de ambos enteros.

\(\begin{array}{c|c}{504=9\cdot 56}&{1080=10\cdot 108}\\{=3\cdot 3\cdot 7\cdot 8}&{=2\cdot 5\cdot 9\cdot 12}\\{=3\cdot 3\cdot 7\cdot 2\cdot 2\cdot 2}&{=2\cdot 5\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 3}\\{=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}&{=2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5} \end{array}\)

El producto de los factores primos comunes es\(2^{3}⋅3^{2}\).

El GCF\((504, 1080)=2^{3}⋅3^{2}=72\). Tenga en cuenta que multiplicamos los factores primos comunes con el exponente más pequeño.

\(\begin{aligned} 5040&=\color{Cerulean}{72}\color{black}{\cdot 7} \\ 1080&=\color{Cerulean}{72}\color{black}{\cdot 15} \end{aligned}\)

Los números\(7\) y no\(15\) comparten ningún factor de número natural común que no sea\(1\); decimos que son relativamente primos.

Respuesta:

El mayor factor común de\(504\) y\(1,080\) es\(72\).

GCF de Monomios

A continuación consideramos factorizaciones de monomios. Por ejemplo,\(6x\) y\(x^{4}\) son factores de\(6x^{5}\) porque\(6x^{5}=6x⋅x^{4}\). Por lo general, hay muchas formas de factorizar un monomio. Algunas factorizaciones de\(6x^{5}\) seguimiento:

\(\begin{array}{cc}{6x^{5}=2x^{3}\cdot 3x^{2}}&{}\\{6x^{5}=6x^{4}\cdot x}&{\color{Cerulean}{Factorizations\:of\:6x^{5}}}\\{6x^{5}=2x\cdot 3x\cdot x^{3}}&{} \end{array}\)

Dados dos o más monomios, será útil encontrar el mayor factor monomial común de cada uno. Por ejemplo, considere\(6x^{5}y^{3}z\) y\(8x^{2}y^{3}z^{2}\). La parte variable de estos dos monomios se parece mucho a la factorización prima de los números naturales y, de hecho, se puede tratar de la misma manera.

Los pasos para encontrar el GCF de los monomios se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentre el GCF de\(6x^{5}y^{3}z\) y\(8x^{2}y^{3}z^{2}\).

Solución:

Paso 1: Encuentra el GCF de los coeficientes.

\(\color{Cerulean}{6}\color{black}{x^{5}y^{3}z}\qquad\text{and}\qquad\color{Cerulean}{8}\color{black}{x^{2}y^{3}z^{2}}\)

En este caso, el GCF\((6, 8)=2\).

Paso 2: Determinar los factores variables comunes con los exponentes más pequeños.

\(6x^{5}\color{Cerulean}{y^{3}z}\qquad \color{black}{\text{and}\qquad 8}\color{Cerulean}{x^{2}}\color{black}{y^{3}z^{2}}\)

En este caso, las variables comunes con los exponentes más pequeños son\(x^{2}, y^{3}, and z^{1}\).

Paso 3: El GCF de los monomios es el producto de los factores variables comunes y el GCF de los coeficientes. Por lo tanto,

GCF\((6x^{5}y^{3}z, 8x^{2}y^{3}z^{2})=2\cdot x^{2}\cdot y^{3}\cdot z\)

Respuesta:

\(2x^{2}y^{3}z\)

Cabe señalar que el GCF en el ejemplo anterior divide ambas expresiones de manera uniforme:

\(\frac{6x^{5}y^{3}z}{\color{Cerulean}{2x^{2}y^{3}z}}\color{black}{=3x^{3}} \qquad\text{and}\qquad\frac{8x^{2}y^{3}z^{2}}{\color{Cerulean}{2x^{2}y^{3}z}}\color{black}{=4z}\)

Además, podemos escribir lo siguiente:

\(6x^{5}y^{3}z=\color{Cerulean}{2x^{2}y^{3}z}\color{black}{\cdot 3x^{3}}\qquad\text{and}\qquad 8x^{2}y^{3}z^{2}=\color{Cerulean}{2x^{2}y^{3}z}\color{black}{\cdot 4z}\)

Los factores\(3x^{3}\) y no\(4z\) comparten otros factores monomiales comunes que no sean\(1\); son relativamente primos.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Determinar el GCF de las siguientes expresiones:

\(30x^{6}y\)y\(18x^{4}y^{2}z\).

Solución:

Las factorizaciones principales de los coeficientes son

\(\begin{aligned}30&=\color{Cerulean}{2}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{3}\color{black}{\cdot 5} \\ 18&=\color{Cerulean}{2}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{3}\color{black}{\cdot 3} \end{aligned}\)

Así el GCF\((30, 18) = 2 ⋅ 3 = 6\). A continuación, considere la parte variable:

\(30x^{6}\color{Cerulean}{y}\color{black}{\qquad\text{and}\qquad} 18\color{Cerulean}{x^{4}}\color{black}{y^{2}z}\)

Los factores variables en común son\(x^{4}\) y\(y\). El factor no\(z\) está en común y tenemos

GCF\(=6\cdot x^{4}\cdot y\)

Respuesta:

\(6x^{4}y\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Determinar el GCF de las siguientes tres expresiones:

\(12a^{5}b^{2}(a+b)^{5} \:,\: 60a^{4}b^{3}c(a+b)^{3}\), y\(24a^{2}b^{7}c^{3}(a+b)^{2}\).

Solución:

Primero, determinar el GCF de los coeficientes.

\(\begin{aligned} 12&=2^{2}\cdot 3\\ 60&=2^{2}\cdot 3\cdot 5 \\ 24&=2^{3}\cdot 3 \end{aligned}\)

El GCF\((12, 60, 24)=2^{2}⋅3=12\). A continuación, determine los factores comunes de la parte variable:

\(12a^{5}\color{Cerulean}{b^{2}}\color{black}{(a+b)^{5}} \qquad\text{and}\qquad 60a^{4}b^{3}c(a+b)^{3}\qquad\text{and}\qquad 24\color{Cerulean}{a^{2}}\color{black}{b^{7}c^{3}}\color{Cerulean}{(a+b)^{2}}\)

Los factores variables en común son\(a^{2}, b^{2}\), y\((a+b)^{2}\). Por lo tanto,

GCF\(= 12\cdot a^{2}\cdot b^{2}\cdot (a+b)^{2}\)

Respuesta:

\(12a^{2}b^{2}(a+b)^{2}\). Tenga en cuenta que la variable no\(c\) es común a las tres expresiones y por lo tanto no se incluye en el GCF.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Determinar el GCF de lo siguiente:

\(60x^{4}y^{3}(x+2y)^{7}, 45x^{2}y^{5}(x+2y)^{4}\), y\(30x^{7}y^{7}(x+2y)^{3}\).

Contestar

\(15x^{2}y^{3}(x+2y)^{3}\)

Factorización del GCF

Hemos visto que la aplicación de la propiedad distributiva es la clave para multiplicar polinomios. El proceso de factorizar un polinomio implica usar la propiedad distributiva a la inversa para escribir cada polinomio como un producto de factores polinomiales.

\(\begin{array}{cc}{\color{Cerulean}{a}\color{black}{(b+c)=\color{Cerulean}{a}\color{black}{b+}\color{Cerulean}{a}\color{black}{c}}}&{\color{Cerulean}{Multiplying}}\\{\color{Cerulean}{a}\color{black}{b+}\color{Cerulean}{a}\color{black}{c=}\color{Cerulean}{a}\color{black}{(b+c)}}&{\color{Cerulean}{Factoring}} \end{array}\)

Para demostrar esta idea, multiplicamos y factorizamos lado a lado. Factoring utiliza el GCF de los términos.

Mesa\(\PageIndex{1}\)

Multiplicando	Factoring
\(\begin{aligned}\color{Cerulean}{3}\color{black}{(5x+1)}&=\color{Cerulean}{3}\color{black}{\cdot 5x+}\color{Cerulean}{3}\color{black}{\cdot 1}\\ &=15x+3 \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} 15x+3&=\color{Cerulean}{3}\color{black}{\cdot 5x+}\color{Cerulean}{3}\color{black}{\cdot 1} \\ &=\color{Cerulean}{3}\color{black}{(5x+1)} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{(3x^{3}+4)}&=\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{\cdot 3x^{3}+}\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{\cdot 4}\\ &=6x^{5}+8x^{2} \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} 6x^{5}+8x^{2}&=\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{\cdot 3x^{3}+}\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{\cdot 4} \\ &=\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{(3x^{3}+4)} \end{aligned}\)

En el ejemplo anterior, vemos que la propiedad distributiva nos permite escribir el polinomio\(6x^{5}+8x^{2}\) como producto de los dos factores\(2x^{2}\) y\((3x^{3}+4)\). Obsérvese que en este caso,\(2x^{2}\) es el GCF de los términos del polinomio:

GCF\(6x^{5}, 8x^{2})=2x^{2}\)

Factorizar el GCF implica reescribir un polinomio como producto donde un factor es el GCF de todos sus términos:

\(\begin{array}{cc}{15x+3=\color{Cerulean}{3}\color{black}{(5x+1)}}&{\color{Cerulean}{Factoring\:out\:the\:GCF}}\\{6x^{5}+8x^{2}=\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{(3x^{3}+4)}}&{} \end{array}\)

Los pasos para factorizar el GCF de un polinomio se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Factorizar el GCF:

\(7x^{4}+21x^{3}-14x^{2}\).

Solución:

Paso 1: Identificar el GCF de todos los términos. En este caso, el GCF\((7, 21, 14) = 7\), y el factor variable común con el exponente más pequeño es\(x^{2}\). El GCF del polinomio es\(7x^{2}\).

\(7x^{4}+21x^{3}-14x^{2}=\color{Cerulean}{7x^{2}}\color{black}{(\qquad ? \qquad )}\)

Paso 2: Determinar los términos del factor faltante dividiendo cada término de la expresión original por el GCF. (Este paso generalmente se realiza mentalmente).

\(\frac{7x^{4}}{\color{Cerulean}{7x^{2}}}=x^{2}\qquad\frac{21x^{3}}{\color{Cerulean}{7x^{2}}}=3x\qquad\frac{-14x^{2}}{\color{Cerulean}{7x^{2}}}=-2\)

Paso 3: Aplicar la propiedad distributiva (a la inversa) utilizando los términos encontrados en el paso anterior.

\(7x^{4}+21x^{3}-14x^{2}=\color{Cerulean}{7x^{2}}\color{black}{(x^{2}+3x-2)}\)

Paso 4: Como cheque, multiplique usando la propiedad distributiva para verificar que el producto es igual a la expresión original. (Este paso es opcional y se puede realizar mentalmente).

\(\begin{aligned} \color{Cerulean}{7x^{2}}\color{black}{(x^{2}+3x-2)}&=\color{Cerulean}{7x^{2}}\color{black}{\cdot x^{2} +}\color{Cerulean}{7x^{2}}\color{black}{\cdot 3x -}\color{Cerulean}{7x^{2}}\color{black}{\cdot 2} \\ &= 7x^{4}+21x^{3}-14x^{2}\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(7x^{2}(x^{2}+3x-2)\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Factorizar el GCF:

\(48a−16b+4c\)

Solución:

No hay factores variables en común y el GCF\((48, 16, 4) = 4\).

\(\begin{aligned} 48a-16b+4c&=4(\qquad\color{Cerulean}{?}\qquad\color{black}{)} \\ &=4(12a-4b+c) \end{aligned}\)

Respuesta:

\(4(12a-4b+c)\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Factorizar el GCF:

\(25x^{3}+15x^{2}+5x\)

Solución:

El GCF\((25, 15, 5) = 5\), y el factor variable común con los exponentes más pequeños es\(x^{1}\). El GCF de todos los términos es\(5x\).

\(\begin{aligned} 25x^{3}+15x^{2}+5x&=5x(\qquad\color{Cerulean}{?}\qquad\color{black}{)}\\&=5x(5x^{2}+3x+1) \end{aligned}\)

Respuesta:

\(5x(5x^{2}+3x+1)\)

Si el GCF es el mismo que uno de los términos, entonces, después de factorizar el GCF,\(1\) quedará un término constante. En el ejemplo anterior, podemos ver eso\(\frac{5x}{5x}=1\). La importancia de recordar el término constante se hace evidente al realizar la comprobación utilizando la propiedad distributiva:

\(\begin{aligned} 5x(5x^{2}+3x+1)&=\color{Cerulean}{5x}\color{black}{\cdot 5x^{2}+}\color{Cerulean}{5x}\color{black}{\cdot 3x+}\color{Cerulean}{5x}\color{black}{\cdot 1}\\ &=25x^{3}+15x^{2}+5x\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

El término constante nos\(1\) permite obtener la misma expresión original después de distribuir.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Factorizar el GCF:

\(15x^{6}y^{4}+10x^{5}y^{3}z^{2}−20xy^{6}z^{3}\).

Solución:

El GCF\((10, 15, 20)=5\), y las variables comunes con menor exponente son\(x^{1}\) y\(y^{3}\). Por lo tanto, el GCF de los términos es\(5xy^{3}\). El primer término no tiene un factor variable de\(z\) y por lo tanto no puede formar parte del mayor factor común. Si dividimos cada término por\(5xy^{3}\), obtenemos

\(\frac{15x^{6}y^{4}}{\color{Cerulean}{5xy^{3}}}=3x^{5}y\qquad\frac{10x^{5}y^{3}z^{2}}{\color{Cerulean}{5xy^{3}}}=2x^{4}z^{2}\qquad\frac{-20xy^{6}z^{3}}{\color{Cerulean}{5xy^{3}}}=-4y^{3}z^{3}\)

y puede escribir

\(\begin{aligned} 15x^{6}y^{4}+10x^{5}y^{3}z^{2}-20xy^{6}z^{3}&=\color{Cerulean}{5xy^{3}}\color{black}{(\qquad ?\qquad )} \\ &=5xy^{3}(3x^{5}y+2x^{4}z^{2}-4y^{3}z^{3}) \end{aligned}\)

Respuesta:

\(5xy^{3}(3x^{5}y+2x^{4}z^{2}-4y^{3}z^{3})\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Factorizar el GCF:

\(24a^{6}b^{2}c^{5}+8a^{7}b^{5}c\)

Solución:

El GCF\((24, 8) = 8\), y los factores variables con los exponentes más pequeños son\(a^{6}, b^{2},\) y\(c\). Por lo tanto, el GCF de todos los términos es\(8a^{6}b^{2}c\).

\(\begin{aligned} 24a^{6}b^{2}c^{5}+8a^{7}b^{5}c&=8a^{6}b^{2}c(\qquad ?\qquad ) \\&=8a^{6}b^{2}c(3c^{4}+ab^{3}) \end{aligned}\)

Respuesta:

\(8a^{6}b^{2}c(3c^{4}+ab^{3})\)

Por supuesto, no todos los polinomios con coeficientes enteros pueden ser factorizados como un producto de polinomios con coeficientes enteros distintos de\(1\) y en sí mismos. Si este es el caso, entonces decimos que es un polinomio primo.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Factor:

\(3x-5\)

Solución:

Prime: no hay otros factores polinomiales que no sean\(1\) y en sí mismo.

Respuesta:

Prime

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Factorizar el GCF:

\(16x^{4}y^{3}−8x^{2}y^{5}−4x^{2}y\).

Contestar

\(4x^{2}y(4x^{2}y^{2}-2y^{4}-1)\)

Factor por Agrupación

En esta sección, esbozamos una técnica para factorizar polinomios con cuatro términos. Primero, revisar algunos ejemplos preliminares donde los términos tienen un factor binomial común.

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

Factor:

\(5x(x−3)+2(x−3)\).

Solución:

Esta expresión es un binomio con términos\(5x(x−3)\) y\(2(x−3)\). En este caso,\((x−3)\) es un factor común. Comience por factorizar este factor común:

\(5x\color{Cerulean}{(x-3)}\color{black}{+2}\color{Cerulean}{(x-3)}\color{black}{=}\color{Cerulean}{(x-3)}\color{black}{(\quad ?\quad )}\)

Para determinar los términos del factor restante, divida cada término por\((x−3)\):

\(\frac{5x(x-3)}{\color{Cerulean}{(x-3)}}=\color{OliveGreen}{5x}\qquad\color{black}{\frac{2(x-3)}{\color{Cerulean}{(x-3)}}=}\color{OliveGreen}{2}\)

Este paso se suele realizar mentalmente. Tenemos

\(\begin{aligned}\color{OliveGreen}{5x}\color{black}{(x-3)}\color{OliveGreen}{+2}\color{black}{(x-3)}&=(x-3)(\quad ?\quad ) \\ &=(x-3)(\color{OliveGreen}{5x+2}\color{black}{)} \end{aligned}\)

Respuesta:

\((x-3)(5x+2)\)

Recordemos que siempre\(1\) es un factor común. Si el GCF es lo mismo que un término, entonces el factor\(1\) permanece después de que factorizamos ese GCF.

Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

Factor:

\(3x(4x+1)−(4x+1)\).

Solución:

Reescribir el segundo término\(−(4x+1)\) como\(−1(4x+1)\) y luego factorizar el factor binomial común\((4x+1)\).

\(\begin{aligned} 3x(4x+1)-(4x+1)&=3x\color{Cerulean}{(4x+1)}\color{black}{-1}\color{Cerulean}{(4x+1)} \\ &=\color{Cerulean}{(4x+1)}\color{black}{(\quad ?\quad)} \\ &=\color{Cerulean}{(4x+1)}\color{black}{(3x-1)} \end{aligned}\)

Respuesta:

\((4x+1)(3x-1)\)

Recuerde que el objetivo de esta sección es desarrollar una técnica que nos permita factorizar polinomios con cuatro términos en un producto de binomios. El paso intermedio de este proceso se parece a los dos ejemplos anteriores. Por ejemplo, deseamos factorizar

\(5x^{2}-15x+2x-6\)

Comience agrupando los dos primeros términos y los dos últimos términos. Luego factorizar el GCF de cada agrupación:

\(\begin{array}{ccc}{\underbrace{5x^{2}-15x}}&{+}&{\underbrace{2x-6}}\\{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}\)

\(=\color{Cerulean}{5x}\color{black}{(x-3)+}\color{Cerulean}{2}\color{black}{(x-3)}\)

De esta forma, es un binomio con un factor binomial común, (x−3).

\(\begin{aligned}&=(x-3)(\quad ?\quad )\\&=(x-3)(\color{Cerulean}{5x+2}\color{black}{)} \end{aligned}\)

Los pasos que siguen describen una técnica para factorizar polinomios de cuatro términos llamada factor por agrupación.

Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

Factor:

\(2x^{3}+4x^{2}+3x+6\).

Solución:

Términos de grupo de tal manera que se obtenga un binomio con factores comunes.

Paso 1: Agrupar los dos primeros y los dos últimos términos y luego factorizar el GCF de cada uno.

\(\begin{array}{ccc}{\underbrace{2x^{3}+4x^{2}}}&{+}&{\underbrace{3x+6}}\\{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}\)

El GCF de los dos primeros términos es\(2x^{2}\), y el GCF de los dos segundos términos lo es\(3\).

\(\begin{array}{cccc}{2x^{3}+4x^{2}+3x+6=}&{\underbrace{2x^{3}+4x^{2}}}&{+}&{\underbrace{3x+6}}\\{}&{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}\)

\(\begin{aligned} &=\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{(\quad ?\quad )}\color{Cerulean}{+3}\color{black}{(\quad ?\quad )}\\&=2x^{2}(x+2)+3(x+2) \end{aligned}\)

Paso 2: En este punto, el polinomio es un binomio. Factorizar cualquier factor común a ambos términos. Aquí\((x+2)\) hay un factor común.

\(\begin{aligned} &=2x^{2}\color{Cerulean}{(x+2)}\color{black}{+3}\color{Cerulean}{(x+2)}\\&=\color{Cerulean}{(x+2)}\color{black}{(\quad ?\quad )}\\&=(x+2)(2x^{2}+3) \end{aligned}\)

Paso 3: Comprobación opcional: multiplicar para verificar que obtenemos la expresión original.

\(\begin{aligned}(x+2)(2x^{2}+3)&=2x^{3}+3x+4x^{2}+6 \\&=2x^{3}+4x^{2}+3x+6\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Respuesta:

\((x+2)(2x^{2}+3)\)

Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

Factor:

\(2a^{3}−3a^{2}+2a−3\).

Solución:

El GCF de los dos primeros términos es\(a^{2}\) y el GCF de los dos segundos términos es\(1\).

\(\begin{array}{cccc}{2a^{3}-3a^{2}+2a-3=}&{\underbrace{2a^{3}-3a^{2}}}&{+}&{\underbrace{2a-3}}\\{}&{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}\)

\(\begin{aligned}&=\color{Cerulean}{a^{2}}\color{black}{(\quad ?\quad )}\color{Cerulean}{+1}\color{black}{(\quad ?\quad )} \\ &=a^{2}(2a-3)+1(2a-3)\\&=(2a-3)(\quad ?\quad )\\&=(2a-3)(a^{2}+1) \end{aligned}\)

Respuesta:

\(2a-3)(a^{2}+1)\). El cheque se deja al lector.

Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

Factor:

\(6x^{4}−24x^{3}−5x+20\).

Solución:

El GCF para el primer grupo es\(6x^{3}\). Tenemos que elegir\(5\) o\(−5\) factorizar fuera del segundo grupo.

\(\begin{array}{ccc}{\underbrace{6x^{4}-24x^{3}}}&{-}&{\underbrace{5x+20}}\\{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}\)

\(\begin{aligned} &=6x^{3}\color{red}{(x-4)}\color{black}{+5}\color{red}{(-x+4)} & \color{red}{x} \\ &=6x^{3}\color{Cerulean}{(x-4)}\color{black}{-5}\color{Cerulean}{(x-4)} & \color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Factorizar a\(+5\) no resulta en un factor binomial común. Si elegimos factorizar\(−5\), entonces obtenemos un factor binomial común y podemos proceder. Tenga en cuenta que al factorizar un número negativo, cambiamos los signos de los términos factorizados.

\(\begin{array}{cccc}{6x^{4}-24x^{3}-5x+20=}&{\underbrace{6x^{4}-24x^{3}}}&{-}&{\underbrace{5x+20}}\\{}&{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}\)

\(\begin{aligned} &=6x^{3}(\quad ?\quad )-5(\quad ?\quad ) \\&=6x^{3}(x-4)-5(x-4) \\ &=(x-4)(\quad ?\quad ) \\ &=(x-4)(6x^{3}-5) \end{aligned}\)

Respuesta:

\((x-4)(6x^{3}-5)\). El cheque se deja al lector.

Nota

El signo del coeficiente principal en la segunda agrupación suele indicar si se debe factorizar o no un factor negativo. Si ese coeficiente es positivo, factorizar un factor positivo. Si es negativo, factorizar un factor negativo.

Cuando todos los términos de un polinomio tienen un GCF distinto de 1, es una mejor práctica factorizar eso antes de factorizar por agrupación.

Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

Factor:

\(3y^{4}+9y^{2}−6y^{3}−18y\).

Solución:

Aquí notamos que el mayor factor común de todos los términos es\(3y\). Comience por factorizar el GCF y luego factorizar el resultado agrupando.

\(\begin{array}{lc}{3y^{4}+9y^{2}-6y^{3}-18y}&{}\\{=3y[y^{3}+3y-2y^{2}-6]}&{\color{Cerulean}{Factor\:out\:the\:GCF.}}\\{=3y[y(y^{2}+3)-2(y^{2}+3)]}&{\color{Cerulean}{Factor\:by\:grouping.}}\\{=3y[(y^{2}+3)(y-2)]}&{}\\{=3y(y^{2}+3)(y-2)}&{} \end{array}\)

Respuesta:

\(3y(y^{2}+3)(y-2)\)

En ocasiones debemos primero reorganizar los términos para obtener un factor común.

Ejemplo\(\PageIndex{18}\)

Factor:

\(ab−2a^{2}b+a^{3}−2b^{3}\).

Solución:

Simplemente factorizar el GCF del primer grupo y último grupo no produce un factor binomial común.

\(\begin{array}{ccc}{\underbrace{ab-2a^{2}b}}&{+}&{\underbrace{a^{3}-2b^{3}}}\\{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}\)

\(=ab\color{red}{(1-2a)}\color{black}{+1}\color{red}{(a^{3}-2b^{3})}\)

Debemos reordenar los términos, buscando una agrupación que produzca un factor común. En este ejemplo, tenemos una agrupación viable si cambiamos los términos\(a^{3}\) y\(ab\).

\(\begin{array}{cccc}{\color{OliveGreen}{ab}\color{black}{-2a^{2}b+}\color{OliveGreen}{a^{3}}\color{black}{-2b^{3}=}}&{\underbrace{a^{3}-2a^{2}b}}&{+}&{\underbrace{ab-2b^{3}}}\\{}&{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}\)

\(\begin{aligned} &=a^{2}(a-2b)+b(a-2b) \\ &=(a-2b)(a^{2}+b) \end{aligned}\)

Respuesta:

\((a-2b)(a^{2}+b)\)

No todos los polinomios factoriables de cuatro términos se pueden factorizar con esta técnica. Por ejemplo,

\(3x^{3}+5x^{2}-x+2\)

Este polinomio de cuatro términos no puede agruparse de ninguna manera para producir un factor binomial común. A pesar de ello, el polinomio no es primo y puede escribirse como producto de polinomios. Se puede factorizar de la siguiente manera:

\(3x^{3}+5x^{2}-x+2=(x+2)(3x^{2}-x+1)\)

Factorizar tales polinomios es algo que vamos a aprender a hacer a medida que avanzamos en nuestro estudio del álgebra. Por ahora, limitaremos nuestro intento de factorizar polinomios de cuatro términos a usar el factor mediante la técnica de agrupación.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Factor:

\(x^{3}-x^{2}y-xy+y^{2}\)

Contestar

\((x-y)(x^{2}-y)\)

Claves para llevar

• Para encontrar el mayor factor común (GCF) de cualquier colección de números naturales, primero busque la factorización prima de cada uno. El GCF es el producto de todos los factores primos comunes.
• El GCF de dos o más monomios es el producto del GCF de los coeficientes y los factores variables comunes con la menor potencia.
• Si los términos de un polinomio tienen un mayor factor común, entonces factorizar ese GCF usando la propiedad distributiva. Dividir cada término del polinomio entre el GCF para determinar los términos del factor restante.
• Algunos polinomios de cuatro términos se pueden factorizar agrupando los dos primeros términos y los dos últimos términos. Factorizar el GCF de cada grupo y luego factorizar el factor binomial común.
• Al factorizar por agrupación, a veces hay que reorganizar los términos para encontrar un factor binomial común. Después de factorizar el GCF, los factores binomiales restantes deben ser los mismos para que la técnica funcione.
• No todos los polinomios pueden ser factorizados como el producto de polinomios con coeficientes enteros. En este caso, lo llamamos polinomio primo.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) GCF of Natural Numbers

Dar la factorización prima de cada número y determinar el GCF.

1. \(18, 24\)
2. \(45, 75\)
3. \(72, 60\)
4. \(168, 175\)
5. \(144, 245\)
6. \(15, 50, 60\)
7. \(14, 63, 70\)
8. \(12, 48, 125\)
9. \(60, 72, 900\)
10. \(252, 336, 360\)

Contestar

1. \(18=2⋅32, 24=23⋅3,\)GCF\( = 6\)

3. \(72=23⋅32, 60=22⋅3⋅5,\)GCF\( = 12\)

5. \(144=24⋅32, 245=5⋅72,\)GCF\( = 1\)

7. \(14=2⋅7, 63=32⋅7, 70=2⋅5⋅7,\)GCF\( = 7\)

9. \(60=22⋅3⋅5, 72=23⋅32, 900=22⋅32⋅52,\)GCF\( = 12\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) GCF of Variable Expressions

Determinar el GCF de todos los términos.

1. \(15x, 30\)
2. \(14x, 21\)
3. \(45x^{4}, 8x^{3}\)
4. \(36x^{5}, 35y^{2}\)
5. \(6x, 27x, 36x\)
6. \(12x^{3}, 4x^{2}, 6x\)
7. \(12x^{2}y, 60xy^{3}\)
8. \(7ab^{2}, 2a^{2}b, 3a^{3}b^{3}\)
9. \(6a^{2}b^{2}, 18a^{3}b^{2}, 9ab^{2}\)
10. \(15x(x+2), 9(x+2)\)
11. \(20x(2x−1), 16(2x−1)\)
12. \(20x^{3}(x+y)^{5}, 10x^{5}(x+y)^{2}\)

Contestar

1. \(15\)

3. \(x^{3}\)

5. \(3x\)

7. \(12xy\)

9. \(3ab^{2}\)

11. \(4(2x−1)\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) Factoring out the GCF

Dado el GCF, determinar el factor faltante.

1. \(25x^{2}+10x=5x(\quad ?\quad )\)
2. \(12y^{5}+7y^{2}=y^{2}(\quad ?\quad )\)
3. \(22x^{4}−121x^{2}+11x=11x(\quad ?\quad )\)
4. \(30y^{3}−45y^{2}−3y=3y(\quad ?\quad )\)
5. \(36a^{5}b^{7}−60a^{6}b^{5}=12a^{5}b^{5}(\quad ?\quad )\)
6. \(24x^{2}y+48xy^{2}−12xy=12xy(\quad ?\quad )\)

Contestar

1. \((5x+2)\)

3. \((2x^{3}−11x+1)\)

5. \((3b^{2}−5a)\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) Factoring out the GCF

Factorizar el GCF.

1. \(4x−8\)
2. \(27x−9\)
3. \(3x−18\)
4. \(5x−10\)
5. \(25x−16\)
6. \(72x−35\)
7. \(15x^{2}+30x\)
8. \(14a^{2}−7a\)
9. \(30a^{5}−10a^{2}\)
10. \(8x^{4}−16x^{2}\)
11. \(5x^{6}+x^{3}\)
12. \(3x^{7}−9x^{5}\)
13. \(18a^{2}+30a−6\)
14. \(24a^{2}−36a−12\)
15. \(27x^{3}−6x^{2}+3x\)
16. \(8x^{3}−12x^{2}+2x\)
17. \(9x^{4}+18x^{3}−3x^{2}\)
18. \(12y^{4}−16y^{3}+20y^{2}\)
19. \(7x^{5}−21x^{3}−14x^{2}+28x\)
20. \(36y^{10}+12y^{8}−18y^{4}−6y^{3}\)
21. \(12x^{5}y^{2}−8x^{3}y\)
22. \(125a^{8}b^{4}c^{3}−25a^{2}b^{3}c^{3}\)
23. \(6x^{4}y^{3}−4x^{3}y^{2}+8x^{2}y\)
24. \(15x^{4}y^{2}−30x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}\)
25. \(81x^{7}y^{6}z^{2}−18x^{2}y^{8}z^{4}+9x^{2}y^{5}z^{2}\)
26. \(4x^{5}y^{4}z^{9}+26x^{5}y^{3}z^{4}−14x^{6}y^{8}z^{5}\)
27. \(2x(x−3)+5(x−3)\)
28. \(3x(2x+1)−4(2x+1)\)
29. \(5x(5x+2)−(5x+2)\)
30. \(2x(3x+4)+(3x+4)\)
31. \(x^{2}(4x−7)−5(4x−7)\)
32. \((x+6)−3x^{2}(x+6)\)
33. \((a+b)^{2}−3a(a+b)^{2}\)
34. \((ab+2)^{3}+3ab(ab+2)^{3}\)
35. \(7x(x+7)^{5}+14x^{2}(x+7)^{5}\)
36. \(36x^{5}(3x+2)^{4}−12x^{3}(3x+2)^{4}\)

Contestar

1. \(4(x−2)\)

3. \(3(x−6)\)

5. Prime

7. \(15x(x+2)\)

9. \(10a^{2}(3a^{3}−1)\)

11. \(x^{3}(5x^{3}+1)\)

13. \(6(3a^{2}+5a−1)\)

15. \(3x(9x^{2}−2x+1)\)

17. \(3x^{2}(3x^{2}+6x−1)\)

19. \(7x (x^{4}−3x^{2}−2x+4)\)

21. \(4x^{3}y(3x^{2}y−2)\)

23. \(2x^{2}y(3x^{2}y^{2}−2xy+4)\)

25. \(9x^{2}y^{5}z^{2}(9x^{5}y−2y^{3}z^{2}+1)\)

27. \((x−3)(2x+5)\)

29. \((5x+2)(5x−1)\)

31. \((4x−7)(x^{2}−5)\)

33. \((a+b)^{2}(1−3a)\)

35. \(7x(x+7)^{5}(1+2x)\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\) Factoring out the GCF

¿Los siguientes son factorizados correctamente? Verificar multiplicando.

1. \(4x^{2}−16x=4x(x−4) \)
2. \(3a^{3}−3a=3a(a^{2})\)
3. \(3x^{3}−5x^{6}=x^{3}(3−x^{2})\)
4. \(5x^{3}−10x^{4}+15x^{5}=5x^{3}(1−2x+3x^{2})\)
5. \(x^{3}−x^{2}+x=x(x^{2}−x)\)
6. \(12x^{4}y^{3}−16x^{5}y^{2}+8x^{6}y^{7}=4x^{4}y^{2}(3y−4x+2x^{2}y^{5})\)

Contestar

1. Sí

3. No

5. No

Ejercicio\(\PageIndex{9}\) Factoring out the GCF

Utilice la división larga polinomial para mostrar que el factor dado divide el polinomio de manera uniforme.

1. Demostrar que\((x−1)\) es un factor de\((2x^{3}−5x^{2}+4x−1)\).
2. Demostrar que\((x+3)\) es un factor de\((3x^{3}+7x^{2}−4x+6)\).
3. Demostrar que\((3x−2)\) es un factor de\((3x^{3}+4x^{2}−7x+2)\).
4. Demostrar que\((2x+1)\) es un factor de\((2x^{3}−5x^{2}+x+2)\).
5. La altura en pies de un objeto arrojado al aire viene dada por la función\(h(t)=−16t^{2}+32t\), donde\(t\) es el tiempo en segundos después de ser arrojado. Escribe la función en forma factorizada.
6. La altura en pies de un objeto caído de una escalera\(16\) -pie viene dada por la función\(h(t)=−16t^{2}+16\), donde\(t\) es el tiempo en segundos después de que es arrojado. Escribe la función en forma factorizada.
7. El área superficial de un cilindro viene dada por la fórmula\(SA=2πr^{2}+2πrh\), donde\(r\) representa el radio de la base y\(h\) es la altura del cilindro. Exprese esta fórmula en forma factorizada.
   
   Figura\(\PageIndex{1}\)
8. El área de superficie de un cono viene dada por la fórmula\(SA=πr^{2}+πrs\), donde\(r\) representa el radio de la base y\(s\) representa la altura inclinada. Exprese esta fórmula en forma factorizada.
   
   Figura\(\PageIndex{2}\)

Contestar

5. \(h(t)=−16t(t−2)\)

7. \(SA=2πr(r+h)\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\) Factor by Grouping

Factorizar por agrupación.

1. \(x^{2}−10x+2x−20\)
2. \(x^{2}−6x−3x+18\)
3. \(x^{3}+2x^{2}+2x+4\)
4. \(x^{3}−3x^{2}+5x−15\)
5. \(x^{3}+7x^{2}−2x−14\)
6. \(2x^{3}+2x^{2}−x−1\)
7. \(x^{3}−5x^{2}+4x−20\)
8. \(6x^{3}−3x^{2}+2x−1\)
9. \(9x^{3}−6x^{2}−3x+2\)
10. \(2x^{4}−x^{3}−6x+3\)
11. \(x^{5}+x^{3}+2x^{2}+2\)
12. \(6x^{5}−4x^{3}−9x^{2}+6\)
13. \(3a^{3}b+3ab^{2}+2a^{2}+2b\)
14. \(2a^{3}+2ab^{3}−3a^{2}b−3b^{4}\)
15. \(2a^{3}−a^{2}b^{2}−2ab+b^{3}\)
16. \(a^{4}−3a^{3}b^{2}+ab^{2}−3b^{4}\)
17. \(3a^{2}b^{4}−6b^{3}−a^{2}b+2\)
18. \(3x^{3}+2y^{3}+x^{3}y^{3}+6\)
19. \(−3x^{3}−5y^{3}+x^{3}y^{3}+15\)
20. \(2x^{3}y^{3}+2−y^{3}−4x^{3}\)
21. \(3x^{2}−y^{3}+xy^{2}−3xy\)
22. \(2x^{2}+y^{3}−2xy−xy^{2}\)

Contestar

1. \((x−10)(x+2)\)

3. \((x+2)(x^{2}+2)\)

5. \((x+7)(x^{2}−2)\)

7. \((x−5)(x^{2}+4)\)

9. \((3x−2)(3x^{2}−1)\)

11. \((x^{2}+1)(x^{3}+2)\)

13. \((a^{2}+b)(3ab+2)\)

15. \((a^{2}−b)(2a−b^{2})\)

17. \((3b^{3}−1)(a^{2}b−2)\)

19. \((x^{3}−5)(y^{3}−3)\)

21. \((x−y)(3x+y^{2})\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\) Factor by Grouping

Primero factorizar el GCF y luego factorizar por agrupación.

1. \(5x^{2}−35x−15x+105 \)
2. \(12x^{2}−30x−12x+30 \)
3. \(2x^{3}+6x^{2}−10x−30 \)
4. \(6x^{3}−3x^{2}−42x+21 \)
5. \(4x^{4}+4x^{3}−12x^{2}−12x\)
6. \(−9x^{4}+6x^{3}−45x^{2}+30x\)
7. \(−12x^{5}+4x^{4}+6x^{3}−2x^{2}\)
8. \(24x^{5}−36x^{4}+8x^{3}−12x^{2}\)
9. \(24a^{3}b^{2}−60a^{3}b+40ab^{2}−100ab\)
10. \(a^{4}b^{2}−2a^{3}b^{3}+a^{2}b^{3}−2ab^{4}\)

Contestar

1. \(5(x−7)(x−3)\)

3. \(2(x+3)(x^{2}−5)\)

5. \(4x(x+1)(x^{2}−3)\)

7. \(−2x^{2}(3x−1)(2x^{2}−1)\)

9. \(4ab(3a^{2}+5)(2b−5)\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\) Discussion Board Topics

1. Investigar el algoritmo euclidiano para encontrar el GCF de dos números naturales. Dar un ejemplo que ilustre los pasos.
2. Investigar y discutir los aportes de Euclides de Alejandría.
3. Explica qué es el factoring y da un ejemplo.
4. ¿Está\(5x(x+2)−3(x+2)\) totalmente factorizado? Explique.
5. Informar un problema de factoring propio y dar la respuesta. Publica el problema y la solución en el panel de discusión.

Contestar

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar

5. Las respuestas pueden variar