6.2: Factorización de Trinomios de la Forma x²+bx+c

Objetivos de aprendizaje

• Trinomios factoriales de la forma\(x^{2}+bx+c\).
• Trinomios factoriales utilizando el método AC.

Factorización de Trinomios de la Forma\(x^{2}+bx+c\)

Algunos trinomios de la forma\(x^{2}+bx+c\) pueden ser factorizados como producto de binomios. Por ejemplo,

\(x^{2}+7x+10=(x+2)(x+5)\)

Podemos verificar esta factorización multiplicando:

\(\begin{aligned}(x+2)(x+5)&=x^{2}+5x+2x+10\\&=x^{2}+7x+10\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Factorizar trinomios requiere que trabajemos el proceso distributivo a la inversa. Observe que el producto de los primeros términos de cada binomio es igual al primer término del trinomio.

\(x\cdot x=x^{2}\)

El término medio del trinomio,\(7x\), es la suma de los productos de los términos externo e interno de los binomios:

\(5x+2x=7x\)

Y el producto de los últimos términos de cada binomio es igual al último término del trinomio.

\(2\cdot 5=10\)

Esto se puede interpretar visualmente de la siguiente manera:

Figura\(\PageIndex{1}\)

Si un trinomio de este tipo factores, entonces estas relaciones serán ciertas:

\(\begin{aligned} x^{2}+bx+c&=(x+m)(x+n) \\ &=x^{2}+nx+mx+mn \\ &=x^{2}+(n+m)x+mn \end{aligned}\)

Esto nos da

\[b=n+m \quad\text{and}\quad c=mn\]

En definitiva, si el coeficiente principal de un trinomio factoriable es uno, entonces los factores del último término deben sumar al coeficiente del término medio. Esta observación es la clave para factorizar trinomios utilizando la técnica conocida como astrial y error (o adivinar y verificar). Los pasos se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Factor:

\(x^{2}+7x+12\)

Solución:

Obsérvese que el polinomio a factorizar tiene tres términos; es un trinomio con un coeficiente principal de\(1\). Utilice prueba y error para factorizar de la siguiente manera:

Paso 1: Escribe dos juegos de paréntesis en blanco. Si un trinomio de esta forma factores, entonces se factorizará en dos factores binomiales lineales.

\(x^{2}+7x+12=(\quad )(\quad )\)

Paso 2: Escribir los factores del primer término en el primer espacio de cada conjunto de paréntesis. En este caso, factor\(x^{2}=x⋅x\).

\(x^{2}+7x+12=(x\quad )(x\quad )\)

Paso 3: Determinar los factores del último término cuya suma sea igual al coeficiente del término medio. Para ello, enumere todas las factorizaciones de\(12\) y busque factores cuya suma sea igual al coeficiente del término medio,\(7\).

\(\begin{aligned} 12&=1\cdot 12 & \rightarrow 1+12=13 \\ &=2\cdot 6 &\rightarrow 2+6=8 \\ &=\color{OliveGreen}{3\cdot 4} &\color{OliveGreen}{\rightarrow 3+4=7} \end{aligned}\)

Elige\(12 = 3 ⋅ 4\) porque\(3 + 4 = 7\).

Paso 4: Escribir en el último término de cada binomio utilizando los factores determinados en el paso anterior.

\(x^{2}+7x+12=(x+3)(x+4)\)

Paso 5: Comprobar multiplicando los dos binomios.

\(\begin{aligned} (x+3)(x+4)&=x^{2}+4x+3x+12 \\ &=x^{2}+7x+12\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Respuesta:

\((x+3)(x+4)\)

Dado que la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores no importa.

\(\begin{aligned}x^{2}+7x+12&=(x+3)(x+4) \\ &=(x+4)(x+3) \end{aligned}\)

Si el último término del trinomio es positivo, entonces ambos factores constantes deben ser negativos o ambos deben ser positivos. Por lo tanto, al mirar la lista de factorizaciones del último término, estamos buscando sumas que sean iguales al coeficiente del término medio.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Factor:

\(x^{2}-9x+20\).

Solución:

Primero, factor\(x^{2}=x⋅x\).

\(x^{2}-9x+20=(x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}\)

A continuación, determine qué factores de\(20\) sumar\(−9\):

\(\begin{aligned}20&=1\cdot 20 \\&-2\cdot 10\\ &=4\cdot 5 \end{aligned}\)

En este caso, elige\(−4\) y\(−5\) porque\((−4)(−5)=+20\) y\(−4+(−5)=−9\).

\(x^{2}-9x+20=(x-4)(x-5)\)

Cheque.

\(\begin{aligned} (x-4)(x-5)&=x^{2}-5x-4x+20 \\ &=x^{2}-9x+20\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Respuesta:

\((x-4)(x-5)\)

Si el último término del trinomio es negativo, entonces uno de sus factores debe ser negativo. En este caso, buscar en la lista de factorizaciones del último término diferencias que sean iguales al coeficiente del término medio.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Factor:

\(x^{2}-4x-12\).

Solución:

Comience por factorizar el primer término\(x^{2}=x⋅x\).

\(x^{2}-4x-12=(x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}\)

Los factores de\(12\) se enumeran a continuación. En este ejemplo, estamos buscando factores cuya diferencia es\(−4\).

Aquí escogemos los factores\(2\) y\(−6\) porque el coeficiente del término medio,\(−4\), se obtiene si sumamos\(2+(−6)\).

\(x^{2}-4x-12=(x+2)(x-6)\)

Multiplicar para verificar.

Respuesta:

\((x+2)(x-6)\)

A menudo nuestra primera conjetura no producirá una factorización correcta. Este proceso puede requerir ensayos repetidos. Por ello, el cheque es muy importante y no es opcional.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Factor:

\(x^{2}+5x-6\).

Solución:

El primer término de este trinomio\(x^{2}\) factores como\(x⋅x\).

\ (x^ {2} +5x-6= (x\ quad?) (x\ quad?)

Considere los factores de\(6\):

\(\begin{aligned}6&=1\cdot 6 \\ &=2\cdot 3 \end{aligned}\)

Supongamos que elegimos los factores\(2\) y\(3\) porque\(2 + 3 = 5\), el coeficiente del término medio. Entonces tenemos la siguiente factorización incorrecta:

\(x^{2}+5x-6\color{black}{\stackrel{\color{red}{?}}{=}}(x+2)(x+3)\)

Cuando multiplicamos para verificar, encontramos el error.

\(\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=x^{2}+3x+2x+6 \\ &=x^{2}+5x\color{red}{+6\qquad x} \end{aligned}\)

En este caso, el término medio es correcto pero el último término no lo es. Dado que el último término en la expresión original es negativo, necesitamos elegir factores que sean de signo opuesto. Por lo tanto, debemos volver a intentarlo. Esta vez elegimos los factores\(−1\) y\(6\) porque\(−1+6=5\).

\(x^{2}+5x-6=(x-1)(x+6)\)

Ahora la comprobación muestra que esta factorización es correcta.

Respuesta:

\((x-1)(x+6)\)

Si elegimos los factores sabiamente, entonces podemos reducir gran parte de las conjeturas en este proceso. No obstante, si una conjetura no es correcta, no te desanimes; solo prueba un conjunto diferente de factores.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Factor:

\(x^{2}+3x+20\).

Solución:

\(\begin{aligned} x^{2}+3x+20&=(x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)} \\ 20&=1\cdot 20 \\ &=2\cdot 10 \\ &=4\cdot 5 \end{aligned}\)

Aquí no hay factores de\(20\) cuya suma es\(3\). Por lo tanto, el trinomio original no puede ser factorizado como producto de dos binomios. Este trinomio es primo.

Respuesta:

Prime

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Factor:

\(x^{2}-13x-30\).

Contestar

\((x+2)(x−15)\)

Las técnicas descritas también pueden utilizarse para factorizar trinomios con más de una variable.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Factor:

\(x^{2}-14xy-72y^{2}\)

Solución:

El primer término\(x^{2}\) factores como\(x⋅x\).

\(x^{2}+xy-72y^{2}=(x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}\)

A continuación, buscar factores del coeficiente del último término,\(72\), cuya suma es\(−14\).

\(\begin{aligned} 72&=1\cdot 72 \\ &=2\cdot 36 \\ &=3\cdot 24 \\ &\color{OliveGreen}{=4\cdot 18} &\color{OliveGreen}{\rightarrow 4+(-18)=-14} \\ &=6\cdot 12 \\ &=8\cdot 9 \end{aligned}\)

Por lo tanto, se puede factorizar el coeficiente del último término\(−72=4(−18)\), donde\(4+(−18)=−14\). Porque el último término tiene un factor variable de\(y^{2}\), factor\(72y^{2}\) as\(4y(−18y)\) y prueba la siguiente factorización:

\(x^{2}-14xy-72y^{2}=(x+4y)(x-18y)\)

Multiplicar para verificar.

\(\begin{aligned} (x+4y)(x-18y)&=x^{2}-18xy+4xy-72y^{2} \\ &=x^{2}-14xy-72y^{2}\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Visualmente, tenemos lo siguiente:

Figura\(\PageIndex{2}\)

Respuesta:

\((x+4y)(x-18y)\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Factor:

\(x^{2}y^{2}+9xy−10\).

Contestar

\((xy−1)(xy+10)\)

Factorización mediante el método de CA

Una técnica alternativa para factorizar trinomios, llamada método AC, hace uso del método de agrupación para factorizar polinomios de cuatro términos. Si un trinomio en la forma\(ax^{2}+bx+c\) puede ser factorizado, entonces el término medio,\(bx\), puede ser reemplazado por dos términos con coeficientes cuya suma es\(b\) y producto\(ac\). Esta sustitución da como resultado una expresión equivalente con cuatro términos que se pueden factorizar por agrupación. Los pasos se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Factor usando el método AC:

\(x^{2}−x−30\).

Solución:

En este ejemplo\(a = 1, b = −1\), y\(c = −30\).

Paso 1: Determinar el producto\(ac\).

Paso 2: Encontrar factores de\(ac\) cuya suma es igual al coeficiente del término medio,\(b\).

\(\begin{aligned} -30&=1(-30) \\ &=2(-15) \\ &=3(-10) \\ &=\color{OliveGreen}{5(-5)} &\color{OliveGreen}{\rightarrow\:5+(-6)=-1} \end{aligned}\)

Podemos ver que la suma de los factores\(5\) y\(−6\) es igual al coeficiente del término medio,\(−1\).

Paso 3: Utilizar los factores como coeficientes para los términos que sustituyen al término medio. Aquí\(−x=−6x+5x\). Escribir

\(x^{2}\color{OliveGreen}{-x}\color{black}{-30=x^{2}}\color{OliveGreen}{-6x+5x}\color{black}{-30}\)

Paso 4: Factorizar la expresión equivalente agrupando.

\(\begin{array}{cccc}{x^{2}-x-30=}&{\underbrace{x^{2}-6x}}&{+}&{\underbrace{5x-20}}\\{}&{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}\)

\(\begin{aligned} &=x(x-6)+5(x-6) \\ &=(x-6)(x+5) \end{aligned}\)

Respuesta:

\((x-6)(x+5)\)

Observe que el método AC es consistente con el método de prueba y error. Ambos métodos requieren eso\(b=m+n\), dónde\(c=mn\). En el ejemplo anterior,\(−30=(−6)(5)\) y\(−1=(−6)+5\). La única diferencia entre los métodos, cuando el coeficiente principal es\(1\), está en el proceso utilizado para obtener la factorización final.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Factor:

\(y^{2}-14x+48\).

Solución:

Aquí\(ac = 48\) y buscamos factores cuya suma sea\(−14\).

\(\begin{aligned} 48&=1(48) \\ &=2(24)\\ &=3(16)\\ &=4(12)\\&=\color{OliveGreen}{6(8)} &\color{OliveGreen}{\rightarrow -6+(-8)=-14} \end{aligned}\)

Por lo tanto,\(−14x=−6x−8x\). Sustituir los nuevos términos y factor por agrupación.

\(\begin{aligned} y^{2}-14x+48&=x^{2}\color{OliveGreen}{-6x-8x}\color{black}{+48} \\ &=x(x-6)-8(x-6)\\&=(x-6)(x-8) \end{aligned}\)

Respuesta:

\((x-6)(x-8)\). El cheque se deja al lector.

En este punto, se recomienda que el lector se detenga y factorice tantos trinomios de la forma\(x^{2}+bx+c\) como permita el tiempo antes de pasar a la siguiente sección. Factorizar trinomios es una de las habilidades más importantes que aprendemos en este curso y debemos dominar.

Claves para llevar

• Factorizar un trinomio adivinando sistemáticamente qué factores dan dos binomios cuyo producto es el trinomio original.
• Si un trinomio de la forma\(x^{2}+bx+c\) factores en el producto de dos binomios, entonces el coeficiente del término medio es la suma de factores del último término.
• No todos los trinomios pueden ser factorizados como el producto de binomios con coeficientes enteros. En este caso, lo llamamos trinomio primo.
• El factoraje es una de las habilidades más importantes que se requieren en álgebra. Por esta razón, debes practicar trabajar tantos problemas como sea necesario para llegar a ser competente.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\) Factoring Trinomials with Leading Coefficient 1

¿Los siguientes son factorizados correctamente? Verificar multiplicando.

1. \(x^{2}+5x−6=(x+2)(x+3) \)
2. \(x^{2}+6x+16=(x+8)(x−2) \)
3. \(y^{2}+2y−8=(y+4)(y−2)\)
4. \(y^{2}−10y+21=(y−3)(y−7) \)
5. \(a^{2}−10a+25=(a−5)^{2}\)
6. \(a^{2}+6a+9=(a−3)^{2}\)
7. \(x^{2}+10x−25=(x+5)(x−5) \)
8. \(x^{2}+5x+14=(x−2)(x+7) \)
9. \(y^{2}+50y−600=(y+60)(y−10) \)
10. \(y^{2}−3y+2=(y−2)(y−1)\)

Contestar

1. No

3. Sí

5. Sí

7. No

9. Sí

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) Factoring Trinomials with Leading Coefficient 1

Factor.

1. \(x^{2}+6x+8 \)
2. \(x^{2}+4x+3 \)
3. \(x^{2}+3x+2 \)
4. \(x^{2}+x−2 \)
5. \(x^{2} + 3 x −10 \)
6. \(x^{ 2} − 2x −35 \)
7. \(x^{ 2} −13 x +12 \)
8. \(x^{ 2} −15 x +36 \)
9. \(x^{ 2} −12x +36 \)
10. \(x^{ 2} +18 x +81 \)
11. \(x^{ 2} − 2x + 1 \)
12. \(x^{ 2} −18 x +81 \)
13. \(x^{ 2} + 5 x + 5 \)
14. \(x^{ 2} − 4x + 6 \)
15. \(x^{ 2} −20x +91 \)
16. \(x^{ 2} +20x +91 \)
17. \(x^{ 2} − 2x −48 \)
18. \(x^{ 2} +16x +48 \)
19. \(x^{ 2} +22x +48 \)
20. \(x^{ 2} +22x −48 \)
21. \(y^{ 2} + 7y +12 \)
22. \(y^{ 2} + 8y −20 \)
23. \(y^{ 2} −16y +60 \)
24. \(y^{ 2} −31 y −32 \)
25. \(a^{ 2} −11 a −42 \)
26. \(a^{ 2} −14 a −51 \)
27. \(a^{ 2} +26 a +25 \)
28. \(a^{ 2} −22 a +120 \)
29. \(a^{ 2} + 4 a − 1 \)
30. \(a^{ 2} − 6 a + 2 \)
31. \(y^{ 2} −14x +40 \)
32. \(y^{ 2} − 4y −96\)
33. \(x^{ 2} − 2xy +y^{ 2}\)
34. \(x^{2}+2xy+y^{2}\)
35. \(x^{2}−16xy+15y^{2}\)
36. \(x^{2}−4xy−32y^{2}\)
37. \(x^{2}+2xy−15y^{2}\)
38. \(x^{2}−12xy+32y^{2}\)
39. \(x^{2}y^{2}−6xy+9\)
40. \(x^{2}y^{2}+25xy−26\)
41. \(a^{2}+4ab+4b^{2}\)
42. \(a^{2}−19ab−20b^{2}\)
43. \(a^{2}−ab−12b^{2}\)
44. \(a^{2}−10ab−56b^{2}\)
45. \(a^{2}b^{2}−2ab−15\)
46. \(a^{2}b^{2}−10ab+24\)
47. El área de un cuadrado viene dada por la función\(A(x)=x^{2}−14x+49\), donde\(x\) se mide en metros. Reescribe esta función en forma factorizada.
48. El área de un cuadrado viene dada por la función\(A(x)=x^{2}+16x+64\), donde\(x\) se mide en metros. Reescribe esta función en forma factorizada.

Contestar

1. \((x+2)(x+4)\)

3. \((x+1)(x+2)\)

5. \((x−2)(x+5)\)

7. \((x−1)(x−12)\)

9. \((x−6)^{2}\)

11. \((x−1)^{2}\)

13. Prime

15. \((x−7)(x−13)\)

17. \((x+6)(x−8) \)

19. Prime

21. \((y+3)(y+4)\)

23. \((y−6)(y−10)\)

25. \((a+3)(a−14)\)

27. \((a+1)(a+25)\)

29. Prime

31. \((y−10)(y−4)\)

33. \((x−y)^{2}\)

35. \((x−15y)(x−y)\)

37. \((x+5y)(x−3y)\)

39. \((xy−3)^{2}\)

41. \((a+2b)^{2}\)

43. \((a+3b)(a−4b)\)

45. \((ab+3)(ab−5)\)

45. \(A(x)=(x−7)^{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) Factor Using the AC Method

Factor usando el método AC.

1. \(x^{2}+5x−14 \)
2. \(x^{2}+2x−48 \)
3. \(x^{2}−9x+8 \)
4. \(x^{2}−14x+24 \)
5. \(x^{2}−x−72 \)
6. \(x^{2}−x−90 \)
7. \(y^{2}−8y+16 \)
8. \(y^{2}+16y+64\)
9. \(x^{2}+4x+12 \)
10. \(x^{2}+5x−8\)
11. \(x^{2}+3xy−18y2 \)
12. \(x^{2}−15xy+50y^{2}\)

Contestar

1. \((x+7)(x−2)\)

3. \((x−8)(x−1)\)

5. \((x−9)(x+8)\)

7. \((y−4)^{2}\)

9. Prime

11. \((x+6y)(x−3y)\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) Discussion Board Topics

1. Crea tu propio trinomio de la forma\(x^{2}+bx+c\) que factoriza. Compártelo junto con la solución en el panel de discusión.
2. Escribe tu propia lista de pasos para factorizar un trinomio del formulario\(x^{2}+bx+c\) y comparte tus pasos en el tablero de discusión.
3. Crear un trinomio que no factorice y compartirlo junto con una explicación de por qué no factoriza.

Contestar

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar