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6.6: Resolver ecuaciones por factorización

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    Objetivos de aprendizaje

    • Verificar soluciones a ecuaciones cuadráticas.
    • Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización.
    • Determinar una ecuación cuadrática con soluciones dadas.
    • Resolver ecuaciones polinómicas por factorización.

    Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización

    Aprender a resolver ecuaciones es uno de nuestros principales objetivos en álgebra. Hasta este punto, hemos resuelto ecuaciones lineales, que son de grado 1. En esta sección, aprenderemos una técnica que puede ser utilizada para resolver ciertas ecuaciones de grado 2. Una ecuación cuadrática es cualquier ecuación que se puede escribir en la forma estándar

    \[ax^{2}+bx+c=0\],

    donde\(a, b\), y\(c\) son números reales y\(a≠0\). A continuación se presentan algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas, todas las cuales se resolverán en esta sección:

    \(x^{2}+x-6=0\)

    \(4x^{2}-9=0\)

    \(2x^{2}+10x+20=-3x+5\)

    Una solución de una ecuación cuadrática en forma estándar se llama raíz. Las ecuaciones cuadráticas pueden tener dos soluciones reales, una solución real o ninguna solución real. La ecuación cuadrática\(x^{2}+x−6=0\) tiene dos soluciones, a saber,\(x=−3\) y\(x=2\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Verificar eso\(x=−3\) y\(x=2\) son soluciones para\(x^{2}+x−6=0\).

    Solución:

    Para verificar soluciones, sustituya los valores\(x\) y luego simplifique para ver si resulta una declaración verdadera.

    \(\begin{array} {r|r} {\color{Cerulean}{Check:}\color{black}{\:x=-3}}&{\color{Cerulean}{Check:}\color{black}{\:x=2}} \\ {x^{2}+x-6=0}&{x^{2}+x-6=0}\\{(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)^{2}+(}\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)-6=0}}&{(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)^{2}+(}\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)-6=0}}\\{9-3-6=0}&{4+2-6=0}\\{0=0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{0=0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

    Respuesta:

    Ambos valores producen declaraciones verdaderas. Por lo tanto, ambas son soluciones a la ecuación.

    Nuestro objetivo es desarrollar técnicas algebraicas para encontrar soluciones a ecuaciones cuadráticas. La primera técnica requiere la propiedad de cero producto:

    Si\(a\cdot b=0\), entonces\(a=0\) o\(b=0\)

    Es decir, si algún producto es igual a cero, entonces uno o ambos factores variables deben ser iguales a cero.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Resolver:

    \((x−8)(x+7)=0\).

    Solución:

    Esta ecuación consiste en un producto de dos cantidades iguales a cero; por lo tanto, se aplica la propiedad de cero producto. Una o ambas cantidades deben ser cero.

    \(\begin{array} {ccc} {(x-8)=0}&{\text{or}}&{(x+7)=0}\\{x-8\color{Cerulean}{+8}\color{black}{=0}\color{Cerulean}{+8}}&{}&{x+7\color{Cerulean}{-7}\color{black}{=0}\color{Cerulean}{-7}}\\{x=8}&{}&{x=-7} \end{array}\)

    Para verificar que se trata de soluciones, sustituirlas por la variable\(x\).

    \(\begin{array}{r|r} {\color{Cerulean}{Check:}\color{black}{\:x=8}}&{\color{Cerulean}{Check:}\color{black}{\:x=-7}}\\{(x-8)(x+7)=0}&{(x-8)(x+7)=0}\\{(8-8)(8+7)=0}&{(-7+8)(-7+7)=0}\\{(0)(15)=0}&{(1)(0)=0}\\{0=0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{0=0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

    Observe que cada solución produce un factor que es igual a cero.

    Respuesta:

    Las soluciones son\(8\) y\(−7\).

    La ecuación cuadrática puede no darse en su forma factorizada.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Resolver:

    \(x^{2}+3x−10=0\).

    Solución:

    El objetivo es producir un producto que sea igual a cero. Podemos hacerlo factorizando el trinomio en el lado izquierdo de la ecuación.

    \(\begin{array}{cc}{x^{2}+3x-10=0}&{}\\{(x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(x\quad}\color{Cerulean}{?}\color{black}{)=0}}&{\color{Cerulean}{-10=5(-2)}}\\{}&{\color{Cerulean}{and\: 3=5+(-2)}}\\{(x+5)(x-2)=0}&{} \end{array}\)

    A continuación, aplique la propiedad de cero producto y establezca cada factor igual a cero.

    \(x+5=0 \quad\text{or}\quad x-2=0\)

    Esto nos deja con dos ecuaciones lineales, cada una de las cuales se puede resolver para\(x\).

    \(\begin{array}{cc} {x+5\color{Cerulean}{-5}\color{black}{=0}\color{Cerulean}{-5}}&{x-2\color{Cerulean}{+2}\color{black}{=0}\color{Cerulean}{+2}}\\{x=-5}&{x=2} \end{array}\)

    Verifique las soluciones sustituyéndolas en la ecuación original para verificar que obtengamos declaraciones verdaderas.

    \(\begin{array}{r|r}{\color{Cerulean}{Check:}\color{black}{\:x=-5}}&{\color{Cerulean}{Check:}\color{black}{\:x=2}}\\{x^{2}+3x-10=0}&{x^{2}+3x-10=0}\\{(\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{)^{2}+3(}\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{)-10=0}}&{(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)^{2}+3(}\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)-10=0}}\\{25-15-10=0}&{4+6-10=0}\\{0=0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{0=0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

    Respuesta:

    Las soluciones son\(-5\) y\(2\).

    El uso de la propiedad de cero producto después de factorizar una ecuación cuadrática en forma estándar es la clave de esta técnica. Sin embargo, la ecuación cuadrática puede no darse en forma estándar, por lo que puede haber algunos pasos preliminares antes de factorizar. Los pasos requeridos para resolver por factorización se describen en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Resolver:

    \(2x^{2}+10x+20=−3x+5\).

    Solución:

    Paso 1: Exprese la ecuación cuadrática en forma estándar. Para que se aplique la propiedad zero product, la expresión cuadrática debe ser igual a cero. Utilice las propiedades de suma y resta de igualdad para combinar términos similares al lado opuesto y obtener cero en un lado de la ecuación. En este ejemplo,\(3x\) sumar y restar\(5\) de ambos lados.

    \(\begin{aligned} 2x^{2}+10x+20\color{Cerulean}{+3x}&\color{black}{=-3x+5}\color{Cerulean}{+3x} \\ 2x^{2}+13x+20&=5 \\ 2x^{2}+13x+20\color{Cerulean}{-5}&\color{black}{=5}\color{Cerulean}{-5} \\ 2x^{2}+13x+15&=0 \end{aligned}\)

    Paso 2: Factorizar la expresión cuadrática.

    \((2x+3)(x+5)=0\)

    Paso 3: Aplicar la propiedad de cero producto y establecer cada factor variable igual a cero.

    \(2x+3=0\quad\text{or}\quad x+5=0\)

    Paso 4: Resolver las ecuaciones lineales resultantes.

    \(\begin{array} {ccc} {2x+3=0}&{\text{or}}&{x+5=0}\\{2x=-3}&{}&{x=-5}\\{\frac{2x}{\color{Cerulean}{2}}\color{black}{=\frac{-3}{\color{Cerulean}{2}}}}&{}&{}\\{x=-\frac{3}{2}}&{}&{} \end{array}\)

    Respuesta:

    Las soluciones son\(-5\) y\(-\frac{3}{2}\). El cheque es opcional.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Resolver:

    \(9x^{2}+1=6x\).

    Solución:

    Escribe esto en forma estándar restando\ (6x\ de ambos lados.

    \(\begin{aligned} 9x^{2}+1\color{Cerulean}{-6x}&\color{black}{=6x}\color{Cerulean}{-6x} \\ 9x^{2}-6x+1&=0 \end{aligned}\)

    Una vez que la ecuación está en forma estándar, igual a cero, factor.

    \((3x-1)(3x-1)=0\)

    Este es un trinomio cuadrado perfecto. Por lo tanto, establecer cada factor igual a cero da como resultado una solución repetida.

    \(\begin{array}{ccc}{3x-1=0}&{\text{or}}&{3x-1=0}\\{3x=1}&{}&{3x=1}\\{x=\frac{1}{3}}&{}&{x=\frac{1}{3}}\\ \end{array}\)

    Una solución repetida se llama doble raíz y no tiene que escribirse dos veces.

    Respuesta:

    La solución es\(\frac{1}{3}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Resolver:

    \(x^{2}−3x=28\).

    Responder

    \(x=−4\)o\(x=7\)

    No todas las ecuaciones cuadráticas en forma estándar son trinomios. A menudo nos encontramos con binomios.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Resolver:

    \(x^{2}−9=0\).

    Solución:

    Esta ecuación cuadrática se da en forma estándar, donde el binomio del lado izquierdo es una diferencia de cuadrados. Factor de la siguiente manera:

    \(\begin{aligned} x^{2}-9&=0 \\ (x+3)(x-3)&=0 \end{aligned}\)

    A continuación, establezca cada factor igual a cero y resuelva.

    \(\begin{array}{ccc}{x+3=0}&{\text{or}}&{x-3=0}\\{x=-3}&{}&{x=3}\end{array}\)

    Respuesta:

    Las soluciones son\(3\) y\(−3\), que también se pueden escribir como\(±3\).

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Resolver:

    \(5x^{2}=15x\)

    Solución:

    Por inspección, vemos que\(x=0\) es una solución a esta ecuación cuadrática. Dado que dividir por cero no está definido, queremos evitar dividir ambos lados de esta ecuación por\(x\). En general, deseamos evitar dividir ambos lados de cualquier ecuación por una variable o una expresión que contenga una variable. Discutiremos esto con más detalle más adelante. El primer paso es reescribir esta ecuación en forma estándar con cero en un lado.

    \(\begin{aligned} 5x^{2}&=15x \\ 5x^{2}\color{Cerulean}{-15x}&\color{black}{=15x}\color{Cerulean}{-15x\quad Subtract\:15x\:from\:both\:sides.} \\ 5x^{2}-15x&=0 \end{aligned}\)

    A continuación, factorizar la expresión. Observe que el binomio de la izquierda tiene un GCF de\(5x\).

    \(\begin{aligned} 5x^{2}-15x&=0\\5x(x-3)&=0 \end{aligned}\)

    Establezca cada factor como igual a cero.

    \(\begin{array}{ccc}{5x=0}&{\text{or}}&{x-3=0}\\{\frac{5x}{\color{Cerulean}{5}}\color{black}{=\frac{0}{\color{Cerulean}{5}}}}&{}&{x=3}\\{x=0}&{}&{} \end{array}\)

    Respuesta:

    Las soluciones son\(0\) y\(3\).

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    Resolver:

    \((2x+1)(x+5)=11\).

    Solución:

    Esta ecuación cuadrática parece ser factorizada; por lo tanto, podría ser tentador establecer cada factor igual a\(11\). Sin embargo, esto conduciría a resultados incorrectos. Debemos reescribir la ecuación en forma estándar, igual a cero, para que podamos aplicar la propiedad zero product.

    \(\begin{aligned}(2x+1)(x+5)&=11 \\ 2x^{2}+10x+x+5&=11 \\ 2x^{2}+11x+5\color{Cerulean}{-11}&\color{black}{=11}\color{Cerulean}{-11}\\2x^{2}+11x-6&=0 \end{aligned}\)

    Una vez que está en forma estándar, podemos factorizar y luego establecer cada factor igual a cero.

    \((2x-1)(x+6)=0\)

    \(\begin{array}{ccc}{2x-1=0}&{\text{or}}&{x+6=0}\\{2x=1}&{}&{x=-6}\\{x=\frac{1}{2}}&{}&{} \end{array}\)

    Respuesta:

    Las soluciones son\(\frac{1}{2}\) y\(-6\).

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    Resolver:

    \(15x^{2}−25x+10=0\).

    Solución:

    Comenzamos por factorizar el GCF de\(5\). Luego factorizar el trinomio resultante.

    \(\begin{aligned} 15x^{2}-25x+10&=0 \\ 5(3x^{2}-5x+2)&=0\\5(3x-2)(x-1)&=0 \end{aligned}\)

    A continuación, establecemos cada factor variable igual a cero y resolvemos para\(x\).

    \(\begin{array}{ccc} {3x-2=0}&{\text{or}}&{x-1=0}\\{3x=2}&{}&{x=1}\\{x=\frac{2}{3}}&{}&{} \end{array}\)

    Observe que el factor no\(5\) es un factor variable y por lo tanto no contribuyó al conjunto de soluciones.

    Respuesta:

    Las soluciones son\(\frac{2}{3}\) y\(1\).

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    Factor:

    \(52x^{2}+76x−13=0\).

    Solución:

    Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD, que es igual a\(6\).

    \(\begin{aligned} \frac{5}{2}x^{2}+\frac{7}{6}x-\frac{1}{3}&=0 \\ \color{Cerulean}{6}\color{black}{\cdot} \left( \frac{5}{2}x^{2}+\frac{7}{6}x-\frac{1}{3} \right) &=\color{Cerulean}{6}\color{black}{\cdot (0)} \\ 15x^{2}+7x-2&=0 \end{aligned}\)

    En este punto, tenemos una ecuación equivalente con coeficientes enteros y podemos factorizar como de costumbre. Comience con los factores de\(15\) y\(2\).

    \(\begin{array}{cc}{15=1\cdot 15}&{2=1\cdot 2} \\ {=3\cdot 5}&{} \end{array}\)

    El coeficiente del término medio es\(7=3(−1)+5(2)\). Factor de la siguiente manera:

    \(\begin{aligned} 15x^{2}+7x-2&=0 \\ (3x+2)(5x-1)&=0 \end{aligned}\)

    Establezca cada factor igual a cero y resuelva.

    \(\begin{array}{ccc}{3x+2=0}&{\text{or}}&{5x-1=0}\\{3x=-2}&{}&{5x=1}\\{x=-\frac{2}{3}}&{}&{x=\frac{1}{5}} \end{array}\)

    Respuesta:

    Las soluciones son\(-\frac{2}{3}\) y\(\frac{1}{5}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Resolver:

    \(4x^{2}-9=0\).

    Responder

    \(-\frac{3}{2}\)y\(\frac{3}{2}\)

    Encontrar ecuaciones con soluciones dadas

    La propiedad de producto cero establece,

    Si\(a\cdot b=0\), entonces\(a=0\) o\(b=0\)

    Y, de hecho, lo contrario también es cierto:

    Si\(a=0\) o\(b=0\), entonces\(ab=0\)

    Cuando este es el caso, podemos escribir lo siguiente:

    \(a\cdot b =0\), si y sólo si\(a=0\) o\(b=0\)

    Utilizamos esta propiedad para encontrar ecuaciones, dadas las soluciones. Para ello, los pasos para resolver por factorización se realizan a la inversa.

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

    Encuentre una ecuación cuadrática con soluciones\(−7\) y\(2\).

    Solución:

    Dadas las soluciones, podemos determinar dos factores lineales.

    \(\begin{array} {ccc}{x=-7}&{\text{or}}&{x=2}\\{x+7=0}&{}&{x-2=0} \end{array}\)

    El producto de estos factores lineales es igual a cero cuando\(x=-7\) o\(x=2\):

    \((x+7)(x-2)=0\)

    Multiplicar los binomios y presentar la ecuación en forma estándar.

    \(\begin{aligned} x^{2}-2x+7x-14&=0 \\ x^{2}+5x-14&=0 \end{aligned}\)

    Respuesta:

    \(x^{2}+5x-14=0\).

    Podemos verificar nuestra ecuación sustituyendo las respuestas dadas para ver si obtenemos una declaración verdadera. Además, la ecuación encontrada anteriormente no es única y así el cheque se vuelve esencial cuando nuestra ecuación se ve diferente a la de otra persona, esto se deja como un ejercicio.

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

    Encontrar una ecuación cuadrática con coeficientes enteros, dadas soluciones\(\frac{1}{2}\) y\(−\frac{3}{4}\).

    Solución:

    Para evitar coeficientes fraccionarios, primero limpiamos las fracciones multiplicando ambos lados por el denominador.

    \(\begin{array} {ccc}{x=\frac{1}{2}}&{\text{or}}&{x=-\frac{3}{4}}\\{\color{Cerulean}{2}\color{black}{\cdot x =}\color{Cerulean}{2}\color{black}{\cdot \frac{1}{2}}}&{}&{\color{Cerulean}{4}\color{black}{\cdot x = -\frac{3}{4}\cdot}\color{Cerulean}{4}}\\{2x=1}&{}&{4x=-3}\\{2x-1=0}&{}&{4x+3=0} \end{array}\)

    Aplicar la propiedad de cero producto y multiplicar.

    \(\begin{aligned} (2x-1)(4x+3)&=0 \\ 8x^{2}+6x-4x-3&=0 \\ 8x^{2}+2x-3&=0 \end{aligned}\)

    Respuesta:

    \(8x^{2}+2x-3=0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Encontrar una ecuación cuadrática con coeficientes enteros, dadas soluciones\(−1\) y\(\frac{2}{3}\).

    Responder

    \(3x^{2}+x-2=0\)

    Resolver ecuaciones polinomiales por factorización

    La propiedad de producto cero es verdadera para cualquier número de factores que componen una ecuación. Si una expresión es igual a cero y se puede factorizar en factores lineales, entonces podremos establecer cada factor igual a cero y resolver para cada ecuación.

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

    Resolver:

    \(3x(x−5)(3x−2)=0\).

    Solución:

    Establezca cada factor variable igual a cero y resuelva.

    \(\begin{array}{ccccc} {3x=0}&{\text{or}}&{x-5=0}&{\text{or}}&{3x-2=0}\\{\frac{3x}{\color{Cerulean}{3}}\color{black}{=\frac{0}{\color{Cerulean}{3}}}}&{}&{x=5}&{}&{\frac{3x}{\color{Cerulean}{3}}\color{black}{=\frac{2}{\color{Cerulean}{3}}}}\\{x=0}&{}&{}&{}&{x=\frac{2}{3}}\end{array}\)

    Respuesta:

    Las soluciones son\(0, 5\), y\(\frac{2}{3}\).

    Por supuesto, no podemos esperar que la ecuación se dé en forma factorizada.

    Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

    Resolver:

    \(x^{3}+2x^{2}−9x−18=0\).

    Solución

    Comience factorizando completamente el lado izquierdo.

    \(\begin{array}{rl} {x^{3}+2x^{2}-9x-18=0}&{\color{Cerulean}{Factor\:by\:grouping.}}\\{x^{2}(x+2)-9(x+2)=0}&{}\\{(x+2)(x^{2}-9)=0}&{\color{Cerulean}{Factor\:as\:a\:difference\:of\:squares.}}\\{(x+2)(x+3)(x-3)=0}&{} \end{array}\)

    Establezca cada factor igual a cero y resuelva.

    \(\begin{array} {ccccc}{x+2=0}&{\text{or}}&{x+3=0}&{\text{or}}&{x-3=0}\\{x=-2}&{}&{x=-3}&{}&{x=3} \end{array}\)

    Respuesta:

    Las soluciones son\(-2, -3\), y\(3\).

    Observe que el grado del polinomio es\(3\) y obtuvimos tres soluciones. En general, para cualquier ecuación polinómica con una variable de grado\(n\), el teorema fundamental del álgebra garantiza soluciones\(n\) reales o menos. Hemos visto que muchos polinomios no factorizan. Esto no implica que las ecuaciones que involucran a estos polinomios infactoriables no tengan soluciones reales. De hecho, muchas ecuaciones polinómicas que no factorizan sí tienen soluciones reales. Aprenderemos a resolver este tipo de ecuaciones a medida que continuemos en nuestro estudio del álgebra.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Resolver:

    \(−10x^{3}−18x^{2}+4x=0\).

    Responder

    \(−2, 0, \frac{1}{5}\)

    Claves para llevar

    • Un polinomio puede tener como máximo un número de soluciones igual a su grado. Por lo tanto, las ecuaciones cuadráticas pueden tener hasta dos soluciones reales.
    • Para resolver una ecuación cuadrática, primero escríbela en forma estándar. Una vez que la expresión cuadrática es igual a cero, factorizarlo y luego establecer cada factor variable igual a cero. Las soluciones a las ecuaciones lineales resultantes son las soluciones a la ecuación cuadrática.
    • No todas las ecuaciones cuadráticas pueden resolverse factorizando. Aprenderemos a resolver ecuaciones cuadráticas que no factorizan más adelante en el curso.
    • Para encontrar una ecuación cuadrática con soluciones dadas, realice el proceso de resolución factorizando a la inversa.
    • Si algún polinomio se factoriza en factores lineales y se establece en cero, entonces podemos determinar las soluciones estableciendo cada factor variable igual a cero y resolviendo cada uno individualmente.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\) Solutions to Quadratic Equations

    Determinar si el conjunto de valores dado son soluciones a la ecuación cuadrática.

    1. \({−3, 5}; x^{2}−2x−15=0\)
    2. \({7, −1}; x^{2}−6x−7=0\)
    3. \({−\frac{1}{2}, \frac{1}{2} }; x^{2}−14=0\)
    4. \({−\frac{3}{4}, \frac{3}{4} }; x^{2}−916=0\)
    5. \({−3, 2}; x^{2}−x−6=0\)
    6. \({−5, 1}; x^{2}−4x−5=0\)
    Responder

    1. Sí

    3. Sí

    5. No

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\) Solutions to Quadratic Equations

    Resolver.

    1. \((x−3)(x+2)=0\)
    2. \((x+5)(x+1)=0\)
    3. \((2x−1)(x−4)=0\)
    4. \((3x+1)(3x−1)=0\)
    5. \((x−2)^{2}=0\)
    6. \((5x+3)^{2}=0\)
    7. \(7x(x−5)=0\)
    8. \(-2x(2x−3)=0\)
    9. \((x−12)(x+34)=0\)
    10. \((x+58)(x−38)=0\)
    11. \((14x+12)(16x−23)=0\)
    12. \((15x−3)^{2}=0\)
    13. \(−5(x+1)(x−2)=0\)
    14. \(12(x−7)(x−6)=0\)
    15. \((x+5)(x−1)=0\)
    16. \((x+5)(x+1)=0\)
    17. \(−2(3x−2)(2x+5)=0\)
    18. \(5(7x−8)^{2}=0\)
    Responder

    1. \(−2, 3\)

    3. \(\frac{1}{2}, 4\)

    5. \(2\)

    7. \(0, 5\)

    9. \(−\frac{3}{4}, \frac{1}{2}\)

    11. \(−2, 4\)

    13. \(−1, 2\)

    15. \(−5, 1\)

    17. \(−\frac{5}{2}, \frac{2}{3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\) Solve by Factoring

    Resolver.

    1. \(x^{2}−x−6=0\)
    2. \(x^{2}+3x−10=0\)
    3. \(y^{2}−10y+24=0\)
    4. \(y^{2}+6y−27=0\)
    5. \(x^{2}−14x+40=0\)
    6. \(x^{2}+14x+49=0\)
    7. \(x^{2}−10x+25=0\)
    8. \(3x^{2}+2x−1=0\)
    9. \(5x^{2}−9x−2=0\)
    10. \(7y^{2}+20y−3=0\)
    11. \(9x^{2}−42x+49=0\)
    12. \(25x^{2}+30x+9=0\)
    13. \(2y^{2}+y−3=0\)
    14. \(7x^{2}−11x−6=0\)
    15. \(2x^{2}=−15x+8\)
    16. \(8x−5=3x^{2}\)
    17. \(x^{2}−36=0\)
    18. \(x^{2}−100=0\)
    19. \(4x^{2}−81=0\)
    20. \(49x^{2}−4=0\)
    21. \(x^{2}=4\)
    22. \(9y^{2}=1\)
    23. \(16y^{2}=25\)
    24. \(36x^{2}=25\)
    25. \(4x^{2}−36=0\)
    26. \(2x^{2}−18=0\)
    27. \(10x^{2}+20x=0\)
    28. \(−3x^{2}+6x=0\)
    29. \(25x^{2}=50x\)
    30. \(x^{2}=0\)
    31. \((x+1)^{2}−25=0\)
    32. \((x−2)^{2}−36=0\)
    33. \(5x(x−4)=−4+x\)
    34. \((x−1)(x−10)=22\)
    35. \((x−3)(x−5)=24\)
    36. \(−2x(x−9)=x+21\)
    37. \((x+1)(6x+1)=2x\)
    38. \((x−2)(x+12)=15x\)
    39. \((x+1)(x+2)=2(x+16)\)
    40. \((x−9)(2x+3)=2(x−9)\)
    Responder

    1. \(−2, 3\)

    3. \(4, 6\)

    5. \(4, 10\)

    7. \(5\)

    9. \(−\frac{1}{5}, 2\)

    11. \(\frac{7}{3}\)

    13. \(−\frac{3}{2}, 1\)

    15. \(−8, \frac{1}{2}\)

    17. \(−6, 6\)

    19. \(−\frac{9}{2}, \frac{9}{2}\)

    21. \(−2, 2\)

    23. \(−\frac{5}{4}, \frac{5}{4}\)

    25. \(−3, 3\)

    27. \(−2, 0\)

    29. \(0, 2\)

    31. \(−6, 4\)

    33. \(\frac{1}{5}, 4\)

    35. \(−1, 9\)

    37. \(−\frac{1}{2}, −\frac{1}{3}\)

    39. \(−6, 5\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\) Solve by Factoring

    Despeja las fracciones multiplicando primero ambos lados por la LCD y luego resuelva.

    1. \(115x^{2}+13x+25=0\)
    2. \(114x^{2}−12x+37=0\)
    3. \(32x^{2}−23=0\)
    4. \(52x^{2}−110=0\)
    5. \(314x^{2}−212=0\)
    6. \(13x^{2}−15x=0\)
    7. \(132x^{2}−12x+2=0\)
    8. \(13x^{2}+56x−12=0\)
    9. Los lados de un cuadrado miden\(x + 3\) unidades. Si el área es unidades\(25\) cuadradas, entonces encuentra\(x\).
    10. La altura de un triángulo es\(2\) unidades más que su base. Si el área es unidades\(40\) cuadradas, entonces encuentra la longitud de la base.
    11. Los lados de un triángulo rectángulo tienen medidas que son números enteros consecutivos. Encuentra la longitud de la hipotenusa. (Pista: La hipotenusa es el lado más largo. Aplicar el teorema de Pitágoras.)
    12. El beneficio en dólares generado por la producción y venta de lámparas\(x\) personalizadas viene dado por la función\(P(x)=−10x^{2}+800x−12000\). ¿Cuántas lámparas deben venderse y producirse para que se rompan? (Pista: Rompemos el par cuando la ganancia es cero.)
    Responder

    1. \(−3, −2\)

    3. \(−\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\)

    5. \(±7\)

    7. \(8\)

    9. \(2\)unidades

    11. \(5\)unidades

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\) Solve by Factoring

    Suponiendo condiciones de carretera seca y tiempos de reacción promedio, la distancia de parada segura,\(d\) en pies de un automóvil promedio se da usando la fórmula\(d=120v^{2}+v\), donde\(v\) representa la velocidad del automóvil en millas por hora. Para cada problema a continuación, dada la distancia de frenado, determine la velocidad segura.

    1. \(15\)pies
    2. \(40\)pies
    3. \(75\)pies
    4. \(120\)pies
    Responder

    1. \(10\)millas por hora

    3. \(30\)millas por hora

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\) Finding Equations with Given Solutions

    Encuentra una ecuación cuadrática con coeficientes enteros, dadas las siguientes soluciones.

    1. \(−3, 1\)
    2. \(−5, 3\)
    3. \(−10, −3\)
    4. \(−7, −4\)
    5. \(−1, 0\)
    6. \(0, \frac{3}{5}\)
    7. \(−2, 2\)
    8. \(−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\)
    9. \(−4, \frac{1}{3}\)
    10. \(\frac{2}{3}, \frac{2}{5}\)
    11. \(−\frac{1}{5}, −\frac{2}{3}\)
    12. \(−\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\)
    13. \(3\), raíz doble
    14. \(−5\), raíz doble
    Responder

    1. \(x^{2}+2x−3=0\)

    3. \(x^{2}+13x+30=0\)

    5. \(x^{2}+x=0\)

    7. \(x^{2}−4=0\)

    9. \(3x^{2}+11x−4=0\)

    11. \(15x^{2}+13x+2=0\)

    13. \(x^{2}−6x+9=0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\) Solving Polynomial Equations

    Resolver.

    1. \(7x(x+5)(x−9)=0\)
    2. \((x−1)(x−2)(x−3)=0\)
    3. \(−2x(x−10)(x−1)=0\)
    4. \(8x(x−4)^{2}=0\)
    5. \(4(x+3)(x−2)(x+1)=0\)
    6. \(−2(3x+1)(3x−1)(x−1)(x+1)=0\)
    7. \(x^{3}−x^{2}−2x=0\)
    8. \(2x^{3}+5x^{2}−3x=0\)
    9. \(5x^{3}−15x^{2}+10x=0\)
    10. \(−2x^{3}+2x^{2}+12x=0\)
    11. \(3x^{3}−27x=0\)
    12. \(−2x^{3}+8x=0\)
    13. \(x^{3}+x^{2}−x−1=0\)
    14. \(x^{3}+2x^{2}−16x−32=0\)
    15. \(8x^{3}−4x^{2}−18x+9=0\)
    16. \(12x^{3}=27x\)
    Responder

    1. \(−5, 0, 9 \)

    3. \(0, 1, 10 \)

    5. \(−3, −1, 2\)

    7. \(−1, 0, 2\)

    9. \(0, 1, 2\)

    11. \(−3, 0, 3\)

    13. \(−1, 1\)

    15. \(−\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\) Discussion Board Topics

    1. \(2(x+5)(x−5)=0\)Explique por qué tiene dos soluciones y\(2x(x+5)(x−5)=0\) tiene tres soluciones.
    2. Crea tu propia ecuación cuadrática y publícala y las soluciones en el panel de discusión.
    3. Explique, en sus propias palabras, cómo resolver una ecuación cuadrática en forma estándar.
    Responder

    1. Las respuestas pueden variar

    3. Las respuestas pueden variar

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