6.7: Aplicaciones que involucran ecuaciones cuadráticas

Objetivos de aprendizaje

• Configurar y resolver aplicaciones que involucren relaciones entre números reales.
• Configurar y resolver aplicaciones que involucren relaciones geométricas que involucran área y el teorema de Pitágoras.
• Configurar y resolver aplicaciones que involucren la altura de los proyectiles.

Problemas numéricos

Las configuraciones algebraicas de los problemas verbales que hemos encontrado anteriormente condujeron a ecuaciones lineales. Cuando traducimos las aplicaciones a configuraciones algebraicas en esta sección, las configuraciones conducen a ecuaciones cuadráticas. Al igual que antes, queremos evitar confiar en el método de “adivinar y verificar” para resolver aplicaciones. El uso del álgebra para resolver problemas simplifica el proceso y es más confiable.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Un entero es\(4\) menos de dos veces otro entero, y su producto es\(96\). Configurar una ecuación algebraica y resolverla para encontrar los dos enteros.

Solución:

Primero, identificar las variables. Evite dos variables usando la relación entre las dos incógnitas.

Figura\(\PageIndex{1}\)

La frase clave, “su producto es”\(96\), indica que debemos multiplicar y establecer el producto igual a\(96\).

\(n\cdot (2n-4)=96\)

Una vez que tenemos el problema traducido a una ecuación matemática, entonces resolvemos. En este caso, podemos resolver factorizando. El primer paso es escribir la ecuación en forma estándar:

\(\begin{array} {cc} {n\cdot (2n-4)=96}&{\color{Cerulean}{Distribute\:n.}}\\{2n^{2}-4n=96}&{\color{Cerulean}{Subtract\:96\:from\:both\:sides.}}\\{2n^{2}-4n-96=0}&{} \end{array}\)

A continuación, factorizar completamente y establecer cada factor variable igual a cero.

\(\begin{array}{cc}{2n^{2}-4n-96=0}&{\color{Cerulean}{Factor\:out\:the\:GCF,\:2.}}\\{2(n^{2}-2n-48)=0}&{\color{Cerulean}{Factor\:the\:resulting\:trinomial.}}\\{2(n+6)(n-8)=0}&{\color{Cerulean}{Set\:each\:variable\:factor\:equal\:to\:zero.}} \end{array}\)

\(\begin{array}{ccc}{n+6=0}&{\text{or}}&{n-8=0}\\{n=-6}&{}&{n=8} \end{array}\)

El problema exige dos enteros cuyo producto es\(+96\). El producto de dos números positivos es positivo y el producto de dos números negativos es positivo. De ahí que podamos tener dos conjuntos de soluciones. Utilízalo\(2n−4\) para determinar los otros números enteros.

\(\begin{array} {cc} {n=-6}&{n=8}\\{2n-4=2(\color{OliveGreen}{-6}\color{black}{)-4}}&{2n-4=2(\color{OliveGreen}{8}\color{black}{)-4}}\\{=-12-4}&{=16-4}\\{=-16}&{=12} \end{array}\)

Respuesta:

Dos conjuntos de enteros resuelven este problema: {\(8, 12\)} y {\(−6, −16\)}. Observe eso\((8)(12) = 96\) y\((−6)(−16) = 96\); nuestras soluciones check out.

Con ecuaciones cuadráticas, a menudo obtenemos dos soluciones para lo desconocido identificado. Si bien puede darse el caso de que ambas sean soluciones a la ecuación, puede que no sean soluciones al problema. Si una solución no resuelve la aplicación original, entonces la ignoramos.

Recordemos que los enteros impares e impares consecutivos ambos están separados por dos unidades.

Figura\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

El producto de dos enteros impares positivos consecutivos es\(99\). Encuentra los enteros.

Solución:

Let\(n\) representa el primer entero impar positivo.

Let\(\color{OliveGreen}{n+2}\) representa el siguiente entero impar positivo.

La fase clave, “producto... es 99”, indica que debemos multiplicar y establecer el producto igual a\(99\).

\(n\cdot (n+2)=99\)

Reescribe la ecuación cuadrática en forma estándar y resuelve factorizando.

\(\begin{aligned} n^{2}+2n&=99 \\ n^{2}+2n-99&=0 \\ (n-9)(n+11)&=0 \end{aligned}\)

\(\begin{array}{ccc}{n-9=0}&{\text{or}}&{n+11=0}\\{n=9}&{}&{n=-11} \end{array}\)

Porque el problema pide enteros positivos,\(n=9\) es la única solución. Volver sustituto para determinar el siguiente entero impar.

\(\begin{aligned} n+2&=\color{OliveGreen}{9}\color{black}{+2} \\ &=11 \end{aligned}\)

Respuesta:

Los enteros impares positivos consecutivos son\(9\) y\(11\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Dados dos enteros impares positivos consecutivos, el producto del mayor y el doble del menor es igual a\(70\). Encuentra los enteros.

Solución:

Let\(n\) representa el número entero impar positivo más pequeño.

Let\(n+2\) representa el siguiente entero impar positivo.

La frase clave “dos veces la más pequeña” se puede traducir a\(2n\). La frase “producto... es 70” indica que debemos multiplicar esto por el entero impar más grande y establecer el producto igual a\(70\).

\((n+2)\cdot 2n=70\)

Resolver factorizando.

\(\begin{array}{cc}{(n+2)\cdot 2n=70}&{\color{Cerulean}{Distribute.}}\\{2n^{2}+4n=70}&{\color{Cerulean}{Subtract\:70\:from\:both\:sides.}}\\{2n^{2}+4n-70=0}&{\color{Cerulean}{Factor\:out\:the\:GCF,\:2.}}\\{2(n^{2}+2n-35)=0}&{\color{Cerulean}{Factor\:the\:resulting\:trinomial.}}\\{2(n-5)(n+7)=0}&{\color{Cerulean}{Set\:each\:variable\:factor\:equal\:to\:zero.}} \end{array}\)

\(\begin{array}{ccc}{n-5=0}&{\text{or}}&{n+7=0}\\{n=5}&{}&{n=-7} \end{array}\)

Porque el problema pide enteros positivos,\(n=5\) es la única solución.

Volver a sustituir en\(n + 2\) para determinar el siguiente entero impar.

\(\begin{aligned} n+2&=\color{OliveGreen}{5}\color{black}{+2}\\&=7 \end{aligned}\)

Respuesta:

Los enteros impares positivos son\(5\) y\(7\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

El producto de dos enteros pares positivos consecutivos es\(168\). Encuentra los enteros.

Contestar

Los enteros pares positivos son\(12\) y\(14\).

Problemas de Geometría

Cuando se trabaja con problemas de geometría, es útil dibujar una imagen. A continuación se presentan algunas fórmulas de área que se espera que conozca. (Recordemos eso\(π≈3.14\).)

Mesa\(\PageIndex{1}\)

Área de un rectángulo:	\(A=l\cdot w\)
Área de un cuadrado:	\(A=s^{2}\)
Área de un triángulo:	\(A=\frac{1}{2}bh\)
Área de un círculo:	\(A=\pi r^{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

El piso de una habitación rectangular tiene una longitud que es\(4\) pies más del doble de su ancho. Si el área total del piso es de pies\(240\) cuadrados, entonces encuentra las dimensiones del piso.

Solución:

Figura\(\PageIndex{3}\)

Usa la fórmula\(A=l⋅w\) y el hecho de que el área es de pies\(240\) cuadrados para establecer una ecuación algebraica.

\(\begin{aligned} A&=l\cdot w \\ \color{OliveGreen}{240}&\color{black}{=(}\color{OliveGreen}{2w+4}\color{black}{)\cdot w} \end{aligned}\)

Resolver factorizando.

\(\begin{array} {ccc} {w-10=0}&{\text{or}}&{w+12=0} \\{w=10}&{}&{w=-12} \end{array}\)

En este punto tenemos dos posibilidades para el ancho del rectángulo. Sin embargo, dado que no se define un ancho negativo, elija la solución positiva,\(w=10\). Volver sustituto para encontrar la longitud.

\(\begin{aligned} 2w+4&=2(\color{OliveGreen}{10}\color{black}{)+4} \\ &=20+4 \\ &=24 \end{aligned}\)

Respuesta:

El ancho es\(10\) pies y el largo es\(24\) pies.

Es importante incluir las unidades correctas en la presentación final de la respuesta. En el ejemplo anterior, no tendría mucho sentido decir que el ancho es\(10\). Asegúrese de indicar que el ancho es\(10\) pies.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

La altura de un triángulo es\(3\) pulgadas menos del doble de la longitud de su base. Si el área total del triángulo es de pulgadas\(7\) cuadradas, entonces encuentra las longitudes de la base y la altura.

Solución:

Figura\(\PageIndex{4}\)

Usa la fórmula\(A=\frac{1}{2}bh\) y el hecho de que el área es pulgadas\(7\) cuadradas para establecer una ecuación algebraica.

\(\begin{aligned} A&=\frac{1}{2} b\cdot h \\ \color{OliveGreen}{7}&\color{black}{=\frac{1}{2}b(\color{OliveGreen}{2b-3}\color{black}{)}} \end{aligned}\)

Para evitar coeficientes fraccionarios, multiplique ambos lados por\(2\) y luego reescriba la ecuación cuadrática en forma estándar.

Factor y luego establecer cada factor igual a cero.

\(\begin{array}{ccc}{2b-7=0}&{\text{or}}&{b+2=0}\\{2b=7}&{}&{b=-2}\\{b=\frac{7}{2}}&{}&{} \end{array}\)

En este caso, desprecie la respuesta negativa; la longitud de la base es de\(\frac{7}{2}\) pulgadas de largo. Se usa\(2b−3\) para determinar la altura del triángulo.

Respuesta:

La base mide\(\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}\) pulgadas y la altura es\(4\) pulgadas.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

La base de un triángulo es\(5\) unidades menores al doble de la altura. Si el área es unidades\(75\) cuadradas, entonces ¿cuál es la longitud de la base y la altura?

Contestar

La altura es\(10\) unidades y la base es\(15\) unidades.

Recordemos que un triángulo rectángulo es un triángulo donde uno de los ángulos mide\(90\)°. El lado opuesto al ángulo recto es el lado más largo del triángulo y se llama hipotenusa. El teorema de Pitágoras nos da una relación entre las piernas y la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo, donde\(a\) y\(b\) son las longitudes de las piernas y\(c\) es la longitud de la hipotenusa:

Figura\(\PageIndex{5}\)

Dadas ciertas relaciones, utilizamos este teorema a la hora de determinar las longitudes de los lados de los triángulos rectos.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

La hipotenusa de un triángulo rectángulo es\(10\) pulgadas. Si la pierna corta es\(2\) pulgadas menos que la pierna larga, entonces encuentra las longitudes de las piernas.

Solución:

Figura\(\PageIndex{6}\)

Dado que la hipotenusa mide\(10\) pulgadas, sustituya su valor en el teorema de Pitágoras y obtenga una ecuación cuadrática en términos de\(x\).

\(\begin{aligned} a^{2}+b^{2}&=c^{2} \\ (\color{OliveGreen}{x-2}\color{black}{)^{2}+}\color{OliveGreen}{x}\color{black}{^{2}}&=\color{OliveGreen}{10}\color{black}{^{2}} \end{aligned}\)

Multiplicar y reescribir la ecuación en forma estándar.

\(\begin{aligned} (x-2)^{2}+x^{2}&=10^{2} \\ x^{2}-4x+4+x^{2}&=100 \\ 2x^{2}-4x-96&=0 \end{aligned}\)

Una vez que esté en forma estándar, factorizar y establecer cada factor variable igual a cero.

\(\begin{aligned} 2x^{2}-4x-96&=0\\ 2(x^{2}-2x-48)&=0 \\ 2(x+6)(x-8)&=0 \end{aligned}\)

\(\begin{array}{ccc}{x+6=0}&{\text{or}}&{x-8=0}\\{x=-6}&{}&{x=8} \end{array}\)

Debido a que las longitudes no pueden ser negativas, despreciar la respuesta negativa. En este caso, la pierna larga mide\(8\) pulgadas. Se usa\(x−2\) para determinar la longitud de la pierna corta.

\(\begin{aligned} x-2&=\color{OliveGreen}{8}\color{black}{-2} \\ &=6 \end{aligned}\)

Respuesta:

La pierna corta mide\(6\) pulgadas y la pierna larga mide\(8\) pulgadas.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Una pata de un triángulo rectángulo mide\(3\) centímetros. La hipotenusa del triángulo rectángulo mide\(3\) centímetros menos del doble de la longitud de la pierna desconocida. Encuentra la medida de todos los lados del triángulo.

Solución:

Figura\(\PageIndex{7}\)

Para establecer una ecuación algebraica, utilizamos el teorema de Pitágoras.

\(\begin{aligned} a^{2}+b^{2}&=c^{2} \\ \color{OliveGreen}{3}\color{black}{^{2}+}\color{OliveGreen}{x}\color{black}{^{2}}&=(\color{OliveGreen}{2x-3}\color{black}{)^{2}} \end{aligned}\)

Resolver factorizando.

\(\begin{aligned} 3^{2}+x^{2}&=(2x-3)^{2} \\ 9+x^{2}&=4x^{2}-12x+9 \\ 0&=3x^{2}-12x \\ 0&=3x(x-4) \end{aligned}\)

\(\begin{array}{ccc}{3x=0}&{\text{or}}&{x-4=0}\\{x=0}&{}&{x=4} \end{array}\)

No tener en cuenta\(0\). La longitud de la pierna desconocida es de\(4\) centímetros. Utilizar\(2x−3\) para determinar la longitud de la hipotenusa.

Respuesta:

Los lados del triángulo miden\(3\) centímetros,\(4\) centímetros y\(5\) centímetros.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide\(13\) unidades. Si una pierna es\(2\) unidades más del doble que la de la otra, entonces encuentra la longitud de cada pierna.

Contestar

Las dos patas miden\(5\) unidades y\(12\) unidades.

Problemas de proyectiles

La altura de un objeto lanzado hacia arriba, ignorando los efectos de la resistencia al aire, se puede modelar con la siguiente fórmula:

\[\text{height}=-\frac{1}{2}gt^{2}+v_{0}t+s_{0}\]

Usando la notación de funciones, que es más apropiada, tenemos

\[h(t)=-\frac{1}{2}gt^{2}+v_{0}t+s_{0}\]

Con esta fórmula, la altura se puede calcular en cualquier momento dado\(t\) después de lanzar el objeto. Los coeficientes representan lo siguiente:

Mesa\(\PageIndex{2}\)

\(-\frac{1}{2}g\)	La letra\(g\) representa la aceleración debida a la gravedad.
\(v_{0}\)	“\(v\)-nada” representa la velocidad inicial del objeto.
\(s_{0}\)	“\(s\)-nada” representa la altura inicial desde la que se lanza el objeto.

Consideramos solo problemas donde la aceleración debida a la gravedad puede expresarse como\(g=32\) pies/seg\(^{2}\). Por lo tanto, en esta sección el tiempo se medirá en segundos y la altura en pies. Sin embargo, ciertamente, la fórmula es válida usando unidades distintas a estas.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

La altura de un proyectil lanzado hacia arriba a una velocidad de\(32\) pies/segundo desde una altura de\(128\) pies viene dada por la función\(h(t)=−16t^{2}+32t+128\). ¿Cuánto tiempo se tarda en golpear el suelo?

Solución:

Un método ineficiente para encontrar el tiempo para golpear el suelo es simplemente comenzar a adivinar a veces y evaluar. Para ello, construya un gráfico.

Figura\(\PageIndex{8}\)

Usa la tabla para bosquejar la altura del proyectil a lo largo del tiempo.

Figura\(\PageIndex{9}\)

Vemos que a los\(4\) segundos, el proyectil choca contra el suelo. Tenga en cuenta que cuando esto ocurre, la altura es igual a\(0\). Ahora necesitamos resolver este problema algebraicamente. Para encontrar la solución algebraicamente, use el hecho de que la altura es\(0\) cuando el objeto choca con el suelo. Tenemos que encontrar el tiempo,\(t\), cuándo\(h(t)=0\).

\(h(t)=-16t^{2}+32t+128 \\ \color{Cerulean}{\downarrow} \\ 0 =-16t^{2}+32t+128\)

Resolver la ecuación factorizando

\(\begin{aligned} 0 &=-16t^{2}+32t+128 \\ 0 &=-16(t^{2}-2t-8) \\ 0&=-16(t-4)(t+2) \end{aligned}\)

Ahora establece cada factor variable en cero.

\(\begin{array}{ccc}{t-4=0}&{\text{or}}&{t+2=0}\\{t=4}&{}&{t=-2} \end{array}\)

Como era de esperar, el proyectil golpea el suelo a los\(t=4\) segundos. No tener en cuenta\(−2\) como solución porque no se define el tiempo negativo.

Respuesta:

El proyectil golpea el suelo\(4\) segundos después de ser lanzado.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

La altura de cierto libro caído desde la parte superior de un edificio de\(144\) pies viene dada por\(h(t)=−16t^{2}+144\). ¿Cuánto tiempo se tarda en golpear el suelo?

Solución:

Encuentra el\(t\) momento en que la altura\(h(t)=0\).

\(\begin{aligned}0&=-16t^{2}+144 \\ 0&=-16(t^{2}-9) \\ 0&=-16(t+3)(t-3) \end{aligned}\)

\(\begin{array}{ccc}{t+3=0}&{\text{or}}&{t-3=0}\\{t=-3}&{}&{t=3} \end{array}\)

Respuesta:

El libro tarda\(3\) segundos en golpear el suelo cuando se cae desde lo alto de un edificio\(144\) de pies.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

La altura de un proyectil, disparado hacia arriba al aire desde el suelo, viene dada por\(h(t)=−16t^{2}+80t\). ¿Cuánto tiempo se tarda en volver a bajar al suelo?

Contestar

Se tardarán 5 segundos en volver a bajar al suelo.

Claves para llevar

• Lo mejor es traducir un problema de palabras a una configuración matemática y luego resolverlo usando álgebra. Evite usar el método “adivinar y verificar” para resolver aplicaciones en esta sección.
• Al resolver aplicaciones, verifique que sus soluciones tengan sentido en el contexto de la pregunta. Por ejemplo, si deseas encontrar la longitud de la base de un triángulo, entonces ignorarías cualquier solución negativa.
• Es importante identificar cada variable y declarar en una oración lo que representa cada variable. A menudo es útil dibujar un cuadro.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) Number Problems

Establecer una ecuación algebraica y luego resolver.

1. Un entero es cinco veces otro. Si el producto de los dos enteros es\(80\), entonces encuentra los enteros.
2. Un entero es cuatro veces otro. Si el producto de los dos enteros es\(36\), entonces encuentra los enteros.
3. Un entero es uno más de cuatro veces otro. Si el producto de los dos enteros es\(39\), entonces encuentra los enteros.
4. Un entero es\(3\) más que otro. Si el producto de los dos enteros es\(130\), entonces encuentra los enteros.
5. Un entero es\(2\) menos de dos veces otro. Si el producto de los dos enteros es\(220\), entonces encuentra los enteros.
6. Un entero es\(3\) más de dos veces otro. Si el producto de los dos enteros es\(90\), entonces encuentra los enteros.
7. Un entero es\(2\) unidades más que otro. Si el producto de los dos enteros es igual a cinco veces mayor, entonces encuentra los dos enteros.
8. Un entero positivo es\(1\) menor que dos veces otro. Si el producto de los dos enteros es igual a quince veces el menor, entonces encuentra los dos enteros.
9. Un entero positivo es\(3\) más del doble de un entero positivo más pequeño. Si el producto de los dos enteros es igual a seis veces mayor, entonces encuentra los enteros.
10. Un entero positivo es\(3\) más que otro. Si el producto de los dos enteros es igual a doce veces el menor, entonces encuentra los enteros.
11. Un entero es\(3\) más que otro. Si el producto de los dos enteros es igual a\(2\) más de cuatro veces su suma, entonces encuentra los enteros.
12. Un entero es\(5\) más que otro. Si el producto de los dos enteros es igual a\(2\) más del doble de su suma, entonces encuentra los enteros.
13. El producto de dos enteros pares positivos consecutivos es\(120\). Encuentra los enteros.
14. El producto de dos enteros impares positivos consecutivos es\(99\). Encuentra los enteros.
15. El producto de dos enteros positivos consecutivos es\(110\). Encuentra los enteros.
16. El producto de dos enteros positivos consecutivos es\(42\). Encuentra los enteros.
17. El producto de dos enteros impares positivos consecutivos es igual a\(1\) menos de siete veces la suma de los enteros. Encuentra los enteros.
18. El producto de dos enteros pares positivos consecutivos es igual a\(22\) más de once veces la suma de los enteros. Encuentra los enteros.
19. La suma de los cuadrados de dos enteros impares positivos consecutivos es\(74\). Encuentra los enteros.
20. La suma de los cuadrados de dos enteros pares positivos consecutivos es\(100\). Encuentra los enteros.
21. La suma de los cuadrados de dos enteros positivos consecutivos es\(265\). Encuentra los enteros.
22. La suma de los cuadrados de dos enteros positivos consecutivos es\(181\). Encuentra los enteros.
23. Para dos enteros impares positivos consecutivos, el producto del doble de menor y mayor es\(126\). Encuentra los enteros.
24. Para dos enteros pares positivos consecutivos, el producto de los más pequeños y dos veces más grandes es\(160\). Encuentra los enteros.

Contestar

1. {\(4, 20\)} o {\(−4, −20\)}

3. \(3, 13\)

5. {\(11, 20\)} o {\(−22, −10\)}

7. {\(5, 7\)} o {\(−2, 0\)}

9. \(6, 15\)

11. {\(7, 10\)} o {\(−2, 1\)}

13. \(10, 12\)

15. \(10, 11\)

17. \(13, 15\)

19. \(5, 7\)

21. \(11, 12\)

23. \(7, 9\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) Geometry Problems

Establecer una ecuación algebraica y luego resolver.

1. El ancho de un rectángulo es\(7\) pies menor que su longitud. Si el área del rectángulo es de pies\(170\) cuadrados, entonces encuentra el largo y ancho.
2. La longitud de un rectángulo es\(2\) pies más que su ancho. Si el área del rectángulo es de pies\(48\) cuadrados, entonces encuentra el largo y ancho.
3. El ancho de un rectángulo es\(3\) unidades menores que la longitud. Si el área es unidades\(70\) cuadradas, entonces encuentra las dimensiones del rectángulo.
4. El ancho de un rectángulo mide la mitad de la longitud. Si el área es de pies\(72\) cuadrados, entonces encuentra las dimensiones del rectángulo.
5. La longitud de un rectángulo es el doble que la de su ancho. Si el área del rectángulo es de pulgadas\(72\) cuadradas, entonces encuentra el largo y ancho.
6. La longitud de un rectángulo es tres veces mayor que su ancho. Si el área del rectángulo es de centímetros\(75\) cuadrados, entonces encuentra el largo y ancho.
7. La longitud de un rectángulo es\(2\) pulgadas más que su ancho. El área del rectángulo es igual a\(12\) pulgadas más de tres veces el perímetro. Encuentra el largo y ancho del rectángulo.
8. La longitud de un rectángulo es\(3\) metros más del doble del ancho. El área del rectángulo es igual a\(10\) metros menos de tres veces el perímetro. Encuentra el largo y ancho del rectángulo.
9. Se debe colocar un borde uniforme alrededor de una imagen de\(8\)\(10\) -pulgada por- pulgada. Si el área total incluyendo el borde debe ser de pulgadas\(224\) cuadradas, entonces, ¿qué tan ancho debe ser el borde?

Figura\(\PageIndex{10}\)

10. Un borde de ladrillo de\(2\) -pie se construye alrededor de una losa de cemento cuadrada. Si el área total, incluyendo el borde, es de pies\(121\) cuadrados, entonces ¿cuáles son las dimensiones de la losa?

11. El área de un marco de fotos que incluye un borde\(2\) de pulgadas de ancho es de pulgadas\(99\) cuadradas. Si el ancho del área interior es\(2\) pulgadas más que su longitud, entonces encuentre las dimensiones del área interior.

Figura\(\PageIndex{11}\)

12. Se puede hacer una caja cortando las esquinas y plegando los bordes de una hoja cuadrada de cartón. Se da una plantilla para una caja de cartón con una altura de\(2\) pulgadas. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la hoja de cartón si el volumen de la caja va a ser pulgadas\(50\) cúbicas?

Figura\(\PageIndex{12}\)

13. La altura de un triángulo es\(3\) pulgadas más que la longitud de su base. Si el área del triángulo es de pulgadas\(44\) cuadradas, entonces encuentra la longitud de su base y su altura.

14. La altura de un triángulo es\(4\) unidades menor que la longitud de la base. Si el área del triángulo es unidades\(48\) cuadradas, entonces encuentra la longitud de su base y altura.

15. La base de un triángulo es el doble que la de su altura. Si el área es de centímetros\(36\) cuadrados, entonces encuentra la longitud de su base y altura.

16. La altura de un triángulo es tres veces la longitud de su base. Si el área es de pies\(73\frac{1}{2}\) cuadrados, entonces encuentra la longitud de la base y la altura.

17. La altura de un triángulo es\(1\) unidad más que la longitud de su base. Si el área es\(5\) unidades más de cuatro veces la altura, entonces encuentra la longitud de la base y la altura del triángulo.

18. La base de un triángulo es\(4\) multiplicada por la de su altura. Si el área es\(3\) unidades más de cinco veces la altura, entonces encuentra la longitud de la base y la altura del triángulo.

19. La diagonal de un rectángulo mide\(5\) pulgadas. Si el largo es\(1\) pulgadas más que su ancho, entonces encuentre las dimensiones del rectángulo.

20. La diagonal de un rectángulo mide\(10\) pulgadas. Si el ancho es\(2\) pulgadas menor que el largo, entonces encuentra el área del rectángulo.

21. Si los lados de un triángulo rectángulo son enteros pares consecutivos, entonces ¿cuáles son sus medidas?

22. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es\(13\) unidades. Si la longitud de una pierna es\(2\) más del doble que la otra, entonces ¿cuáles son sus longitudes?

23. La pata más corta de un triángulo rectángulo mide\(9\) centímetros y la hipotenusa mide\(3\) centímetros más que la pierna más larga. Encuentra la longitud de la hipotenusa.

24. La pierna larga de un triángulo rectángulo mide\(24\) centímetros y la hipotenusa mide\(4\) centímetros más tres veces la pierna corta. Encuentra la longitud de la hipotenusa.

Contestar

1. Largo:\(17\) pies; ancho:\(10\) pies

3. Largo:\(10\) unidades; ancho:\(7\) unidades

5. Largo:\(12\) pulgadas; ancho:\(6\) pulgadas

7. Largo:\(14\) pulgadas; ancho:\(12\) pulgadas

9. \(3\)pulgadas

11. \(5\)pulgadas por\(7\) pulgadas

13. Base:\(8\) pulgadas; altura:\(11\) pulgadas

15. Base:\(12\) centímetros; altura:\(6\) centímetros

17. Base:\(9\) unidades; altura:\(10\) unidades

19. \(3\)pulgadas por\(4\) pulgadas

21. \(6\)unidades,\(8\) unidades y\(10\) unidades

23. \(15\)centímetros

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) Projectile Problems

Establecer una ecuación algebraica y luego resolver.

1. La altura de un proyectil lanzado hacia arriba a una velocidad de\(32\) pies/segundo desde una altura de\(48\) pies viene dada por la función\ (h (t) =−16t^ {2} +32t+48. ¿Cuánto tiempo tardará el proyectil en chocar contra el suelo?
2. La altura de un proyectil lanzado hacia arriba a una velocidad de\(16\) pies/segundo desde una altura de\(192\) pies viene dada por la función\(h(t)=−16t^{2}+16t+192\). ¿Cuánto tiempo tardará en golpear el suelo?
3. Un objeto se lanzó hacia arriba a una velocidad de\(64\) pies/segundo desde una altura de\(80\) pies. ¿Cuánto tiempo tardará el proyectil en chocar contra el suelo?
4. Un objeto se lanzó hacia arriba a una velocidad de\(128\) pies/segundo desde una altura de\(144\) pies. ¿Cuánto tiempo tardará el proyectil en chocar contra el suelo?
5. La altura de un objeto caído desde la parte superior de un edificio\(64\) de pies viene dada por\(h(t)=−16t^{2}+64\). ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en golpear el suelo?
6. La altura de un objeto caído de un avión a\(1,600\) pies viene dada por\(h(t)=−16t^{2}+1,600\). ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en golpear el suelo?
7. Un objeto se deja caer de una escalera a una altura de\(16\) pies. ¿Cuánto tiempo tardará en golpear el suelo?
8. Un objeto se deja caer de un edificio\(144\) de pies. ¿Cuánto tiempo tardará en golpear el suelo?
9. La altura de un proyectil, disparado hacia arriba al aire desde el suelo a\(128\) pies/segundo, viene dada por\(h(t)=−16t^{2}+128t\). ¿Cuánto tiempo se tarda en volver a bajar al suelo?
10. Un beisbol, arrojado al aire desde el suelo a\(32\) pies/segundo, es dado por\(h(t)=−16t^{2}+32t\). ¿Cuánto tiempo se tarda en volver a bajar al suelo?
11. ¿Cuánto tiempo tardará una pelota de béisbol lanzada al aire a\(48\) pies/segundo en volver a bajar al suelo?
12. Un balón de fútbol es levantado al aire a\(80\) pies/segundo. Calcula cuánto tiempo va a colgar en el aire.

Contestar

1. \(3\)segundos

3. \(5\)segundos

5. \(2\)segundos

7. \(1\)segundo

9. \(8\)segundos

11. \(3\)segundos

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) Discussion Board Topics

1. Investigar y discutir la vida de Pitágoras.
2. Si se duplican los lados de un cuadrado, entonces ¿en qué factor se incrementa el área? ¿Por qué?
3. Diseña tu propio problema de geometría que involucre el área de un rectángulo o triángulo. Publica la pregunta y una solución completa en el panel de discusión.
4. Escribe tu estrategia para configurar y resolver problemas verbales. Comparte tu estrategia en el panel de discusión.

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1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar