6.5: Lineamientos generales para factorizar polinomios

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Objetivos de aprendizaje

Desarrollar una estrategia general para factorizar polinomios.

Estrategia General de Factoring

Hemos aprendido diversas técnicas para factorizar polinomios con hasta cuatro términos. El reto es identificar el tipo de polinomio y luego decidir qué método aplicar. A continuación se describe una guía general para factorizar polinomios:

Verificar factores comunes. Si los términos tienen factores comunes, entonces factorizar el mayor factor común (GCF) y mirar los factores polinomiales resultantes para factorizar más.

Determinar el número de términos en el polinomio.

Factorizar polinomios de cuatro términos por agrupación.
Trinomios factoriales (tres términos) usando “ensayo y error” o el método AC.

Binomios factoriales (dos términos) utilizando los siguientes productos especiales:

Mesa\(\PageIndex{1}\)
Diferencia de Cuadrados:	\(a^{2}-b^{2}+(a+b)(a-b)\)
Suma de Cuadrados:	\(a^{2}+b^{2}\)sin fórmula general
Diferencia de Cubos:	\(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)
Suma de Cubos:	\(a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\)

Busque factores que se puedan factorizar más.
Verificar multiplicando.

Nota

Si un binomio es tanto una diferencia de cuadrados como una diferencia de cubos, entonces primero factorizarlo como diferencia de cuadrados y luego como suma y diferencia de cubos para obtener una factorización más completa.
No todos los polinomios con factor de coeficientes enteros. Cuando este es el caso, decimos que el polinomio es primo.

Si una expresión tiene un GCF, entonces factorizar esto primero. Hacerlo a menudo se pasa por alto y, por lo general, resulta en factores con los que es más fácil trabajar. Además, busque los factores resultantes para factorizar aún más; muchos problemas de factorización requieren más de un paso. Un polinomio es completamente factorizado cuando ninguno de los factores puede ser factorizado más.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Factor:

\(6x^{4}−3x^{3}−24x^{2}+12x\).

Solución:

Este polinomio de cuatro términos tiene un GCF de\(3x\). Factorizar esto primero.

\(6x^{4}-3x^{3}-24x^{2}+12x=3x(2x^{3}-x^{2}-8x+4)\)

Ahora factorizar el polinomio resultante de cuatro términos por agrupación.

\(\begin{array}{ccc} {6x^{4}-3x^{3}-24x^{2}+12x=3x}&{\color{black}{\underbrace{\color{black}{(2x^{3}-x^{2}}}}}&{\color{black}{\underbrace{\color{black}{-8x+4)}}}} \\ {}&{\color{Cerulean}{group}}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}\)

\(\begin{aligned} &=3x(x^{2}(2x-1)-4(2x-1))\\&=3x((2x-1)(x^{2}-4)) \\ &=3x(2x-1)(x^{2}-4) \end{aligned}\)

El factor\((x^{2}−4)\) es una diferencia de cuadrados y se puede factorizar aún más.

\(\begin{aligned} &=3x(2x-1)(x^{2}-4) \\ &=3x(2x-1)(x+2)(x-2) \end{aligned}\)

Respuesta:

\(3x(2x-1)(x+2)(x-2)\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Factor:

\(18x^{3}y−60x^{2}y+50xy\).

Solución:

Este trinomio tiene un GCF de\(2xy\). Factorizar esto primero.

\(18x^{3}y-60x^{2}y+50xy=2xy(9x^{2}-30x+25)\)

El factor trinomial se puede factorizar adicionalmente utilizando el método de ensayo y error. Utilice los factores\(9=3⋅3\) y\(25=(−5)⋅(−5)\). Estos se combinan para generar el coeficiente correcto para el mediano plazo:\(3(−5)+3(−5)=−15−15=−30\).

\(\begin{aligned} 18x^{3}y-60x^{2}y+50xy&=2xy(9x^{2}-30x+25)\\ &=2xy(3x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(3x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)} \\ &=2xy(3x-5)(3x-5) \\ &=2xy(3x-5)^{2} \end{aligned}\)

Cheque.

\(\begin{aligned} 2xy(3x-5)^{2}&=2xy(9x^{2}-2\cdot 3x\cdot 5+5^{2}) \\ &=2xy(9x^{2}-30x+25) \\ &=18x^{3}y-60x^{2}y+50xy\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(2xy(3x-5)^{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Factor:

\(5a^{3}b^{4}+10a^{2}b^{3}−75ab^{2}\).

Solución:

Este trinomio tiene un GCF de 5ab2. Factorizar esto primero.

\(5a^{3}b^{4}+10a^{2}b^{3}−75ab^{2}=5ab^{2}(a^{2}b^{2}+2ab-15)\)

El factor trinomio resultante se puede factorizar de la siguiente manera:

\(\begin{aligned} 5a^{3}b^{4}+10a^{2}b^{3}-75ab^{2} &=5ab^{2}(a^{2}b^{2}+2ab-15) \\ &=5ab^{2}(ab\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(ab}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)} \\ &=5ab^{2}(ab+5)(ab-3) \end{aligned}\)

Respuesta:

\(5ab^{2}(ab+5)(ab-3)\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Factor:

\(3x^{3}y−12x^{2}y^{2}+12xy^{3}\).

Contestar: \(3xy(x−2y)^{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Factor:

\(16y^{4}−1\).

Solución:

Este binomio no tiene un GCF. Por lo tanto, comenzar a factorizar identificándolo como una diferencia de cuadrados.

\(16y^{4}-1=(\color{Cerulean}{4y^{2}}\color{black}{)^{^{2}}-(}\color{Cerulean}{1}\color{black}{)^{2}}\)

Aquí\(a=4y^{2}\) y\(b = 1\). Sustituir en la fórmula para diferencia de cuadrados.

El factor\((4y^{2}+1)\) es una suma de cuadrados y es primo. Sin embargo,\((4y^{2}−1)\) es una diferencia de cuadrados y se puede factorizar aún más.

\(\begin{aligned} 16y^{4}-1&=(4y^{2}+1)(4y^{2}-1) \\ &=(4y^{2}+1)(2y+1)(2y-1) \end{aligned}\)

Respuesta:

\((4y^{2}+1)(2y+1)(2y-1)\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Factor:

\(x^{6}−64y^{6}\).

Solución:

Este binomio es una diferencia de cuadrados y una diferencia de cubos. Cuando este es el caso, primero factorizarlo como una diferencia de cuadrados.

\(x^{6}-64y^{6}=(\color{Cerulean}{x^{3}}\color{black}{)^{^{2}}-(}\color{Cerulean}{8y^{3}}\color{black}{)^{^{2}}}\)

Podemos escribir

\(x^{6}-64y^{6}=(x^{3}+8y^{3})(x^{3}-8y^{3})\)

Cada factor se puede factorizar adicionalmente ya sea como una suma o diferencia de cubos, respectivamente.

\(\begin{aligned} x^{3}+8y^{3}&=(x)^{3}+(2y)^{3}=(x+2y)(x^{2}-2xy+4y^{2}) \\ x^{3}-8y^{3} &= (x)^{3} -(2y)^{3} =(x-2y)(x^{2}+2xy+4y^{2}) \end{aligned}\)

Por lo tanto,

\(\begin{aligned} x^{6}-64y^{6}&=(x^{3}+8y^{3})(x^{3}-8y^{3}) \\ &=(x+2y)(x^{2}-2xy+4y^{2})(x-2y)(x^{2}+2xy+4y^{2}) \end{aligned}\)

Respuesta:

\((x+2y)(x^{2}-2xy+4y^{2})(x-2y)(x^{2}+2xy+4y^{2})\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Primero, identificar esta expresión como una diferencia de cuadrados.

\(x^{2}-(2x-1)^{2}=(\color{Cerulean}{x}\color{black}{)^{2}-(}\color{Cerulean}{2x-1}\color{black}{)^{2}}\)

Solución:

Aquí use\(a=x\) y\(b=2x−1\) en la fórmula para una diferencia de cuadrados.

\(\begin{aligned} a^{2}-b^{2} &=(a+b)(a-b) \\ x^{2}-(2x-1)^{2} &= [(x+(2x-1))][(x-(2x-1))] \\ &=(x+2x-1)(x-2x+1) \\ &=(3x-1)(-x+1) \end{aligned}\)

Respuesta:

\((3x-1)(-x+1)\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Factor:

\(x^{4}+2x^{3}+27x+54\).

Contestar: \((x+2)(x+3)(x^{2}−3x+9)\)

Claves para llevar

Utilice el tipo polinomio para determinar el método utilizado para factorizarlo.
Es una buena práctica buscar y factorizar primero el factor común más grande (GCF). Esto facilitará aún más la factorización y simplificará el proceso. Asegúrese de incluir el GCF como factor en la respuesta final.
Busque factores resultantes para factorizar más. A menudo ocurre que la factorización requiere más de un paso.
Si un binomio puede considerarse tanto como una diferencia de cuadrados como una diferencia de cubos, entonces primero factorizarlo como una diferencia de cuadrados. Esto da como resultado una factorización más completa.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\) Mixed Factoring

Facturar completamente.

\(2x^{5}y^{2}−12x^{4}y^{3}\)
\(18x^{5}y^{3}−6x^{4}y^{5}\)
\(5x^{2}+20x−25\)
\(4x^{2}+10x−6\)
\(24x^{3}−30x^{2}−9x\)
\(30x^{3}−65x^{2}+10x\)
\(6x^{3}+27x^{2}−9x\)
\(21x^{3}+49x^{2}−28x\)
\(5x^{3}−30x^{2}−15x+90 \)
\(6x^{4}+24x^{3}−2x^{2}−8x\)
\(x^{4}−6x^{3}+8x−48 \)
\(x^{4}−5x^{3}+27x−135 \)
\(4x^{3}−4x^{2}−9x+9 \)
\(50x^{3}+25x^{2}−32x−16 \)
\(2x^{3}+250 \)
\(3x^{5}−81x^{2}\)
\(2x^{5}−162x^{3}\)
\(4x^{4}−36\)
\(x^{4}+16\)
\(x^{3}+9\)
\(72 − 2 x^{2}\)
\(5 x^{4} −25 x^{2}\)
\(7 x^{3} −14 x\)
\(36 x^{2} −12 x + 1\)
\(25 x^{2} +10 x + 1\)
\(250 x^{3} +200 x^{4} +40 x^{5}\)
\(− 7 x^{2} +19 x + 6\)
\(− 8 x^{4} +40 x^{3} −50x^{2}\)
\(a^{4} −16\)
\(16 a^{4} −81 b^{4}\)
\(y^{5} +y^{4} −y − 1\)
\(4y^{5} + 2y^{4} − 4y^{2} − 2y\)
\(3 x^{8} −192 x^{2}\)
\(4 x^{7} + 4x\)
\(4 x^{2} −19xy +12y^{2}\)
\(16 x^{2} −66xy −27y^{2}\)
\(5 x^{5} − 3 x^{4} − 5 x^{3} + 3 x^{2}\)
\(4 a^{2} b^{2} − 4 a^{2} − 9 b^{2} + 9\)
\(15 a^{2} − 4ab − 4 b^{2}\)
\(6 a^{2} −25ab + 4 b^{2}\)
\(6 x^{2} + 5xy + 6y^{2}\)
\(9 x^{2} + 5xy −12y^{2}\)
\(( 3 x − 1 )^{2} −64\)
\((x − 5 )^{2}−(x − 2 )^{2}\)
\((x + 1 )^{3} + 8\)
\((x − 4 )^{3} −27\)
\(( 2 x − 1 )^{2}−( 2x − 1)−12\)
\((x − 4 )^{2} + 5 (x − 4)+ 6\)
\(a^{3} b −10 a ^{2} b^{ 2} +25ab^{3}\)
\(2a^{3}b^{2}−12a^{2}b+18a\)
\(15a^{2}b^{2}−57ab−12\)
\(−60x^{3}+4x^{2}+24x\)
\(−24x^{5}+78x^{3}−54x\)
\(9y^{6}−13y^{4}+4y^{2}\)
\(36−15a−6a^{2}\)
\(60ab^{2}+5a^{2}b^{2}−5a^{3}b^{2}\)
\(x^{4}−1\)
\(16x^{4}−64\)
\(x^{8}−1\)
\(81x^{8}−1\)
\(x^{16}−1\)
\(x^{12}−1\)
\(54x^{6}−216x^{4}−2x^{3}+8x\)
\(4a^{4}−4a^{2}b^{2}−a^{2}+b^{2}\)
\(32y^{3}+32y^{2}−18y−18\)
\(3a^{3}+a^{2}b−12ab−4b^{2}\)
\(18m^{2}−21mn−9n^{2}\)
\(5m^{2}n^{2}+10mn−15\)
El volumen de cierto sólido rectangular viene dado por la función\(V(x)=x^{3}−2x^{2}−3x\). Escribe la función en su forma factorizada.
El volumen de cierto cilindro circular derecho viene dado por la función\(V(x)=4πx^{3}−4πx^{2}+πx\). Escribe la función en su forma factorizada.

Responder

1. \(2x^{4}y^{2}(x−6y)\)

3. \(5(x−1)(x+5)\)

5. \(3x(2x−3)(4x+1)\)

7. \(3x(2x^{2}+9x−3)\)

9. \(5(x−6)(x^{2}−3)\)

11. \((x−6)(x+2)(x^{2}−2x+4)\)

13. \((x−1)(2x−3)(2x+3)\)

15. \(2(x+5)(x^{2}−5x+25)\)

17. \(2x^{3}(x+9)(x−9)\)

19. Prime

21. \(2(6+x)(6−x)\)

23. \(7x(x^{2}−2)\)

25. \((5x+1)^{2}\)

27. \(−(x−3)(7x+2)\)

29. \((a^{2}+4)(a+2)(a−2)\)

31. \((y^{2}+1)(y−1)(y+1)^{2}\)

33. \(3x^{2}(x+2)(x^{2}−2x+4)(x−2)(x^{2}+2x+4)\)

35. \((x−4y)(4x−3y)\)

37. \(x^{2}(5x−3)(x+1)(x−1)\)

39. \((3a−2b)(5a+2b)\)

41. Prime

43. \(3(x−3)(3x+7)\)

45. \((x+3)(x^{2}+3)\)

47. \(2(x+1)(2x−5) \)

49. \(ab(a−5b)^{2}\)

51. \(3(ab−4)(5ab+1)\)

53. \(−6x(x+1)(x−1)(2x+3)(2x−3)\)

55. \(−3(a+4)(2a−3)\)

57. \((x^{2}+1)(x+1)(x−1)\)

59. \((x^{4}+1)(x^{2}+1)(x+1)(x−1)\)

61. \((x^{8}+1)(x^{4}+1)(x^{2}+1)(x+1)(x−1)\)

63. \(2x(x+2)(x−2)(3x−1)(9x^{2}+3x+1)\)

65. \(2(y+1)(4y−3)(4y+3)\)

67. \(3(2m−3n)(3m+n)\)

69. \(V(x)=x(x+1)(x−3)\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) Discussion Board

Primero, factorizar el trinomio\(24x^{2}−28x−40\). Después factorizar el GCF. Discutir la importancia de factorizar primero el GCF. ¿Obtienes el mismo resultado?
Discutir un plan para factorizar expresiones polinómicas en un examen. ¿Qué deberías estar buscando y qué deberías esperar?

Responder: 1. La respuesta puede variar