7.E: Funciones Exponenciales y Logarítmicas (Ejercicios)

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Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dado$f$ y$g$ encontrar$(f \circ g)(x)$ y$(g \circ f)(x)$.

$f(x)=6 x-5, g(x)=2 x+1$
$f(x)=5-6 x, g(x)=\frac{3}{2} x$
$f(x)=2 x^{2}+x-2, g(x)=5 x$
$f(x)=x^{2}-x-6, g(x)=x-3$
$f(x)=\sqrt{x+2}, g(x)=8 x-2$
$f(x)=\frac{x-1}{3 x-1}, g(x)=\frac{1}{x}$
$f(x)=x^{2}+3 x-1, g(x)=\frac{1}{x-2}$
$f(x)=\sqrt[3]{3(x+2)}, g(x)=9 x^{3}-2$

Contestar

1. $(f \circ g)(x)=12 x+1 ;(g \circ f)(x)=12 x-9$

3. $\begin{array}{l}{(f \circ g)(x)=50 x^{2}+5 x-2}; \: {(g \circ f)(x)=10 x^{2}+5 x-10}\end{array}$

5. $(f\circ g)(x)=2\sqrt{2x};\:(g\circ f)(x)=8\sqrt{x+2}-2$

7. $\begin{array}{c}{(f \circ g)(x)=-\frac{x^{2}-7 x+9}{(x-2)^{2}}}; \: {\left(g \circ f\right)(x)=\frac{1}{x^{2}+3 x-3}}\end{array}$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

¿Las funciones dadas son una a una? Explique.

Figura 7.E.1

Figura 7.E.2

Figura 7.E.3

Figura 7.E.4

Contestar

1. No, falla el HLT

3. Sí, pasa el HLT

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Verificar algebraicamente que las dos funciones dadas son inversas. En otras palabras,$\left(f \circ f^{-1}\right)(x)=x$ demuéstralo y$\left(f^{-1} \circ f\right)(x)=x$.

$f(x)=6 x-5, f^{-1}(x)=\frac{1}{6} x+\frac{5}{6}$
$f(x)=\sqrt{2 x+3}, f^{-1}(x)=\frac{x^{2}-3}{2}, x \geq 0$
$f(x)=\frac{x}{3 x-2}, f^{-1}(x)=\frac{2 x}{3 x-1}$
$f(x)=\sqrt[3]{x+3}-4, f^{-1}(x)=(x+4)^{3}-3$

Contestar

1. Prueba

3. Prueba

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Encuentra las inversas de cada función definida de la siguiente manera:

$f(x)=-7 x+3$
$f(x)=\frac{2}{3} x-\frac{1}{2}$
$g(x)=x^{2}-12, x \geq 0$
$g(x)=(x-1)^{3}+5$
$g(x)=\frac{2}{x-1}$
$h(x)=\frac{x+5}{x-5}$
$h(x)=\frac{3 x-1}{x}$
$p(x)=\sqrt[3]{5 x}+3$
$h(x)=\sqrt[3]{2 x-7}+2$
$h(x)=\sqrt[5]{x+2}-3$

Contestar

1. $f^{-1}(x)=-\frac{1}{7} x+\frac{3}{7}$

3. $g^{-1}(x)=\sqrt{x+12}$

5. $g^{-1}(x)=\frac{x+2}{x}$

7. $h^{-1}(x)=-\frac{1}{x-3}$

9. $h^{-1}(x)=\frac{(x-2)^{3}+7}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Evaluar.

$f(x)=5^{x} ;$encontrar$f(-1), f(0),$ y$f(3).$
$f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} ;$encontrar$f(-4), f(0),$ y$f(-3).$
$g(x)=10^{-x} ;$encontrar$g(-5), g(0),$ y$g(2).$
$g(x)=1-3^{x} ;$encontrar$g(-2), g(0),$ y$g(3).$

Contestar

1. $f(-1)=\frac{1}{5}, f(0)=1, f(3)=125$

3. $g(-5)=100,000, g(0)=1, g(2)=\frac{1}{100}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Esbozar la función exponencial. Dibuja la asíntota horizontal con una línea discontinua.

$f(x)=5^{x}+10$
$f(x)=5^{x-4}$
$f(x)=-3^{x}-9$
$f(x)=3^{x+2}+6$
$f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$
$f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}-4$
$f(x)=2^{-x}+3$
$f(x)=1-3^{-x}$

Contestar

Figura 7.E.5

Figura 7.E.6

Figura 7.E.7

Figura 7.E.8

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Utilice una calculadora para evaluar lo siguiente. Redondear a la centésima más cercana.

$f(x)=e^{x}+1 ;$encontrar$f(-3), f(-1),$ y$f\left(\frac{1}{2}\right)$.
$g(x)=2-3 e^{x} ;$encontrar$g(-1), g(0),$ y$g\left(\frac{2}{3}\right)$.
$p(x)=1-5 e^{-x} ;$encontrar$p(-4), p\left(-\frac{1}{2}\right),$ y$p(0)$.
$r(x)=e^{-2 x}-1 ;$encontrar$r(-1), r\left(\frac{1}{4}\right),$ y$r(2)$.

Contestar

1. $f(-3) \approx 1.05, f(-1) \approx 1.37, f\left(\frac{1}{2}\right) \approx 2.65$

3. $p(-4) \approx-271.99, p\left(-\frac{1}{2}\right) \approx-7.24, p(0)=-4$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Croquis de la función. Dibuja la asíntota horizontal con una línea discontinua.

$f(x)=e^{x}+4$
$f(x)=e^{x-4}$
$f(x)=e^{x+3}+2$
$f(x)=e^{-x}+5$
Jerry invirtió $$6,250$ en una cuenta ganando$3 \frac{5}{8}$% de interés anual que se compone mensualmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta después de$4$ años?
José invirtió $$7,500$ en una cuenta ganando$4 \frac{1}{4}$% de interés anual que se agrava continuamente. ¿Cuánto habrá en la cuenta después de$3 \frac{1}{2}$ años?
Una muestra de$14$ -gramo de yodo radiactivo se libera accidentalmente a la atmósfera. La cantidad de la sustancia en gramos viene dada por la fórmula$P (t) = 14e^{ −0.087t}$, donde$t$ representa el tiempo en días posteriores a la liberación de la muestra. ¿Cuánto yodo radiactivo estará presente en la atmósfera$30$ días después de su liberación?
El número de células en una muestra de bacterias viene dado por la fórmula$N(t)=\frac{2.4 \times 10^{5}}{1+9 e^{-0.28t}}$, donde$t$ representa el tiempo en horas desde la colocación inicial de$24,000$ las células. Usa la fórmula para calcular el número de celdas en la muestra$20$ horas después.

Contestar

Figura 7.E.9

Figura 7.E.10

5. $$7,223.67$

7. Aproximadamente$1$ gram

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Evaluar.

$\log _{4} 16$
$\log _{3} 27$
$\log _{2}\left(\frac{1}{32}\right)$
$\log \left(\frac{1}{10}\right)$
$\log _{1 / 3} 9$
$\log _{3 / 4}\left(\frac{4}{3}\right)$
$\log _{7} 1$
$\log _{3}(-3)$
$\log _{4} 0$
$\log _{3} 81$
$\log _{6} \sqrt{6}$
$\log _{5} \sqrt[3]{25}$
$\ln e^{8}$
$\ln \left(\frac{1}{e^{5}}\right)$
$\log (0.00001)$
$\log 1,000,000$

Contestar

1. $2$

3. $−5$

5. $−2$

7. $0$

9. Sin definir

11. $\frac{1}{2}$

13. $8$

15. $−5$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Encuentra$x$.

$\log _{5} x=3$
$\log _{3} x=-4$
$\log _{2 / 3} x=3$
$\log _{3} x=\frac{2}{5}$
$\log x=-3$
$\ln x=\frac{1}{2}$

Contestar

1. $125$

3. $\frac{8}{27}$

5. $0.001$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Dibuje la gráfica de la función logarítmica. Dibuja la asíntota vertical con una línea discontinua.

$f(x)=\log _{2}(x-5)$
$f(x)=\log _{2} x-5$
$g(x)=\log _{3}(x+5)+15$
$g(x)=\log _{3}(x-5)-5$
$h(x)=\log _{4}(-x)+1$
$h(x)=3-\log _{4} x$
$g(x)=\ln (x-2)+3$
$g(x)=\ln (x+3)-1$
La población de cierto pueblo pequeño está creciendo de acuerdo a la función$P (t) = 89,000(1.035)^{t}$, donde$t$ representa el tiempo en años desde el último censo. Utilizar la función para estimar la población$8 \frac{1}{2}$ años después de que se realizó el censo.
El volumen de sonido$L$ en decibelios (dB) viene dado por la fórmula$L=10 \log \left(I / 10^{-12}\right)$, donde$I$ representa la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado. Determinar el volumen de un sonido con una intensidad de$0.5$ vatios por metro cuadrado.

Contestar

Figura 7.E.11

Figura 7.E.12

Figura 7.E.13

Figura 7.E.14

9. $119,229$personas

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Evaluar sin usar una calculadora.

$\log _{9} 9$
$\log _{8} 1$
$\log _{1 / 3} 3$
$\log \left(\frac{1}{10}\right)$
$e^{\ln 17}$
$10^{\log 27}$
$\ln e^{63}$
$\log 10^{33}$

Contestar

1. $1$

3. $−1$

5. $17$

7. $63$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Ampliar completamente.

$\log \left(100 x^{2}\right)$
$\log _{5}\left(5 x^{3}\right)$
$\log _{3}\left(\frac{3 x^{5}}{5}\right)$
$\ln \left(\frac{10}{3 x^{2}}\right)$
$\log _{2}\left(\frac{8 x^{2}}{y^{2} z}\right)$
$\log \left(\frac{x^{10}}{10 y^{3} z^{4}}\right)$
$\ln \left(\frac{3 b \sqrt{a}}{c^{4}}\right)$
$\log \left(\frac{20 y^{3}}{\sqrt[3]{x^{2}}}\right)$

Contestar

1. $2+2 \log x$

3. $1+5 \log _{3} x-\log _{3} 5$

5. $3+2 \log _{2} x-2 \log _{2} y-\log _{2} z$

7. $\ln 3+\ln b+\frac{1}{2} \ln a-4 \ln c$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Escribir como un logaritmo único con coeficiente$1$.

$\log x+2 \log y-3 \log z$
$\log _{2} 5-3 \log _{2} x+4 \log _{2} y$
$-2 \log _{5} x+\log _{5} y-5 \log _{5}(x-1)$
$\ln x-\ln (x-1)-\ln (x+1)$
$3 \log _{2} x+\frac{1}{2} \log _{2} y-\frac{2}{3} \log _{2} z$
$\frac{1}{3} \log x-3 \log y-\frac{3}{5} \log z$
$\log _{5} 4+5 \log _{5} x-\frac{1}{3}\left(\log _{5} y+2 \log _{5} z\right)$
$\ln x-\frac{1}{2}(\ln y-4 \ln z)$

Contestar

1. $\log \left(\frac{x y^{2}}{z^{3}}\right)$

3. $\log _{5}\left(\frac{y}{x^{2}(x-1)^{5}}\right)$

5. $\log _{2}\left(\frac{x^{3} \sqrt{y}}{\sqrt[3]{z^{2}}}\right)$

7. $\log _{5}\left(\frac{4 x^{5}}{\sqrt[3]{y z^{2}}}\right)$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Resolver. Dar la respuesta exacta y la respuesta aproximada redondeada a la centésima más cercana en su caso.

$5^{2 x+1}=125$
$10^{3 x-2}=100$
$9^{x-3}=81$
$16^{2 x+3}=8$
$5^{x}=7$
$3^{2 x}=5$
$10^{x+2}-3=7$
$e^{2 x-1}+2=3$
$7^{4 x-1}-2=9$
$3^{5 x-2}+5=7$
$3-e^{4 x}=2$
$5+e^{3 x}=4$
$\frac{4}{1+e^{5 x}}=2$
$\frac{100}{1+e^{3 x}}=\frac{1}{2}$

Contestar

1. $1$

3. $5$

5. $\frac{\log (7)}{\log (5)} \approx 1.21$

7. $-1$

9. $\frac{\log 7+\log 11}{4 \log 7} \approx 0.56$

11. $0$

13. $0$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Utilice el cambio de fórmula base para aproximar lo siguiente a la décima más cercana.

$\log _{5} 13$
$\log _{2} 27$
$\log _{4} 5$
$\log _{9} 0.81$
$\log _{1 / 4} 21$
$\log _{2} \sqrt[3]{5}$

Contestar

1. $1.6$

3. $1.2$

5. $-2.2$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Resolver.

$\log _{2}(3 x-5)=\log _{2}(2 x+7)$
$\ln (7 x)=\ln (x+8)$
$\log _{5} 8-2 \log _{5} x=\log _{5} 2$
$\log _{3}(x+2)+\log _{3}(x)=\log _{3} 8$
$\log _{5}(2 x-1)=2$
$2 \log _{4}(3 x-2)=4$
$2=\log _{2}\left(x^{2}-4\right)-\log _{2} 3$
$\log _{2}(x-1)+\log _{2}(x+1)=3$
$\log _{2} x+\log _{2}(x-1)=1$
$\log _{4}(x+5)+\log _{4}(x+11)=2$
$\log (2 x+5)-\log (x-1)=1$
$\ln x-\ln (2 x-1)=1$
$2 \log _{2}(x+4)=\log _{2}(x+2)+3$
$2 \log _{3} x=1+\log _{3}(x+6)$
$\log _{3}(x+1)-2 \log _{3} x=1$
$\log _{5}(2 x)+\log _{5}(x-1)=1$

Contestar

1. $12$

3. $2$

5. $13$

7. $±4$

9. $2$

11. $\frac{15}{8}$

13. $0$

15. $\frac{1+\sqrt{13}}{6}$

Ejercicio$\PageIndex{18}$

Resolver.

$3,250$Se invierte una cantidad de $ en una cuenta que gana$4.6$% de interés anual que se compone mensualmente. Estimar el número de años para que el monto en la cuenta alcance $$4,000$.
$2,500$Se invierte una cantidad de $ en una cuenta que gana$5.5$% de interés anual que se compone continuamente. Estimar el número de años para que el monto en la cuenta alcance $$3,000$.
¿Cuánto tiempo se tarda en duplicar una inversión realizada en una cuenta que gana$6 \frac{3}{4}$% de interés anual que se compone continuamente?
¿Cuánto tiempo se tarda en duplicar una inversión realizada en una cuenta que gana$6 \frac{3}{4}$% de interés anual que se compone semestralmente?
En el año 2000 un cierto pueblo pequeño tenía una población de$46,000$ personas. En el año 2010 se estimó que la población había crecido a$92,000$ personas. Si la población continúa creciendo exponencialmente a este ritmo, estime la población en el año 2016.
Se compró una camioneta de flota nueva por $$28,000$ y$2$ años después se valoró en $$20,000$. Si el valor de la camioneta sigue disminuyendo exponencialmente a esta tasa, determine su valor$7$ años después de que sea comprada nueva.
Un sitio web que ha estado en declive registró visitantes$4,200$ únicos el mes pasado y visitantes$3,600$ únicos este mes. Si el número de visitantes únicos sigue disminuyendo exponencialmente, ¿cuántos visitantes únicos esperarías el próximo mes?
Se introdujo una población inicial de$18$ conejos en una reserva de vida silvestre. El número de conejos se duplicó en el primer año. Si la población de conejos sigue creciendo exponencialmente a este ritmo, ¿cuántos conejos estarán presentes$5$ años después de su introducción?
La vida media del sodio-24 es de aproximadamente$15$ horas. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de$50$ -miligramo en decairse a$10$ miligramos?
La vida media del radio-226 es de aproximadamente$1,600$ años. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra inicial en decairse al$30$% de la cantidad original?
Un arqueólogo descubrió un artefacto de herramienta ósea. Después del análisis, se encontró que el artefacto contenía$62$% del carbono-14 que normalmente se encuentra en el hueso del mismo animal. Dado que el carbono-14 tiene una vida media de$5,730 years$, estimar la edad del artefacto.
La vida media del yodo-131 radiactivo es de aproximadamente$8$ días. ¿Qué porcentaje de una muestra inicial liberada accidentalmente a la atmósfera esperamos que quede después de$53$ días?

Contestar

1. $4.5$años

3. $10.27$años

5. Acerca de$139,446$ las personas

7. $3,086$visitantes únicos

9. $35$horas

11. Acerca de$3,952$ años

Examen de muestra

Ejercicio$\PageIndex{19}$

Dado$f(x)=x^{2}-x+3$ y$g(x)=3 x-1$ encontrar$(f \circ g)(x)$.
$g(x)=\frac{x^{3}+2}{7}$Demuéstralo$f(x)=\sqrt[3]{7 x-2} $ y son inversos.

Contestar: 1. $(f \circ g)(x)=9 x^{2}-9 x+5$

Ejercicio$\PageIndex{20}$

Encuentra la inversa de las siguientes funciones:

$f(x)=\frac{1}{2} x-3$
$h(x)=x^{2}+3$donde$x \geq 0$

Contestar: 1. $f^{-1}(x)=2 x+6$

Ejercicio$\PageIndex{21}$

Esbozar la gráfica.

$f(x)=e^{x}-5$
$g(x)=10^{-x}$
Joe invirtió $$5,200$ en una cuenta ganando$3.8$% de interés anual que se compone mensualmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta al final de los$4$ años?
Mary tiene $$3,500$ en una cuenta de ahorro ganando$4 \frac{1}{2}$% de interés anual que se agrava continuamente. ¿Cuánto habrá en la cuenta al final de los$3$ años?

Contestar

Figura 7.E.15

3. $$6,052.18$

Ejercicio$\PageIndex{22}$

Evaluar.

$\log _{3} 81$
$\log _{2}\left(\frac{1}{4}\right)$
$\log 1,000$
$\ln e$
$\log _{4} 2$
$\log _{9}\left(\frac{1}{3}\right)$
$\ln e^{3}$
$\log _{1 / 5} 25$

Contestar

1. $4$

2. $-2$

3. $3$

4. $1$

Ejercicio$\PageIndex{23}$

Esbozar la gráfica.

$f(x)=\log _{4}(x+5)+2$
$f(x)=-\ln (x-2)$

Contestar

Figura 7.E.16

Ejercicio$\PageIndex{24}$

Ampliar:$\log \left(\frac{100 x^{2} y}{\sqrt{z}}\right)$.
Escribir como un logaritmo único con coeficiente$1$:$2 \log _{2} x+\frac{1}{3} \log _{2} y-3 \log _{2} z$.

Contestar: 1. $2+2 \log x+\log y-\frac{1}{2} \log z$

Ejercicio$\PageIndex{25}$

Evaluar. Redondear a la décima más cercana.

$\log _{2} 10$
$\ln 1$
$\log _{3}\left(\frac{1}{5}\right)$

Contestar

1. $3.3$

2. $0$

3. $-1.5$

Ejercicio$\PageIndex{26}$

Resolver:

$2^{3 x-1}=16$
$3^{7 x+1}=5$
$\log _{5}(3 x-4)=\log _{5}(2 x+7)$
$\log _{3}\left(x^{2}+26\right)=3$
$\log _{2} x+\log _{2}(2 x+7)=2$
$\log (2 x+3)=1+\log (x+1)$
Joe invirtió $$5,200$ en una cuenta ganando$3.8$% de interés anual que se compone mensualmente. ¿Cuánto tiempo tardará en acumular un total de $$6,200$ en la cuenta?
Mary tiene $$3,500$ en una cuenta de ahorro ganando$4 \frac{1}{2}$% de interés anual que se agrava continuamente. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicar el monto en la cuenta?
Durante la fase de crecimiento exponencial, ciertas bacterias pueden crecer a una tasa de$5.3$% por hora. Si$12,000$ las células están inicialmente presentes en una muestra, construya un modelo de crecimiento exponencial y utilízalo para:
1. Estimar la población de bacterias en$3.5$ horas.
2. Estimar el tiempo que tardará la población en duplicarse.
La vida media del cesio-137 es de aproximadamente$30$ años. Aproximar el tiempo que tomará una muestra de$20$ -miligramo de cesio-137 para descomponerse a$8$ miligramos.

Contestar

2. $\frac{\log 5-\log 3}{7 \log 3}$

4. $\pm 1$

6. $-\frac{7}{8}$

8. $15.4$años

10. $40$años