7.6: Aplicaciones

Objetivos de aprendizaje

• Utilice las fórmulas compuestas y de interés continuo.
• Calcular el tiempo de duplicación.
• Utilice el modelo de crecimiento/decaimiento exponencial.
• Calcular la tasa de decaimiento dada la vida media.

Fórmulas compuestas y de interés continuo

Recordemos que el interés compuesto se produce cuando los intereses acumulados por un periodo se agregan a la inversión principal antes de calcular los intereses para el siguiente periodo. La cantidad\(A\) devengada de esta manera a lo largo del tiempo\(t\) se modela por la fórmula de interés compuesto:

\(A(t)=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\)

Aquí el principal inicial\(P\) está acumulando interés compuesto a una tasa anual\(r\) donde el valor\(n\) representa el número de veces que el interés se compone en un año.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Susan invirtió $\(500\) en una cuenta ganando\(4 \frac{1}{2}\)% de interés anual que se compone mensualmente.

a. ¿Cuánto habrá en la cuenta después de\(3\) años?

b. ¿Cuánto tiempo tardará en que la cantidad crezca a $\(750\)?

Solución

En este ejemplo, el principal\(P =\) $\(500\), la tasa de interés\(r = 4 \frac{1}{2}\)%\(= 0.045\), y debido a que el interés se compone mensualmente,\(n = 12\). La inversión puede ser modelada por la siguiente función:

\(A(t)=500\left(1+\frac{0.045}{12}\right)^{12 t}\)
\(A(t)=500(1.00375)^{12 t}\)

a. Utilice este modelo para calcular el monto en la cuenta después de\(t=3\) años.

\(\begin{aligned} A(\color{Cerulean}{3}\color{black}{)} &=500(1.00375)^{12(\color{Cerulean}{3}\color{black}{)}} \\ &=500(1.00375)^{36} \\ & \approx 572.12 \end{aligned}\)

Redondeado al centavo más cercano, después de\(3\) años, el monto acumulado será de $\(572.12\).

b. calcular el tiempo que se tarda en acumular $\(750\), establecer\(A (t) = 750\) y resolver para\(t\).

\(\begin{array}{l}{A(t)=500(1.00375)^{12 t}} \\ {\color{Cerulean}{750}\color{black}{=}500(1.00375)^{12 t}}\end{array}\)

Esto da como resultado una ecuación exponencial que puede resolverse aislando primero la expresión exponencial.

\(\begin{aligned} 750 &=500(1.00375)^{12 t} \\ \frac{750}{500} &=(1.00375)^{12 t} \\ 1.5 &=(1.00375)^{12 t} \end{aligned}\)

En este punto tomar el logaritmo común de ambos lados, aplicar la regla de poder para logaritmos, y luego resolver para\(t\).

\(\begin{aligned} \log (1.5) &=\log (1.00375)^{12 t} \\ \log (1.5) &=12 t \log (1.00375)\\\frac{\log (1.5)}{\color{Cerulean}{12\log (1.00375)}}&\color{black}{=} \frac{\cancel{12}t\cancel{\log (1.00375)}}{\cancel{\color{Cerulean}{12\: \log (1.00375)}}} \\\frac{\log(1.5)}{12\:\log(1.00375)}&=t\end{aligned}\)

Usando una calculadora podemos aproximar el tiempo que lleva.

\(t=\log (1.5) /(12 * \log (1.00375)) \approx 9\)años

Respuesta:

a. $\(572.12\)

b. aproximadamente\(9\) años

El periodo de tiempo que tarda una cantidad en duplicarse se denomina tiempo de duplicación ²⁰. A continuación describimos una técnica para calcular el tiempo que se tarda en duplicar una inversión inicial que genera intereses compuestos.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

Mario invirtió $\(1000\) en una cuenta ganando\(6.3\)% de interés anual, es decir, se compone semestralmente. ¿Cuánto tiempo tardará la inversión en duplicarse?

Solución

Aquí el principal\(P =\) $\(1,000\), la tasa de interés\(r = 6.3\)%\(= 0.063\), y porque el interés se compone semestralmente\(n = 2\). Esta inversión puede modelarse de la siguiente manera:

\(A(t)=1,000\left(1+\frac{0.063}{2}\right)^{2 t}\)
\(A(t)=1,000(1.0315)^{2 t}\)

Ya que estamos buscando el tiempo que lleva duplicar $\(1,000\), sustituir $\(2,000\) por la cantidad resultante\(A (t)\) y luego resolver por\(t\).

\(\begin{aligned} \color{Cerulean}{2,000} &\color{black}{=}1,000(1.0315)^{2 t} \\ \frac{2,000}{1,000} &=(1.0315)^{2 t} \\ 2 &=(1.0315)^{2 t} \end{aligned}\)

En este punto tomamos el logaritmo común de ambos lados.

\(\begin{aligned} 2 &=(1.0315)^{2 t} \\ \log 2 &=\log (1.0315)^{2 t} \\ \log 2 &=2 t \log (1.0315) \\ \frac{\log 2}{2 \log (1.0315)} &=t \end{aligned}\)

Usando una calculadora podemos aproximar el tiempo que lleva:

\(t=\log (2) /(2 * \log (1.0315)) \approx 11.17\)años

Respuesta:

Aproximadamente\(11.17\) años para duplicarse en\(6.3\)%.

Si la inversión en el ejemplo anterior fuera de un millón de dólares, ¿cuánto tiempo tardaría en duplicarse? Para responder a esto usaríamos\(P =\) $\(1,000,000\) y\(A (t) =\) $\(2,000,000\):

\(\begin{aligned} A(t) &=1,000(1.0315)^{2 t} \\ \color{Cerulean}{2,000,000} &\color{black}{=}1,000,000(1.0315)^{2 t} \end{aligned}\)

Dividiendo ambos lados por\(1,000,000\) obtenemos la misma función exponencial que antes.

\(2=(1.0315)^{2 t}\)

De ahí, el resultado será el mismo, aproximadamente\(11.17\) años. De hecho, duplicar el tiempo es independiente de la inversión inicial\(P\).

Por lo general, el interés se compone semestral\((n = 2)\)\((n = 4)\), trimestral\((n = 12)\), mensual o diario\((n = 365)\). Sin embargo, si el interés se agrava cada instante obtenemos una fórmula para componer continuamente el interés:

\(A(t)=P e^{r t}\)

Aquí\(P\) representa el monto inicial del principal invertido,\(r\) representa la tasa de interés anual y\(t\) representa el tiempo en años en que se permite que la inversión devenga intereses compuestos continuamente.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

Mary invirtió $\(200\) en una cuenta ganando\(5 \frac{3}{4}\)% de interés anual que se agrava continuamente. ¿Cuánto tiempo tardará la inversión en crecer a $\(350\)?

Solución

Aquí el principal\(P =\) $\(200\) y la tasa de interés\(r = 5 \frac{3}{4}\)%\(= 5.75\)%\(= 0.0575\). Dado que el interés se agrava continuamente, usa la fórmula\(A (t) = Pe^{rt}\). De ahí que la inversión pueda ser modelada por lo siguiente,

\(A(t)=200 e^{0.0575 t}\)

Para calcular el tiempo que se tarda en acumular a $\(350\), establecer\(A (t) = 350\) y resolver para\(t\).

\(\begin{array}{r}{A(t)=200 e^{0.0575 t}} \\ {\color{Cerulean}{350}\color{black}{=}200 e^{0.0575 t}}\end{array}\)

Comience aislando la expresión exponencial.

\(\begin{aligned} \frac{350}{200} &=e^{0.0575 t} \\ \frac{7}{4} &=e^{0.0575 t} \\ 1.75 &=e^{0.0575 t} \end{aligned}\)

Debido a que este exponencial tiene base\(e\), elegimos tomar el logaritmo natural de ambos lados y luego resolver para\(t\).

\(\begin{array}{l}{\ln (1.75)=\ln e^{0.0575 t}}\quad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:logarithms.} \\ {\ln (1.75)=0.0575 t \ln e} \quad\color{Cerulean}{Recall\:that\: \ln e=1.} \\ {\ln (1.75)=0.0575 t \cdot 1} \\ {\frac{\ln (1.75)}{0.0575}=t}\end{array}\)

Usando una calculadora podemos aproximar el tiempo que lleva:

\(t=\ln (1.75) / 0.0575 \approx 9.73 \quad years\)

Respuesta:

Será aprroximadamente\(9.73\) años.

Al resolver aplicaciones que involucren interés compuesto, busque la palabra clave “continuo” o las palabras clave que indiquen el número de compuestos anuales. Son estas palabras clave las que determinan qué fórmula elegir.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Mario invirtió $\(1,000\) en una cuenta ganando\(6.3\)% de interés anual que se agrava continuamente. ¿Cuánto tiempo tardará la inversión en duplicarse?

Contestar

Aproximadamente\(11\) años.

www.youtube.com/v/z_iljhiqvwq

Modelado del crecimiento exponencial y la decadencia

En las ciencias, cuando se dice que una cantidad crece o decae exponencialmente, se pretende específicamente modelarla usando la fórmula ²¹ de crecimiento/decaimiento exponencial:

\(P(t)=P_{0} e^{k t}\)

Aquí\(P_{0}\), leer “\(P\)nada” o “\(P\)cero”, representa la cantidad inicial, k representa la tasa de crecimiento y\(t\) representa el tiempo en que la cantidad inicial crece o decae exponencialmente. Si\(k\) es negativo, entonces la función modela decaimiento exponencial. Observe que la función se ve muy similar a la de fórmula de interés continuamente compuesto. Podemos usar esta fórmula para modelar el crecimiento de la población cuando las condiciones son óptimas.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

Se estima que la población de un determinado pueblo pequeño es\(93,000\) gente con una tasa de crecimiento anual de\(2.6\)%. Si la población continúa aumentando exponencialmente a este ritmo:

1. Estimar la población en\(7\) años.
2. Estimar el tiempo que tardará la población en llegar a 120 mil personas.

Solución

Comenzamos construyendo un modelo matemático basado en la información dada. Aquí la población inicial\(P_{0} = 93,000\) las personas y la tasa de crecimiento\(r = 2.6\)%\(= 0.026\). El siguiente modelo da población en términos de tiempo medido en años:

\(P(t)=93,000 e^{0.026 t}\)

a. Utilizar esta función para estimar la población en\(t = 7\) años.

\(\begin{aligned} P(t) &=93,000 e^{0006(\color{Cerulean}{7}\color{black}{)}} \\ &=93,000 e^{0.182} \\ & \approx 111,564 \quad people \end{aligned}\)

b. Utilizar el modelo para determinar el tiempo que lleva llegar a\(P (t) = 120,000\) las personas.

\(\begin{aligned} P(t) &=93,000 e^{0.026 t} \\ \color{Cerulean}{120,000} &\color{black}{=}93,000 e^{0.026 t} \\ \frac{120,000}{93,000} &=e^{0.026 t} \\ \frac{40}{31} &=e^{0.026 t} \end{aligned}\)

Toma el logaritmo natural de ambos lados y luego resuelve para\(t\).

\(\ln \left(\frac{40}{31}\right)=\ln e^{0.026 t}\)
\(\ln \left(\frac{40}{31}\right)=0.026 t \ln e\)
\(\ln \left(\frac{40}{31}\right)=0.026 t \cdot 1\)
\(\frac{\ln \left(\frac{40}{31}\right)}{0.026}=t\)

Usando una calculadora,

\(t=\ln (40 / 31) / 0.026 \approx 9.8\quad years\)

Respuesta:

1. \(111,564\)personas
2. \(9.8\)años

A menudo no\(k\) se da la tasa de crecimiento. En este caso, buscamos alguna otra información para que podamos determinarla y luego construir un modelo matemático. Los pasos generales se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

En condiciones óptimas, las bacterias Escherichia coli (E. coli) crecerán exponencialmente con un tiempo de duplicación de\(20\) minutos. Si las células de\(1,000\) E. coli se colocan en una placa de Petri y se mantienen en condiciones óptimas, ¿cuántas células de E. coli estarán presentes en\(2\) horas?

Figura\(\PageIndex{1}\): Escherichia coli (E. coli)

Solución

El objetivo es utilizar la información dada para construir un modelo matemático basado en la fórmula\(P (t) = P_{0} e^{kt}\).

Paso 1: Encuentra la tasa de crecimiento\(k\). Usa el hecho de que la cantidad inicial,\(P_{0} = 1,000\) celdas, se duplica en\(20\) minutos. Es decir,\(P (t) = 2,000\) las células cuando los\(t = 20\) minutos.

\(\begin{aligned} P(t) &=P_{0} e^{k t} \\ \color{Cerulean}{2,000} &\color{black}{=}1,000 e^{k \color{Cerulean}{20}} \end{aligned}\)

Resuelve para la única variable\(k\).

\(\begin{aligned} 2,000 &=1,000 e^{k 20} \\ \frac{2,000}{1,000} &=e^{k 20} \\ 2 &=e^{k 20} \\ \ln (2) &=\ln e^{k 20} \\ \ln (2) &=k 20 \ln e \\ \ln (2) &=k 20 \cdot 1 \\ \frac{\ln (2)}{20} &=k \end{aligned}\)

Paso 2: Escribir un modelo matemático basado en la información dada. Aquí\(k ≈ 0.0347\), que es aproximadamente\(3.5\)% tasa de crecimiento por minuto. Sin embargo, usaremos el valor exacto para\(k\) en nuestro modelo. Esto nos permitirá evitar errores de redondeo en el resultado final. Uso\(P_{0} = 1,000\) y\(k=\ln (2) / 20\):

\(P(t)=1,000 e^{(\ln (2) / 20) t}\)

Esta ecuación modela el número de células de E. coli en términos de tiempo en minutos.

Paso 3: Usa la función para responder a las preguntas. En este caso, se nos pide encontrar el número de celdas presentes en\(2\) horas. Debido a que el tiempo se mide en minutos, utilice\(t = 120\) minutos para calcular el número de células de E. coli.

\(\begin{aligned} P(\color{Cerulean}{120}\color{black}{)} &=1,000 e^{(\ln (2) / 20)(\color{Cerulean}{120}\color{black}{)}} \\ &=1,000 e^{\ln (2) \cdot 6} \\ &=1,000 e^{\ln 2^{6}} \\ &=1,000 \cdot 2^{6} \\ &=64,000 \text { cells } \end{aligned}\)

Respuesta:

En dos horas estarán presentes\(64,000\) celdas.

Cuando la tasa de crecimiento es negativa la función modela decaimiento exponencial. Podemos describir cantidades decrecientes usando una semivida ²², o el tiempo que lleva decairse a la mitad de una cantidad dada.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

Debido a la desintegración radiactiva, el cesio-137 tiene una vida media de\(30\) años. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de\(50\) -miligramo en decairse a\(10\) miligramos?

Solución

Utilice la información de vida media para determinar la tasa de decaimiento\(k\). En\(t = 30\) años la cantidad inicial\(P_{0} = 50\) miligramos decairá a medio\(P (30) = 25\) miligramos.

\(\begin{aligned} P(t) &=P_{0} e^{k t} \\ 25 &=50 e^{k 30} \end{aligned}\)

Resolver para la única variable,\(k\).

\(\begin{aligned}25&=50 e^{130} \\ \frac{25}{50}&=e^{30 k} \\ \ln \left(\frac{1}{2}\right)&=\ln e^{30 k} \\ \ln \left(\frac{1}{2}\right)&=30 k \ln e \\ \frac{\ln 1-\ln 2}{30}&=k\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Recall\:that\:\ln1=0.} \\ -\frac{\ln 2}{30}&=k\end{aligned}\)

Tenga en cuenta que\(k=-\ln \frac{2}{30} \approx-0.0231\) es negativo. Sin embargo, usaremos el valor exacto para construir un modelo que dé la cantidad de cesio-137 con respecto al tiempo en años.

\(P(t)=50 e^{(-\ln 2 / 30) t}\)

Usa este modelo para encontrar\(t\) cuando\(P (t) = 10\) miligramos.

\(\begin{aligned}10&=50 e^{(-\ln 2 / 30) t} \\ \frac{10}{50}&=e^{(-\ln 2 / 30) t} \\ \ln \left(\frac{1}{5}\right)&=\ln e^{(-\ln 2 / 30) t} \\ \ln 1-\ln 5&=\left(-\frac{\ln 2}{30}\right) t \ln e \quad\color{Cerulean} { Recall\: that\: \ln e=1. }\\ -30\frac{(\ln 1-\ln5)}{\ln 2}&=t\\-\frac{30(0-\ln 5)}{\ln 2}&=t \\ \frac{30\ln 5}{\ln 2}&=t\end{aligned}\)

Respuesta:

Usando una calculadora, tardará\(t ≈ 69.66\) años en decairse a\(10\) miligramos.

La datación por radiocarbono es un método utilizado para estimar la edad de los artefactos con base en la cantidad relativa de carbono-14 presente en él. Cuando un organismo muere, deja de absorber este isótopo radiactivo natural, y el carbono-14 comienza a descomponerse a un ritmo conocido. Por lo tanto, la cantidad de carbono-14 presente en un artefacto puede ser utilizada para estimar la edad del artefacto.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\):

Se encuentra que una herramienta ósea antigua contiene\(25\)% del carbono-14 que normalmente se encuentra en el hueso. Dado que el carbono-14 tiene una vida media de\(5,730\) años, estime la edad de la herramienta.

Solución

Comience por usar la información de vida media para encontrar\(k\). Aquí no se da la cantidad inicial\(P_{0}\) de carbono-14, sin embargo, sabemos que en\(t = 5,730\) años, esta cantidad decae a la mitad,\(\frac{1}{2} P_{0}\).

\(P(t)=P_{0} e^{k t}\)
\(\frac{1}{2} P_{0}=P_{0} e^{k 5,730}\)

Dividir ambos lados por nos\(P_{0}\) deja con una ecuación exponencial en términos de\(k\). Esto demuestra que la vida media es independiente de la cantidad inicial.

\(\frac{1}{2}=e^{k5,730}\)

Resolver para\(k\).

\(\begin{aligned}\ln \left(\frac{1}{2}\right)&=\ln e^{k 5,730}\\ \ln1-\ln2 &= 5,730k\ln e \\ \frac{0-\ln 2}{5,730}&=k \\ -\frac{\ln 2}{5,730}&=k\end{aligned}\)

Por lo tanto tenemos el modelo,

\(P(t)=P_{0} e^{(-\ln 2 / 5,730) t}\)

A continuación deseamos el tiempo de búsqueda que tarda el carbono-14 en descomponerse al\(25\)% de la cantidad inicial, o\(P (t) = 0.25P_{0}\)

. \(0.25 P_{0}=P_{0} e^{(-\ln 2 / 5,730) t}\)

Divide ambos lados por\(P_{0}\) y resuelve para\(t\).

\(\begin{aligned} 0.25 &=e^{(-\ln 2 / 5,730) t} \\ \ln (0.25) &=\ln e^{(-\ln 2 / 5,730) t} \\ \ln (0.25) &=\left(-\frac{\ln 2}{5,730}\right)_{t \ln e} \\-\frac{5,730 \ln (0.25)}{\ln 2} &=t\\11,460&\approx t \end{aligned}\)

Respuesta:

La herramienta tiene aproximadamente\(11,460\) años de antigüedad.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

La vida media del estroncio-90 es de aproximadamente\(28\) años. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de\(36\) miligramos de estroncio-90 en descomponerse a\(30\) miligramos?

Contestar

\(7.4\)años

www.youtube.com/v/oto0ihiyvbc

Claves para llevar

• Cuando el interés se agrava un número dado de veces al año usa la fórmula\(A(t)=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\).
• Cuando el interés se va a agrava continuamente usa la fórmula\(A(t)=P e^{r t}\).
• El tiempo de duplicación es el período de tiempo que tarda una cantidad determinada en duplicarse. El tiempo de duplicación es independiente del principal.
• Cuando se dice que las cantidades están aumentando o decayendo exponencialmente, use la fórmula\(P(t)=P_{0} e^{k t}\).
• La vida media es el período de tiempo que tarda una cantidad determinada en disminuir a la mitad. La vida media es independiente de la cantidad inicial.
• Para modelar datos usando la fórmula de crecimiento/decaimiento exponencial, utilice la información dada para determinar la tasa de crecimiento/decaimiento\(k\). Una vez determinado,\(k\) se puede escribir una fórmula para modelar el problema. Usa la fórmula para responder a las preguntas.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

1. Jill invirtió $\(1,450\) en una cuenta ganando\(4 \frac{5}{8}\)% de interés anual que se compone mensualmente.
   1. ¿Cuánto habrá en la cuenta después de\(6\) años?
   2. ¿Cuánto tiempo tardará la cuenta en crecer a $\(2,200\)?
2. James invirtió $\(825\) en una cuenta ganando\(5 \frac{2}{5}\)% de interés anual que se compone mensualmente.
   1. ¿Cuánto habrá en la cuenta después de\(4\) años?
   2. ¿Cuánto tiempo tardará la cuenta en crecer a $\(1,500\)?
3. Raúl invirtió $\(8,500\) en un fondo del mercado monetario en línea ganando\(4.8\)% de interés anual que se agrava continuamente.
   1. ¿Cuánto habrá en la cuenta después de\(2\) años?
   2. ¿Cuánto tiempo tardará la cuenta en crecer a $\(10,000\)?
4. Ian depositó $\(500\) en una cuenta ganando\(3.9\)% de interés anual que se compone continuamente.
   1. ¿Cuánto habrá en la cuenta después de\(3\) años?
   2. ¿Cuánto tiempo tardará la cuenta en crecer a $\(1,500\)?
5. Bill quiere hacer crecer su $\(75,000\) herencia a $\(100,000\) antes de gastar nada de ella. ¿Cuánto tiempo tomará esto si el banco ofrece\(5.2\)% de interés anual compuesto trimestralmente?
6. Mary necesita $\(25,000\) para el pago inicial de un nuevo hogar. Si invierte sus ahorros de $\(21,350\) en una cuenta que gana\(4.6\)% de interés anual que se compone semestralmente, ¿cuánto tiempo tardará en crecer hasta la cantidad que necesita?
7. Joe invirtió sus\(8,700\) ahorros de $ en una cuenta ganando\(6 \frac{3}{4}\)% de interés anual que se agrava continuamente. ¿Cuánto tiempo tardará en ganar $\(300\) en intereses?
8. Miriam invirtió $\(12,800\) en una cuenta ganando\(5 \frac{1}{4}\)% de interés anual que se compone mensualmente. ¿Cuánto tiempo tardará en ganar $\(1,200\) en intereses?
9. Dado que el banco está ofreciendo\(4.2\)% de interés anual compuesto mensualmente, ¿qué principal se necesita para ganar $\(25,000\) en intereses por un año?
10. Dado que el banco está ofreciendo\(3.5\)% de interés anual compuesto continuamente, ¿qué principal se necesita para ganar $\(12,000\) en intereses por un año?
11. José invirtió su\(3,500\) bono de $ en una cuenta ganando\(5 \frac{1}{2}\)% de interés anual que se compone trimestralmente. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicar su inversión?
12. María invirtió sus\(4,200\) ahorros de $ en una cuenta ganando\(6 \frac{3}{4}\)% de interés anual que se compone semestralmente. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicar sus ahorros?
13. Si se invierte dinero en una cuenta que gana\(3.85\)% de interés anual que se compone continuamente, ¿cuánto tiempo tardará el monto en duplicarse?
14. Si se invierte dinero en una cuenta que gana\(6.82\)% de interés anual que se compone continuamente, ¿cuánto tiempo tardará el monto en duplicarse?
15. Encuentre la tasa de interés anual a la que una cuenta que gana intereses compuestos continuamente tiene un tiempo de duplicación de\(9\) años.
16. Encuentra la tasa de interés anual a la que una cuenta que gana intereses que se compone mensualmente tiene un tiempo de duplicación de\(10\) años.
17. Alice invirtió sus ahorros de $\(7,000\) en una cuenta ganando\(4.5\)% de interés anual que se compone mensualmente. ¿Cuánto tiempo tardará la cuenta en triplicar su valor?
18. Mary invirtió su\(42,000\) bono de $ en una cuenta ganando\(7.2\)% de interés anual que se agrava continuamente. ¿Cuánto tiempo tardará la cuenta en triplicar su valor?
19. Calcular el tiempo de duplicación de una inversión realizada en\(7\)% de interés anual que se compone:
    1. mensual
    2. continuamente
20. Calcular el tiempo de duplicación de una inversión que está ganando continuamente intereses compuestos a una tasa de interés anual de:
    1. \(4\)%
    2. \(6\)%
21. El abuelo de Billy invirtió en un bono de ahorro que ganaba\(5.5\)% de interés anual que se componía anualmente. Actualmente,\(30\) años después, el bono de ahorro está valorado en $\(10,000\). Determinar cuál fue la inversión inicial.
22. En 1935 Frank abrió una cuenta ganando\(3.8\)% de interés anual que se compuso trimestralmente. Redescubrió esta cuenta mientras limpiaba su cochera en 2005. Si la cuenta ahora vale $\(11,294.30\), ¿cuánto fue su depósito inicial en 1935?

Contestar

1. (1) $\(1,912.73\) (2)\(9\) años

3. (1) $\(9,356.45\) (2)\(3.4\) años

5. \(5.6\)años

7. \(\frac{1}{2}\)año

9. $\(583,867\)

11. \(12.7\)años

13. \(18\)años

15. \(7.7\)%

17. \(24.5\)años

19. (1)\(9.93\) años (2)\(9.90\) años

21. $\(2,006.44\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

1. Se espera que la población de un pequeño\(24,000\) pueblo de personas crezca exponencialmente a una tasa de\(1.6\)% anual. Construir un modelo de crecimiento exponencial y utilizarlo para:
   1. Estimar la población en\(3\) años.
   2. Estimar el tiempo que tardará la población en llegar a\(30,000\) las personas.
2. Durante la fase de crecimiento exponencial, ciertas bacterias pueden crecer a una tasa de\(4.1\)% por hora. Si\(10,000\) las células están inicialmente presentes en una muestra, construya un modelo de crecimiento exponencial y utilícelo para:
   1. Estimar la población en\(5\) horas.
   2. Estimar el tiempo que tardará la población en llegar a\(25,000\) las células.
3. En 2000, se estimó que la población mundial era de\(6.115\) mil millones de personas y en 2010 la estimación era de\(6.909\) mil millones de personas. Si la población mundial sigue creciendo exponencialmente, estime la población mundial total en 2020.
4. En 2000, se estimó que la población de Estados Unidos era de\(282\) millones de personas y en 2010 la estimación era de\(309\) millones de personas. Si la población de Estados Unidos crece exponencialmente, estime la población en 2020.
5. Se compró un automóvil nuevo por $\(42,500\) y\(2\) años después se valoró en $\(33,400\). Estimar el valor del automóvil en\(5\) años si continúa disminuyendo exponencialmente.
6. Se compró una nueva PC por $\(1,200\) y en\(1.5\) años valió $\(520\). Supongamos que el valor está disminuyendo exponencialmente y estime el valor de la PC cuatro años después de su compra.
7. La población de la zona centro de cierta ciudad disminuyó de\(12,500\) personas a\(10,200\) personas en dos años. Si la población sigue disminuyendo exponencialmente a este ritmo, ¿cuál esperaríamos que fuera la población en dos años más?
8. Se compró un nuevo reproductor MP3 por $\(320\) y en el\(1\) año se vendía usado en línea por $\(210\). Si el valor continúa disminuyendo exponencialmente a este ritmo, determine el valor del reproductor MP3\(3\) años después de su compra.
9. La vida media del radio-226 es de aproximadamente\(1,600\) años. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de\(5\) -miligramo de radio-226 en descomponerse a\(1\) miligramo?
10. La vida media del plutonio-239 es de aproximadamente\(24,000\) años. ¿Cuánto tiempo tomará una muestra de\(5\) -miligramo de plutonio-239 en decairse a\(1\) miligramo?
11. La vida media del yodo-131 radiactivo es de aproximadamente\(8\) días. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra inicial de\(28\) -gramo de yodo-131 en descomponerse a\(12\) gramos?
12. La vida media del cesio-137 es de aproximadamente\(30\) años. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de\(15\) -miligramo de cesio-137 en descomponerse a\(5\) miligramos?
13. El Papiro Matemático Rafter es considerado como el mejor ejemplo de las matemáticas egipcias encontradas hasta la fecha. Se encontró que este papiro antiguo contenía\(64\)% del carbono-14 que normalmente se encuentra en el papiro. Dado que el carbono-14 tiene una vida media de\(5,730\) años, estime la edad del papiro.
14. Se encontró que un artefacto de cuenco de madera tallado en roble contenía\(55\)% del carbono-14 que normalmente se encuentra en el roble. Dado que el carbono-14 tiene una vida media de\(5,730\) años, estime la edad del cuenco.
15. La vida media del yodo-131 radiactivo es de aproximadamente\(8\) días. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de yodo-131 en descomponerse al\(10\)% de la cantidad original?
16. La vida media del cesio-137 es de aproximadamente\(30\) años. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de cesio-137 en descomponerse al\(25\)% de la cantidad original?
17. La vida media del cesio-137 es de aproximadamente\(30\) años. ¿Qué porcentaje de una muestra inicial quedará en\(100\) años?
18. La vida media del yodo-131 radiactivo es de aproximadamente\(8\) días. ¿Qué porcentaje de una muestra inicial quedará en\(30\) días?
19. Si un hueso tiene\(100\) años, ¿qué porcentaje de su cantidad original de carbono-14 esperamos encontrar en él?
20. La vida media del plutonio-239 es de aproximadamente\(24,000\) años. ¿Qué porcentaje de una muestra inicial quedará en\(1,000\) años?
21. Encuentra la cantidad de tiempo que tardará el\(10\)% de una muestra inicial de plutonio-239 en decairse. (Pista: Si\(10\)% decae, entonces\(90\)% permanecerá.)
22. Encuentra la cantidad de tiempo que tardará el\(10\)% de una muestra inicial de carbono-14 en descomponerse.

Contestar

1. (1) Acerca de\(25,180\) las personas (2) Acerca de\(14\) los años

3. Alrededor de\(7.806\) mil millones de personas

5. Acerca de $\(23,269.27\)

7. \(8,323\)personas

9. \(3,715\)años

11. \(9.8\)días

13. Acerca de\(3,689\) años

15. \(26.6\)días

17. \(9.9\)%

19. \(98.8\)%

21. \(3,648\)años

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Resolver para la variable dada:

1. Resolver para\(t: A = Pe^{rt}\)
2. Resolver para\(t: A = P(1 + r)^{t}\)
3. Resolver para\(I: M=\log \left(\frac{I}{l_{0}}\right)\)
4. Resolver para\(H^{+}: pH = -\log \left(H^{+}\right)\)
5. Resolver para\(t: P = \frac{1}{1+e^{−t}}\)
6. Resolver para\(I: L=10 \log \left(I / 10^{-12}\right)\)
7. El número de células en una determinada muestra de bacterias es aproximado por el modelo de crecimiento logístico\(N(t)=\frac{1.2 \times 10^{5}}{1+9 e^{-0.32t}}\), donde\(t\) representa el tiempo en horas. Determinar el tiempo que tarda la muestra en crecer hasta\(24,000\) las células.
8. La cuota de mercado de un producto, como porcentaje, se aproxima por la fórmula\(P(t)=\frac{100}{3+e^{-0.44 t}}\) donde\(t\) representa el número de meses después de que se lanza una campaña publicitaria agresiva.
   1. ¿Cuál fue la cuota de mercado inicial?
   2. ¿Cuánto tiempo esperaríamos ver un aumento de\(3.5\)% en la cuota de mercado?
9. En química, el pH es una medida de acidez y viene dado por la fórmula\(\mathrm{pH}=-\log \left(H^{+}\right)\), donde\(H^{+}\) está la concentración de iones hidrógeno (medida en moles de hidrógeno por litro de solución). ¿Cuál es la concentración de iones hidrógeno del agua de mar con un pH de\(8\)?
10. Determinar la concentración de iones hidrógeno de la leche con un pH de\(6.6\).
11. El volumen de sonido,\(L\) en decibelios (dB), viene dado por la fórmula\(L=10 \log \left(I / 10^{-12}\right)\) donde\(I\) representa la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado. Determinar la intensidad del sonido de un secador de pelo que emite\(70\) dB de sonido.
12. El volumen de una motosierra mide\(110\) dB. Determinar la intensidad de este sonido.

Contestar

1. \(t=\frac{\ln (A)-\ln (P)}{r}\)

3. \(I=I_{0} \cdot 10^{M}\)

5. \(t=\ln \left(\frac{P}{1-P}\right)\)

7. \(2.5\)Horas aproximadas

9. \(10^{-8}\)moles por litro

11. \(10^{-5}\)vatios por metro cuadrado

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

1. ¿Qué factor afecta más el tiempo de duplicación, la capitalización anual\(n\) o la tasa de interés\(r\)? Explique.
2. Investigar y discutir la datación por radiocarbono. Publica algo interesante que hayas aprendido así como un enlace a más información.
3. ¿El crecimiento exponencial es sustentable en un periodo de tiempo indefinido? Explique.
4. Investigar y discutir la vida media de los materiales radiactivos.

Contestar

1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar

Notas al pie

²⁰ El periodo de tiempo que tarda una cantidad en duplicarse.

²¹ Una fórmula que modela el crecimiento o decaimiento exponencial:\(P(t)=P_{0} e^{k t}\).

²² El periodo de tiempo que tarda una cantidad en decairse a la mitad de la cantidad inicial.