7.6: Aplicaciones
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Objetivos de aprendizaje
- Utilice las fórmulas compuestas y de interés continuo.
- Calcular el tiempo de duplicación.
- Utilice el modelo de crecimiento/decaimiento exponencial.
- Calcular la tasa de decaimiento dada la vida media.
Fórmulas compuestas y de interés continuo
Recordemos que el interés compuesto se produce cuando los intereses acumulados por un periodo se agregan a la inversión principal antes de calcular los intereses para el siguiente periodo. La cantidadA devengada de esta manera a lo largo del tiempot se modela por la fórmula de interés compuesto:
A(t)=P(1+rn)nt
Aquí el principal inicialP está acumulando interés compuesto a una tasa anualr donde el valorn representa el número de veces que el interés se compone en un año.
Ejemplo7.6.1:
Susan invirtió $500 en una cuenta ganando412% de interés anual que se compone mensualmente.
a. ¿Cuánto habrá en la cuenta después de3 años?
b. ¿Cuánto tiempo tardará en que la cantidad crezca a $750?
Solución
En este ejemplo, el principalP= $500, la tasa de interésr=412%=0.045, y debido a que el interés se compone mensualmente,n=12. La inversión puede ser modelada por la siguiente función:
A(t)=500(1+0.04512)12t
A(t)=500(1.00375)12t
a. Utilice este modelo para calcular el monto en la cuenta después det=3 años.
A(3)=500(1.00375)12(3)=500(1.00375)36≈572.12
Redondeado al centavo más cercano, después de3 años, el monto acumulado será de $572.12.
b. calcular el tiempo que se tarda en acumular $750, establecerA(t)=750 y resolver parat.
A(t)=500(1.00375)12t750=500(1.00375)12t
Esto da como resultado una ecuación exponencial que puede resolverse aislando primero la expresión exponencial.
750=500(1.00375)12t750500=(1.00375)12t1.5=(1.00375)12t
En este punto tomar el logaritmo común de ambos lados, aplicar la regla de poder para logaritmos, y luego resolver parat.
log(1.5)=log(1.00375)12tlog(1.5)=12tlog(1.00375)log(1.5)12log(1.00375)=12tlog(1.00375)12log(1.00375)log(1.5)12log(1.00375)=t
Usando una calculadora podemos aproximar el tiempo que lleva.
t=log(1.5)/(12∗log(1.00375))≈9años
Respuesta:
a. $572.12
b. aproximadamente9 años
El periodo de tiempo que tarda una cantidad en duplicarse se denomina tiempo de duplicación 20. A continuación describimos una técnica para calcular el tiempo que se tarda en duplicar una inversión inicial que genera intereses compuestos.
Ejemplo7.6.2:
Mario invirtió $1000 en una cuenta ganando6.3% de interés anual, es decir, se compone semestralmente. ¿Cuánto tiempo tardará la inversión en duplicarse?
Solución
Aquí el principalP= $1,000, la tasa de interésr=6.3%=0.063, y porque el interés se compone semestralmenten=2. Esta inversión puede modelarse de la siguiente manera:
A(t)=1,000(1+0.0632)2t
A(t)=1,000(1.0315)2t
Ya que estamos buscando el tiempo que lleva duplicar $1,000, sustituir $2,000 por la cantidad resultanteA(t) y luego resolver port.
2,000=1,000(1.0315)2t2,0001,000=(1.0315)2t2=(1.0315)2t
En este punto tomamos el logaritmo común de ambos lados.
2=(1.0315)2tlog2=log(1.0315)2tlog2=2tlog(1.0315)log22log(1.0315)=t
Usando una calculadora podemos aproximar el tiempo que lleva:
t=log(2)/(2∗log(1.0315))≈11.17años
Respuesta:
Aproximadamente11.17 años para duplicarse en6.3%.
Si la inversión en el ejemplo anterior fuera de un millón de dólares, ¿cuánto tiempo tardaría en duplicarse? Para responder a esto usaríamosP= $1,000,000 yA(t)= $2,000,000:
A(t)=1,000(1.0315)2t2,000,000=1,000,000(1.0315)2t
Dividiendo ambos lados por1,000,000 obtenemos la misma función exponencial que antes.
2=(1.0315)2t
De ahí, el resultado será el mismo, aproximadamente11.17 años. De hecho, duplicar el tiempo es independiente de la inversión inicialP.
Por lo general, el interés se compone semestral(n=2)(n=4), trimestral(n=12), mensual o diario(n=365). Sin embargo, si el interés se agrava cada instante obtenemos una fórmula para componer continuamente el interés:
A(t)=Pert
AquíP representa el monto inicial del principal invertido,r representa la tasa de interés anual yt representa el tiempo en años en que se permite que la inversión devenga intereses compuestos continuamente.
Ejemplo7.6.3:
Mary invirtió $200 en una cuenta ganando534% de interés anual que se agrava continuamente. ¿Cuánto tiempo tardará la inversión en crecer a $350?
Solución
Aquí el principalP= $200 y la tasa de interésr=534%=5.75%=0.0575. Dado que el interés se agrava continuamente, usa la fórmulaA(t)=Pert. De ahí que la inversión pueda ser modelada por lo siguiente,
A(t)=200e0.0575t
Para calcular el tiempo que se tarda en acumular a $350, establecerA(t)=350 y resolver parat.
A(t)=200e0.0575t350=200e0.0575t
Comience aislando la expresión exponencial.
350200=e0.0575t74=e0.0575t1.75=e0.0575t
Debido a que este exponencial tiene basee, elegimos tomar el logaritmo natural de ambos lados y luego resolver parat.
ln(1.75)=lne0.0575tApplythepowerruleforlogarithms.ln(1.75)=0.0575tlneRecallthatlne=1.ln(1.75)=0.0575t⋅1ln(1.75)0.0575=t
Usando una calculadora podemos aproximar el tiempo que lleva:
t=ln(1.75)/0.0575≈9.73years
Respuesta:
Será aprroximadamente9.73 años.
Al resolver aplicaciones que involucren interés compuesto, busque la palabra clave “continuo” o las palabras clave que indiquen el número de compuestos anuales. Son estas palabras clave las que determinan qué fórmula elegir.
Ejercicio7.6.1
Mario invirtió $1,000 en una cuenta ganando6.3% de interés anual que se agrava continuamente. ¿Cuánto tiempo tardará la inversión en duplicarse?
- Contestar
-
Aproximadamente11 años.
www.youtube.com/v/z_iljhiqvwq
Modelado del crecimiento exponencial y la decadencia
En las ciencias, cuando se dice que una cantidad crece o decae exponencialmente, se pretende específicamente modelarla usando la fórmula 21 de crecimiento/decaimiento exponencial:
P(t)=P0ekt
AquíP0, leer “Pnada” o “Pcero”, representa la cantidad inicial, k representa la tasa de crecimiento yt representa el tiempo en que la cantidad inicial crece o decae exponencialmente. Sik es negativo, entonces la función modela decaimiento exponencial. Observe que la función se ve muy similar a la de fórmula de interés continuamente compuesto. Podemos usar esta fórmula para modelar el crecimiento de la población cuando las condiciones son óptimas.
Ejemplo7.6.4:
Se estima que la población de un determinado pueblo pequeño es93,000 gente con una tasa de crecimiento anual de2.6%. Si la población continúa aumentando exponencialmente a este ritmo:
- Estimar la población en7 años.
- Estimar el tiempo que tardará la población en llegar a 120 mil personas.
Solución
Comenzamos construyendo un modelo matemático basado en la información dada. Aquí la población inicialP0=93,000 las personas y la tasa de crecimientor=2.6%=0.026. El siguiente modelo da población en términos de tiempo medido en años:
P(t)=93,000e0.026t
a. Utilizar esta función para estimar la población ent=7 años.
P(t)=93,000e0006(7)=93,000e0.182≈111,564people
b. Utilizar el modelo para determinar el tiempo que lleva llegar aP(t)=120,000 las personas.
P(t)=93,000e0.026t120,000=93,000e0.026t120,00093,000=e0.026t4031=e0.026t
Toma el logaritmo natural de ambos lados y luego resuelve parat.
ln(4031)=lne0.026t
ln(4031)=0.026tlne
ln(4031)=0.026t⋅1
ln(4031)0.026=t
Usando una calculadora,
t=ln(40/31)/0.026≈9.8years
Respuesta:
- 111,564personas
- 9.8años
A menudo nok se da la tasa de crecimiento. En este caso, buscamos alguna otra información para que podamos determinarla y luego construir un modelo matemático. Los pasos generales se describen en el siguiente ejemplo.
Ejemplo7.6.5:
En condiciones óptimas, las bacterias Escherichia coli (E. coli) crecerán exponencialmente con un tiempo de duplicación de20 minutos. Si las células de1,000 E. coli se colocan en una placa de Petri y se mantienen en condiciones óptimas, ¿cuántas células de E. coli estarán presentes en2 horas?
Figura7.6.1: Escherichia coli (E. coli)
Solución
El objetivo es utilizar la información dada para construir un modelo matemático basado en la fórmulaP(t)=P0ekt.
Paso 1: Encuentra la tasa de crecimientok. Usa el hecho de que la cantidad inicial,P0=1,000 celdas, se duplica en20 minutos. Es decir,P(t)=2,000 las células cuando lost=20 minutos.
P(t)=P0ekt2,000=1,000ek20
Resuelve para la única variablek.
2,000=1,000ek202,0001,000=ek202=ek20ln(2)=lnek20ln(2)=k20lneln(2)=k20⋅1ln(2)20=k
Paso 2: Escribir un modelo matemático basado en la información dada. Aquík≈0.0347, que es aproximadamente3.5% tasa de crecimiento por minuto. Sin embargo, usaremos el valor exacto parak en nuestro modelo. Esto nos permitirá evitar errores de redondeo en el resultado final. UsoP0=1,000 yk=ln(2)/20:
P(t)=1,000e(ln(2)/20)t
Esta ecuación modela el número de células de E. coli en términos de tiempo en minutos.
Paso 3: Usa la función para responder a las preguntas. En este caso, se nos pide encontrar el número de celdas presentes en2 horas. Debido a que el tiempo se mide en minutos, utilicet=120 minutos para calcular el número de células de E. coli.
P(120)=1,000e(ln(2)/20)(120)=1,000eln(2)⋅6=1,000eln26=1,000⋅26=64,000 cells
Respuesta:
En dos horas estarán presentes64,000 celdas.
Cuando la tasa de crecimiento es negativa la función modela decaimiento exponencial. Podemos describir cantidades decrecientes usando una semivida 22, o el tiempo que lleva decairse a la mitad de una cantidad dada.
Ejemplo7.6.6:
Debido a la desintegración radiactiva, el cesio-137 tiene una vida media de30 años. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de50 -miligramo en decairse a10 miligramos?
Solución
Utilice la información de vida media para determinar la tasa de decaimientok. Ent=30 años la cantidad inicialP0=50 miligramos decairá a medioP(30)=25 miligramos.
P(t)=P0ekt25=50ek30
Resolver para la única variable,k.
25=50e1302550=e30kln(12)=lne30kln(12)=30klneln1−ln230=kRecallthatln1=0.−ln230=k
Tenga en cuenta quek=−ln230≈−0.0231 es negativo. Sin embargo, usaremos el valor exacto para construir un modelo que dé la cantidad de cesio-137 con respecto al tiempo en años.
P(t)=50e(−ln2/30)t
Usa este modelo para encontrart cuandoP(t)=10 miligramos.
10=50e(−ln2/30)t1050=e(−ln2/30)tln(15)=lne(−ln2/30)tln1−ln5=(−ln230)tlneRecallthatlne=1.−30(ln1−ln5)ln2=t−30(0−ln5)ln2=t30ln5ln2=t
Respuesta:
Usando una calculadora, tardarát≈69.66 años en decairse a10 miligramos.
La datación por radiocarbono es un método utilizado para estimar la edad de los artefactos con base en la cantidad relativa de carbono-14 presente en él. Cuando un organismo muere, deja de absorber este isótopo radiactivo natural, y el carbono-14 comienza a descomponerse a un ritmo conocido. Por lo tanto, la cantidad de carbono-14 presente en un artefacto puede ser utilizada para estimar la edad del artefacto.
Ejemplo7.6.7:
Se encuentra que una herramienta ósea antigua contiene25% del carbono-14 que normalmente se encuentra en el hueso. Dado que el carbono-14 tiene una vida media de5,730 años, estime la edad de la herramienta.
Solución
Comience por usar la información de vida media para encontrark. Aquí no se da la cantidad inicialP0 de carbono-14, sin embargo, sabemos que ent=5,730 años, esta cantidad decae a la mitad,12P0.
P(t)=P0ekt
12P0=P0ek5,730
Dividir ambos lados por nosP0 deja con una ecuación exponencial en términos dek. Esto demuestra que la vida media es independiente de la cantidad inicial.
12=ek5,730
Resolver parak.
ln(12)=lnek5,730ln1−ln2=5,730klne0−ln25,730=k−ln25,730=k
Por lo tanto tenemos el modelo,
P(t)=P0e(−ln2/5,730)t
A continuación deseamos el tiempo de búsqueda que tarda el carbono-14 en descomponerse al25% de la cantidad inicial, oP(t)=0.25P0
. 0.25P0=P0e(−ln2/5,730)t
Divide ambos lados porP0 y resuelve parat.
0.25=e(−ln2/5,730)tln(0.25)=lne(−ln2/5,730)tln(0.25)=(−ln25,730)tlne−5,730ln(0.25)ln2=t11,460≈t
Respuesta:
La herramienta tiene aproximadamente11,460 años de antigüedad.
Ejercicio7.6.2
La vida media del estroncio-90 es de aproximadamente28 años. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de36 miligramos de estroncio-90 en descomponerse a30 miligramos?
- Contestar
-
7.4años
www.youtube.com/v/oto0ihiyvbc
Claves para llevar
- Cuando el interés se agrava un número dado de veces al año usa la fórmulaA(t)=P(1+rn)nt.
- Cuando el interés se va a agrava continuamente usa la fórmulaA(t)=Pert.
- El tiempo de duplicación es el período de tiempo que tarda una cantidad determinada en duplicarse. El tiempo de duplicación es independiente del principal.
- Cuando se dice que las cantidades están aumentando o decayendo exponencialmente, use la fórmulaP(t)=P0ekt.
- La vida media es el período de tiempo que tarda una cantidad determinada en disminuir a la mitad. La vida media es independiente de la cantidad inicial.
- Para modelar datos usando la fórmula de crecimiento/decaimiento exponencial, utilice la información dada para determinar la tasa de crecimiento/decaimientok. Una vez determinado,k se puede escribir una fórmula para modelar el problema. Usa la fórmula para responder a las preguntas.
Ejercicio7.6.3
- Jill invirtió $1,450 en una cuenta ganando458% de interés anual que se compone mensualmente.
- ¿Cuánto habrá en la cuenta después de6 años?
- ¿Cuánto tiempo tardará la cuenta en crecer a $2,200?
- James invirtió $825 en una cuenta ganando525% de interés anual que se compone mensualmente.
- ¿Cuánto habrá en la cuenta después de4 años?
- ¿Cuánto tiempo tardará la cuenta en crecer a $1,500?
- Raúl invirtió $8,500 en un fondo del mercado monetario en línea ganando4.8% de interés anual que se agrava continuamente.
- ¿Cuánto habrá en la cuenta después de2 años?
- ¿Cuánto tiempo tardará la cuenta en crecer a $10,000?
- Ian depositó $500 en una cuenta ganando3.9% de interés anual que se compone continuamente.
- ¿Cuánto habrá en la cuenta después de3 años?
- ¿Cuánto tiempo tardará la cuenta en crecer a $1,500?
- Bill quiere hacer crecer su $75,000 herencia a $100,000 antes de gastar nada de ella. ¿Cuánto tiempo tomará esto si el banco ofrece5.2% de interés anual compuesto trimestralmente?
- Mary necesita $25,000 para el pago inicial de un nuevo hogar. Si invierte sus ahorros de $21,350 en una cuenta que gana4.6% de interés anual que se compone semestralmente, ¿cuánto tiempo tardará en crecer hasta la cantidad que necesita?
- Joe invirtió sus8,700 ahorros de $ en una cuenta ganando634% de interés anual que se agrava continuamente. ¿Cuánto tiempo tardará en ganar $300 en intereses?
- Miriam invirtió $12,800 en una cuenta ganando514% de interés anual que se compone mensualmente. ¿Cuánto tiempo tardará en ganar $1,200 en intereses?
- Dado que el banco está ofreciendo4.2% de interés anual compuesto mensualmente, ¿qué principal se necesita para ganar $25,000 en intereses por un año?
- Dado que el banco está ofreciendo3.5% de interés anual compuesto continuamente, ¿qué principal se necesita para ganar $12,000 en intereses por un año?
- José invirtió su3,500 bono de $ en una cuenta ganando512% de interés anual que se compone trimestralmente. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicar su inversión?
- María invirtió sus4,200 ahorros de $ en una cuenta ganando634% de interés anual que se compone semestralmente. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicar sus ahorros?
- Si se invierte dinero en una cuenta que gana3.85% de interés anual que se compone continuamente, ¿cuánto tiempo tardará el monto en duplicarse?
- Si se invierte dinero en una cuenta que gana6.82% de interés anual que se compone continuamente, ¿cuánto tiempo tardará el monto en duplicarse?
- Encuentre la tasa de interés anual a la que una cuenta que gana intereses compuestos continuamente tiene un tiempo de duplicación de9 años.
- Encuentra la tasa de interés anual a la que una cuenta que gana intereses que se compone mensualmente tiene un tiempo de duplicación de10 años.
- Alice invirtió sus ahorros de $7,000 en una cuenta ganando4.5% de interés anual que se compone mensualmente. ¿Cuánto tiempo tardará la cuenta en triplicar su valor?
- Mary invirtió su42,000 bono de $ en una cuenta ganando7.2% de interés anual que se agrava continuamente. ¿Cuánto tiempo tardará la cuenta en triplicar su valor?
- Calcular el tiempo de duplicación de una inversión realizada en7% de interés anual que se compone:
- mensual
- continuamente
- Calcular el tiempo de duplicación de una inversión que está ganando continuamente intereses compuestos a una tasa de interés anual de:
- 4%
- 6%
- El abuelo de Billy invirtió en un bono de ahorro que ganaba5.5% de interés anual que se componía anualmente. Actualmente,30 años después, el bono de ahorro está valorado en $10,000. Determinar cuál fue la inversión inicial.
- En 1935 Frank abrió una cuenta ganando3.8% de interés anual que se compuso trimestralmente. Redescubrió esta cuenta mientras limpiaba su cochera en 2005. Si la cuenta ahora vale $11,294.30, ¿cuánto fue su depósito inicial en 1935?
- Contestar
-
1. (1) $1,912.73 (2)9 años
3. (1) $9,356.45 (2)3.4 años
5. 5.6años
7. 12año
9. $583,867
11. 12.7años
13. 18años
15. 7.7%
17. 24.5años
19. (1)9.93 años (2)9.90 años
21. $2,006.44
Ejercicio7.6.4
- Se espera que la población de un pequeño24,000 pueblo de personas crezca exponencialmente a una tasa de1.6% anual. Construir un modelo de crecimiento exponencial y utilizarlo para:
- Estimar la población en3 años.
- Estimar el tiempo que tardará la población en llegar a30,000 las personas.
- Durante la fase de crecimiento exponencial, ciertas bacterias pueden crecer a una tasa de4.1% por hora. Si10,000 las células están inicialmente presentes en una muestra, construya un modelo de crecimiento exponencial y utilícelo para:
- Estimar la población en5 horas.
- Estimar el tiempo que tardará la población en llegar a25,000 las células.
- En 2000, se estimó que la población mundial era de6.115 mil millones de personas y en 2010 la estimación era de6.909 mil millones de personas. Si la población mundial sigue creciendo exponencialmente, estime la población mundial total en 2020.
- En 2000, se estimó que la población de Estados Unidos era de282 millones de personas y en 2010 la estimación era de309 millones de personas. Si la población de Estados Unidos crece exponencialmente, estime la población en 2020.
- Se compró un automóvil nuevo por $42,500 y2 años después se valoró en $33,400. Estimar el valor del automóvil en5 años si continúa disminuyendo exponencialmente.
- Se compró una nueva PC por $1,200 y en1.5 años valió $520. Supongamos que el valor está disminuyendo exponencialmente y estime el valor de la PC cuatro años después de su compra.
- La población de la zona centro de cierta ciudad disminuyó de12,500 personas a10,200 personas en dos años. Si la población sigue disminuyendo exponencialmente a este ritmo, ¿cuál esperaríamos que fuera la población en dos años más?
- Se compró un nuevo reproductor MP3 por $320 y en el1 año se vendía usado en línea por $210. Si el valor continúa disminuyendo exponencialmente a este ritmo, determine el valor del reproductor MP33 años después de su compra.
- La vida media del radio-226 es de aproximadamente1,600 años. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de5 -miligramo de radio-226 en descomponerse a1 miligramo?
- La vida media del plutonio-239 es de aproximadamente24,000 años. ¿Cuánto tiempo tomará una muestra de5 -miligramo de plutonio-239 en decairse a1 miligramo?
- La vida media del yodo-131 radiactivo es de aproximadamente8 días. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra inicial de28 -gramo de yodo-131 en descomponerse a12 gramos?
- La vida media del cesio-137 es de aproximadamente30 años. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de15 -miligramo de cesio-137 en descomponerse a5 miligramos?
- El Papiro Matemático Rafter es considerado como el mejor ejemplo de las matemáticas egipcias encontradas hasta la fecha. Se encontró que este papiro antiguo contenía64% del carbono-14 que normalmente se encuentra en el papiro. Dado que el carbono-14 tiene una vida media de5,730 años, estime la edad del papiro.
- Se encontró que un artefacto de cuenco de madera tallado en roble contenía55% del carbono-14 que normalmente se encuentra en el roble. Dado que el carbono-14 tiene una vida media de5,730 años, estime la edad del cuenco.
- La vida media del yodo-131 radiactivo es de aproximadamente8 días. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de yodo-131 en descomponerse al10% de la cantidad original?
- La vida media del cesio-137 es de aproximadamente30 años. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de cesio-137 en descomponerse al25% de la cantidad original?
- La vida media del cesio-137 es de aproximadamente30 años. ¿Qué porcentaje de una muestra inicial quedará en100 años?
- La vida media del yodo-131 radiactivo es de aproximadamente8 días. ¿Qué porcentaje de una muestra inicial quedará en30 días?
- Si un hueso tiene100 años, ¿qué porcentaje de su cantidad original de carbono-14 esperamos encontrar en él?
- La vida media del plutonio-239 es de aproximadamente24,000 años. ¿Qué porcentaje de una muestra inicial quedará en1,000 años?
- Encuentra la cantidad de tiempo que tardará el10% de una muestra inicial de plutonio-239 en decairse. (Pista: Si10% decae, entonces90% permanecerá.)
- Encuentra la cantidad de tiempo que tardará el10% de una muestra inicial de carbono-14 en descomponerse.
- Contestar
-
1. (1) Acerca de25,180 las personas (2) Acerca de14 los años
3. Alrededor de7.806 mil millones de personas
5. Acerca de $23,269.27
7. 8,323personas
9. 3,715años
11. 9.8días
13. Acerca de3,689 años
15. 26.6días
17. 9.9%
19. 98.8%
21. 3,648años
Ejercicio7.6.5
Resolver para la variable dada:
- Resolver parat:A=Pert
- Resolver parat:A=P(1+r)t
- Resolver paraI:M=log(Il0)
- Resolver paraH+:pH=−log(H+)
- Resolver parat:P=11+e−t
- Resolver paraI:L=10log(I/10−12)
- El número de células en una determinada muestra de bacterias es aproximado por el modelo de crecimiento logísticoN(t)=1.2×1051+9e−0.32t, dondet representa el tiempo en horas. Determinar el tiempo que tarda la muestra en crecer hasta24,000 las células.
- La cuota de mercado de un producto, como porcentaje, se aproxima por la fórmulaP(t)=1003+e−0.44t dondet representa el número de meses después de que se lanza una campaña publicitaria agresiva.
- ¿Cuál fue la cuota de mercado inicial?
- ¿Cuánto tiempo esperaríamos ver un aumento de3.5% en la cuota de mercado?
- En química, el pH es una medida de acidez y viene dado por la fórmulapH=−log(H+), dondeH+ está la concentración de iones hidrógeno (medida en moles de hidrógeno por litro de solución). ¿Cuál es la concentración de iones hidrógeno del agua de mar con un pH de8?
- Determinar la concentración de iones hidrógeno de la leche con un pH de6.6.
- El volumen de sonido,L en decibelios (dB), viene dado por la fórmulaL=10log(I/10−12) dondeI representa la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado. Determinar la intensidad del sonido de un secador de pelo que emite70 dB de sonido.
- El volumen de una motosierra mide110 dB. Determinar la intensidad de este sonido.
- Contestar
-
1. t=ln(A)−ln(P)r
3. I=I0⋅10M
5. t=ln(P1−P)
7. 2.5Horas aproximadas
9. 10−8moles por litro
11. 10−5vatios por metro cuadrado
Ejercicio7.6.6
- ¿Qué factor afecta más el tiempo de duplicación, la capitalización anualn o la tasa de interésr? Explique.
- Investigar y discutir la datación por radiocarbono. Publica algo interesante que hayas aprendido así como un enlace a más información.
- ¿El crecimiento exponencial es sustentable en un periodo de tiempo indefinido? Explique.
- Investigar y discutir la vida media de los materiales radiactivos.
- Contestar
-
1. La respuesta puede variar
3. La respuesta puede variar