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9.E: Secuencias, Series y Teorema Binomial (Ejercicios)

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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Encuentra los primeros\(5\) términos de la secuencia así como el\(30^{th}\) término.

    1. \(a_{n}=5 n-3\)
    2. \(a_{n}=-4 n+3\)
    3. \(a_{n}=-10 n\)
    4. \(a_{n}=3 n\)
    5. \(a_{n}=(-1)^{n}(n-2)^{2}\)
    6. \(a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2 n-1}\)
    7. \(a_{n}=\frac{2 n+1}{n}\)
    8. \(a_{n}=(-1)^{n+1}(n-1)\)
    Contestar

    1. \(2,7,12,17,22 ; a_{30}=147\)

    3. \(-10,-20,-30,-40,-50 ; a_{30}=-300\)

    5. \(-1,0,-1,4,-9 ; a_{30}=784\)

    7. \(3, \frac{5}{2}, \frac{7}{3}, \frac{9}{4}, \frac{11}{5} ; a_{30}=\frac{61}{30}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra los primeros\(5\) términos de la secuencia.

    1. \(a_{n}=\frac{n x^{n}}{2 n+1}\)
    2. \(a_{n}=\frac{(-1)^{n-1} x^{n+2}}{n}\)
    3. \(a_{n}=2^{n} x^{2 n}\)
    4. \(a_{n}=(-3 x)^{n-1}\)
    5. \(a_{n}=a_{n-1}+5\)donde\(a_{1}=0\)
    6. \(a_{n}=4 a_{n-1}+1\)donde\(a_{1}=-2\)
    7. \(a_{n}=a_{n-2}-3 a_{n-1}\)dónde\(a_{1}=0\) y\(a_{2}=-3\)
    8. \(a_{n}=5 a_{n-2}-a_{n-1}\)dónde\(a_{1}=-1\) y\(a_{2}=0\)
    Contestar

    1. \(\frac{x}{3}, \frac{2 x^{2}}{5}, \frac{3 x^{3}}{7}, \frac{4 x^{4}}{9}, \frac{5 x^{5}}{11}\)

    3. \(2 x^{2}, 4 x^{4}, 8 x^{6}, 16 x^{8}, 32 x^{10}\)

    5. \(0, 5, 10, 15, 20\)

    7. \(0, −3, 9, −30, 99\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Encuentra la suma parcial indicada.

    1. \(1,4,7,10,13, \dots ; S_{5}\)
    2. \(3,1,-1,-3,-5, \dots ; S_{5}\)
    3. \(-1,3,-5,7,-9, \ldots ; S_{4}\)
    4. \(a_{n}=(-1)^{n} n^{2} ; S_{4}\)
    5. \(a_{n}=-3(n-2)^{2} ; S_{4}\)
    6. \(a_{n}=\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-2} ; S_{4}\)
    Contestar

    1. \(35\)

    3. \(-5\)

    5. \(-18\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Evaluar.

    1. \(\sum_{k=1}^{6}(1-2 k)\)
    2. \(\sum_{k=1}^{4}(-1)^{k} 3 k^{2}\)
    3. \(\sum_{n=1}^{3} \frac{n+1}{n}\)
    4. \(\sum_{n=1}^{7} 5(-1)^{n-1}\)
    5. \(\sum_{k=4}^{8}(1-k)^{2}\)
    6. \(\sum_{k=-2}^{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{k}\)
    Contestar

    1. \(-36\)

    3. \(\frac{29}{6}\)

    5. \(135\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Escribir los primeros\(5\) términos de la secuencia aritmética dado su primer término y diferencia común. Encuentra una fórmula para su término general.

    1. \(a_{1}=6 ; d=5\)
    2. \(a_{1}=5 ; d=7\)
    3. \(a_{1}=5 ; d=-3\)
    4. \(a_{1}=-\frac{3}{2} ; d=-\frac{1}{2}\)
    5. \(a_{1}=-\frac{3}{4} ; d=-\frac{3}{4}\)
    6. \(a_{1}=-3.6 ; d=1.2\)
    7. \(a_{1}=7 ; d=0\)
    8. \(a_{1}=1 ; d=1\)
    Contestar

    1. \(6,11,16,21,26 ; a_{n}=5 n+1\)

    3. \(5,2,-1,-4,-7 ; a_{n}=8-3 n\)

    5. \(-\frac{3}{4},-\frac{3}{2},-\frac{9}{4},-3,-\frac{15}{4} ; a_{n}=-\frac{3}{4} n\)

    7. \(7,7,7,7,7 ; a_{n}=7\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Dados los términos de una secuencia aritmética, encontrar una fórmula para el término general.

    1. \(10, 20, 30, 40, 50,…\)
    2. \(−7, −5, −3, −1, 1,…\)
    3. \(−2, −5, −8, −11, −14,…\)
    4. \(-\frac{1}{3}, 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \ldots\)
    5. \(a_{4}=11\)y\(a_{9}=26\)
    6. \(a_{5}=-5\)y\(a_{10}=-15\)
    7. \(a_{6}=6\)y\(a_{24}=15\)
    8. \(a_{3}=-1.4\)y\(a_{7}=1\)
    Contestar

    1. \(a_{n}=10 n\)

    3. \(a_{n}=1-3 n\)

    5. \(a_{n}=3 n-1\)

    7. \(a_{n}=\frac{1}{2} n+3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Calcular la suma indicada dada la fórmula para el término general de una secuencia aritmética.

    1. \(a_{n}=4 n-3 ; S_{60}\)
    2. \(a_{n}=-2 n+9 ; S_{35}\)
    3. \(a_{n}=\frac{1}{5} n-\frac{1}{2}; S_{15}\)
    4. \(a_{n}=-n+\frac{1}{4} ; S_{20}\)
    5. \(a_{n}=1.8 n-4.2 ; S_{45}\)
    6. \(a_{n}=-6.5 n+3 ; S_{35}\)
    Contestar

    1. \(7,140\)

    3. \(\frac{33}{2}\)

    5. \(1,674\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Evaluar.

    1. \(\sum_{n=1}^{22}(7 n-5)\)
    2. \(\sum_{n=1}^{100}(1-4 n)\)
    3. \(\sum_{n=1}^{35}\left(\frac{2}{3} n\right)\)
    4. \(\sum_{n=1}^{30}\left(-\frac{1}{4} n+1\right)\)
    5. \(\sum_{n=1}^{40}(2.3 n-1.1)\)
    6. \(\sum_{n=1}^{300} n\)
    7. Encuentra la suma de los primeros enteros impares\(175\) positivos.
    8. Encuentra la suma de los primeros enteros pares\(175\) positivos.
    9. Encuentra todas las medias aritméticas entre\(a_{1} = \frac{2}{3}\) y\(a_{5} = −\frac{2}{3}\)
    10. Encuentra todas las medias aritméticas entre\(a_{3} = −7\) y\(a_{7} = 13\).
    11. Un contrato salarial\(5\) anual ofrece $\(58,200\) para el primer año con un\(4,200\) incremento de $ cada año adicional. Determinar la obligación salarial total durante el periodo\(5\) -año.
    12. La primera fila de asientos en un teatro consiste en\(10\) asientos. Cada fila sucesiva consta de cuatro asientos más que la fila anterior. Si hay\(14\) filas, ¿cuántos asientos totales hay en el teatro?
    Contestar

    1. \(1,661\)

    3. \(420\)

    5. \(1,842\)

    7. \(30,625\)

    9. \(\frac{1}{3}, 0, −\frac{1}{3}\)

    11. $\(333,000\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Escribir los primeros\(5\) términos de la secuencia geométrica dado su primer término y relación común. Encuentra una fórmula para su término general.

    1. \(a_{1}=5 ; r=2\)
    2. \(a_{1}=3 ; r=-2\)
    3. \(a_{1}=1 ; r=-\frac{3}{2}\)
    4. \(a_{1}=-4 ; r=\frac{1}{3}\)
    5. \(a_{1}=1.2 ; r=0.2\)
    6. \(a_{1}=-5.4 ; r=-0.1\)
    Contestar

    1. \(5,10,20,40,80 ; a_{n}=5(2)^{n-1}\)

    3. \(1,-\frac{3}{2}, \frac{9}{4},-\frac{27}{8}, \frac{81}{16} ; a_{n}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}\)

    5. \(1.2,0.24,0.048,0.0096,0.00192 ; a_{n}=1.2(0.2)^{n-1}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Dados los términos de una secuencia geométrica, encontrar una fórmula para el término general.

    1. \(4, 40, 400,…\)
    2. \(−6, −30, −150,…\)
    3. \(6, \frac{9}{2}, \frac{27}{8}, \dots\)
    4. \(1, \frac{3}{5}, \frac{9}{25}, \dots\)
    5. \(a_{4}=-4\)y\(a_{9}=128\)
    6. \(a_{2}=-1\)y\(a_{5}=-64\)
    7. \(a_{2}=-\frac{5}{2}\)y\(a_{5}=-\frac{625}{16}\)
    8. \(a_{3}=50\)y\(a_{6}=-6,250\)
    9. Encuentra todas las medias geométricas entre\(a_{1} = −1\) y\(a_{4} = 64\).
    10. Encuentra todas las medias geométricas entre\(a_{3} = 6\) y\(a_{6} = 162\).
    Contestar

    1. \(a_{n}=4(10)^{n-1}\)

    3. \(a_{n}=6\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}\)

    5. \(a_{1}=\frac{1}{2}(-2)^{n-1}\)

    7. \(a_{n}=-\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}\)

    9. \(4, 16\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Calcular la suma indicada dada la fórmula para el término general de una secuencia geométrica.

    1. \(a_{n}=3(4)^{n-1} ; S_{6}\)
    2. \(a_{n}=-5(3)^{n-1} ; S_{10}\)
    3. \(a_{n}=\frac{3}{2}(-2)^{n} ; S_{14}\)
    4. \(a_{n}=\frac{1}{5}(-3)^{n+1} ; S_{12}\)
    5. \(a_{n}=8\left(\frac{1}{2}\right)^{n+2} ; S_{8}\)
    6. \(a_{n}=\frac{1}{8}(-2)^{n+2} ; S_{10}\)
    Contestar

    1. \(4,095\)

    3. \(16,383\)

    5. \(\frac{255}{128}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Evaluar.

    1. \(\sum_{n=1}^{10} 3(-4)^{n}\)
    2. \(\sum_{n=1}^{9}-\frac{3}{5}(-2)^{n-1}\)
    3. \(\sum_{n=1}^{\infty}-3\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\)
    4. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\left(\frac{4}{5}\right)^{n+1}\)
    5. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)^{n}\)
    6. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\)
    7. Después del primer año de operación, se reportó que el valor de una camioneta de la empresa era de $\(40,000\). Por depreciación, después del segundo año de operación se reportó que la camioneta tenía un valor de $\(32,000\) y luego $\(25,600\) después del tercer año de operación. Escribir una fórmula que dé el valor de la camioneta después del\(n\) th año de operación. Utilízala para determinar el valor de la camioneta después de\(10\) años de operación.
    8. El número de células en un cultivo de bacterias se duplica cada\(6\) hora. Si\(250\) las celdas están inicialmente presentes, escriba una secuencia que muestre el número de celdas presentes después de cada periodo de\(6\) -hora durante un día. Escribe una fórmula que dé el número de celdas después del periodo de\(n\) th\(6\) -hora.
    9. Una pelota rebota a la mitad de la altura de la que cayó. Si se cae de\(32\) pies, aproxime la distancia total que recorre la pelota.
    10. Una liquidación estructurada arroja una cantidad en dólares cada año\(n\) según la fórmula\(p_{n}=12,500(0.75)^{n-1}\). ¿Cuál es el valor total\(10\) de una liquidación anual?
    Contestar

    1. \(2,516,580\)

    3. \(−6\)

    5. Sin suma

    7. \(v_{n}=40,000(0.8)^{n-1} ; v_{10}=\$ 5,368.71\)

    9. \(96\)pies

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Clasificar la secuencia como aritmética, geométrica, o ninguna.

    1. \(4, 9, 14,…\)
    2. \(6, 18, 54,…\)
    3. \(-1,-\frac{1}{2}, 0, \dots\)
    4. \(10,30,60, \dots\)
    5. \(0,1,8, \dots\)
    6. \(-1, \frac{2}{3},-\frac{4}{9}, \ldots\)
    Contestar

    1. Aritmética;\(d=5\)

    3. Aritmética;\(d=\frac{1}{2}\)

    5. Tampoco

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Evaluar.

    1. \(\sum_{n=1}^{4} n^{2}\)
    2. \(\sum_{n=1}^{4} n^{3}\)
    3. \(\sum_{n=1}^{32}(-4 n+5)\)
    4. \(\sum_{n=1}^{\infty}-2\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\)
    5. \(\sum_{n=1}^{8} \frac{1}{3}(-3)^{n}\)
    6. \(\sum_{n=1}^{46}\left(\frac{1}{4} n-\frac{1}{2}\right)\)
    7. \(\sum_{n=1}^{22}(3-n)\)
    8. \(\sum_{n=1}^{31} 2 n\)
    9. \(\sum_{n=1}^{28} 3\)
    10. \(\sum_{n=1}^{30} 3(-1)^{n-1}\)
    11. \(\sum_{n=1}^{31} 3(-1)^{n-1}\)
    Contestar

    1. \(30\)

    3. \(−1,952\)

    5. \(1,640\)

    7. \(−187\)

    9. \(84\)

    11. \(3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Evaluar.

    1. \(8!\)
    2. \(11!\)
    3. \(\frac{10 !}{2 ! 6 !}\)
    4. \(\frac{9 ! 3 !}{8 !}\)
    5. \(\frac{(n+3) !}{n !}\)
    6. \(\frac{(n-2) !}{(n+1) !}\)
    Contestar

    2. \(39,916,800\)

    4. \(54\)

    6. \(\frac{1}{n(n+1)(n-1)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Calcular el coeficiente binomial indicado.

    1. \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {4}\end{array}\right)\)
    2. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {3}\end{array}\right)\)
    3. \(\left( \begin{array}{c}{10} \\ {5}\end{array}\right)\)
    4. \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {10}\end{array}\right)\)
    5. \(\left( \begin{array}{c}{12} \\ {0}\end{array}\right)\)
    6. \(\left( \begin{array}{l}{n+1} \\ {n-1}\end{array}\right)\)
    7. \(\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n-2}\end{array}\right)\)
    Contestar

    2. \(56\)

    4. \(11\)

    6. \(\frac{n(n+1)}{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Expandir usando el teorema binomial.

    1. \((x+7)^{3}\)
    2. \((x-9)^{3}\)
    3. \((2 y-3)^{4}\)
    4. \((y+4)^{4}\)
    5. \((x+2 y)^{5}\)
    6. \((3 x-y)^{5}\)
    7. \((u-v)^{6}\)
    8. \((u+v)^{6}\)
    9. \(\left(5 x^{2}+2 y^{2}\right)^{4}\)
    10. \(\left(x^{3}-2 y^{2}\right)^{4}\)
    Contestar

    1. \(x^{3}+21 x^{2}+147 x+343\)

    3. \(16 y^{4}-96 y^{3}+216 y^{2}-216 y+81\)

    5. \(x^{5}+10 x^{4} y+40 x^{3} y^{2}+80 x^{2} y^{3}+80 x y^{4}+32 y^{5}\)

    7. \(\begin{array}{l}{u^{6}-6 u^{5} v+15 u^{4} v^{2}-20 u^{3} v^{3}} {+15 u^{2} v^{4}-6 u v^{5}+v^{6}}\end{array}\)

    9. \(625 x^{8}+1,000 x^{6} y^{2}+600 x^{4} y^{4}+160 x^{2} y^{6}+16 y^{8}\)

    Examen de muestra

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    Encuentra los primeros\(5\) términos de la secuencia.

    1. \(a_{n}=6 n-15\)
    2. \(a_{n}=5(-4)^{n-2}\)
    3. \(a_{n}=\frac{n-1}{2 n-1}\)
    4. \(a_{n}=(-1)^{n-1} x^{2 n}\)
    Contestar

    1. \(-9,-3,3,9,15\)

    3. \(0, \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{3}{7}, \frac{4}{9}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    Encuentra la suma parcial indicada

    1. \(a_{n}=(n-1) n^{2} ; S_{4}\)
    2. \(\sum_{k=1}^{5}(-1)^{k} 2^{k-2}\)
    Contestar

    1. \(70\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    Clasificar la secuencia como aritmética, geométrica, o ninguna.

    1. \(-1,-\frac{3}{2},-2, \ldots\)
    2. \(1,-6,36, \dots\)
    3. \(\frac{3}{8},-\frac{3}{4}, \frac{3}{2}, \ldots\)
    4. \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{2}{9}, \ldots\)
    Contestar

    1. Aritmética

    3. Geométrico

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    Dados los términos de una secuencia aritmética, encontrar una fórmula para el término general.

    1. \(10,5,0,-5,-10, \dots\)
    2. \(a_{4}=-\frac{1}{2}\)y\(a_{9}=2\)
    Contestar

    1. \(a_{n}=15-5 n\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    Dados los términos de una secuencia geométrica, encontrar una fórmula para el término general.

    1. \(-\frac{1}{8},-\frac{1}{2},-2,-8,-32, \ldots\)
    2. \(a_{3}=1\)y\(a_{8}=-32\)
    Contestar

    1. \(a_{n}=-\frac{1}{8}(4)^{n-1}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    Calcular la suma indicada.

    1. \(a_{n}=5-n ; S_{44}\)
    2. \(a_{n}=(-2)^{n+2} ; S_{12}\)
    3. \(\sum_{n=1}^{\infty} 4\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
    4. \(\sum_{n=1}^{100}\left(2 n-\frac{3}{2}\right)\)
    Contestar

    1. \(-770\)

    3. \(\frac{8}{3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    Evaluar.

    1. \(\frac{14 !}{10 ! 6 !}\)
    2. \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {7}\end{array}\right)\)
    3. Determinar la suma de los primeros enteros impares\(48\) positivos.
    4. La primera fila de asientos en un teatro consiste en\(14\) asientos. Cada fila sucesiva consta de dos asientos más que la fila anterior. Si hay\(22\) filas, ¿cuántos asientos totales hay en el teatro?
    5. Una pelota rebota a un tercio de la altura de la que cayó. Si se cae de\(27\) pies, aproxime la distancia total que recorre la pelota.
    Contestar

    1. \(\frac{1,001}{30}\)

    3. \(2,304\)

    5. \(54\)pies

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    Expandir usando el teorema binomial.

    1. \((x-5 y)^{4}\)
    2. \(\left(3 a+b^{2}\right)^{5}\)
    Contestar

    2. \(\begin{array}{l}{243 a^{5}+405 a^{4} b^{2}+270 a^{3} b^{4}} {+90 a^{2} b^{6}+15 a b^{8}+b^{10}}\end{array}\)

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