1.5: Expresiones algebraicas

La propiedad asociativa de multiplicación es válida para todos los números.

Propiedad asociativa de la multiplicación

Vamos\(a\),\(b\), y\(c\) ser cualquier número. Entonces:\[a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c \nonumber \]

La propiedad asociativa de la multiplicación es útil en una serie de situaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Simplificar:\(-3(4y)\).

Solución

Actualmente, la agrupación\(-3(4y)\) exige que primero multipliquemos\(4\) y\(y\). Sin embargo, podemos usar la propiedad asociativa de la multiplicación para reagruparnos, primero multiplicando\(-3\) y\(4\).

\[\begin{aligned} -3(4 y)=&(-3 \cdot 4) y \quad \color{Red} \text{ The associative property of multiplication.}\\ &=-12 y \quad \color{Red} \text { Multiply: }-3 \cdot 4=-12 \end{aligned} \nonumber \]

Por lo tanto,\(-3(4y)=-12y\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Simplificar:\(2(3 x)\).

Contestar

\(6x\)

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Simplificar:\(-2(-4 x y)\).

Solución

Actualmente, la agrupación\(-2(-4xy)\) exige que primero multipliquemos\(-4\) y\(xy\). Sin embargo, podemos usar la propiedad asociativa de la multiplicación para reagruparnos, primero multiplicando\(-2\) y\(-4\).

\[\begin{aligned}-2(-4 x y) &=(-2 \cdot(-4)) x y \quad \color{Red} \text { The associative property of multiplication. } \\ &=8 x y \quad \color{Red} \text { Multiply: } -2 \cdot (-4)=8 \end{aligned} \nonumber \]

Por lo tanto,\(-2(-4xy)=8xy\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Simplificar:\(-3\left(-8 u^{2}\right)\).

Contestar

\(24 u^{2}\)

En la práctica, podemos movernos más rápido si realizamos el reagrupamiento mentalmente, luego simplemente anota la respuesta. Por ejemplo:

\[-2(-4 t)=8 t \quad \text { and } \quad 2\left(-5 z^{2}\right)=-10 z^{2} \quad \text { and } \quad-3\left(4 u^{3}\right)=-12 u^{3} \nonumber \]

La propiedad distributiva

Ahora discutimos una propiedad que empareja suma y multiplicación. Considera la expresión\(2 \cdot(3+5)\). El orden rector de las operaciones de las reglas requiere que primero simplifiquemos la expresión dentro de los paréntesis.

\[\begin{aligned} 2 \cdot(3+5) &=2 \cdot 8 \quad \color{Red} \text { Add: } 3+5=8 \\ &=16 \quad \color{Red} \text { Multiply: } 2 \cdot 8=16 \end{aligned} \nonumber \]

Alternativamente, podemos distribuir los\(2\) tiempos de cada término entre paréntesis. Es decir, primero multiplicaremos el\(3\) por\(2\), luego multiplicaremos el\(5\) por\(2\). Después agregamos los resultados.

\[\begin{aligned} 2 \cdot(3+5) &=2 \cdot 3+2 \cdot 5 \quad \color{Red} \text { Distribute the 2. }\\ &=6+10 \quad \color{Red} \text { Multiply: } 2 \cdot 3=6 \text { and } 2 \cdot 5=10\\ &=16 \quad \color{Red} \text { Add: } 6+10=16 \end{aligned} \nonumber \]

Obsérvese que ambos métodos producen el mismo resultado, es decir, 16. Este ejemplo demuestra una propiedad extremadamente importante de los números llamada propiedad distributiva.

La propiedad distributiva

Vamos\(a\),\(b\), y\(c\) ser cualquier número. Entonces: Es\[a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c \nonumber \] decir, la multiplicación es distributiva con respecto a la suma.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Utilice la propiedad distributiva para expandir\(2(3x + 7)\).

Solución

Primero distribuya los\(2\) tiempos de cada término entre paréntesis. Entonces simplifique.

\[\begin{aligned} 2(3 x+7)&=2(3 x)+2(7) \quad \color{Red} \text { Use the distributive property. } \\ &=6 x+14 \quad \color{Red} \text { Multiply: } 2(3 x)=6 x \text { and } 2(7)=14 \end{aligned} \nonumber \]

Por lo tanto,\(2(3 x+7)=6 x+14\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Ampliar:\(5(2 y+7)\).

Contestar

\(10y+35\)

La multiplicación también es distributiva con respecto a la resta.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Utilice la propiedad distributiva para expandir\(-2(5y-6)\).

Solución

Cambie a suma agregando lo contrario, luego aplique la propiedad distributiva.

\[\begin{aligned} -2(5 y-6)&=-2(5 y+(-6)) \quad \color{Red} \text { Add the opposite. } \\ &=-2(5 y)+(-2)(-6) \quad \color{Red} \text { Use the distributive property. } \\ &=-10 y+12 \quad \color{Red} \text { Multiply: } -2(5 y)=-10 y \text { and }(-2)(-6)=12 \end{aligned} \nonumber \]

Por lo tanto,\(-2(5 y-6)=-10 y+12\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Ampliar:\(-3(2z-7)\).

Contestar

\(-6 z+21\)

Acelerar un poco las cosas

En Ejemplo \(\PageIndex{4}\), cambiamos la resta a suma, aplicamos la propiedad distributiva, luego varios pasos después fuimos finalizados. No obstante, si entiendes que restar es realmente lo mismo que sumar lo contrario, y si estás dispuesto a dar unos pasos en tu cabeza, deberías poder simplemente anotar la respuesta inmediatamente después del problema dado.

Si miras de \(\PageIndex{4}\)nuevo la expresión\(-2(5y-6)\) de Ejemplo, solo que esta vez piensa “multiplicar\(-2\) tiempos\(5y\), luego multiplicar\(-2\) tiempos\(-6\), entonces el resultado es inmediato. \[-2(5y-6) = -10y + 12 \nonumber \]

Vamos a probar esta técnica de “acelerarlo” en un par de ejemplos más.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Utilice la propiedad distributiva para expandir\(-3(-2 x+5 y-12)\).

Solución

Para distribuir el\(-3\), simplemente pensamos de la siguiente manera: “\(-3(-2x)=6x\),\(-3(5y)=-15y\), y”\(-3(-12) = 36\). Este tipo de pensamiento nos permite anotar la respuesta de inmediato sin ningún paso adicional. \[-3(-2 x+5 y-12)=6 x-15 y+36 \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Ampliar:\(-3(-2 a+3 b-7)\).

Contestar

\(6 a-9 b+21\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Utilice la propiedad distributiva para expandir\(-5(-2 a-5 b+8)\).

Solución

Para distribuir el\(-5\), simplemente pensamos de la siguiente manera: “\(-5(-2a) = 10a\),\(-5(-5b) = 25 b\), y”\(-5(8) = -40\). Este tipo de pensamiento nos permite anotar la respuesta de inmediato sin ningún paso adicional. \[-5(-2 a-5 b+8)=10 a+25 b-40 \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Ampliar:\(-4(-x-2 y-7)\).

Contestar

\(4 x+8 y+28\)

Distribuir un signo negativo

Recordemos que negar un número equivale a multiplicar el número por\(-1\).

Propiedad Multiplicativa de Menos Uno

Si\(a\) hay algún número, entonces:\[(-1)a = -a \nonumber \]

Esto quiere decir que si negamos una expresión, equivale a multiplicar la expresión por\(-1\).

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Ampliar\(-(7 x-8 y-10)\).

Solución

Primero, negar equivale a multiplicar por\(-1\). Entonces podemos cambiar la resta a la suma “sumando lo contrario” y usar la propiedad distributiva para finalizar la expansión.

\[\begin{aligned} -(7 x-8 y-10) &=-1(7 x-8 y-10) \quad \color{Red} \text { Negating is equivalent to multiplying by } -1 \\ &=-1(7 x+(-8 y)+(-10)) \quad \color{Red} \text { Add the opposite. } \\ &=-1(7 x)+(-1)(-8 y)+(-1)(-10) \quad \color{Red} \text { Distribute the } -1 \\ &=-7 x+8 y+10 \quad \color{Red} \text { Multiply.} \end{aligned} \nonumber \]

Por lo tanto,\(-(7 x-8 y-10)=-7 x+8 y+10\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Ampliar:\(-(-a-2 b+11)\).

Contestar

\(a+2 b-11\)

Si bien es matemáticamente precisa, la técnica de Ejemplo \(\PageIndex{7}\)puede simplificarse señalando que negar una expresión rodeada de paréntesis simplemente cambia el signo de cada término dentro de los paréntesis al signo opuesto.

Una vez que entendamos esto, simplemente podemos “distribuir el signo menos” y escribir:

\[-(7 x-8 y-10)=-7 x+8 y+10 \nonumber \]

En similares fas h io n,

\[-(-3 a+5 b-c)=3 a-5 b+c \nonumber \]

y,

\[-(-3 x-8 y+11)=3 x+8 y-11 \nonumber \]

Combinando términos similares

Podemos usar la propiedad distributiva para distribuir un número veces por suma. \[a(b+c)=a b+a c \nonumber \]

Sin embargo, la propiedad distributiva también se puede usar a la inversa, para “desmultiplicar” o facturar una expresión. Así, podemos comenzar con la expresión\(ab + ac\) y “factorial” el factor común a de la siguiente manera:

\[a b+a c=a(b+c) \nonumber \]

También puede facetorizar el factor común a la derecha.

\[a c+b c=(a+b) c \nonumber \]

Podemos utilizar esta última técnica para combinar términos similares.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Simplificar:\(7 x+5 x\).

Solución

Utilice la propiedad distributiva para factorizar el factor común\(x\) de cada término y luego simplificar el resultado.

\[\begin{aligned} 7x+5x&=(7+5)x \quad \color{Red} \text { Factor out an } x \text { using the distributive property. } \\ &=12x \quad \color{Red} \text { Simplify: } 7+5=12 \end{aligned} \nonumber \]

Por lo tanto,\(7x +5x = 12x\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Simplificar:\(3 y+8 y\).

Contestar

\(11y\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Simplificar:\(-8 a^{2}+5 a^{2}\).

Solución

Utilice la propiedad distributiva para factorizar el factor común\(a^2\) de cada término y luego simplificar el resultado.

\[\begin{aligned} -8 a^{2}+5 a^{2}&=(-8+5) a^{2} \quad \color{Red} \text { Factor out an } a^{2} \text { using the distributive property. } \\ &=-3 a^{2} \quad \color{Red} \text { Simplify: }-8+5=-3 \end{aligned} \nonumber \]

Por lo tanto,\(-8 a^{2}+5 a^{2}=-3 a^{2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Simplificar:\(-5 z^{3}+9 z^{3}\).

Contestar

\(4z^3\)

Ejemplos \(\PageIndex{8}\)y \(\PageIndex{9}\)combinar lo que se conoce como “términos similares”. Ejemplos \(\PageIndex{8}\)y \(\PageIndex{9}\)también sugieren un posible atajo para combinar términos similares.

Términos de Me Gusta

Dos términos se llaman términos similares si tienen partes variables idénticas, lo que significa que los términos deben contener las mismas variables elevadas a los mismos exponentes.

Por ejemplo,\(2x^2y\) y\(11x^2y\) son como términos porque contienen variables idénticas elevadas a los mismos exponentes. Por otro lado,\(-3st^2\) y no\(4s^2t\) son como términos. Contienen las mismas variables, pero las variables no se elevan a los mismos exponentes.

Considera los términos similares\(2x^2y\) y\(11x^2y\). A los números\(2\) y\(11\) se les llama los coecients de los términos similares. Podemos usar la propiedad distributiva para combinar estos términos similares como lo hicimos en Ejemplos \(\PageIndex{8}\)y \(\PageIndex{9}\), factorizando el factor común\(x^2y\).

\[\begin{aligned} 2 x^{2} y+11 x^{2} y &=(2+11) x^{2} y \\ &=13 x^{2} y \end{aligned} \nonumber \]

Sin embargo, un enfoque mucho más rápido consiste simplemente en agregar los coecients de los términos similares, manteniendo la misma parte variable. Es decir,\(2 + 11 = 13\), entonces:

\[2 x^{2} y+11 x^{2} y=13 x^{2} y \nonumber \]

Este es el procedimiento que seguiremos a partir de ahora.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Simplificar:\(-8 w^{2}+17 w^{2}\).

Solución

Estos son como términos. Si agregamos los coecients\(-8\) y\(17\), obtenemos\(9\). Por lo tanto:

\[-8 w^{2}+17 w^{2}=9 w^{2} \quad \color{Red} \text{Add the coefficients and repeat the variable part.} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Simplificar:\(4 a b-15 a b\).

Contestar

\(-11ab\)

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Simplificar:\(-4 u v-9 u v\).

Solución

Estos son como términos. Si agregamos\(-4\) y\(-9\), obtenemos\(-13\). Por lo tanto:

\[-4 u v-9 u v=-13 u v \quad \color{Red} \text{Add the coefficients and repeat the variable part.} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Simplificar:\(-3 x y-8 x y\).

Contestar

\(-11xy\)

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

Simplificar:\(-3 x^{2} y+2 x y^{2}\)

Solución

Estos no son como términos. No tienen las mismas partes variables. Tienen las mismas variables, pero las variables no se elevan a los mismos exponentes. En consecuencia, esta expresión ya se simplifica lo más posible.

\[-3 x^{2} y+2 x y^{2} \quad \color{Red} \text{Unlike terms. Already simplified.} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Simplificar:\(5ab+11bc\).

Contestar

\(5ab+11bc\)

A veces tenemos algo más que un solo par de términos similares. En ese caso, queremos agrupar los términos similares y combinarlos.

Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

Simplificar:\(-8 u-4 v-12 u+9 v\).

Solución

Utilice la propiedad asociativa y conmutativa de suma para cambiar el orden y reagruparse, luego combinar términos de línea.

\[\begin{aligned} -8u-4v-12u+9v &=(-8u-12u)+(-4v+9v) \quad \color{Red} \text { Reorder and regroup. } \\ &=-20u+5v \quad \color{Red} \text { Combine like terms. } \end{aligned} \nonumber \]

Tenga en cuenta que\(-8u-12u =-20u\) y\(-4v +9v =5 v\).

Solución alternativa

Puedes saltarte el paso de reordenamiento y reagrupación si lo deseas, simplemente combinando términos similares mentalmente. Es decir, es totalmente posible ordenar su trabajo de la siguiente manera:

\[-8 u-4 v-12 u+9 v=-20 u+5 v \quad \color{Red} \text {Combine like terms.} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Simplificar:\(-3 z^{2}+4 z-8 z^{2}-9 z\).

Contestar

\(-11 z^{2}-5 z\)

En Ejemplo \(\PageIndex{13}\), la “Solución alternativa” nos permite movernos más rápidamente y será la técnica que sigamos a partir de aquí, agrupando y combinando términos mentalmente.

Orden de Operaciones

Ahora que sabemos combinar términos similares, abordemos algunas expresiones más complicadas que requieren el Orden de Operaciones Rector de Reglas.

Reglas que guían el orden de operaciones

Al evaluar expresiones, proceda en el siguiente orden.

1. Evalúe las expresiones contenidas en los símbolos de agrupación primero. Si los símbolos de agrupación están anidados, evalúe la expresión en el par más interno de símbolos de agrupación primero.
2. Evaluar todos los exponentes que aparecen en la expresión.
3. Realizar todas las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparezcan en la expresión, moviéndose de izquierda a derecha.
4. Realizar todas las sumas y restaciones en el orden en que aparezcan en la expresión, moviéndose de izquierda a derecha.

Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

Simplificar:\(4(-3 a+2 b)-3(4 a-5 b)\).

Solución

Utilice la propiedad distributiva para distribuir el\(4\) y el\(-3\), luego combinar términos similares.

\[\begin{aligned} 4(-3a+2b)-3(4a-5b) &=-12a+8b-12a+15b \quad \color{Red} \text { Distribute. } \\ &=-24a+23b \quad \color{Red} \text { Combine like terms. } \end{aligned} \nonumber \]

Tenga en cuenta que\(-12a-12a =-24a\) y\(8b + 15b=23b\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Simplificar:\(-2x-3(5-2x)\).

Contestar

\(4 x-15\)

Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

Simplificar:\(-2(3 x-4 y)-(5 x-2 y)\).

Solución

Utilice la propiedad distributiva para multiplicar los\(-2\) tiempos\(3x-4y\), luego distribuya el signo menos por cada término de la expresión\(5x-2y\). Después de eso, combine términos similares.

\[\begin{aligned} -2(3x-4y)-(5x-2y) &=-6x+8y-5x+2y \quad \color{Red} \text { Distribute. } \\ &=-11x+10y \quad \color{Red} \text { Combine like terms. } \end{aligned} \nonumber \]

Tenga en cuenta que\(-6x-5x =-11x\) y\(8y +2y = 10 y\).

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Simplificar:\(-3(u+v)-(u-5 v)\).

Contestar

\(-4 u+2 v\)

Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

Simplificar:\(-2\left(x^{2} y-3 x y^{2}\right)-4\left(-x^{2} y+3 x y^{2}\right)\).

Solución

Utilice la propiedad distributiva para multiplicar\(-2\) tiempos\(x^2y-3xy^2\) y\(-4\) tiempos\(-x^2y +3xy^2\). Después de eso, combine términos similares.

\[\begin{aligned}-2\left(x^{2} y-3 x y^{2}\right)-4\left(-x^{2} y+3 x y^{2}\right) &=-2 x^{2} y+6 x y^{2}+4 x^{2} y-12 x y^{2} \\ &=2 x^{2} y-6 x y^{2} \end{aligned} \nonumber \]

Tenga en cuenta que\(-2 x^{2} y+4 x^{2} y=2 x^{2} y\) y\(6 x y^{2}-12 x y^{2}=-6 x y^{2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Simplificar:\( 8 u^{2} v-3\left(u^{2} v+4 u v^{2}\right)\).

Contestar

\(5 u^{2} v-12 u v^{2}\)

Cuando los símbolos de agrupación están anidados, evalúe la expresión dentro del par más interno de símbolos de agrupación primero.

Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

Simplificar:\(-2 x-2(-2 x-2[-2 x-2])\).

Solución

Dentro de los paréntesis, tenemos la expresión\(-2 x-2[-2 x-2]\). Las Reglas que guían el orden de operaciones dictan que debemos multiplicar primero, expandiendo\(-2[-2 x-2]\) y combinando términos similares.

\[\begin{aligned} -2x-2({\color{Red}-2x-2[-2x-2]}) &=-2x-2({\color{Red}-2x+4x+2}) \\ &=-2x-2({\color{Red}2x+2}) \end{aligned} \nonumber \]

En la expresión restante, nuevamente multiplicamos primero, expandiendo\(-2(2x+2)\) y combinando términos similares.

\[\begin{aligned} &=-2x-4x-4\\ &=-6x-4 \end{aligned} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Simplificar:\(x-2[-x+4(x+1)]\).

Contestar

\(-5 x-8\)

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