4.E: Sistemas de Ecuaciones Lineales (Ejercicios)

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4.1: Resolver sistemas mediante gráficos

En los Ejercicios 1-6, resuelva cada uno de los sistemas dados esbozando las líneas representadas por cada ecuación en el sistema, luego determinando las coordenadas del punto de intersección. Cada uno de estos problemas ha sido diseñado para que las coordenadas del punto de intersección sean números enteros. Consulta tu solución.

1)$\begin{aligned} 3 x-4 y &=24 \\ y &=-\dfrac{1}{2} x-1 \end{aligned}$

Contestar: $(4,-3)$

2)$\begin{aligned} x-4 y &=-8 \\ y &=\dfrac{5}{4} x+6 \end{aligned}$

3)$\begin{aligned} 2 x+y &=6 \\ y &=x+3 \end{aligned}$

Contestar: $(1,4)$

4)$\begin{aligned} x-2 y &=-4 \\ y &=\dfrac{5}{2} x+6 \end{aligned}$

5)$\begin{aligned} x+2 y &=-6 \\ y &=-3 x-8 \end{aligned}$

Contestar: $(-2,-2)$

6)$\begin{aligned} x-3 y &=6 \\ y &=2 x-7 \end{aligned}$

En los Ejercicios 7-18, resuelve cada uno de los sistemas dados esbozando las líneas representadas por cada ecuación del sistema dado en papel cuadrillado, luego estimando las coordenadas del punto de intersección a la décima más cercana. Consulta la solución.

7)$\begin{aligned}x-3 y&=3 \\ x-4 y&=-4\end{aligned}$

Contestar: $(-3.4,0.1)$

8)$\begin{aligned}4 x-3 y&=-12 \\ -x-4 y&=4\end{aligned}$

9)$\begin{aligned}-3 x+3 y&=-9 \\ -3 x+3 y&=-12\end{aligned}$

Contestar: Sin solución. Las líneas son paralelas.

10)$\begin{aligned} x-y &=-2 \\ 2 x-2 y &=6 \end{aligned}$

11)$\begin{aligned} 6 x-7 y &=-42 \\ y &=-\dfrac{1}{4} x+4 \end{aligned}$

Contestar: $(-1.8,4.5)$

12)$\begin{aligned} 4 x+3 y &=24 \\ y &=\dfrac{1}{7} x+5 \end{aligned}$

13)$\begin{aligned} 6 x-7 y &=-42 \\ y &=-\dfrac{1}{5} x+2 \end{aligned}$

Contestar: $(-3.8,2.8)$

14)$\begin{aligned} 7 x-8 y &=56 \\ y &=-\dfrac{1}{3} x-4 \end{aligned}$

15)$\begin{aligned}6 x+3 y&=12 \\ -2 x-y&=4 \end{aligned}$

Contestar: Sin solución. Las líneas son paralelas.

16)$\begin{aligned} x-4 y &=-4 \\-x+4 y &=-4 \end{aligned}$

17)$\begin{aligned}3 x+y&=3 \\ -2 x+3 y&=-6\end{aligned}$

Contestar: $(1.4,-1.1)$

18)$\begin{aligned}2 x-y&=-2 \\ -x-2 y&=4\end{aligned}$

En los Ejercicios 19-24, utilice la calculadora gráfica para resolver el sistema dado. Redondee su respuesta a la décima más cercana. Utilice las Directrices para el envío de la calculadora del Capítulo 3, Sección 2, al informar su respuesta en su tarea.

19)$\begin{aligned}y&=\dfrac{3}{4} x+7 \\ y&=-\dfrac{1}{3} x+2 \end{aligned}$

Contestar: $(-4.6,3.5)$

20)$\begin{aligned}y&=\dfrac{7}{6} x+6 \\ y&=-\dfrac{1}{7} x+3\end{aligned}$

21)$\begin{aligned}y&=\dfrac{4}{3} x-3 \\ y&=-\dfrac{4}{7} x-1\end{aligned}$

Contestar: $(1.1,-1.6)$

22)$\begin{aligned}y&=\dfrac{8}{3} x-3 \\ y&=-\dfrac{1}{8} x-2\end{aligned}$

23)$\begin{aligned}y&=\dfrac{1}{6} x+1 \\ y&=-\dfrac{3}{7} x+5\end{aligned}$

Contestar: $(6.7,2.1)$

24)$\begin{aligned}y&=\dfrac{5}{8} x+3 \\ y&=-\dfrac{5}{6} x-5\end{aligned}$

En los Ejercicios 25-30, utilice la calculadora gráfica para resolver el sistema dado. Redondee su respuesta a la décima más cercana. Use las Directrices para el envío de la calculadora al informar su respuesta en su tarea.

25)$\begin{array}{c}{6 x+16 y=96} \\ {-6 x+13 y=-78}\end{array}$

Contestar: $(14.3,0.6)$

26)$\begin{aligned}-4 x+16 y &=-64 \\ 5 x+8 y &=40 \end{aligned}$

27)$\begin{aligned}-2 x-11 y &=22 \\ 8 x-12 y &=-96 \end{aligned}$

Contestar: $(-11.8,0.1)$

28)$\begin{aligned}-6 x-10 y &=60 \\ 2 x-18 y &=-36 \end{aligned}$

29)$\begin{array}{c}{-6 x+2 y=-12} \\ {-12 x+3 y=-36}\end{array}$

Contestar: $(6.0,12.0)$

30)$\begin{aligned}-3 x+y &=-3 \\-14 x+3 y &=-42 \end{aligned}$

4.2: Resolver sistemas por sustitución

En los Ejercicios 1-8, utilice el método de sustitución para resolver cada uno de los siguientes sistemas. Consulta tu respuesta manualmente, sin el uso de una calculadora.

1)$\begin{aligned}-7 x+7 y &=63 \\ y &=6-2 x \end{aligned}$

Contestar: $(-1,8)$

2)$\begin{aligned} 3 x-8 y &=27 \\ y &=4-7 x \end{aligned}$

3)$\begin{aligned} x &=19+7 y \\ 3 x-3 y &=3 \end{aligned}$

Contestar: $(3,-4)$

4)$\begin{aligned} x &=39+8 y \\-9 x+2 y &=-71 \end{aligned}$

5)$\begin{aligned} x &=-5-2 y \\-2 x-6 y &=18 \end{aligned}$

Contestar: $(3,-4)$

6)$\begin{aligned} x &=15+6 y \\ 9 x+3 y &=21 \end{aligned}$

7)$\begin{aligned} 6 x-8 y &=24 \\ y &=15+3 x \end{aligned}$

Contestar: $(-8,-9)$

8)$\begin{aligned} 9 x+8 y &=-45 \\ y &=15-8 x \end{aligned}$

En los Ejercicios 9-28, utilice el método de sustitución para resolver cada uno de los siguientes sistemas.

9)$\begin{aligned}-x+9 y&=46 \\ 7 x-4 y&=-27\end{aligned}$

Contestar: $(-1,5)$

10)$\begin{aligned}-x+9 y&=-12 \\ 4 x+7 y&=-38\end{aligned}$

11)$\begin{aligned}-x+4 y&=22 \\ 8 x+7 y&=-20\end{aligned}$

Contestar: $(-6,4)$

12)$\begin{aligned}-x-2 y&=15 \\ 3 x-9 y&=15 \end{aligned}$

13)$\begin{aligned}x+2 y&=-4 \\ 6 x-4 y&=-56 \end{aligned}$

Contestar: $(-8,2)$

14)$\begin{aligned}x+8 y&=79 \\ 4 x+6 y&=8 \end{aligned}$

15)$\begin{aligned} x+6 y &=-49 \\-3 x+4 y &=-7 \end{aligned}$

Contestar: $(-7,-7)$

16)$\begin{aligned} x-4 y &=33 \\ 4 x+7 y &=-6 \end{aligned}$

17)$\begin{aligned}-2 x+8 y&=-50 \\ -9 x-y&=-3 \end{aligned}$

Contestar: $(1,-6)$

18)$\begin{aligned}-6 x-6 y &=102 \\ 9 x-y &=-63 \end{aligned}$

19)$\begin{aligned}-4 x-8 y &=-4 \\ y &=-2 y-4 \end{aligned}$

Contestar: Sin solución

20)$\begin{aligned} 3 x+6 y &=2 \\ y &=-2 y+2 \end{aligned}$

21)$\begin{aligned}-2 x-2 y &=26 \\-7 x+y &=19 \end{aligned}$

Contestar: $(-4,-9)$

22)$\begin{aligned}-2 x-8 y&=-30 \\ -6 x+y&=10 \end{aligned}$

23)$\begin{aligned}3 x-4 y&=-43 \\ -3 x+y&=22 \end{aligned}$

Contestar: $(-5,7)$

24)$\begin{aligned}-2 x+8 y &=14 \\ 8 x+y &=43 \end{aligned}$

25)$\begin{aligned}-8 x-4 y &=24 \\ 9 x-y &=-71 \end{aligned}$

Contestar: $(-7,8)$

26)$\begin{aligned}-8 x-2 y&=-14 \\ -6 x-y&=-9 \end{aligned}$

27)$\begin{aligned}-8 x-7 y &=2 \\ y &=-\dfrac{8}{7} x+9 \end{aligned}$

Contestar: Sin solución

28)$\begin{aligned} 9 x+4 y &=-3 \\ y &=-\dfrac{9}{4} x+6 \end{aligned}$

En los Ejercicios 29-36, utilice el método de sustitución para resolver cada uno de los siguientes sistemas. Usa tu calculadora gráfica para verificar tu solución.

29)$\begin{aligned}3 x-5 y&=3 \\ 5 x-7 y&=2 \end{aligned}$

Contestar: $(-11 / 4,-9 / 4)$

30)$\begin{aligned}4 x-5 y&=4 \\ 3 x-2 y&=-1 \end{aligned}$

31)$\begin{aligned}4 x+3 y&=8 \\ 3 x+4 y&=2 \end{aligned}$

Contestar: $(26 / 7,-16 / 7)$

32)$\begin{aligned}3 x+8 y&=3 \\ -4 x-9 y&=-2 \end{aligned}$

33)$\begin{aligned}3 x+8 y&=6 \\ 2 x+7 y&=-2 \end{aligned}$

Contestar: $(58 / 5,-18 / 5)$

34)$\begin{aligned}3 x-7 y&=6 \\ 2 x-3 y&=1 \end{aligned}$

35)$\begin{aligned}4 x+5 y&=4 \\ -3 x-2 y&=1 \end{aligned}$

Contestar: $(-13 / 7,16 / 7)$

36)$\begin{aligned}5 x+4 y&=5 \\ 4 x+5 y&=2 \end{aligned}$

En los Ejercicios 37-48, utilice el método de sustitución para determinar cuántas soluciones tiene cada uno de los siguientes sistemas lineales.

37)$\begin{aligned}-9 x+6 y &=9 \\ y &=\dfrac{3}{2} x-8 \end{aligned}$

Contestar: Sin soluciones

38)$\begin{aligned} 3 x-5 y &=9 \\ y &=\dfrac{3}{5} x+6 \end{aligned}$

39)$\begin{aligned} y &=-2 x-16 \\-14 x-7 y &=112 \end{aligned}$

Contestar: Inﬁnite número de soluciones

40)$\begin{aligned} y &=-12 x+12 \\ 120 x+10 y &=120 \end{aligned}$

41)$\begin{aligned} x &=16-5 y \\-4 x+2 y &=24 \end{aligned}$

Contestar: Una solución

42)$\begin{aligned} x &=-18-4 y \\ 7 x-7 y &=49 \end{aligned}$

43)$\begin{aligned} y &=7 y+18 \\ 9 x-63 y &=162 \end{aligned}$

Contestar: Inﬁnite número de soluciones

44)$\begin{aligned} y &=4 y-9 \\-10 x+40 y &=90 \end{aligned}$

45)$\begin{aligned} x &=-2 y+3 \\ 4 x+8 y &=4 \end{aligned}$

Contestar: Sin soluciones

46)$\begin{aligned} x &=2 y+4 \\-3 x+6 y &=5 \end{aligned}$

47)$\begin{aligned}-9 x+4 y &=73 \\ y &=-3-2 x \end{aligned}$

Contestar: Una solución

48)$\begin{aligned} 6 x+9 y &=27 \\ y &=16-5 x \end{aligned}$

4.3: Resolver sistemas por eliminación

En los Ejercicios 1-8, utilice el método de eliminación para resolver cada uno de los siguientes sistemas. Consulta tu resultado manualmente, sin la ayuda de una calculadora.

1)$\begin{aligned}x+4 y&=0 \\ 9 x-7 y&=-43\end{aligned}$

Contestar: $(-4,1)$

2)$\begin{aligned} x+6 y &=-53 \\ 5 x-9 y &=47 \end{aligned}$

3)$\begin{aligned}6 x+y&=8 \\ 4 x+2 y&=0 \end{aligned}$

Contestar: $(2,-4)$

4)$\begin{aligned} 4 x+y &=18 \\-2 x+6 y &=-22 \end{aligned}$

5)$\begin{aligned}-8 x+y&=-56 \\ 4 x+3 y&=56 \end{aligned}$

Contestar: $(8,8)$

6)$\begin{aligned}2 x+y=21 \\ 7 x+8 y&=87 \end{aligned}$

7)$\begin{aligned} x+8 y &=41 \\-5 x-9 y &=-50 \end{aligned}$

Contestar: $(1,5)$

8)$\begin{aligned} x-4 y &=-31 \\-2 x-6 y &=-36 \end{aligned}$

En los Ejercicios 9-16, utilice el método de eliminación para resolver cada uno de los siguientes sistemas.

9)$\begin{aligned}-12 x+9 y&=0 \\ -6 x-4 y&=-34 \end{aligned}$

Contestar: $(3,4)$

10)$\begin{aligned}-27 x-5 y&=148 \\ -9 x-3 y&=60 \end{aligned}$

11)$\begin{aligned}27 x-6 y&=-96 \\ -3 x-5 y&=22 \end{aligned}$

Contestar: $(-4,-2)$

12)$\begin{aligned}-8 x+8 y&=-32 \\ 2 x-9 y&=15 \end{aligned}$

13)$\begin{aligned}2 x-6 y&=28 \\ -3 x+18 y&=-60 \end{aligned}$

Contestar: $(8,-2)$

14)$\begin{aligned}-8 x-6 y&=96 \\ 4 x+30 y&=-156 \end{aligned}$

15)$\begin{aligned}-32 x+7 y&=-238 \\ 8 x-4 y&=64 \end{aligned}$

Contestar: $(7,-2)$

16)$\begin{aligned}12 x+6 y&=30 \\ -2 x+7 y&=51 \end{aligned}$

En los Ejercicios 17-24, utilice el método de eliminación para resolver cada uno de los siguientes sistemas.

17)$\begin{aligned} 3 x-7 y &=-75 \\-2 x-2 y &=-10 \end{aligned}$

Contestar: $(-4,9)$

18)$\begin{aligned}-8 x+3 y&=42 \\ -7 x+8 y&=26 \end{aligned}$

19)$\begin{aligned}9 x-9 y&=-63 \\ 2 x-6 y&=-34 \end{aligned}$

Contestar: $(-2,5)$

20)$\begin{aligned}-4 x-8 y&=-52 \\ -7 x-3 y&=-14 \end{aligned}$

21)$\begin{aligned}-9 x-2 y&=28 \\ 5 x-3 y&=-32 \end{aligned}$

Contestar: $(-4,4)$

22)$\begin{aligned}-8 x-2 y&=-12 \\ 6 x+3 y&=12 \end{aligned}$

23)$\begin{aligned}-3 x-5 y &=-34 \\ 7 x+7 y &=56 \end{aligned}$

Contestar: $(3,5)$

24)$\begin{aligned}-9 x-9 y&=9 \\ 7 x+4 y&=8 \end{aligned}$

En los Ejercicios 25-32, utilice el método de eliminación para resolver cada uno de los siguientes sistemas. Usa tu calculadora para verificar tus soluciones.

25)$\begin{aligned}2 x-7 y&=-2 \\ 7 x+6 y&=3 \end{aligned}$

Responder: $(9 / 61,20 / 61)$

26)$\begin{aligned}-9 x-4 y &=4 \\ 5 x-3 y &=-1 \end{aligned}$

27)$\begin{aligned} 2 x+3 y &=-2 \\-5 x+5 y &=2 \end{aligned}$

Responder: $(-16 / 25,-6 / 25)$

28)$\begin{aligned}-5 x+8 y&=-3 \\ -4 x-7 y&=3 \end{aligned}$

29)$\begin{aligned}9 x+4 y&=-4 \\ -7 x-9 y&=3 \end{aligned}$

Responder: $(-24 / 53,1 / 53)$

30)$\begin{aligned}-3 x-5 y&=-4 \\ 4 x+6 y&=1 \end{aligned}$

31)$\begin{aligned}2 x+2 y&=4 \\ 3 x-5 y&=3 \end{aligned}$

Responder: $(13 / 8,3 / 8)$

32)$\begin{aligned}6 x-9 y&=-2 \\ -4 x-8 y&=4 \end{aligned}$

En los Ejercicios 33-40, utilice el método de eliminación para determinar cuántas soluciones tiene cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones.

33)$\begin{aligned} x+7 y &=-32 \\-8 x-56 y &=256 \end{aligned}$

Responder: Inﬁnite número de soluciones

34)$\begin{aligned}-8 x+y&=-53 \\ 56 x-7 y&=371 \end{aligned}$

35)$\begin{aligned} 16 x-16 y &=-256 \\-8 x+8 y &=128 \end{aligned}$

Responder: Inﬁnite número de soluciones

36)$\begin{aligned} 3 x-3 y &=42 \\-6 x+6 y &=-84 \end{aligned}$

37)$\begin{aligned}x-4 y&=-37 \\ 2 x-8 y&=54 \end{aligned}$

Responder: Sin soluciones

38)$\begin{aligned}4 x+y&=-13 \\ 28 x+7 y&=189 \end{aligned}$

39)$\begin{aligned} x+9 y &=73 \\-4 x-5 y &=-44 \end{aligned}$

Responder: Una solución

40)$\begin{aligned}6 x+y&=31 \\ -5 x-6 y&=-62 \end{aligned}$

4.4: Aplicaciones de Sistemas Lineales

1) En geometría, dos ángulos que se suman a$90^{\circ}$ se denominan ángulos complementarios. Si el segundo de dos ángulos complementarios es$42$ grados mayor que$3$ veces el primer ángulo, encuentre la medida de grado de ambos ángulos.

Responder: $12^{\circ}$y$78^{\circ}$

2) En geometría, dos ángulos que se suman a$90^{\circ}$ se denominan ángulos complementarios. Si el segundo de dos ángulos complementarios es$57$ grados mayor que$2$ veces el primer ángulo, encuentre la medida de grado de ambos ángulos.

3) El perímetro de un rectángulo es de$116$ pulgadas. La longitud del rectángulo es$28$ pulgadas más del doble del ancho. Encuentra el ancho y largo del rectángulo.

Responder: El largo es$48$ pulgadas, el ancho es$10$ pulgadas

4) El perímetro de un rectángulo es de$528$ pulgadas. La longitud del rectángulo es$24$ pulgadas más del doble del ancho. Encuentra el ancho y largo del rectángulo.

5) María tiene$\$6.35$ en cambio en el bolsillo, todo en monedas de cinco centavos y cuartos. Ella tiene$59$ monedas en todos. ¿Cuántos cuartos tiene?

Responder: $17$cuartos

6) Amy tiene$\$5.05$ en cambio en el bolsillo, todo en monedas de cinco centavos y cuartos. Ella tiene$53$ monedas en todos. ¿Cuántos cuartos tiene?

7) Una tienda vende anacardos$\$6.00$ por libra y pasas$\$7.00$ por libra. ¿Cuántas libras de anacardos y cuántas libras de pasas debes mezclar para hacer una mezcla de$50$ -lb que cuesta$\$6.42$ por libra?

Responder: $29$libras de anacardos,$21$ libras de pasas

8) Una tienda vende anacardos$\$3.00$ por libra y pacanas$\$8.00$ por libra. ¿Cuántas libras de anacardos y cuántas libras de pacanas debes mezclar para hacer una mezcla de$50$ -lb que cuesta$\$4.10$ por libra?

9) Roberto tiene$\$5.45$ en cambio en el bolsillo, todo en monedas de diez centavos y cuartos. Tiene$38$ monedas en todos. ¿Cuántas monedas de diez centavos tiene?

Responder: $27$dimes

10) Benjamín tiene$\$7.40$ en cambio en el bolsillo, todo en monedas de diez centavos y cuartos. Tiene$44$ monedas en todos. ¿Cuántas monedas de diez centavos tiene?

11) En geometría, dos ángulos que se suman a$180^{\circ}$ se denominan ángulos suplementarios. Si el segundo de los dos ángulos suplementarios es$40$ grados mayor que$3$ veces el primer ángulo, encuentre la medida de grado de ambos ángulos.

Responder: $35^{\circ}$y$145^{\circ}$

12) En geometría, dos ángulos que se suman a$180^{\circ}$ se denominan ángulos suplementarios. Si el segundo de los dos ángulos suplementarios es$114$ grados mayor que$2$ veces el primer ángulo, encuentre la medida de grado de ambos ángulos.

13) Eileen hereda$\$20,000$ y decide invertir el dinero en dos cuentas, parte en un certificado de depósito que paga$3\%$ intereses por año, y el resto en un fondo mutuo que paga$5\%$ por año. Al final del primer año, sus inversiones ganan un total$\$780$ de intereses. Encuentra la cantidad invertida en cada cuenta.

Responder: $\$11,000$en certificado de depósito,$\$9,000$ en fondos mutuos.

14) Alice hereda$\$40,000$ y decide invertir el dinero en dos cuentas, parte en un certificado de depósito que paga$3\%$ intereses por año, y el resto en un fondo mutuo que paga$6\%$ por año. Al final del primer año, sus inversiones ganan un total$\$1,980$ de intereses. Encuentra la cantidad invertida en cada cuenta.

15) El perímetro de un rectángulo es de$376$ centímetros. La longitud del rectángulo es$12$ centímetros menos de tres veces el ancho. Encuentra el ancho y largo del rectángulo.

Responder: El largo es$138$ centímetros, el ancho es$50$ centímetros

16) El perímetro de un rectángulo es$344$ pies. La longitud del rectángulo es$28$ pies menos de tres veces el ancho. Encuentra el ancho y largo del rectángulo.