8.3: Sumar y restar expresiones racionales con un denominador común
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Al final de esta sección, podrás:
- Agregar expresiones racionales con un denominador común
- Restar expresiones racionales con un denominador común
- Sumar y restar expresiones racionales cuyos denominadores son opuestos
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
Si pierdes algún problema, vuelve a la sección listada y revisa el material.
- Agregar:\(\frac{y}{3}+\frac{9}{3}\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 1.7.1. - Restar:\(\frac{10}{x}−\frac{2}{x}\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 1.7.7. - Factor completamente:\(8n^5−20n^3\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 7.5.1. - Factor completamente:\(45a^3−5ab^2\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 7.5.10.
Agregar expresiones racionales con un denominador común
¿Cuál es el primer paso que das cuando agregas fracciones numéricas? Se comprueba si tienen un denominador común. Si lo hacen, agregas los numeradores y colocas la suma sobre el denominador común. Si no tienen un denominador común, encuentra uno antes de agregar.
Lo mismo ocurre con las expresiones racionales. Para agregar expresiones racionales, deben tener un denominador común. Cuando los denominadores son los mismos, se agregan los numeradores y se coloca la suma sobre el denominador común.
Si p, q y r son polinomios donde\(r \ne 0\), entonces
\(\frac{p}{r}+\frac{q}{r}=\frac{p+q}{r}\)
Para agregar expresiones racionales con un denominador común, agregue los numeradores y coloque la suma sobre el denominador común.
Primero agregaremos dos fracciones numéricas, para recordarnos cómo se hace esto.
Agregar:\(\frac{5}{18}+\frac{7}{18}\).
- Contestar
-
\(\frac{5}{18}+\frac{7}{18}\) Las fracciones tienen un denominador común, así que agrega los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. \(\frac{5+7}{18}\) Añadir en el numerador. \(\frac{12}{18}\) Facturar el numerador y denominador para mostrar los factores comunes. \(\frac{6·2}{6·3}\) Simplificar. \(\frac{2}{3}\)
Agregar:\(\frac{7}{16}+\frac{5}{16}\).
- Contestar
-
\(\frac{3}{4}\)
Agregar:\(\frac{3}{10}+\frac{1}{10}\).
- Contestar
-
\(\frac{2}{5}\)
Recuerden, no permitimos valores que hagan cero al denominador. ¿Qué valor de yy debería excluirse en el siguiente ejemplo?
Agregar:\(\frac{3y}{4y−3}+\frac{7}{4y−3}\).
- Contestar
-
\(\frac{3y}{4y−3}+\frac{7}{4y−3}\). Las fracciones tienen un denominador común, así que agrega los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. \(\frac{3y+7}{4y−3}\) El numerador y el denominador no pueden ser factorizados. La fracción se simplifica.
Agregar:\(\frac{5x}{2x+3}+\frac{2}{2x+3}\).
- Contestar
-
\(\frac{5x+2}{2x+3}\).
Agregar:\(\frac{x}{x−2}+\frac{1}{x−2}\).
- Contestar
-
\(\frac{x+1}{x−2}\)
Agregar:\(\frac{7x+12}{x+3}+\frac{x^2}{x+3}\).
- Contestar
-
\(\frac{7x+12}{x+3}+\frac{x^2}{x+3}\) Las fracciones tienen un denominador común, así que agrega los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. \(\frac{7x+12+x^2}{x+3}\) Escribe los grados en orden descendente. \(\frac{x^2+7x+12}{x+3}\) Factorial el numerador. \(\frac{(x+3)(x+4)}{x+3}\) Simplificar. x+4
Agregar:\(\frac{9x+14}{x+7}+\frac{x^2}{x+7}\).
- Contestar
-
x+2
Agregar:\(\frac{x^2+8x}{x+5}+\frac{15}{x+5}\).
- Contestar
-
x+3
Restar expresiones racionales con un denominador común
Para restar expresiones racionales, también deben tener un denominador común. Cuando los denominadores son iguales, restas los numeradores y colocas la diferencia sobre el denominador común.
Si p, q y r son polinomios donde\(r \ne 0\)
\(\frac{p}{r}−\frac{q}{r}=\frac{p−q}{r}\)
Para restar expresiones racionales, restar los numeradores y colocar la diferencia sobre el denominador común.
Siempre simplificamos las expresiones racionales. Asegúrese de factorial, si es posible, después de restar los numeradores para que pueda identificar cualquier factor común.
Restar:\(\frac{n^2}{n−10}−\frac{100}{n−10}\).
- Contestar
-
\(\frac{n^2}{n−10}−\frac{100}{n−10}\) Las fracciones tienen un denominador común, así que agrega los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. \(\frac{n^2−100}{n−10}\) Factorial el numerador. \(\frac{(n−10)(n+10)}{n−10}\) Simplificar. n+10
Restar:\(\frac{x^2}{x+3}−\frac{9}{x+3}\).
- Contestar
-
x−3
Restar:\(\frac{4x^2}{2x−5}−\frac{25}{2x−5}\).
- Contestar
-
2x+5
¡Ten cuidado con los signos cuando restes un binomio!
Restar:\(\frac{y^2}{y−6}−\frac{2y+24}{y−6}\).
- Contestar
-
\(\frac{y^2}{y−6}−\frac{2y+24}{y−6}\) Las fracciones tienen un denominador común, así que agrega los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. \(\frac{y^2−(2y+24)}{y−6}\) Distribuir el signo en el numerador. \(\frac{y^2−2y−24}{y−6}\) Factorial el numerador. \(\frac{(y−6)(y+4)}{y−6}\) Simplificar. y+4
Restar:\(\frac{n^2}{n−4}−\frac{n+12}{n−4}\).
- Contestar
-
n+3
Restar:\(\frac{y^2}{y−1}−\frac{9y−8}{y−1}\).
- Contestar
-
y−8
Restar:\(\frac{5x^2−7x+3}{x^2−3x-18}−\frac{4x^2+x−9}{x^2−3x-18}\).
- Contestar
-
\(\frac{5x^2−7x+3}{x^2−3x+18}−\frac{4x^2+x−9}{x^2−3x+18}\) Las fracciones tienen un denominador común, así que agrega los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. \(\frac{5x^2−7x+3−(4x^2+x−9)}{x^2−3x+18}\) Distribuir el signo en el numerador. \(\frac{5x^2−7x+3−4x^2−x+9}{x^2−3x+18}\) Combina términos similares. \(\frac{x^2−8x+12}{x^2−3x+18}\) Factorizar el numerador y el denominador. \(\frac{(x−2)(x−6)}{(x+3)(x−6)}\) Simplificar. \(\frac{x−2}{x+3}\)
Restar:\(\frac{4x^2−11x+8}{x^2−3x+2}−\frac{3x^2+x−3}{x^2−3x+2}\).
- Contestar
-
\(\frac{x−11}{x−2}\)
Restar:\(\frac{6x^2−x+20}{x^2−81}−\frac{5x^2+11x−7}{x^2−81}\).
- Contestar
-
\(\frac{x−3}{x+9}\)
Sumar y restar expresiones racionales cuyos denominadores son opuestos
Cuando los denominadores de dos expresiones racionales son opuestos, es fácil obtener un denominador común. Solo tenemos que multiplicar una de las fracciones por\(\frac{−1}{−1}\)
Veamos cómo funciona esto.
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| Multiplique la segunda fracción por\(\frac{−1}{−1}\). |  |
| Los denominadores son los mismos. |  |
| Simplificar. |  |
Agregar:\(\frac{4u−1}{3u−1}+\frac{u}{1−3u}\).
- Contestar
-
Multiplique la segunda fracción por\(\frac{−1}{−1}\). 
Simplifica la segunda fracción. 
Los denominadores son los mismos. Añadir los numeradores. 
Simplificar. 
Simplificar. 
Agregar:\(\frac{8x−15}{2x−5}+\frac{2x}{5−2x}\).
- Contestar
-
3
Agregar:\(\frac{6y^2+7y−10}{4y−7}+\frac{2y^2+2y+11}{7−4y}\).
- Contestar
-
y+3
Restar:\(\frac{m^2−6m}{m^2−1}−\frac{3m+2}{1−m^2}\).
- Contestar
-
Multiplique la segunda fracción por\(\frac{−1}{−1}\). 
Simplifica la segunda fracción. 
Los denominadores son los mismos. Restar los numeradores. 
Distribuir. m2−6m+3m+2m2−1 Combina términos similares. 
Factorizar el numerador y el denominador. 
Simplifique eliminando factores comunes. 
Simplificar. 
Restar:\(\frac{y^2−5y}{y^2−4}−\frac{6y−6}{4−y^2}\).
- Contestar
-
\(\frac{y+3}{y+2}\)
Restar:\(\frac{2n^2+8n−1}{n^2−1}−\frac{n^2−7n−1}{1−n^2}\).
- Contestar
-
\(\frac{3n−2}{n−1}\)
Conceptos clave
- Adición de expresión racional
- Si p, q y r son polinomios donde\(r \ne 0\), entonces
\(\frac{p}{r}+\frac{q}{r}=\frac{p+q}{r}\)
- Para agregar expresiones racionales con un denominador común, agregue los numeradores y coloque la suma sobre el denominador común.
- Si p, q y r son polinomios donde\(r \ne 0\), entonces
- Resta de expresión racional
- Si p, q y r son polinomios donde\(r \ne 0\)
\(\frac{p}{r}−\frac{q}{r}=\frac{p−q}{r}\)
- Para restar expresiones racionales, restar los numeradores y colocar la diferencia sobre el denominador común.
- Si p, q y r son polinomios donde\(r \ne 0\)