1.1: Simplificación algebraica

Cuando las técnicas algebraicas se presentan como habilidades en aislamiento, son mucho más sencillas de entender y practicar. Sin embargo, el proceso de resolución de problemas en cualquier contexto implica decidir qué habilidades usar cuando. La mayoría de los estudiantes universitarios de Álgebra habrán practicado problemas en la forma:

\ [\ begin {array} {c}
(x+7) (x-2) =? \\
\ texto {o}\\
(2 x+1) ^ {2} =?
\ end {array}
\]
Los problemas de esta sección tratan de una combinación de estos procesos que a menudo se encuentran como partes de problemas más complejos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Simplificar:
\ [
3 (x-1) (2 x+5) - (x+4) ^ {2}\ nonumber
\]

Solución

En este ejemplo, la simplificación involucra dos expresiones:\(3(x-1)(2 x+5)\) y\((x+4)^{2} .\) El\((x+4)^{2}\) está precedido por un signo negativo (o resta). Este libro de texto suele tratar\(-x\) y\(+(-x)\) como declaraciones equivalentes, ya que la resta se define como la suma de un negativo.

Simplificaremos cada expresión por separado y luego buscaremos combinar términos similares.
\ [
3 (x-1) (2 x+5) - (x+4) ^ {2} =3\ izquierda (2 x^ {2} +3 x-5\ derecha) -\ izquierda (x^ {2} +8 x+16\ derecha)\ nonumber
\]
Observe que los resultados de ambas multiplicaciones permanecen dentro de paréntesis. Esto se debe a que cada uno tiene algo que hay que distribuir.

En el caso de\(\left(2 x^{2}+3 x-5\right)\), hay un 3 el cual debe ser distribuido, resultando en\(6 x^{2}+9 x-15 .\) En el caso de que\(\left(x^{2}+8 x+16\right)\) haya un signo negativo o -1 el cual debe distribuirse, resultando en\(-x^{2}-8 x-16 .\) Es importante en estas situaciones que el signo negativo se distribuya a todos los términos entre paréntesis.

Entonces
\ [
\ begin {alineado}
3 (x-1) (2 x+5) - (x+4) ^ {2} &=3\ izquierda (2 x^ {2} +3 x-5\ derecha) -\ izquierda (x^ {2} +8 x+16\ derecha)\\
&=6 x^ {2} +9 x-15-x^ {2} -8 x-16\\
&=5 x^ {2} +x-31
\ fin {alineado}
\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Simplificar:
\ [
2 (x+3) ^ {2} -4 (3 x-1) (x+2)\ nonumber
\]

Solución

Este ejemplo muestra algunos de los mismos procesos que el ejemplo anterior. De nuevo hay dos expresiones que deben simplificarse, cada una de las cuales tiene un coeficiente que debe distribuirse. A menudo es útil esperar hasta después de multiplicar los binomios antes de distribuir el coeficiente. Sin embargo, como suele ser cierto en matemáticas, existen varios enfoques diferentes que se pueden tomar para simplificar este problema.

Si alguien prefiere distribuir primero el coeficiente antes de multiplicar los binomios, entonces el coeficiente solo debe distribuirse a UNO de los binomios, pero no a ambos. Por ejemplo, al multiplicar\(3 * 2 * 5=30\), primero podemos multiplicar\(2 * 5=10\) y luego\(3 * 10=30 .\) Cada factor se multiplica sólo una vez.
En el ejemplo anterior podemos proceder como hicimos con el ejemplo anterior:
\ [
\ begin {aligned}
2 (x+3) ^ {2} -4 (3 x-1) (x+2) &=2\ left (x^ {2} +6 x+9\ right) -4\ left (3 x^ {2} +5 x-2\ right)\\
&=2 x^ {2} +12 x+18-12 x^ {2} -20 x+8\\
& amp; =-10 x^ {2} -8 x+26
\ end {alineado}
\]
O bien, podemos optar por distribuir los 4 primero:
\ [
\ begin {alineado}
2 (x+3) ^ {2} -4 (3 x-1) (x+2) &=2\ left (x^ {2} +6 x+9\ right) - (12 x-4) (x+2)\\
&=2 x^ {2} +12 x+18-\ izquierda (12 x^ {2} +20 x-8\ derecha)\\
&=2 x^ {2} +12 x+18-12 x^ {2} -20 x+8\\
&=-10 x^ {2} -8 x+26
\ final {alineado}
\]

O bien, podemos distribuir el 4 como negativo. Si hacemos esto, entonces el signo delante de los paréntesis será positivo:
\ [
\ begin {aligned}
2 (x+3) ^ {2} -4 (3 x-1) (x+2) &=2\ left (x^ {2} +6 x+9\ right) + (-12 x+4) (x+2)\\
&=2 x^ {2} +12 x+18+\ left (-12 x^ {2} -20 x+8\ derecha)\\
&=-10 x^ {2} -8 x+26
\ end {alineado}
\]
Distribuir el 2 frente al binomio cuadrado también debe manejarse con cuidado si eliges hacer esto. Si reparte el 2 antes de cuadrar el\((x+3)\), entonces el 2 también será cuadrado. Si elige distribuir\(2,\) el\((x+3)^{2}\) debe escribirse como\((x+3)(x+3)\)

\ [
\ begin {alineado}
2 (x+3) ^ {2} -4 (3 x-1) (x+2) &=2 (x+3) (x+3) -4 (3 x-1) (x+2)\\
& =( 2 x+6) (x+3) -4\ izquierda (3 x^ {2} +5 x-2\ derecha)\\
&=2 x^ {2} +12 x+18-12 x^ {2} -20 x+8\\
&=-10 x^ {2} -8 x+26
\ final {alineado}
\]

La mayoría de los ejemplos en este texto distribuirán los coeficientes como último paso antes de combinar términos similares para una respuesta final.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Simplificar:
\ [
3 x [5- (2 x+7)] + (3 x-2) ^ {2} - (x-5) (x+4)\ nonumber
\]

Este ejemplo tiene tres expresiones que deben simplificarse por separado antes de combinar términos similares. En la primera expresión\(3 x[5-(2 x+7)],\) debemos simplificar dentro de los corchetes antes de distribuir el\(3 x\)

\ begin {alineado}
& 3 x [5- (2 x+7)] + (3 x-2) ^ {2} - (x-5) (x+4)\\
=& 3 x [5-2 x-7] + (3 x-2) ^ {2} - (x-5) (x+4)\\
=& 3 x [-2 x-2] + (3 x-2) (3 x-2) -\ izquierda (^ {2} -x-20\ derecha)\\
=&-6 x^ {2} -6 x+\ izquierda (9 x^ {2} -12 x+4\ derecha) -x^ {2} +x+20\\
=&-6 x^ {2} -6 x+9 x^ {2} -12 x+4-x^ {2} +x+20\\
=& 2 x^ {2} -17 x+24
\ end {alineado}

Ejercicios\(\PageIndex{1}\)

Simplifica cada expresión.

1. \(\quad (x-2)[2 x-2(3+x)]-(x+5)^{2}\)
2. \(\quad 3 x^{2}-[7 x-2(2 x-1)(3-x)]\)
3. \(\quad (a+b)^{2}-(a+b)(a-b)-\left[a(2 b-2)-\left(b^{2}-2 a\right)\right]\)
4. \(\quad 5 x-3(x-2)(x+7)+3(x-2)^{2}\)
5. \(\quad (m+3)(m-1)-(m-2)^{2}+4\)
6. \(\quad (a-1)(a-2)-(a-2)(a-3)+(a-3)(a-4)\)
7. \(\quad 2 a^{2}-3(a+1)(a-2)-[7-(a-1)]^{2}\)
8. \(\quad 2(x-5)(3 x+1)-(2 x-1)^{2}\)
9. \(\quad 6 y+(3 y+1)(y+2)-(y-3)(y-8)\)
10. \(\quad 6 x-4(x+10)(x-1)+(x+1)^{2}\)

RESPUESTAS

1. \(\quad -x^{2}-16 x-13\)
3. \(\quad 3 b^{2}\)
5. \(\quad 6 m-3\)
7. \(\quad -2 a^{2}+19 a-58\)
9. \(\quad 2 y^{2}+24 y-22\)