5.3: Aplicaciones de la Parábola

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Una parábola que se gira alrededor de su eje de simetría para crear un objeto tridimensional se llama paraboloide. Una de las propiedades especiales de una parábola es que cualquier luz (u otra onda electromagnética) que golpee el interior de la parábola se refleja al foco. La prueba de esto es algo compleja, pero esta propiedad hace del paraboloide una forma muy útil en la aplicación.

El paraboloide se utiliza para hacer antenas parabólicas para que la señal del satélite se refleje hacia el centro de la antena parabólica. Esto fortalece la señal. Los micrófonos parabólicos se utilizan a menudo en eventos deportivos para que los ruidos en el campo se puedan escuchar con mayor claridad al margen. Linternas y faros también usan esta propiedad en reversa. Con la luz en el foco del paraboloide, toda la luz se refleja en línea recta, concentrando así el haz de luz.

Una última aplicación que se ha utilizado con mayor frecuencia en los últimos cinco o diez años es el uso del paraboloide en la energía solar. Un uso de estas propiedades establece una torre en el foco del paraboloide con espejos depositados alrededor de la torre en forma paraboloide. Esto enfoca todo el poder del sol en la torre en el centro. A menudo, la sal se utiliza en la torre ya que tiene un punto de fusión muy alto. La sal es derretida por la luz solar reflejada y fluye hacia una turbina de vapor. Se ha encontrado que esto es más eficiente que solo usar paneles solares estándar.

Ejemplo
Si una antena parabólica tiene 8 pies de ancho y$3 \mathrm{ft}$. de profundidad, ¿a qué distancia del fondo de la antena se debe colocar el receptor para que esté en el foco del paraboloide?
Primero consideremos cómo se ve esto en dos dimensiones. Debido a que estamos configurando la gráfica de esta parábola, podemos optar por colocar el vértice en el origen. Esto facilita un poco las cosas.
ya que el platillo tenía un total de 8 pies de ancho, dividimos esto entre los dos lados de la gráfica, creando los puntos (4,3) y$(-4,3) .$ dado que el vértice para esta parábola está en el origen, la ecuación estándar está algo simplificada.

Así es como se ve esta sección transversal:
$clipboard_e45a8be0aba094446aefba1b4408d528b.png$
Tomar la ecuación estándar para una parábola orientada hacia arriba:$4 p(y-k)=(x-h)^{2}$ y usar el punto (0,0) para el vértice nos deja con$4 p(y-0)=(x-0)^{2}$ o$4 p y=x^{2}$
Lo principal que necesidad de hacer es encontrar el valor de$p$ para esta situación. Esto nos dirá dónde debería estar el receptor en la antena parabólica. Enchufar los puntos en la gráfica que conocemos nos permitirá resolver para$p$
\ [
\ begin {aligned}
4 p y &=x^ {2}\\
4 p (3) & =( 4) ^ {2}\\
12 p &=16\\
p &=\ frac {4} {3}
\ end {alineado }
\]
Así el receptor debe estar a$\frac{4}{3}$ pies o 1 pie a 4 pulgadas del fondo del plato.
$clipboard_ec0bf6d45c49ea73873d51a832e2521f3.png$

Ejercicios 5.3
1) Una antena parabólica en forma de paraboloide es$10 \mathrm{ft}$. transversal y 3 pies de profundidad. ¿A qué distancia del vértice en la parte inferior del plato se debe colocar el receptor?
2) Una antena parabólica en forma de paraboloide mide 6 pies de ancho y 2 pies de profundidad. ¿A qué distancia del vértice en la parte inferior del plato se debe colocar el receptor?
3) El reflector en una linterna en forma de paraboloide tiene 2 pulgadas de ancho y 1 pulgada de profundidad. ¿A qué distancia del vértice en la parte inferior del reflector debe colocarse la fuente de luz para que la luz se refleje en línea recta?
4) El reflector en una linterna en forma de paraboloide tiene 5 pulgadas de ancho y 3 pulgadas de profundidad. ¿A qué distancia del vértice en la parte inferior del reflector debe colocarse la fuente de luz para que la luz se refleje en línea recta?
5) Un faro de automóvil en forma de paraboloide tiene una bombilla que se coloca a 1.25 pulgadas del vértice en la parte inferior del faro. Si el faro tiene 6 pulgadas de diámetro, ¿qué tan profundo debe ser el faro para que la bombilla esté en el foco del paraboloide?
6) Un foco en forma de paraboloide tiene una bombilla que se coloca a 3 pulgadas del vértice en la parte inferior de la carcasa de la luz. Si el foco tiene 18 pulgadas de diámetro, ¿qué tan profunda debe ser la luz para que la bombilla esté en el foco del paraboloide?
Cuando un cable, cadena o cuerda cuelga entre dos extremos, hace la forma de una catenaria, que generalmente se describe mediante una ecuación de la forma:
\ [
f (x) =\ frac {e^ {x} +e^ {-x}} {2}
\]
Sin embargo, cuando los cables de un puente colgante soportan el peso del lecho de la carretera en el puente, los cables se estira en forma de parábola.
7) Los cables de un puente colgante tienen forma de parábola. Las torres del puente que soportan el cable son$400 \mathrm{ft}$. separadas y$600 \mathrm{ft}$. altas. Si los cables tocan la calzada en el centro del puente a mitad de camino entre las torres, ¿qué tan alto es el cable$75 \mathrm{ft}$. desde el centro del puente?
8) Los cables de un puente colgante tienen forma de parábola. Las torres del puente que soportan el cable son$800 \mathrm{ft}$. separadas y$160 \mathrm{ft}$. altas. Si los cables tocan la calzada en el centro del puente a mitad de camino entre las torres, ¿qué tan alto es el cable$120 \mathrm{ft}$. desde el centro del puente?
9) Un foco en forma de paraboloide tiene la fuente de luz$2.5 \mathrm{ft}$. desde el vértice en la parte inferior de la luz. Si la profundidad de la carcasa del foco es$4 \mathrm{ft}$, ¿qué tan amplia debe ser la cara del foco?
10) Un reflector de linterna en forma de paraboloide tiene una fuente de luz que está a
0.5 pulgadas del vértice en la parte inferior del reflector. ¿Qué tan profundo debe ser el reflector si la cara de la linterna tiene 3 pulgadas de diámetro?
11) El espejo parabólico para el telescopio observatorio Mount Palomar tiene 200 pulgadas de diámetro y el espejo tiene 3.75 pulgadas de profundidad en el centro. ¿A qué distancia del centro del espejo está el punto focal donde se refleja la luz?
12) Un telescopio reflectante contiene un espejo en forma de paraboloide. Si el espejo tiene 5 pulgadas de ancho en la abertura y 2 pulgadas de profundidad, ¿qué tan lejos del vértice en la parte inferior del espejo está el punto focal?
13) Los cables de un puente colgante tienen forma de parábola. Las torres del puente que soportan el cable son$500 \mathrm{ft}$. separadas y$80 \mathrm{ft}$. altas. Si los cables están a 15 pies por encima de la calzada en el centro del puente a medio camino entre las torres, ¿qué tan alto es el cable$100 \mathrm{ft}$. desde el centro del puente?
14) Los cables de un puente colgante tienen forma de parábola. Las torres del puente que soportan el cable son$2000 \mathrm{ft}$. separadas y$400 \mathrm{ft}$. altas. Si los cables están$25 \mathrm{ft}$. por encima de la calzada en el centro del puente a medio camino entre las torres, ¿qué tan alto es el cable$500 \mathrm{ft}$. desde el centro del puente?
15) Una carcasa de reflector de linterna en forma de paraboloide tiene 4 pulgadas de profundidad y 4 pulgadas de ancho en su punto más ancho. ¿A qué distancia del vértice en la parte inferior de la carcasa se debe colocar la fuente de luz?
16) Una carcasa de reflector de linterna en forma de paraboloide es de 8 pulgadas de diámetro con la fuente de luz colocada a 1 pulgada del vértice en la parte inferior de la carcasa. ¿Qué tan profunda debe ser la carcasa para que la fuente de luz se coloque en el punto focal?
17) Se construye un puente en forma de arco parabólico (ver figura abajo). Si el$\operatorname{arch}$ es$50 \mathrm{ft}$. por encima del agua en el centro y$200 \mathrm{ft}$. ancho en la superficie del agua, ¿un bote que mide 35 pies de altura despejará el arco a 30 pies del centro? Si no, ¿cuánto más alto que el puente es el barco? Si es así, ¿cuánto despacho habrá?
$clipboard_e9a359c29113aac390ce8b9eb073cce32.png$
18) Se construye un puente en forma de arco parabólico. Si el arco está a 30 pies sobre el agua en el centro y$150 \mathrm{ft}$. ancho en la superficie del agua, encuentre la altura del arco sobre el agua a distancias de$10,25,40,$ y$50 \mathrm{ft}$. del centro.