1.6: Expresiones racionales

Objetivos de aprendizaje

En esta sección los alumnos:

• Simplifica las expresiones racionales.
• Multiplicar expresiones racionales.
• Dividir expresiones racionales.
• Sumar y restar expresiones racionales.
• Simplifica expresiones racionales complejas.

Una pastelería tiene costos fijos$$280$ por semana y costos variables de$$9$ por caja de bollería. Los costos de la tienda por semana en términos de$x$, el número de cajas hechas, es$280 +9x$. Podemos dividir los costos por semana por el número de cajas hechas para determinar el costo por caja de pasteles.

$$\dfrac{280+9x}{x} \nonumber$$

Observe que el resultado es una expresión polinómica dividida por una segunda expresión polinómica. En esta sección, exploraremos cocientes de expresiones polinómicas.

Simplificación de expresiones racionales

El cociente de dos expresiones polinómicas se denomina expresión racional. Podemos aplicar las propiedades de las fracciones a expresiones racionales, como simplificar las expresiones cancelando factores comunes del numerador y del denominador. Para ello, primero necesitamos factorizar tanto el numerador como el denominador. Empecemos por la expresión racional mostrada.

$$\dfrac{x^2+8x+16}{x^2+11x+28} \nonumber$$

Podemos factorizar el numerador y denominador para reescribir la expresión.

$$\dfrac{{(x+4)}^2}{(x+4)(x+7)} \nonumber$$

Entonces podemos simplificar esa expresión cancelando el factor común$(x+4)$.

$$\dfrac{x+4}{x+7} \nonumber$$

Cómo: Dada una expresión racional, simplificarla

1. Facturar el numerador y el denominador.
2. Cancelar cualquier factor común.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Simplifying Rational Expressions

Simplificar$\dfrac{x^2-9}{x^2+4x+3}$

Solución

$$\begin{align*} &\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x+1)} && \text{Factor the numerator and the denominator}\\ &\dfrac{x-3}{x+1} && \text{Cancel common factor } (x+3) \end{align*}$$

Análisis

Podemos cancelar el factor común porque cualquier expresión dividida por sí misma es igual a$1$.

Q&A

¿Se puede cancelar el$x^2$ término en el último ejemplo?

No. Un factor es una expresión que se multiplica por otra expresión. El$x^2$ término no es un factor del numerador ni del denominador.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Simplificar$\dfrac{x-6}{x^2-36}$

Contestar

$\dfrac{1}{x+6}$

Multiplicar expresiones racionales

La multiplicación de expresiones racionales funciona de la misma manera que la multiplicación de cualquier otra fracción. Multiplicamos los numeradores para encontrar el numerador del producto, y luego multiplicamos los denominadores para encontrar el denominador del producto. Antes de multiplicar, es útil factorizar los numeradores y denominadores tal como lo hicimos a la hora de simplificar las expresiones racionales. A menudo somos capaces de simplificar el producto de expresiones racionales.

Cómo: Dadas dos expresiones racionales, multiplicarlas

1. Facturar el numerador y el denominador.
2. Multiplicar los numeradores.
3. Multiplicar los denominadores.
4. Simplificar.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Multiplying Rational Expressions

Multiplica las expresiones racionales y muestra el producto en la forma más simple:

$\dfrac{(x+5)(x-1)}{3(x+6)}\times\dfrac{(2x-1)}{(x+5)}$

Solución

$$\begin{align*} &\dfrac{(x+5)(x-1)}{3(x+6)}\times\dfrac{(2x-1)}{(x+5)} && \text{Factor the numerator and denominator.}\\[4pt] &\dfrac{(x+5)(x-1)(2x-1)}{3(x+6)(x+5)} && \text{Multiply numerators and denominators}\\[4pt] &\dfrac{(x-1)(2x-1)}{3(x+6)} && \text{Cancel common factors to simplify} \end{align*}$$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Multiplica las expresiones racionales y muestra el producto en la forma más simple:

$\dfrac{x^2+11x+30}{x^2+5x+6}\times\dfrac{x^2+7x+12}{x^2+8x+16}$

Contestar

$\dfrac{(x+5)(x+6)}{(x+2)(x+4)}$

Dividir expresiones racionales

La división de expresiones racionales funciona de la misma manera que la división de otras fracciones. Para dividir una expresión racional por otra expresión racional, multiplicar la primera expresión por la recíproca de la segunda. Usando este enfoque, reescribiríamos$\dfrac{1}{x}÷\dfrac{x^2}{3}$ como el producto$\dfrac{1}{x}⋅\dfrac{3}{x^2}$. Una vez que la expresión de división ha sido reescrita como una expresión de multiplicación, podemos multiplicar como lo hacíamos antes.

$$\dfrac{1}{x}⋅\dfrac{3}{x^2}=\dfrac{3}{x^3} \nonumber$$

Cómo: Dadas dos expresiones racionales, dividirlas

1. Reescribir como la primera expresión racional multiplicada por el recíproco de la segunda.
2. Facturar los numeradores y denominadores.
3. Multiplicar los numeradores.
4. Multiplicar los denominadores.
5. Simplificar.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Dividing Rational Expressions

Dividir las expresiones racionales y expresar el cociente en la forma más simple:

$\dfrac{2x^2+x-6}{x^2-1}÷\dfrac{x^2-4}{x^2+2x+1}$

Solución

\ [\ begin {align*} &\ dfrac {2x^2+x-6} {x^2-1} ÷\ dfrac {x^2-4} {x^2+2x+1}\\ [4pt]
&\ dfrac {2x^2+x-6} {x^2-1}\ times\ dfrac {x^2+2x+1} {x^2-4} &&\ text {Reescribir como multiplicación problema}\\ [4pt]
&\ dfrac {(2x-3) (x+2)} {(x-1) (x+1)}\ veces\ dfrac {(x+1) (x+1)} {(x-2) (x+2)} &&\ text {Factor el numerador y denominador.}\\ [6pt]
&\ dfrac {(2x-3) (x+2) (x+1) (x+1)} {(x-1) (x+1) (x+1) (x-2) (x+2)} &&\ text {Multiplicar numeradores y denominadores}\\ [6pt]
&\ dfrac {(2x-3) (x+1)} {(x-1) (x-2)} &&\ text {Cancelar factores comunes para simplificar}\ end {align*}\]

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Dividir las expresiones racionales y expresar el cociente en la forma más simple:

$$\dfrac{9x^2-16}{3x^2+17x-28}÷\dfrac{3x^2-2x-8}{x^2+5x-14} \nonumber$$

Contestar

$0$

Sumando y restando expresiones racionales

Sumar y restar expresiones racionales funciona igual que sumar y restar fracciones numéricas. Para sumar fracciones, necesitamos encontrar un denominador común. Veamos un ejemplo de adición de fracciones.

$$\begin{align*} \dfrac{5}{24}+\dfrac{1}{40} &= \dfrac{25}{120}+\dfrac{3}{120}\\ &= \dfrac{28}{120}\\ &= \dfrac{7}{30} \end{align*}$$

Tenemos que reescribir las fracciones para que compartan un denominador común antes de que podamos sumar. Debemos hacer lo mismo al sumar o restar expresiones racionales.

El denominador común más fácil de usar será el mínimo común denominador, o LCD. El LCD es el múltiplo más pequeño que tienen en común los denominadores. Para encontrar el LCD de dos expresiones racionales, factorizamos las expresiones y multiplicamos todos los factores distintos. Por ejemplo, si los denominadores factorizados fueran$(x+3)(x+4)$ y$(x+4)(x+5)$, entonces el LCD sería$(x+3)(x+4)(x+5)$.

Una vez que encontremos la LCD, necesitamos multiplicar cada expresión por la forma de$1$ que cambiará el denominador a la LCD. Habría que multiplicar la expresión con un denominador de$(x+3)(x+4)$ by$\dfrac{x+5}{x+5}$ y la expresión con un denominador de$(x+4)(x+5)$ by$\dfrac{x+3}{x+3}$.

Cómo: Dadas dos expresiones racionales, sumarlas o restarlas

1. Facturar el numerador y el denominador.
2. Encuentra la pantalla LCD de las expresiones.
3. Multiplique las expresiones por una forma de 1 que cambie los denominadores a la LCD.
4. Sumar o restar los numeradores.
5. Simplificar.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Adding Rational Expressions

Añada las expresiones racionales: $$\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{y} \nonumber$$

Solución

Primero, tenemos que encontrar la pantalla LCD. En este caso, la pantalla LCD será$xy$. Luego multiplicamos cada expresión por la forma apropiada de$1$ para obtener$xy$ como denominador para cada fracción.

$$\begin{align*} &\dfrac{5}{x}\times\dfrac{y}{y}+\dfrac{6}{y}\times\dfrac{x}{x}\\ &\dfrac{5y}{xy}+\dfrac{6x}{xy} \end{align*}$$

Ahora que las expresiones tienen el mismo denominador, simplemente agregamos los numeradores para encontrar la suma.

$$\dfrac{6x+5y}{xy} \nonumber$$

Análisis

Multiplicar por$\dfrac{y}{y}$ o$\dfrac{x}{x}$ no cambia el valor de la expresión original porque cualquier número dividido por sí mismo lo es$1$, y multiplicar una expresión por$1$ da la expresión original.

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Subtracting Rational Expressions

Restar las expresiones racionales: $$\dfrac{6}{x^2+4x+4}-\dfrac{2}{x^2-4}$$

Solución

\ [\ begin {alinear*}
&\ dfrac {6} {{(x+2)} ^2} -\ dfrac {2} {(x+2) (x-2)} &&\ text {Factor}\\
&\ dfrac {6} {{(x+2)} ^2}\ veces\ dfrac {x-2} {x-2} -\ dfrac {2} (x+2) (x-2)}\ times\ dfrac {x+2} {x+2} &&\ text {Multiplica cada fracción para obtener LCD como denominador}\\
&\ dfrac {6 (x- 2)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} -\ dfrac {2 (x+2)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} &&\ text {Multiplicar}\\
&\ dfrac {6x-12- (2x+4)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} &&\ text {Aplicar propiedad distributiva}\
&\ dfrac {4x-16} {{(x+2)} ^2 (x-2)} &&\ text {Restar}\\
&\ dfrac {4 (x-4)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} &&\ text {Simplificar}
\ end {alinear*}\]

Q&A

¿Tenemos que usar la LCD para sumar o restar expresiones racionales?

No. Cualquier denominador común funcionará, pero es más fácil usar la pantalla LCD.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Restar las expresiones racionales:$\dfrac{3}{x+5}-\dfrac{1}{x-3}$

Contestar

$\dfrac{2(x-7)}{(x+5)(x-3)}$

Simplificación de expresiones racionales complejas

Una expresión racional compleja es una expresión racional que contiene expresiones racionales adicionales en el numerador, el denominador o ambos. Podemos simplificar expresiones racionales complejas reescribiendo el numerador y el denominador como expresiones racionales únicas y dividiendo. La expresión racional compleja$\dfrac{a}{\dfrac{1}{b}+c}$ puede simplificarse reescribiendo el numerador como la fracción$\dfrac{a}{1}$ y combinando las expresiones en el denominador como$\dfrac{1+bc}{b}$. Luego podemos reescribir la expresión como un problema de multiplicación utilizando el recíproco del denominador. Obtenemos$\dfrac{a}{1}⋅\dfrac{b}{1+bc}$, que es igual a$\dfrac{ab}{1+bc}$.

Cómo: Dada una expresión racional compleja, simplificarla

1. Combine las expresiones en el numerador en una sola expresión racional sumando o restando.
2. Combina las expresiones del denominador en una sola expresión racional sumando o restando.
3. Reescribir como el numerador dividido por el denominador.
4. Reescribir como multiplicación.
5. Multiplicar.
6. Simplificar.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Simplifying Complex Rational Expressions

Simplificar:$\dfrac{y+\dfrac{1}{x}}{\dfrac{x}{y}}$

Solución

Comience combinando las expresiones del numerador en una sola expresión.

$$\begin{align*} &y\times\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}\qquad \text{Multiply by } \dfrac{x}{x} \text{ to get LCD as denominator}\\ &\dfrac{xy}{x}+\dfrac{1}{x}\\ &\dfrac{xy+1}{x}\qquad \text{Add numerators} \end{align*}$$

Ahora el numerador es una sola expresión racional y el denominador es una sola expresión racional.

$$\begin{align*} &\dfrac{\dfrac{xy+1}{x}}{\dfrac{x}{y}}\\ \text{We can rewrite this as division, and then multiplication.}\\ &\dfrac{xy+1}{x}÷\dfrac{x}{y}\\ &\dfrac{xy+1}{x}\times\dfrac{y}{x}\qquad \text{Rewrite as multiplication}\\ &\dfrac{y(xy+1)}{x^2}\qquad \text{Multiply} \end{align*}$$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Simplificar:$\dfrac{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}}{y}$

Contestar

$\dfrac{x^2-y^2}{xy^2}$

Q&A

¿Se puede simplificar siempre una expresión racional compleja?

Sí. Siempre podemos reescribir una expresión racional compleja como una expresión racional simplificada.

Medios

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con expresiones racionales.

1. Simplificar expresiones racionales

2. Multiplicar y dividir expresiones racionales

3. Sumar y restar expresiones racionales

4. Simplifique una fracción compleja

Conceptos clave

• Las expresiones racionales se pueden simplificar cancelando factores comunes en el numerador y denominador. Ver Ejemplo.
• Podemos multiplicar expresiones racionales multiplicando los numeradores y multiplicando los denominadores. Ver Ejemplo.
• Para dividir las expresiones racionales, multiplicar por el recíproco de la segunda expresión. Ver Ejemplo.
• Sumar o restar expresiones racionales requiere encontrar un denominador común. Ver Ejemplo y Ejemplo.
• Las expresiones racionales complejas tienen fracciones en el numerador o en el denominador. Estas expresiones pueden simplificarse. Ver Ejemplo.