11: Sistemas de Ecuaciones y Desigualdades
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- 11.0: Preludio a Sistemas de Ecuaciones y Desigualdades
- En este capítulo, investigaremos matrices y sus inversos, y diversas formas de usar matrices para resolver sistemas de ecuaciones. Primero, sin embargo, estudiaremos sistemas de ecuaciones por sí mismos: lineales y no lineales, y luego fracciones parciales. Aquí no estaremos rompiendo ningún código secreto, pero sentaremos las bases para futuros cursos.
- 11.1: Sistemas de Ecuaciones Lineales - Dos Variables
- Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones compuestas por dos o más variables de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. La solución a un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisfaga cada ecuación de forma independiente. Los sistemas de ecuaciones se clasifican como independientes con una solución, dependientes con un número infinito de soluciones, o inconsistentes con ninguna solución.
- 11.2: Sistemas de Ecuaciones Lineales con Tres Variables
- Un conjunto de soluciones es un triple ordenado que representa la intersección de tres planos en el espacio. Un sistema de tres ecuaciones en tres variables se puede resolver usando una serie de pasos que fuerzan a una variable a ser eliminada. Los pasos incluyen intercambiar el orden de las ecuaciones, multiplicar ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero y agregar un múltiplo distinto de cero de una ecuación a otra ecuación. Los sistemas de tres ecuaciones en tres variables son útiles para resolver problemas del mundo real.
- 11.3: Sistemas de Ecuaciones no Lineales y Desigualdades - Dos Variables
- En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una línea, un círculo y una línea, y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de las ecuaciones lineales.
- 11.4: Fracciones Parciales
- Descomponer una proporción de polinomios escribiendo las fracciones parciales. Resuelve limpiando las fracciones, expandiendo el lado derecho, recolectando términos similares y estableciendo coeficientes correspondientes iguales entre sí, luego configurando y resolviendo un sistema de ecuaciones. La descomposición con factores lineales repetidos debe dar cuenta de los factores del denominador en potencias crecientes. La descomposición con un factor cuadrático irreducible no repetido necesita un numerador lineal sobre el factor cuadrático.
- 11.5: Matrices y Operaciones Matriciales
- Para resolver un sistema de ecuaciones, podemos usar una matriz, que es una matriz rectangular de números. Una fila en una matriz es un conjunto de números que están alineados horizontalmente. Una columna en una matriz es un conjunto de números que están alineados verticalmente. Cada número es una entrada, a veces llamada elemento, de la matriz. Las matrices (plural) están encerradas en [] o (), y generalmente se nombran con letras mayúsculas.
- 11.6: Resolver sistemas con eliminación gaussiana
- Una matriz puede servir como un dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma de matriz, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, y éstas se convierten en las entradas de la matriz. Utilizamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, reemplazando esencialmente los signos iguales. Cuando un sistema se escribe en esta forma, lo llamamos matriz aumentada.
- 11.7: Resolver sistemas con inversos
- Una matriz que tiene un inverso multiplicativo se denomina matriz invertible. Sólo una matriz cuadrada puede tener un inverso multiplicativo, ya que la reversibilidad es un requisito. No todas las matrices cuadradas tienen una inversa. Analizaremos dos métodos para encontrar la inversa de una matriz 2×2 y un tercer método que se puede usar tanto en matrices 2×2 como 3×3.
- 11.8: Resolver sistemas con la regla de Cramer
- En esta sección, estudiaremos dos estrategias más para resolver sistemas de ecuaciones. Un determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como calcular área, volumen y otras cantidades. Aquí, utilizaremos determinantes para revelar si una matriz es invertible mediante el uso de las entradas de una matriz cuadrada para determinar si existe una solución al sistema de ecuaciones. Regla de Cramer para resolver un sistema de ecuaciones en dos y tres variables.
Miniatura: Posibles tipos de soluciones para los puntos de Intersección de un círculo y una elipse.