3: Nudos y álgebra

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Objetivos de aprendizaje

Calcular estructuras algebraicas que son invariantes para nudos, incluyendo el dilema fundamental y el grupo de nudos, y utilízalas para distinguir entre nudos.
Calcular polinomios que son invariantes para nudos, incluyendo los polinomios Alexander, HOMFLY y Jones, y utilízalos para distinguir entre nudos.

Las invariantes numéricas como las que estudiamos en Capítulo\(2\) son poderosas, especialmente en la medida en que pueden ayudarnos a descubrir relaciones entre diferentes clases de nudos. Pero si bien la notación Conway se acerca más, ninguna de estas invariantes numéricas puede llevar suficiente información sobre el tipo de nudo para permitirnos distinguir seguramente un nudo de otro. Si bien son sensibles (diferentes números implican diferentes nudos), están lejos de ser específicos (el mismo número no implica el mismo nudo).

In our search for a complete invariant for knots, then, we need a structure capable of holding more information than can a single number. In this culminating chapter we'll work our way through algebraic structures of increasing complexity, each of which adds much-needed specificity. The rogue's gallery of structures range from the familiar (polynomials) to the recognizable (groups) to the exotic (quandles), each with its own advantages and limitations. But reckoning with how each one encodes information about a knot is the key to understanding the role of algebraic thinking in knot theory in particular, and in mathematics more generally.

Referencias

Adams, C. C. (2004). El libro de los nudos: una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos. Sociedad Americana de Matemáticas, ISBN 0-8218-3678-1. Capítulo 5.
Austin, D. (2016). Quandarios de nudos sofocada por diangles. American Mathematical Society Feature Column, consultado en http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2016-03.
Rolfsen, D. (1990). Nudos y Enlaces. Reimpresión corregida del original de 1976. Serie de conferencias de matemáticas (7). Sociedad Americana de Matemáticas. Capítulo 3.