3: Grupos

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Comenzamos nuestro estudio de las estructuras algebraicas investigando conjuntos asociados a operaciones individuales que satisfagan ciertos axiomas razonables; es decir, queremos definir una operación sobre un conjunto de manera que generalice estructuras tan familiares como los enteros\({\mathbb Z}\) junto con la operación única de suma, o\(2 \times 2\) matrices invertibles junto con la operación única de multiplicación matricial. Los enteros y las\(2 \times 2\) matrices, junto con sus respectivas operaciones individuales, son ejemplos de estructuras algebraicas conocidas como grupos.

La teoría de grupos ocupa una posición central en las matemáticas. La teoría moderna de grupos surgió de un intento de encontrar las raíces de un polinomio en términos de sus coeficientes. Los grupos ahora juegan un papel central en áreas como la teoría de la codificación, el conteo y el estudio de las simetrías; muchas áreas de biología, química y física se han beneficiado de la teoría de grupos.