Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

2: Introducción a los Grupos

  • Page ID
    118498
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Definición 2.1: Grupos

    Un grupo es un par ordenado\((G,*)\) donde\(G\) es un conjunto y\(*\) es una operación binaria para\(G\) satisfacer las siguientes propiedades

    1. \(x*(y*z) = (x*y)*z\)para todos\(x\),\(y\),\(z\) en\(G\).
    2. Hay un elemento\(e \in G\) satisfactorio\(e*x=x\) y\(x*e=x\) para todos\(x\) en\(G\).
    3. Para cada elemento\(x\) en\(G\) hay un elemento\(y\) en\(G\) satisfacer\(x*y = e\) y\(y*x=e\).

    Así, para describir un grupo hay que especificar dos cosas:

    1. un conjunto, y
    2. una operación binaria en el conjunto.

    Entonces, se debe verificar que la operación binaria es asociativa, que hay una identidad en el conjunto, y que cada elemento del conjunto tiene una inversa.

    Convención Si está claro cuál es la operación binaria, entonces el grupo\((G,*)\) puede ser referido\(G\) solo por su conjunto subyacente.

    Ejemplos de Grupos:

    1. \((\mathbb{Z},+)\)es un grupo con identidad 0. La inversa de\(x \in \mathbb{Z}\) es\(-x\).
    2. \((\mathbb{Q},+)\)es un grupo con identidad 0. La inversa de\(x \in \mathbb{Q}\) es\(-x\).
    3. \((\mathbb{R},+)\)es un grupo con identidad 0. La inversa de\(x \in \mathbb{R}\) es\(-x\).
    4. \((\mathbb{Q}-\{0\},\cdot)\)es un grupo con identidad 1. La inversa de\(x \in \mathbb{Q}-\{0\}\) es\(x^{-1}\).
    5. \((\mathbb{R}-\{0\},\cdot)\)es un grupo con identidad 1. La inversa de\(x \in \mathbb{R}-\{0\}\) es\(x^{-1}\).
    6. \((\mathbb{Z}_n,+)\)es un grupo con identidad 0. El inverso de\(x \in \mathbb{Z}_n\) es\(n-x\) si\(x \ne 0\), el inverso de 0 es 0. Consulte el Corolario C.5 en el Apéndice C para una prueba de que esta operación binaria es asociativa.
    7. \((\mathbb{R}^n,+)\)donde\(+\) es la adición de vectores. La identidad es el vector cero\((0,0,\dots,0)\) y la inversa del vector\(\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)\) es el vector\(\mathbf{-x}=(-x_1,-x_2,\dots,-x_n)\).
    8. \((\mathbb{Z}_2^n, +)\)donde\(+\) es vector adicion modulo 2. La identidad es el vector cero\((0,0,\dots,0)\) y la inversa del vector\(\mathbf{x}\) es el vector mismo.
    9. \((M_2(K),+)\)donde\(K\) es cualquiera de\(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}_n\) es un grupo cuya identidad es la matriz cero\[\nonumber \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right ]\] y la inversa de la matriz\[A=\left [ \nonumber \begin{array} {c c} a & b \\ c & d \end{array} \right]\] es la matriz\[\nonumber -A = \left [ \begin{array} {c c} -a & -b \\ -c & -d \end{array} \right].\]

    Tenga en cuenta que las operaciones binarias en los ejemplos anteriores son todas conmutativas. Por razones históricas, existe un nombre especial para tales grupos:

    Definición 2.2: Abelian

    Se dice que un grupo\((G,*)\) es abeliano si\(x*y=y*x\) por todos\(x\) y\(y\) en\(G\). Se dice que un grupo no es abeliano si no es abeliano.

    Ejemplos de grupos no abelianos:

    1. Para cada uno\(n \in \mathbb{N}\), el conjunto\(S_n\) de todas las permutaciones en\([n]= \{1,2,\dots, n\}\) es un grupo bajo composiciones de funciones. A esto se le llama el grupo simétrico de grado\(n\). Discutimos este grupo en detalle en el siguiente capítulo. El grupo\(S_n\) es no abeliano si\(n \ge 3\).
    2. Dejar\(K\) ser cualquiera de\(\mathbb{Q}, \mathbb{R}\) o\(\mathbb{Z}_p\), donde\(p\) es un número primo. \(GL(2,K)\)Definir como el conjunto de todas las matrices en\(M_2(K)\) con determinante distinto de cero. Entonces\((GL(2,K), \cdot)\) es un grupo. Aquí\(\cdot\) representa la multiplicación matricial. La identidad de\(GL(2,K)\) es la matriz de identidad\[\left[ \begin{array}{cc} 1&0\\0&1 \end{array} \right ] \nonumber\] y la inversa de\[\nonumber \left[ \begin{array}{cc} a&b\\c&d \end{array} \right ]\] es\[\nonumber \left[ \begin{array}{cc} \frac d{ad-bc}&\frac {-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc} \end{array} \right ].\]


    Pregunta de broma matemática: ¿Qué es el morado y los desplazamientos? (Para la respuesta ver final de página.)

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Si\((G,*)\) es un grupo entonces:

    a) La identidad de\(G\) es única.

    (b) La inversa de cada elemento en\(G\) es única. \(\blacksquare\)

    Problema 2.1 Demostrar Teorema 2.1. Consejos: Establecer (a) asumir que\(e\) y\(e'\) son identidades de\(G\) y probarlo\(e = e'\). [Esto se hizo en el capítulo anterior, pero hazlo de nuevo de todos modos.] Establecer (b) asumir que\(x\) y\(y\) son ambas inversas de algún elemento\(a \in G\). Usa los axiomas grupales para demostrarlo\(x = y\). Muestra cuidadosamente cómo se usa cada axioma. No te saltes ningún paso.

    Ahora podemos hablar de la identidad de un grupo y la inversa de un elemento de un grupo. Dado que la inversa de\(a \in G\) es única, la siguiente definición tiene sentido:

    Definición 2.3:

    Seamos\((G,*)\) un grupo. Dejar\(a\) ser cualquier elemento de\(G\). Definimos\(a^{-1}\) que es la inversa de\(a\) en el grupo\(G\).

    La definición anterior se utiliza cuando pensamos que la operación del grupo es un tipo de multiplicación o producto. Si en cambio la operación se denota por\(+\), tenemos en cambio la siguiente definición.

    Definición 2.4:

    Seamos\((G,+)\) un grupo. Dejar\(a\) ser cualquier elemento de\(G\). Definimos\(-a\) que es la inversa de\(a\) en el grupo\(G\).

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Seamos\((G,*)\) un grupo con identidad\(e\). Luego se mantiene lo siguiente para todos los elementos\(a,b,c,d\) en\(G\):

    1. Si\(a*c=a*b\), entonces\(c=b\).
    2. Si\(c*a=b*a\), entonces\(c=b\).
    3. Dado\(a\) y\(b\) dentro\(G\) hay un elemento único\(x\) en\(G\) tal que\(a*x=b\).
    4. Dado\(a\) y\(b\) dentro\(G\) hay un elemento único\(x\) en\(G\) tal que\(x*a=b\).
    5. Si\(a*b=e\) entonces\(a=b^{-1}\) y\(b=a^{-1}\). [Caracterización de la inversa de un elemento.]
    6. Si\(a*b=a\) por sólo uno\(a\), entonces\(b = e\).
    7. Si\(b*a=a\) por sólo uno\(a\), entonces\(b = e\).
    8. Si\(a*a=a\), entonces\(a=e\). [El único idempotente en un grupo es la identidad.]
    9. \((a^{-1})^{-1} = a\).
    10. \((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}\).

    Problema 2.2 Demostrar Teorema 2.2.

    Problema 2.3 Reafirmar teorema 2.2 para un grupo\((G,+)\) con identidad 0. (Ver Definición 2.4.)

    Problema 2.4 Dar un ejemplo específico de un grupo y dos elementos específicos\(a\) y\(b\) en el grupo tal que\((a*b)^{-1} \neq a^{-1}*b^{-1}\).

    Problema 2.5 Dejar\(*\) ser una operación binaria asociativa en el set\(S\) y let\(a,b,c,d \in S\). Demostrar las siguientes declaraciones. [Ten cuidado con lo que asumes.]

    1. \((a*b)*(c*d) =((a*b)*c)*d\).
    2. \((a*b)*(c*d) = a*(b*(c*d))\).
    3. En 1. y 2. vemos tres formas diferentes de colocar correctamente paréntesis en el producto:\(a*b*c*d\)? Encuentre todas las formas posibles de colocar paréntesis correctamente en el producto\(a*b*c*d\) y mostrar que todos conducen al mismo elemento en\(S\).

    Teorema\(\PageIndex{3}\)

    Let\(*\) Ser una operación binaria asociativa en un conjunto\(S\). Si\(a_1, a_2, \dots, a_n\) es una secuencia de\(n \ge 3\) elementos de\(S\), entonces el producto\[a_1*a_2* \cdots*a_n\] es inequívoco; es decir, se obtendrá el mismo elemento independientemente de cómo se inserten paréntesis en el producto (de manera legal).

    Prueba: El caso\(n=3\) es solo la propia ley asociativa. El caso\(n=4\) se establece en Problema 2.3. El caso general se puede probar por inducción en\(n\). Los detalles son bastante técnicos, así que para ahorrar tiempo, los omitiremos. Uno de los problemas es afirmar precisamente lo que se entiende por “insertar los paréntesis de manera jurídica”. El lector interesado puede encontrar una prueba en la mayoría de los libros introductorios de álgebra abstracta. Véase por ejemplo el Capítulo 1.4 del libro Álgebra Básica I de Nathan Jacobson.

    Comentario

    A partir de ahora, a menos que se indique lo contrario, asumiremos la Ley Asociativa Generalizada. Es decir, colocaremos paréntesis en un producto a voluntad sin una justificación detallada. Tenga en cuenta, sin embargo, el orden puede seguir siendo importante, por lo que a menos que la operación binaria sea conmutativa debemos seguir prestando mucha atención al orden de los elementos en un producto o suma.

    Problema 2.6 Mostrar que si\(a_1, a_2, a_3\) son elementos de un grupo entonces\[\nonumber (a_1*a_2*a_3)^{-1}=a_3^{-1}*a_2^{-1}*a_1^{-1}.\] Mostrar que en general si\(n \in \mathbb{N}\) y\(a_1, a_2, \dots, a_n\) son elementos de un grupo entonces\[\nonumber (a_1*a_2*\cdots*a_n)^{-1}=a_n^{-1}*\cdots*a_2^{-1}*a_1^{-1}.\]

    Ahora que tenemos la Ley Asociativa Generalizada, podemos definir\(a^n\) para\(n \in \mathbb{Z}\).

    Definición 2.5:

    Seamos\((G,*)\) un grupo con identidad\(e\). Dejar\(a\) ser cualquier elemento de\(G\). Definimos los poderes integrales\(a^n\)\(n\in\mathbb{Z}\), de la siguiente manera:\[\begin{aligned} a^0 &=& e \\ a^1 &=& a \\ a^{-1} &=& \mbox{the inverse of $a$} \end{aligned}\] y para\(n \ge 2\):
    \(a^n=a^{n-1}*a\)
    \(a^{-n}=(a^{-1})^n\)

    Usando esta definición, es fácil establecer el siguiente teorema importante.

    Teorema\(\PageIndex{4}\) (Laws of Exponents for Groups)

    Seamos\((G,*)\) un grupo con identidad\(e\). Entonces por todo\(n,m \in \mathbb{Z}\) lo que tenemos\[a^n*a^m = a^{n+m} \quad \mbox{ for all $a \in G,$}\]\[(a^n)^m = a^{nm} \quad \mbox{ for all $a \in G,$}\] y cuando\(a,b \in G\) y\(a*b=b*a\) tenemos\[(a*b)^n = a^n*b^n. \rule{6pt}{6pt} \blacksquare\]

    Este teorema es fácil de verificar\(n, m \in \mathbb{N}\). Una prueba completa para\(n, m \in \mathbb{Z}\) involucra una serie de casos y es un poco tediosa, pero el siguiente problema da alguna indicación de cómo se podría hacer esto.

    Problema 2.7 Dejar\((G,*)\) ser un grupo con identidad\(e\). Demostrar usando la Definición 2.3 los siguientes casos especiales del Teorema 2.3. Para\(a, b \in G\):

    1. \(a^2*a^3 =a^5.\)
    2. \(a^2*a^{-6} = a^{-4}.\)
    3. \(a^{-2}*a^6=a^4.\)
    4. \(a^{-2}*a^{-3} = a^{-5}\)
    5. \(a^{-2}*a^{2} = a^0\).
    6. Suponiendo\(a*b=b*a\),\(a^3*b^3=(a*b)^3\).
    7. Suponiendo\(a*b=b*a\),\(a^{-3}*b^{-3}=(a*b)^{-3}\).

    Problema 2.8 Reafirmar Definición 2.3 para notación aditiva. (En este caso\(a^n\) se sustituye por\(na\).)

    Problema 2.9 Reafirmar teorema 2.3 para un grupo cuya operación es\(+\).

    Respuesta al chiste: Una uva abeliana.


      This page titled 2: Introducción a los Grupos is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by W. Edwin Clark via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.