3: Los grupos simétricos

Recordemos que si\(n\) es un entero positivo,\([n]=\{ 1, 2, \ldots, n \}\). Una permutación de\([n]\) es un uno a uno, en función de\([n]\) a\([n]\) y\(S_n\) es el conjunto de todas las permutaciones de\([n]\). Si estos términos no son familiares, sería una buena idea tomarse un tiempo para estudiar el Apéndice B antes de continuar.

Discutamos las diferentes formas de especificar una función desde\([ n ]\) hasta\([ n ]\) y cómo saber cuándo tenemos una permutación. Es tradicional (pero no obligatorio) utilizar letras griegas minúsculas como\(\sigma\),\(\tau\),\(\alpha\),\(\beta\), etc., para indicar elementos de\(S_n\). Para ser específico let\(n = 4\). Podemos definir una función\(\sigma:[4] \to [4]\) especificando sus valores en los elementos\(1,2,3,\) y\(4\). Por ejemplo, digamos:\[\sigma(1) = 2 \qquad \sigma(2) = 3 \qquad \sigma(3) = 1 \qquad \sigma(4) = 4.\nonumber \] Otra forma de especificar\(\sigma\) es exhibiendo una tabla que da su valor:\[\nonumber \sigma= \left ( \begin{array} {cccc} 1&2&3&4\\ 2&3&1&4 \end{array} \right ).\] Llamamos a esto la notación de dos líneas o dos filas. La función\(\sigma\) que acaba de definir es uno a uno y sobre, es decir, es una permutación de\([4]\).

Para otro ejemplo, vamos\[\nonumber \tau = \left ( \begin{array} {cccc} 1&2&3&4\\ 1&3&1&4 \end{array} \right ).\] La función no\(\tau\) es uno a uno desde\(1 \ne 3\) sino\(\tau(1) = \tau(3)\). Este problema siempre se puede identificar por la existencia del mismo elemento más de una vez en la segunda línea de la notación de dos líneas. \(\tau\)tampoco está encendido ya que el elemento\(2\) no aparece en la segunda línea.

Dejar\[\sigma= \left ( \begin{array} {cccc} 1&2&\cdots&n\\ \sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n) \end{array} \right ).\] ser la notación de dos líneas de una función arbitraria\(\sigma: [n] \to [n]\). Entonces:

1. \(\sigma\)es uno a uno si y sólo si ningún elemento de\([n]\) aparece más de una vez en la segunda línea.
2. \(\sigma\)está sobre si y solo si cada elemento de\([n]\) aparece en la segunda línea al menos una vez.

Así\(\sigma\) es una permutación si y sólo si la segunda fila es solo un reordenamiento o barajado de los números\(1, 2, \ldots, n\).

La composición de dos permutaciones

Si\(\sigma\) y\(\tau\) son elementos de\(S_n\), entonces\(\sigma\tau\) se define como la composición de las funciones\(\sigma\) y\(\tau\). Es decir,\(\sigma\tau\) es la función cuya regla viene dada por: A veces\[\sigma\tau(x) =\sigma(\tau(x)), \quad \mbox{ for all $x \in [n]$.}\] llamamos\(\sigma\tau\) simplemente el producto de\(\sigma\) y\(\tau\). Veamos un ejemplo para ver cómo funciona esto. Dejar\(\sigma\) y\(\tau\) definirse de la siguiente manera: De\[\sigma= \left ( \begin{array} {ccc} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{array} \right ), \quad \quad \tau = \left ( \begin{array} {ccc} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{array} \right )\] ello se deduce que\[\begin{array} {c c c c c c c} \sigma\tau(1) &=&\sigma(\tau(1))&=&\sigma(2)&=1 \\ \sigma\tau(2) &=&\sigma(\tau(2))&=&\sigma(3)&=3\\ \sigma\tau(3) &=&\sigma(\tau(3))&=&\sigma(1)&=2 \end{array}\] Así tenemos\[\sigma\tau = \left ( \begin{array} {ccc} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{array} \right )\] Uno también puede encontrar productos de permutaciones directamente a partir de la notación de dos líneas de la siguiente manera:\[\mbox{First Step:} \quad \left ( \begin{array} {ccc} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{array} \right ) \left ( \begin{array} {ccc} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{array} \right ) = \left ( \begin{array} {ccc} 1&2&3\\ 1&-&- \end{array} \right )\]\[\mbox{Second Step:} \quad \left ( \begin{array} {ccc} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{array} \right ) \left ( \begin{array} {ccc} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{array} \right ) = \left ( \begin{array} {ccc} 1&2&3\\ 1&3&- \end{array} \right )\]\[\mbox{Third Step:} \quad \left ( \begin{array} {ccc} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{array} \right ) \left ( \begin{array} {ccc} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{array} \right ) = \left ( \begin{array} {ccc} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{array} \right )\]

Problema 3.1 Calcular los siguientes productos en\(S_4\):

\[(1) \quad \left ( \begin{array} {cccc} 1&2&3&4\\ 4&3&2&1 \end{array} \right ) \left ( \begin{array} {cccc} 1&2&3&4\\1&2&3&4 \end{array} \right )\]\[(2) \quad \left ( \begin{array} {cccc} 1&2&3&4\\1&2&3&4 \end{array} \right ) \left ( \begin{array} {cccc} 1&2&3&4\\ 4&3&2&1 \end{array} \right )\]\[(3) \quad \left ( \begin{array} {cccc} 1&2&3&4\\ 4&3&2&1 \end{array} \right ) \left ( \begin{array} {cccc} 1&2&3&4\\ 4&3&2&1 \end{array} \right )\]\[(4) \quad \left ( \begin{array} {cccc} 1&2&3&4\\ 1&4&3&2 \end{array} \right ) \left ( \begin{array} {cccc} 1&2&3&4\\ 4&1&2&3 \end{array} \right )\]

Siempre que necesitamos probar que dos funciones son iguales, requerimos la siguiente definición:

Definición 3.1:

Si\(\sigma:A \to B\) y\(\tau:A\to B\) son funciones entonces\(\sigma= \tau\) si y solo si\[\sigma(x)=\tau(x), \quad \mbox{for all $x \in A$}.\] En particular, si\(\sigma\) y\(\tau\) están en\(S_n\) entonces\(\sigma=\tau\) si y solo si\[\sigma(x)=\tau(x), \quad \mbox{for all $x \in [n]$}.\]

La identidad de\(S_n\)

La identidad de\(S_n\) es la llamada función de identidad\[\iota:[n] \to [n].\] que se define por la regla:\[\iota(x) = x, \quad \mbox{ for all $x \in [n]$.}\] En la notación de dos líneas\(\iota\) se describe por\[\iota = \left ( \begin{array} {cccc} 1&2&\cdots&n\\ 1&2&\cdots&n \end{array} \right )\] La función\(\iota\) es claramente uno a uno y sobre y satisface\[\iota \sigma= \sigma\quad \mbox{and } \quad \sigma\iota = \sigma, \qquad \mbox{ for all $\sigma\in S_n$}.\] Así\(\iota\) es la identidad de\(S_n\) con respecto a la operación binaria de composición.

La inversa de un elemento\(\sigma \in S_n\):

Si\(\sigma\in S_n\), entonces por definición\(\sigma:[n] \to [n]\) es uno a uno y sobre. De ahí que la regla\[\sigma^{-1}(y) = x \quad \mbox{ if and only if } \quad \sigma(x) = y\] defina una función\(\sigma^{-1}: [n] \to [n]\). La función también\(\sigma^{-1}\) es uno a uno y sobre (¡comprueba esto!) y satisface\[\sigma\sigma^{-1}= \iota \qquad \mbox{ and } \qquad \sigma^{-1}\sigma= \iota,\] por lo que es la inversa de\(\sigma\) en el sentido de grupo también.

En términos de la descripción de dos líneas de una permutación, si\[\sigma= \left ( \begin{array} {ccc} \cdots&x&\cdots\\ \cdots&y&\cdots \end{array} \right)\] entonces\[\sigma^{-1} = \left ( \begin{array} {ccc} \cdots&y&\cdots\\ \cdots&x&\cdots \end{array} \right)\]

La inversa de una permutación en la notación de dos líneas se puede obtener intercambiando las dos líneas y luego reordenando las columnas para que los números en la línea superior estén en orden numérico. He aquí un ejemplo:\[\sigma= \left ( \begin{array} {ccc} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{array} \right )\] Intercambiando las dos líneas que tenemos:\[\left ( \begin{array} {ccc} 2&3&1 \\ 1&2&3 \end{array} \right ).\] Reordenando las columnas que obtenemos\[\sigma^{-1} = \left ( \begin{array} {ccc} 1&2&3 \\ 3&1&2 \end{array} \right ).\]

Problema 3.2 Encuentra las inversas de cada una de las siguientes permutaciones en notación de dos líneas. Verifique en cada caso que\(\sigma\sigma^{-1} = \iota\) y\(\sigma^{-1}\sigma= \iota\).

\({\displaystyle \sigma= \left ( \begin{array} {cccc} 1&2&3&4\\ 2&3&1&4 \end{array} \right )}\)

\({\displaystyle \sigma= \left ( \begin{array} {ccccc} 1&2&3&4&5\\ 2&3&4&5&1 \end{array} \right )}\)

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Para cualquiera de las tres funciones\[\alpha:A \to B, \quad \beta: B \to C, \quad \gamma: C \to D\] que tenemos\[(\gamma \beta)\alpha = \gamma(\beta \alpha).\]

Prueba Let\(x \in A\). Entonces\[(\gamma \beta)\alpha(x)=\gamma \beta(\alpha(x)) = \gamma(\beta(\alpha(x))).\] y De\[\gamma (\beta\alpha)(x)=\gamma ( \beta \alpha(x) ) = \gamma(\beta(\alpha(x))).\] ello se deduce que\[(\gamma \beta) \alpha(x) = \gamma (\beta \alpha)(x) \quad \mbox{ for all $x \in A$}.\] De ahí\((\gamma \beta)\alpha = \gamma(\beta \alpha)\).

Corolario 3.2 La operación binaria de la composición sobre\(S_n\) es asociativa.

Con este corolario, completamos la prueba de que\(S_n\) bajo la operación binaria de composición es un grupo.

El diagrama de ciclo de una permutación

Una forma importante de visualizar un elemento\(\sigma\) de\(S_n\) es la siguiente. Organizar\(n\) puntos en el plano. Numere los puntos del 1 a través\(n\). Para todos\(i \in [n]\), si\(\sigma(i) = j\) dibuja una flecha del número de punto\(i\) al número de punto\(j\). Llamamos a esta imagen el diagrama de ciclo de\(\sigma\). Para obtener una buena imagen, lo mejor es utilizar la siguiente técnica para dibujar el diagrama.

1. Dibuja un punto y numerarlo 1. Vamos\(i_1 = \sigma(1)\). Si\(i_1 \ne 1\) dibuja otro punto y etiquételo\(i_1\).
2. Dibuja una flecha del punto 1 al punto\(i_1\). (Tenga en cuenta que\(i_1=1\) es posible.)
3. Supongamos que se\(1, i_1, i_2, \ldots, i_k\) han dibujado puntos numerados. Considera dos casos:

   (i)

   Hay una flecha dejando cada punto dibujado hasta el momento. En este caso deja\(i_{k+1}\) ser el número más pequeño en aún\([n]\) no etiquetar un punto. Si no hay tal entonces deténgase, ha completado el diagrama, de lo contrario dibuja un nuevo punto y etiquételo\(i_{k+1}\)

   ii)

   Hay un punto\(j\) numerado sin flecha dejándolo. En este caso vamos\(i_{k+1} = \sigma(j)\). Si no hay ningún punto etiquetado\(i_{k+1}\) dibuja un nuevo punto y etiquételo\(i_{k+1}\). Dibuja una flecha de punto\(j\) a punto\(i_{k+1}\).

4. Ahora repita el paso 3 con el\(k+1\) reemplazo\(k\).

Ejemplo 3.1: El diagrama de ciclos de la siguiente permutación se da en la Figura 3.1. \[\alpha = \left ( \begin{array} {ccccccccccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15 \\ 13&11&7&6&5&4&3&10&2&12&14&1&15&9&8 \end{array} \right ).\]

Observe que el diagrama consta de cinco “ciclos”: uno “6 ciclos”, uno “4 ciclos”, dos “2 ciclos” y uno “1 ciclo”. Cada diagrama de ciclo se verá algo así. Por eso lo llamamos el diagrama de ciclo.

[diagrama va aquí]

El diagrama de ciclo\(\alpha\) del Ejercicio 3.1

Problema 3.3 Dibuja los diagramas de ciclo para los 24 elementos de\(S_4\). Necesitarás una forma sistemática de enumerar los elementos\(S_4\) para asegurarte de que no te has perdido ninguno.

Ahora damos una definición más precisa de un “ciclo”.

Definición 3.2:

Let\(i_1, i_2, \ldots, i_k\) Ser una lista de elementos\(k\) distintos de\([n]\). Defina una permuación\(\sigma\) de la\(S_n\) siguiente manera:\[\begin{array} {rcl} \sigma(i_1) &=& i_2 \\ \sigma(i_2) &=& i_3 \\ \sigma(i_3) &=& i_4 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \sigma(i_{k-1}) & =& i_k \\ \sigma(i_k)& =& i_1 \end{array}\] y si\(x \notin \{ i_1, i_2, \ldots, i_k \}\) entonces\[\sigma(x) \ = \ x\] tal permutación se llama ciclo o \(k\)ciclo y se denota por\[(i_1 \ i_2 \ \cdots \ i_k).\] Si\(k=1\) entonces el ciclo\(\sigma=(i_1)\) es solo la función de identidad, es decir,\(\sigma= \iota\).

Por ejemplo, deja\(\sigma\) ser el 3-ciclo definido por\(\sigma= ( 3 \ 2 \ 1)\). \(\sigma\)puede considerarse como un elemento de\(S_3\) en cuyo caso en notación de dos líneas tenemos\[\sigma= \left ( \begin{array} {ccc} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{array} \right ).\] Notar que de acuerdo a la definición si\(x \notin \{ 3, 2, 1\}\) entonces\(\sigma(x) = x\). Por lo que también podríamos considerar\((3 \ 2 \ 1)\) como un elemento de\(S_4\). En cuyo caso tendríamos:\[\sigma= \left ( \begin{array} {cccc} 1&2&3&4\\ 3&1&2&4 \end{array} \right ).\] O podríamos considerar\((3 \ 2 \ 1)\) como un elemento de\(S_5\). En cuyo caso tendríamos:\[\sigma= \left ( \begin{array} {ccccc} 1&2&3&4&5\\ 3&1&2&4&5 \end{array} \right ).\] Del mismo modo,\((3 \ 2 \ 1)\) podría ser un elemento de\(S_n\) para cualquiera\(n \ge 3\). Tenga en cuenta también que podríamos especificar la misma permutación por cualquiera de las siguientes\[\sigma= ( 3 \ 2 \ 1), \quad \sigma= ( 2 \ 1 \ 3), \quad \sigma= ( 1 \ 3 \ 2).\] En este caso, hay tres números 1, 2, 3 en el ciclo, y podemos comenzar el ciclo con cualquiera de estos. En general, hay\(k\) diferentes formas de escribir un\(k\) -ciclo. Uno puede comenzar con cualquier número en el ciclo.

Problema 3.4 A continuación se enumeran 5 ciclos diferentes en\(S_5\).
a) Describir cada uno de los ciclos dados en notación de dos líneas.
b) Dibujar el diagrama de ciclos de cada ciclo.

1. (4)
2. (3 4)
3. (4 1 5)
4. (1 3 5 4)
5. (1 3 5 4 2)

Definición 3.3:

Dos ciclos\((i_1 \ i_2 \ \cdots \ i_k)\) y\((j_1 \ j_2 \ \cdots \ j_{\ell})\) se dice que son disjuntos si los conjuntos\(\{i_1, i_2, \ldots, i_k\}\) y\(\{j_1, j_2, \ldots, j_{\ell}\}\) son disjuntos.

Entonces, por ejemplo, los ciclos\((1 \ 2 \ 3)\) y\((4 \ 5 \ 8)\) son disjuntos, pero los ciclos\(( 1 \ 2 \ 3)\) y no\((4 \ 2 \ 8)\) son disjuntos.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Si\(\sigma\) y\(\tau\) son ciclos disjuntos, entonces\(\sigma\tau = \tau\sigma\).

Prueba Dejar\(\sigma= (a_1 \cdots a_k)\) y\(\tau = (b_1 \cdots b_{\ell})\). \(\{c_1, \cdots, c_m \}\)Dejen ser los elementos de\([n]\) que no están en ni\(\{a_1, \dots, a_k \}\) ni\(\{ b_1, \cdots, b_{\ell} \}\). Así\[[n] = \{a_1, \dots, a_k \} \cup \{ b_1, \cdots, b_{\ell} \} \cup \{c_1, \cdots, c_m \}.\] queremos mostrar\(\sigma\tau(x) = \tau \sigma(x)\) para todos\(x \in [n]\). Para ello consideramos primero el caso\(x=a_i\) para algunos\(i\). Entonces\(a_i \notin \{ b_1, \cdots , b_{\ell} \}\) así\(\tau(a_i) = a_i\). También\(\sigma(a_i) = a_j\), donde\(j=i+1\) o\(j=1\) si\(i=k\). Así también\(\tau(a_j) =a_j\). Así\[\sigma\tau(a_i) = \sigma(a_i) = a_j = \tau(a_j) = \tau(\sigma(a_i) = \tau\sigma(a_i).\] Así,\(\sigma\tau(a_i) = \tau\sigma(a_i)\). Se deja al lector demostrar que\(\sigma\tau(x) = \tau\sigma(x)\) si\(x=b_i\) o\(x=c_i\), que completará la prueba.

Problema 3.5 Mostrar con el ejemplo que si dos ciclos no son disjuntos no necesitan conmutar.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Cada elemento\(\sigma\in S_n\),\(n \ge 2\), puede escribirse como un producto \[\label{eq3.1} \sigma= \sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_m\]donde\(\sigma_1, \sigma_2, \ldots ,\sigma_m\) son ciclos disjuntos por pares, es decir, para\(i \ne j\),\(\sigma_i\) y\(\sigma_j\) son disjuntos. Si\(\sigma\) se incluyen todos los 1-ciclos de, los factores son únicos excepto por el orden. \(\blacksquare\)

La factorización (3.41) se llama la descomposición del ciclo disjunta de\(\sigma\).

Para ahorrar tiempo omitimos una prueba formal de este teorema. El proceso de encontrar la descomposición del ciclo disjunta de una permutación es bastante similar a encontrar el diagrama de ciclo de una permutación. Considere, por ejemplo, la permutación\(\alpha \in S_{15}\)\[\alpha = \left ( \begin{array} {ccccccccccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15 \\ 13&11&7&6&5&4&3&10&2&12&14&1&15&9&8 \end{array} \right ).\] La descomposición del ciclo disjunta de\(\alpha\) es\[\alpha = (1 \ 13 \ 15 \ 8 \ 10 \ 12)(2 \ 11 \ 14 \ 9)(3 \ 7)(4 \ 6) ( 5).\] Compare esto con el diagrama de ciclos dado para esta misma permutación en la página. Para obtener esto, se inicia un ciclo con 1, ya que\(\alpha(1) = 13\) tenemos el ciclo parcial\((1 \ 13\). A continuación, observamos eso\(\alpha(13) = 15\). Esto da el ciclo parcial\(( 1 \ 13 \ 15\). Seguimos de esta manera hasta que obtengamos el ciclo\((1 \ 13 \ 15 \ 8 \ 10 \ 12)\). Entonces escogemos el número más pequeño en\([15]\) no utilizado hasta el momento, es decir, 2. Iniciamos un nuevo ciclo con 2: Señalando que\(\alpha(2) = 11\) tenemos el ciclo parcial\((2 \ 11\). Continuando obtenemos el ciclo\((2 \ 11 \ 14 \ 9)\). Y continuamos de esta manera hasta que todos los elementos de\([15]\) estén en algún ciclo.

Problema 3.6 Encuentra la descomposición del ciclo disjunta de las siguientes permutaciones en\(S_{6}\):

\( \sigma= \left ( \begin{array} {cccccc} 1&2&3&4&5&6\\ 2&3&4&1&6&5 \end{array} \right) \)

\( \sigma= \left ( \begin{array} {ccccccc} 1&2&3&4&5&6\\ 3&2&4&6&5&1 \end{array} \right )\)

\( \sigma= \left( \begin{array} {ccccccc} 1&2&3&4&5&6\\ 1&2&5&4&3&6 \end{array} \right ) \)

Problema 3.7 Encuentra la descomposición del ciclo disjunta de las siguientes permutaciones en\(S_{6}\): [Cada permutación se da como producto de ciclos. Trate de hacer esto sin convertir la notación de ciclo a la notación de dos líneas.]

(1)\((1 \ 2 \ 3)(2 \ 4 \ 5)\)
(2)\((3 \ 4 \ 5 \ 1 \ 2)( 4 \ 5 \ 6) (1 \ 2 \ 3)\)
(3)\((1 \ 3)( 1 \ 2)\)
(4)\((1 \ 4)(1 \ 3)( 1 \ 2)\)

Problema 3.8 (a) Verificar que si\(a,b,c,d,e\) son elementos distintos de\([n]\) entonces cada uno de los siguientes ciclos puede escribirse como un producto de 2 ciclos: [Pista: mira (3) y (4) en Problema 3.7.] b) Verificar que la inversa de cada uno de estos ciclos sea un ciclo del mismo tamaño.

(1) (a b c).
(2) (a b c d)
(3) (a b c d e).

Definición 3.4:

Un elemento de\(S_n\) se llama transposición si y solo si es un ciclo de 2.

Tenga en cuenta que la transposición\((i \ j)\) intercambia\(i\)\(j\) y y deja los demás elementos de\([n]\) fijo. Se transpone\(i\) y\(j\).

Definición 3.5

Un entero\(n\) es incluso si\(n=2k\) para algún entero\(k\). Es impar si\(n=2k+1\) para algún entero\(k\). La paridad de un entero es la propiedad de ser par o impar. Dos enteros tienen la misma paridad si ambos son pares o si ambos son impares. Tienen diferente paridad si uno es par y el otro es impar.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Cada elemento de\(S_n\) puede escribirse como producto de transposiciones. Los factores de tal producto no son únicos, sin embargo, si se\(\sigma\in S_n\) puede escribir como producto de\(k\) transposiciones y si el mismo también\(\sigma\) puede escribirse como producto de\(\ell\) transposiciones, entonces\(k\) y \(\ell\)tienen la misma paridad. \(\blacksquare\)

La primera parte de este teorema es fácil. Generalizando Problema 3.7, vemos que cada ciclo puede escribirse como producto de transposiciones de la siguiente manera:\[(i_1 \ i_2 \ i_3 \ \cdots i_k) = (i_1 \ i_k) \cdots (i_1 \ i_3) (i_1 \ i_2).\] Entonces, dado que cada permutación es un producto de ciclos, podemos obtener cada permutación como producto de transposiciones. La segunda parte es más difícil de probar y, en interés del tiempo, omitimos la prueba. Una buena prueba la puede encontrar en Fraleigh (, página 108.)

Problema 3.9 Escribir la permutación\(\alpha\) en la página como producto de las transposiciones. Hazlo de más de una manera. ¿Cuántas transposiciones hay en cada uno de sus productos?

Problema 3.10 Dar la descomposición del ciclo disjunta de cada uno de los 6 elementos de\(S_3\). También escribir cada elemento de\(S_3\) como producto de transposiciones.

Definición 3.6:

Una permutación es par si es producto de un número par de transposiciones y es impar si es producto de un número impar de transposiciones. Definimos la función\(\mathrm{sign}: S_n \to \{ 1,-1 \}\) por\[\mathrm{sign}(\sigma) = \left \{ \begin{array}{r l} 1 & \mbox{if $\sigma$ is even} \\ -1 & \mbox{if $\sigma$ is odd} \end{array} \right.\] Si\(n=1\) entonces no hay transposiciones. En este caso para estar completo definimos la permutación de identidad\(\iota\) para que sea pareja.

Problema 3.11 Mostrar que la función\(\mathrm{sign}\) satisface\[\mathrm{sign}(\sigma\tau) = \mathrm{sign}(\sigma)\mathrm{sign}(\tau)\] para todos\(\sigma\) y\(\tau\) en\(S_n\).

Observación

\(A=[a_{i j}]\)Déjese ser una\(n \times n\) matriz. El determinante de\(A\) puede definirse por la suma\[\det (A) = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sign}(\sigma) a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)}.\] Por ejemplo, si\(n=2\) tenemos sólo dos permutaciones\(\iota\) y\((1 \ 2)\). Desde\(\mathrm{sign}(\iota) = 1\) y\(\mathrm{sign}((1 \ 2)) = -1\) obtenemos\[\det(A) = a_{1 1}a_{2 2} - a_{ 1 2}a_{2 1}.\]

Problema 3.12 Encuentra el signo de cada elemento de\(S_3\) y usa esta información para escribir la fórmula para\(\det (A)\) cuándo\(n = 3\). (Obsérvese que en este caso el determinante es una suma de 6 términos.)

Problema 3.13 Si\(n=10\) ¿cuántos términos hay en la fórmula anterior para el determinante?

Definición 3.7

Si\((G,*)\) es un grupo, el número de elementos en\(G\) se llama el orden de\(G\). Usamos\(\vert G\vert\) para denotar el orden de\(G\).

Tenga en cuenta que\(\vert G\vert\) puede ser finito o infinito. Si es finito\(\vert G\vert=n\) para algún entero positivo\(n\). Un problema interesante pero difícil es el de determinar todos los grupos de un orden fijo\(n\). Para pequeños\(n\) esto se puede hacer como veremos, pero parece que no hay esperanza de responder a la pregunta para todos los valores de a pesar de\(n\) los esfuerzos de muchos matemáticos que se especializan en el estudio de grupos finitos.

Problema 3.14 Encontrar\(\vert GL(2,\mathbb{Z}_2) \vert\) y\(\vert M_2(\mathbb{Z}_2) \vert\).

Teorema\(\PageIndex{6}\)

\(\vert S_n \vert = n!\)para todos\(n \ge 1\).

Prueba Let\(n\) ser cualquier entero positivo. Elementos de\(S_n\) tener la forma

\[\left ( \begin{array} {ccccc} 1&2&3&\dots&n \\ a_1&a_2&a_3&\dots &a_n \end{array} \right)\]donde\(a_1, a_2, \dots , a_n\) está cualquier reordenamiento de los números\(1,2, \dots, n\). Entonces el problema es ¿de cuántas formas podemos seleccionar el\(a_1, a_2, \dots , a_n\)? Tenga en cuenta que hay\(n\) formas de seleccionar\(a_1\). Una vez que se hace una elección\(a_1\),\(n-1\) quedan posibilidades para\(a_2\). Por lo tanto, hay en conjunto\(n(n-1)\) formas de seleccionar\(a_1a_2\). Entonces, para cada elección de\(a_1a_2\),\(n-2\) quedan posibilidades para\(a_3\). Así, hay\(n(n-1)(n-2)\) formas de seleccionar\(a_1a_2a_3\). Continuando de esta manera, vemos que hay\[n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot 1 = n!\] formas de elegir\(a_1, a_2, \dots , a_n\). \(\blacksquare\)

Problema 3.15 Mostrar que la inversa de un\(k\) -ciclo es también un\(k\) -ciclo. Pista: Mostrar que si\(a_1,a_2, \dots, a_k\) son elementos distintos de\([n]\) entonces\[(a_1 \ a_2)^{-1} = (a_2 \ a_1)\]\[(a_1 \ a_2 \ a_3)^{-1} = (a_3 \ a_2\ a_1)\]\[(a_1 \ a_2 \ a_3 \ a_4)^{-1} =(a_4 \ a_3 \ a_2 \ a_1)\] y de manera más general\[(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_k)^{-1} =(a_k \ \cdots \ a_2 \ a_1)\] Pista: Dejar\(\sigma = (a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_k)\) y\(\tau = (a_k \ \cdots \ a_2 \ a_1)\). Demostrar eso\(\tau (\sigma(a_i)) = a_i\) para todos\(i\) considerando tres casos:\(i \notin \{1,2,\dots, k\}\),\(i \in \{1,2,\dots, k-1\}\) y\(i=k\).

Problema 3.16 Mostrar que si\(\sigma\) es un\(k\) -ciclo entonces\(\mathrm{sign}(\sigma) =1\) si\(k\) es impar y\(\mathrm{sign}(\sigma) = -1\) si\(k\) es par.

Problema 3.17 [Problema de desafío] Para\(\sigma \in S_n\) demostrar que\[\begin{aligned} \sigma \mbox{ is even } &\Longleftrightarrow& \prod_{i<k} \frac {\sigma(k) -\sigma (i)}{k-i} = 1 \\ \qquad \sigma \mbox{ is odd } \; \; &\Longleftrightarrow& \prod_{i<k} \frac {\sigma(k) -\sigma (i)}{k-i} = - 1\end{aligned}\]