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# 1: Operaciones Binarias

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La definición más básica en este curso es la siguiente:

## Definición 1.1: Operación binaria

Una operación binaria$$*$$ en un conjunto$$S$$ es una función de$$S \times S$$ a$$S$$. Si$$(a,b) \in S \times S$$ entonces escribimos$$a * b$$ para indicar la imagen del elemento$$(a,b)$$ debajo de la función$$*$$.

El siguiente lema explica con más detalle exactamente lo que significa esta definición.

Lema 1.1 Una operación binaria$$*$$ en un conjunto$$S$$ es una regla para combinar dos elementos de$$S$$ para producir un tercer elemento de$$S$$. Esta regla debe cumplir las siguientes condiciones:

a)

$$a \in S \mbox{ and } b \in S \Longrightarrow a*b \in S$$.

[S está cerrado bajo$$*$$.]

b)

Para todos$$a,b,c,d$$ en$$S$$
$$a=c \mbox{ and } b=d \Longrightarrow a*b=c*d.$$

[La substiución es permisible.]

c)

Para todos$$a,b,c, d$$ en$$S$$
$$a=b \Longrightarrow a*c=b*c$$.

d)

Para todos$$a,b,c, d$$ en$$S$$
$$c=d\Longrightarrow a*c=a*d$$.

Prueba Recordemos que una función$$f$$ de conjunto$$A$$ a conjunto$$B$$ es una regla que asigna a cada elemento$$x \in A$$ un elemento, generalmente denotado por$$f(x)$$, en el conjunto$$B$$. Además, esta regla debe cumplir la condición\begin{align} \label{eqn1.1} x=y \Longrightarrow f(x) = f(y) \end{align} Por otro lado, el producto cartesiano$$S \times S$$ consiste en el conjunto de todos los pares ordenados$$(a,b)$$ donde$$a, b \in S$$. La igualdad de pares ordenados la define la regla\begin{align} \label{eqn1.2} a = c \mbox{ and } b = d \Longleftrightarrow (a,b) = (c,d). \end{align} Ahora en este caso asumimos que$$*$$ es una función del conjunto$$S \times S$$ al conjunto$$S$$ y en lugar de escribir$$*(a,b)$$ escribimos$$a*b$$. Ahora, si$$a, b \in S$$ entonces$$(a,b)\in S \times S$$. Entonces la regla$$*$$ asigna$$(a,b)$$ al elemento$$a*b \in S$$. Esto establece a). Ahora la implicación ([eqn1.1]) se vuelve\begin{align} \label{eqn1.3} (a,b) = (c,d) \Longrightarrow a*b = c*d. \end{align} De ([eqn1.2]) y ([eqn1.3]) obtenemos\begin{align} \label{eqn1.4} a = c \mbox{ and } b = d \Longrightarrow a*b = c*d. \end{align} Esto establece (b).

Para probar (c) suponemos que$$a=b$$. Por reflexividad de igualdad, tenemos para todo$$c \in S$$ eso$$c = c$$. Así tenemos$$a=b$$ y$$c=c$$ y se deduce de la parte b) que$$a*c=b*c$$, según se desee. La prueba de (d) es similar. $$\blacksquare$$

## OBSERVACIÓN

En la parte (a) el orden de$$a$$ y$$b$$ es importante. No asumimos que$$a*b$$ es lo mismo que$$b*a$$. Aunque a veces puede ser cierto que$$a*b = b*a$$, no forma parte de la definición de operación binaria.

El enunciado b) dice que si$$a=c$$ y$$b=d$$, podemos sustituir$$a$$ y$$c$$$$d$$ para$$b$$ en la expresión$$a*b$$ y obtenemos la expresión $$c*d$$que es igual a$$a*b$$. Uno podría no pensar que una declaración tan natural es necesaria. Para ver la necesidad de ello, consulte el Problema 1.7 a continuación.

La parte (c) del lema anterior dice que podemos multiplicar ambos lados de una ecuación a la derecha por el mismo elemento. La parte (d), dice que podemos multiplicar ambos lados de una ecuación a la izquierda por el mismo elemento.

Las operaciones binarias suelen ser denotadas por símbolos como$\nonumber +, \cdot, * , \times, \circ, \star, \bullet, \diamond, \boxdot, \boxtimes, \otimes, \oplus, \odot, \vee, \wedge, \cup, \cap, \cdots$ Así como uno usa a menudo$$f$$ para una función genérica, usamos$$*$$ para indicar una operación binaria genérica. Además, si$$* : S\times S\to S$$ es una operación binaria dada en un conjunto$$S$$, escribimos$$a * b$$ en lugar de$$*(a,b)$$. Esto se llama notación infija. En la práctica, abreviamos aún más; así como usamos en$$ab$$ lugar de$$a \cdot b$$ o$$a \times b$$ en álgebra de secundaria, a menudo usaremos$$ab$$ en lugar de$$a*b$$ para una operación binaria genérica.

Notación. Denotamos los números naturales, los enteros, los números racionales y los números reales por los símbolos$$\mathbb{N}$$$$\mathbb{Z}$$,$$\mathbb{Q}$$, y$$\mathbb{R}$$, respectivamente.

Recordemos que\begin{aligned} \mathbb{N} &=& \{ 1,2,3, \dots \} \\ \mathbb{Z} &=& \{ \dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \} \\ \mathbb{Q} &=& \{ \frac n m: n,m \in \mathbb{Z}\mbox{ and } m \ne 0 \}\end{aligned} Por ahora, asumimos que los estudiantes tienen un conocimiento básico de todos estos sistemas numéricos. Posteriormente en el curso, daremos una lista de axiomas de los que se pueden derivar todas las propiedades de estos sistemas numéricos. Consulte el Apéndice C para conocer algunas propiedades básicas de$$\mathbb{N}$$ y$$\mathbb{Z}$$ que necesitaremos de vez en cuando.

Ahora enumeramos algunos ejemplos de operaciones binarias. Algunos deberían ser muy familiares para ti. Algunos pueden ser nuevos para ti.

Ejemplo 1.1 Adición ordinaria en$$\mathbb{N}$$,$$\mathbb{Z}$$,$$\mathbb{Q}$$ y$$\mathbb{R}$$.

Ejemplo 1.2 Multiplicación ordinaria en$$\mathbb{N}$$,$$\mathbb{Z}$$,$$\mathbb{Q}$$ y$$\mathbb{R}$$.

Ejemplo 1.3 Resta ordinaria sobre$$\mathbb{Z}$$,$$\mathbb{Q}$$ y$$\mathbb{R}$$. Tenga en cuenta que la resta no es una operación binaria en$$\mathbb{N}$$ ya que, por ejemplo,$$1 - 2 \notin \mathbb{N}$$.

Ejemplo 1.4 División ordinaria sobre$$\mathbb{Q}- \{ 0 \}$$ y$$\mathbb{R}- \{ 0 \}$$. Tenga en cuenta que la división no es una operación binaria sobre$$\mathbb{N}$$ y$$\mathbb{Z}$$ desde, por ejemplo,$$\frac 1 2 \notin \mathbb{N}$$ y$$\frac 1 2 \notin \mathbb{Z}$$. También tenga en cuenta que debemos eliminar 0 de$$\mathbb{Q}$$ y$$\mathbb{R}$$ ya que la división por 0 no está definida.

Ejemplo 1.5 Por cada entero$$n \ge 2$$ definir el conjunto$\nonumber \mathbb{Z}_n = \{ 0, 1, 2, \dots, n-1 \}.$ Para todos$$a, b \in \mathbb{Z}_n$$ let

$$a + b =$$resto cuando la suma ordinaria de$$a$$ y$$b$$ se divide por$$n$$, y

$$a \cdot b =$$resto cuando el producto ordinario de$$a$$ y$$b$$ se divide por$$n$$.

Las operaciones binarias definidas en el Ejemplo 1.5 generalmente se denominan módulo de adición$$n$$ y módulo de multiplicación$$n$$. El entero$$n$$ in$$\mathbb{Z}_n$$ se llama el módulo. El plural de módulo es moduli.

En el Ejemplo 1.5, sería más preciso usar algo así como$$a +_n b$$ y$$a \cdot_n b$$ para sumar y multiplicar en$$\mathbb{Z}_n$$, pero en aras de mantener la notación simple omitimos el subíndice$$n$$. Desde luego, esto significa que en cualquier situación dada, debemos tener muy claro el valor de$$n$$. Tenga en cuenta también que esta es realmente una clase infinita de ejemplos:$$\mathbb{Z}_2 = \{0,1\}$$$$\mathbb{Z}_3 = \{0,1,2\}$$$$\mathbb{Z}_4 = \{0,1,2,3\}$$,,, etc. Para que quede claro, damos algunos ejemplos de suma y multiplicación:

En$$\mathbb{Z}_4$$:

$$2 + 3 =1$$,$$2 + 2 = 0$$,$$0 + 3 = 3$$,$$2\cdot3= 2$$,$$2\cdot2=0$$ y$$1\cdot3=3$$.

En$$\mathbb{Z}_5$$:

$$2 + 3 =0$$,$$2 + 2 = 4$$,$$0 + 3 = 3$$,$$2\cdot3=1$$,$$2\cdot2=4$$ y$$1\cdot3=3$$\

Ejemplo 1.6 Por cada entero$$n \ge 1$$ dejamos$$[n] = \{1,2, \cdots, n \}$$.
Una permutación on$$[n]$$ es una función$$[n]$$ a partir de la$$[n]$$ cual es a la vez uno a uno y hacia. $$S_n$$Definimos como el conjunto de todas las permutaciones en$$[n]$$. Si$$\sigma$$ y$$\tau$$ son elementos de$$S_n$$ definimos su producto$$\sigma \tau$$ como la composición de$$\sigma$$ y$$\tau$$, es decir,$\nonumber \sigma \tau (i) = \sigma(\tau(i)) \quad \mbox{for all }\in \mbox{ n}.$ Ver Apéndice B si alguno de los términos utilizados en este ejemplo son desconocidos.

Nuevamente, tenemos un número infinito de ejemplos:$$S_1$$,$$S_2$$,$$S_3$$,$$S_4$$, etc. Más adelante discutimos este ejemplo así como los otros ejemplos con más detalle. Primero, damos algunos ejemplos más:

Ejemplo 1.7 Dejar$$K$$ denotar cualquiera de los siguientes:$$\mathbb{Z},\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}_n$$. Dejar$$M_2(K)$$ ser el conjunto de todas las$$2 \times 2$$ matrices$\nonumber \left [ \begin{array} {c c} a & b \\ c & d \end{array} \right]$ donde$$a,b,c,d$$ se encuentren los elementos de$$K$$. La suma y multiplicación de matrices se definen por las siguientes reglas:

$\left [ \nonumber \begin{array} {c c} a & b \\ c & d \end{array} \right] + \left [ \begin{array} {c c} a' & b' \\ c' & d' \end{array} \right] = \left [ \begin{array} {c c} a + a' & b+b' \\ c+c' & d+d' \end{array} \right]$

$\nonumber \left [ \begin{array} {c c} a & b \\ c & d \end{array} \right] \cdot \left [ \begin{array} {c c} a' & b' \\ c' & d' \end{array} \right] = \left [ \begin{array} {c c} aa' +bc' & ab'+bd' \\ ca'+dc'& cb'+dd' \end{array} \right]$

para todos$$a,b,c,d,a',b',c',d' \in K$$.

Ejemplo 1.8 La adición habitual de vectores en$$\mathbb{R}^n$$,$$n \in \mathbb{N}$$. Más precisamente

$\nonumber \mathbb{R}^n = \{ (x_1, x_2, \dots, x_n) \ | \ x_i \in \mathbb{R}\mbox{ for all i} \}.$

La suma se define por la regla:$\nonumber (x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) = (x_1 + y_1, x_2 +y_2, \dots, x_n+y_n).$ donde$$x_i+y_i$$ denota la suma habitual de los números reales$$x_i$$ y$$y_i$$.

Ejemplo 1.9 Adición módulo 2 para secuencias binarias de longitud$$n$$,$$n \in \mathbb{N}$$. (Este ejemplo es importante para la informática.) En este caso el conjunto es$\nonumber \mathbb{Z}_2^n = \{ (x_1, x_2, \dots, x_n) \ | \ x_i \in \mathbb{Z}_2 \mbox{ for all i} \}.$ Recordemos eso$$\mathbb{Z}_2 = \{0,1\}$$. La suma se define por la regla:$(x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) = (x_1 + y_1, x_2 +y_2, \dots, x_n+y_n).$ donde$$x_i+y_i$$ denota adición módulo 2 (también llamado exclusivo o) de$$x_i$$ y$$y_i$$. Más precisamente$$0+0=0$$,$$0+1=1$$,$$1+0=1$$ y$$1+1=0$$.

Ejemplo 1.10 El producto cruzado$$\mathbf{u} \times \mathbf{v}$$ de vectores$$\mathbf{u}$$ y$$\mathbf{v}$$ en$$\mathbb{R}^3$$. Recordemos que si\begin{aligned} \mathbf{u} &=&(u_1,u_2,u_3) \\ \mathbf{v}&=&(v_1,v_2,v_3)\end{aligned} entonces$$\mathbf{u} \times \mathbf{v}$$ se define por la fórmula$\nonumber \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left( \left | \begin{array} {cc} u_2&u_3\\v_2&v_3 \end{array} \right |, -\left | \begin{array} {cc} u_1&u_3\\v_1&v_3 \end{array} \right |, \left | \begin{array} {cc} u_1&u_2\\v_1&v_2 \end{array} \right | \right),$ donde$\nonumber \left | \begin{array} {cc} a&b\\c&d \end{array} \right | = ad-bc.$

Ejemplo 1.11 Las operaciones de conjunto$$\cup$$ y$$\cap$$ son operaciones binarias en el conjunto$$\mathcal{P}(X)$$ de todos los subconjuntos de$$X$$. Recordemos que el conjunto$$\mathcal{P}(X)$$ se llama el conjunto de potencia de$$X$$; y, si$$A$$ y$$B$$ son conjuntos, entonces$$A \cup B$$ se llama la unión de$$A$$ y$$B$$ y$$A \cap B$$ se llama la intersección de$$A$$ y$$B$$.

## Definición 1.2:

Supongamos que$$*$$ es una operación binaria en el conjunto$$S$$.

1. Decimos que$$*$$ es asociativo si

$x*(y*z) = (x*y)*z \quad \mbox{for all x,y,z }\in\mbox{ S}.$

2. Decimos que un elemento$$e$$ en$$S$$ es una identidad con respecto a$$*$$ si

$x*e = x \mbox{ and } e*x = x \quad \mbox{for all x in S}.$

3. Que$$e \in S$$ sea una identidad con respecto a$$*$$. Dado$$x \in S$$ decimos que un elemento$$y \in S$$ es un inverso de$$x$$ si ambos$x*y=e \mbox{ and } y*x=e.$
4. Decimos que$$*$$ es conmutativo si$x*y=y*x \quad \mbox{ for all x,y \in S.}$
5. Decimos que un elemento$$a$$ de$$S$$ es idempotente con respecto a$$*$$ si$a*a=a.$
6. Decimos que un elemento$$z$$ de$$S$$ es un cero con respecto a$$*$$ si$z*x=z \mbox{ and } x*z=z \quad \mbox{for all x \in S}.$

Problema 1.1 Supongamos que$$*$$ es una operación binaria en el conjunto$$S$$. Demostrar las siguientes declaraciones.

(i) Si$$e$$ y$$e'$$ son identidades con respecto a$$*$$ on$$S$$ entonces$$e = e'$$. [Pista: ¿Qué es$$e*e'$$?]

ii) Si$$z$$ y$$z'$$ son ceros con respecto a$$*$$ on$$S$$ entonces$$z = z'$$. [Pista: ¿Qué es$$z*z'$$?]

Problema 1.2 Revisar todos los ejemplos anteriores de operaciones binarias y determinar cuáles no son asociativas. Mostrar no asociatividad dando tres elementos específicos$$a,b,c$$ tales que$$a*(b*c) \ne (a*b)*c$$.

Problema 1.3 Revisar todos los ejemplos anteriores de operaciones binarias y determinar cuáles no son conmutativas. Mostrar no conmutatividad dando dos elementos específicos$$a,b$$ tales que$$a*b \ne b*a$$.

## OBSERVACIÓN

Un conjunto puede tener varias operaciones binarias en él. Por ejemplo, considere el conjunto$$\mathbb{R}$$ de números reales. Escribimos$$(\mathbb{R}, \cdot)$$,$$(\mathbb{R}, +)$$, y$$(\mathbb{R}, -)$$ para indicar el conjunto$$\mathbb{R}$$ con las operaciones binarias multiplicación, suma y resta, respectivamente. Del mismo modo, utilizamos esta notación para otros conjuntos como el conjunto$$M_2(\mathbb{R})$$, de$$2 \times 2$$ matrices sobre los números reales$$\mathbb{R}$$. Utilizamos$$(M_2(\mathbb{R}), \cdot)$$ y$$(M_2(\mathbb{R}), + )$$ para denotar multiplicación de matriz y adición de matriz, respectivamente, on$$M_2(\mathbb{R})$$.

Problema 1.4 Determinar cuál de los ejemplos$$(\mathbb{R}, \cdot)$$,$$(\mathbb{R}, +)$$,$$(M_2(\mathbb{R}), \cdot)$$, y$$(\mathcal{P}(X), \cup)$$ tiene identidades. Si hay una identidad, determinar los elementos que no tienen inversas.

Problema 1.5 Determinar cuál de los ejemplos$$(\mathbb{R}, \cdot)$$$$(\mathbb{R}, +)$$,$$(M_2(\mathbb{R}), \cdot)$$,, y$$(\mathcal{P}(X), \cup)$$ tiene ceros. Si hay un cero, determine si hay o no elementos distintos de cero cuyo producto es cero.

Problema 1.6 Determinar cuál de los ejemplos$$(\mathbb{R}, \cdot)$$,$$(\mathbb{R}, +)$$,$$(M_2(\mathbb{R}), \cdot)$$, y$$(\mathcal{P}(X), \cup)$$ tiene idempotentes. Intenta encontrar todos los idempotentes en cada caso.

Problema 1.7 Aquí damos un ejemplo de una regla que parece definir una operación binaria, pero no lo hace, ya que la sustitución no es permisible. Dejar$$a,b,c,d$$ ser enteros con$$b \ne 0$$ y$$d \ne 0$$. Entonces$\frac a b \in \mathbb{Q} \ \mbox{ and } \ \frac c d \in \mathbb{Q}.$ Define$$*$$ on$$\mathbb{Q}$$ by:$\frac a b * \frac c d = \frac {a+c}{b^2+d^2}.$ Demuestre que$\frac a b * \frac c d \in \mathbb{Q},$ así$$\mathbb{Q}$$ se cierra bajo$$*$$. Mostrar con un ejemplo específico que esta regla no permite la sustitución.

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