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6: Productos Directos de Grupos

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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Recordemos que el producto cartesiano\(X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n\) de\(n\) conjuntos\(X_1, X_2, \dots, X_n\) es el conjunto de todas las\(n\) tuplas ordenadas\((x_1,x_2, \dots, x_n)\) donde\(x_i \in X_i\) para todos\(i \in \{ 1, 2, \dots, n\}\). La igualdad para\(n\) -tuplas se define por\[(x_1,x_2, \dots, x_n)=(y_1,y_2, \dots, y_n) \Longleftrightarrow \mbox{ $x_i = y_i$ for all $i \in \{1,2, \dots, n \}$}.\]

    Definición 6.1:

    Si\(G_1, G_2, \dots, G_n\) es una lista de\(n\) grupos hacemos el producto cartesiano\(G_1\times G_2 \times \dots \times G_n\) en un grupo definiendo la operación binaria\[(a_1,a_2, \dots, a_n) \cdot (b_1, b_2, \dots, b_n) = (a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \dots, a_n \cdot b_n).\] Aquí para cada\(i \in \{ 1, 2, \dots, n \}\) producto\(a_i \cdot b_i\) es el producto de\(a_i\) y \(b_i\)en el grupo\(G_i\). Llamamos a este grupo el producto directo de los grupos\(G_1, G_2, \dots, G_n\).

    Como ejemplo, considere el producto directo\(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3\) de los dos grupos\(\mathbb{Z}_2\) y\(\mathbb{Z}_3\). \[\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 = \{ (0,0), \ (0,1), \ (0,2), \ (1,0), \ (1,1), \ (1,2) \}.\]Agregamos módulo 2 en la primera coordenada y módulo 3 en la segunda coordenada. Dado que la operación binaria en cada factor es la suma, utilizamos\(+\) para la operación en el producto directo. Entonces, por ejemplo, en este grupo\[(1,1) + (1,1) = (1 + 1, 1 + 1) = (0,2).\] La identidad es clara\((0,0)\) y, por ejemplo, la inversa de\((1,1)\) es\((1,2)\). Es claro que se trata de un grupo. De manera más general tenemos el siguiente resultado.

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Si\(G_1, G_2, \dots, G_n\) es una lista de\(n\) grupos el producto directo\(G=G_1\times G_2 \times \dots \times G_n\) como se definió anteriormente es un grupo. Además, si para cada uno\(i\),\(e_i\) es la identidad de\(G_i\) entonces\((e_1,e_2, \dots, e_n)\) es la identidad de G, y si\[\mathbf{a} = (a_1,a_2, \dots, a_n) \in G\] entonces la inversa de\(\mathbf{a}\) viene dada por\[\mathbf{a}^{-1} = (a_1^{-1},a_2^{-1}, \dots, a_n^{-1})\] donde\(a_i^{-1}\) es la inversa de \(a_i\)en el grupo\(G_i\). \(\blacksquare\)

    Problema 6.1 Demostrar el teorema anterior para el caso especial\(n=2\).

    Problema 6.2 Encuentra el orden de cada uno de los siguientes grupos. También dar la identidad de cada grupo y la inversa de un solo elemento del grupo distinto de la identidad.

    1. \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\)
    2. \(\mathbb{Z}_3 \times S_3 \times U_5\)
    3. \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_2\)
    4. \(GL(2,\mathbb{Z}_2) \times \mathbb{Z}_4 \times U_7 \times \mathbb{Z}_2\)


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