6: Productos Directos de Grupos

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Recordemos que el producto cartesiano$X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n$ de$n$ conjuntos$X_1, X_2, \dots, X_n$ es el conjunto de todas las$n$ tuplas ordenadas$(x_1,x_2, \dots, x_n)$ donde$x_i \in X_i$ para todos$i \in \{ 1, 2, \dots, n\}$. La igualdad para$n$ -tuplas se define por\[(x_1,x_2, \dots, x_n)=(y_1,y_2, \dots, y_n) \Longleftrightarrow \mbox{ $x_i = y_i$ for all $i \in \{1,2, \dots, n \}$}.\]

Definición 6.1:

Si$G_1, G_2, \dots, G_n$ es una lista de$n$ grupos hacemos el producto cartesiano$G_1\times G_2 \times \dots \times G_n$ en un grupo definiendo la operación binaria\[(a_1,a_2, \dots, a_n) \cdot (b_1, b_2, \dots, b_n) = (a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \dots, a_n \cdot b_n).\] Aquí para cada$i \in \{ 1, 2, \dots, n \}$ producto$a_i \cdot b_i$ es el producto de$a_i$ y $b_i$en el grupo$G_i$. Llamamos a este grupo el producto directo de los grupos$G_1, G_2, \dots, G_n$.

Como ejemplo, considere el producto directo$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$ de los dos grupos$\mathbb{Z}_2$ y$\mathbb{Z}_3$. \[\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 = \{ (0,0), \ (0,1), \ (0,2), \ (1,0), \ (1,1), \ (1,2) \}.\]Agregamos módulo 2 en la primera coordenada y módulo 3 en la segunda coordenada. Dado que la operación binaria en cada factor es la suma, utilizamos$+$ para la operación en el producto directo. Entonces, por ejemplo, en este grupo\[(1,1) + (1,1) = (1 + 1, 1 + 1) = (0,2).\] La identidad es clara$(0,0)$ y, por ejemplo, la inversa de$(1,1)$ es$(1,2)$. Es claro que se trata de un grupo. De manera más general tenemos el siguiente resultado.

Teorema$\PageIndex{1}$

Si$G_1, G_2, \dots, G_n$ es una lista de$n$ grupos el producto directo$G=G_1\times G_2 \times \dots \times G_n$ como se definió anteriormente es un grupo. Además, si para cada uno$i$,$e_i$ es la identidad de$G_i$ entonces$(e_1,e_2, \dots, e_n)$ es la identidad de G, y si\[\mathbf{a} = (a_1,a_2, \dots, a_n) \in G\] entonces la inversa de$\mathbf{a}$ viene dada por\[\mathbf{a}^{-1} = (a_1^{-1},a_2^{-1}, \dots, a_n^{-1})\] donde$a_i^{-1}$ es la inversa de $a_i$en el grupo$G_i$. $\blacksquare$

Problema 6.1 Demostrar el teorema anterior para el caso especial$n=2$.

Problema 6.2 Encuentra el orden de cada uno de los siguientes grupos. También dar la identidad de cada grupo y la inversa de un solo elemento del grupo distinto de la identidad.

$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$
$\mathbb{Z}_3 \times S_3 \times U_5$
$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_2$
$GL(2,\mathbb{Z}_2) \times \mathbb{Z}_4 \times U_7 \times \mathbb{Z}_2$