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LibreTexts Español

5: El Grupo de Unidades

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    118541
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    Definición 5.1:

    Vamos\(n \ge 2\). Se dice que un elemento\(a \in \mathbb{Z}_n\) es una unidad si hay un elemento\(b \in \mathbb{Z}_n\) tal que\(ab =1\). Aquí el producto es módulo de multiplicación\(n\). Denotamos el conjunto de todas las unidades en\(\mathbb{Z}_n\) by\(U_n\).

    Tenga en cuenta que 2 es una unidad en\(\mathbb{Z}_5\) since\(2 \cdot 3=1\). Dado que la multiplicación es conmutativa, 2 y 3 son ambas unidades. Decimos que 2 y 3 son inversos el uno del otro. Pero tenga en cuenta que si escribimos\(2^{-1}=3\), debemos tener en cuenta que por\(2^{-1}\) en este contexto no nos referimos al número racional\(1/2\). El siguiente teorema es fácil de probar si asumimos que el módulo de multiplicación\(n\) es asociativo y conmutativo.

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    \(U_n\)es un grupo bajo módulo de multiplicación\(n\). \(\blacksquare\)

    Llamamos\(U_n\) al grupo de unidades de\(\mathbb{Z}_n\).

    Problema 5.1 Listar todos los elementos de\(U_n\) for\(n \in \{ 2,3,4,\dots, 12\}\).

    Problema 5.2 ¿Por qué\(n \in \{ 2,3,4,\dots, 12\}\) hay un elemento\(a \in U_n\) tal que\(U_n = \langle a \rangle\)?

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Para\(n\geq 2\),\(U_n = \{ a\in \mathbb{Z}_n: \text{gcd}(a,n)=1\}. \blacksquare\)

    Observación

    Este teorema se establece en los cursos de teoría de números. En teoría de números, el orden del grupo\(U_n\) es lo suficientemente importante como para tener su propio nombre y notación. El orden de\(U_n\) se denota por\(\phi(n)\), se llama la función totiente de Euler y se pronuncia honorario de n. En teoría de números se demuestra que si\(a\) y\(b\) son enteros positivos tales que\(\gcd(a,b)=1\) entonces\(\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)\) y si\(p\) es primo y\(n \in \mathbb{N}\) entonces\(\phi(p^n) = p^n - p^{n-1}\). Estos hechos hacen que sea fácil de calcular\(\phi(n)\) si se puede escribir\(n\) como producto de primos. Pero no se conoce una manera fácil de calcular\(\phi(n)\) si\(n\) se desconoce la factorización de.

    Tenga en cuenta que hay cuatro símbolos diferentes pero similares utilizados en matemáticas:

    1. \(\phi\): letra griega minúscula phi (tasa pronunciada)
    2. \(\Phi\): letra griega mayúscula Phi
    3. \(\varphi\): escritura minúscula letra griega phi
    4. \(\emptyset\): recortó cero (no griego, sino danés) y símbolo para el conjunto vacío

    Problema 5.3 Demostrar la parte fácil de\ (\ mathbb {Z} _n\)” href=” /libreras/Abstract_and_geometric_algebra/elementary_abstract_algebra_ (Clark) /01:_capters/1.05:_the_group_of_units #Theorem_ .5C (.5CPageIndex.7b2.7d.5c) ">Teorema 5.2; es decir, mostrar que si\(a \in \mathbb{Z}_n\) y \(\gcd(a,n)=d > 1\), entonces no\(a\) es una unidad. [Pista: Mostrar (1) que si\(a \in \mathbb{Z}_n\) y\(\gcd(a,n)=d > 1\) hay un elemento\(b \in \mathbb{Z}_n-\{ 0 \}\) tal que\(ab=0\). (2) Si\(b \in \mathbb{Z}_n -\{ 0\}\) y\(ab=0\) entonces no\(a\) es una unidad.]

    Teorema\(\PageIndex{3}\)

    Si\(p\) es un primo entonces hay un elemento\(a \in U_p\) tal que\(U_p = \langle a \rangle\). \(\blacksquare\)

    Comprobante. Este teorema se demuestra en cursos avanzados en teoría de números o álgebra abstracta.

    Demostrar\ (\ mathbb {Z} _n\)” href=” /libreras/Abstract_and_geometric_algebra/elementary_abstract_algebra_ (Clark) /01:_capters/1.05:_the_group_of_units #Theorem_ .5C (.5CPageIndex.7b3.7d.5c) ">Teorema 5.3 para todos los primos\(p < 12\).

    Observación

    Se observará que a veces incluso cuando no\(n\) es primo hay\(a \in U_n\) tal que\(U_n = \langle a \rangle\). De hecho, el siguiente teorema de la teoría avanzada de números nos dice exactamente cuándo\(a\) existe tal.

    Teorema\(\PageIndex{4}\)

    Si\(n \ge 2\) entonces\(U_n\) contiene un elemento que\(a\) satisface\(U_n = \langle a \rangle\) si y solo si\(a\) tiene una de las siguientes formas: 2, 4\(p^k\), o\(2p^k\) donde\(p\) es un impar prime y\(k \in \mathbb{N}\). \(\blacksquare\)

    Entonces, por ejemplo, no hay tal\(a\) en\(U_n\) si\(n = 2^k\) cuando\(k \ge 3\), ni para\(n = 12\) o\(15\).


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