3.2: El campo libre de Maxwell

Nuestro enfoque de CED hasta ahora es inusual en la medida en que hemos definido, clasificado y transformado efectivamente el campo electromagnético en una pequeña región del espacio-tiempo sin haber utilizado las ecuaciones de Maxwell. Esto es, por supuesto, un indicio de la efectividad de nuestra definición del campo en términos de transformaciones activas de Lorentz.

Para llegar a las ecuaciones de Maxwell invocamos el principio estándar de la invari ancia relativista, involucrando la interpretación pasiva del grupo Lorentz.

Postulado 2

El campo electromagnético satisface una ecuación diferencial de primer orden en las coordenadas espacio-tiempo que es covariante bajo transformaciones de Lorentz.

Consideramos el operador del cuatridimensional\(\{\partial_{0}, \nabla\}\) con\(\partial_{0} = \partial / \partial (ct) = \partial /\partial r_{0}\) como un cuatro vector, con su matriz equivalente

\[\begin{array}{c} {D = \partial_{0}- \nabla \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

El fundamento para el signo menos es el siguiente. Deje que D opere en una función que representa una onda plana:

\[\begin{array}{c} {\psi = \exp -i(\omega t-\vec{k} \cdot \vec{r}) = \exp -i(k_{0}r_{0}-\vec{k} \cdot \vec{r})} \end{array}\]

tenemos

\[\begin{array}{c} {iD \psi = (k_{0} 1+\vec{k} \cdot \vec{\sigma} \psi = K \psi} \end{array}\]

Así, D tiene las mismas propiedades de transformación que K:

\[\begin{array}{c} {D' = SDS^{\dagger}} \end{array}\]

mientras que la compleja reflexión

\[\begin{array}{c} {\bar{D} = \partial_{0}1+\nabla \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

transforma como\(\bar{K}\), i.e.

\[\begin{array}{c} {\bar{D}' = \bar{S}\bar{D}S^{-1}} \end{array}\]

Al usar las reglas de transformación 3.1.18, 3.1.20 de la última sección vemos que\(\bar{D}F\) se transforma como un cuatro vector J:

\[\begin{array}{c} {(\bar{S}\bar{D}S^{-1})(SFS^{-1}) = \bar{S}\bar{J}S^{-1}} \end{array}\]

Así

\[\begin{array}{c} {\bar{D}F = \bar{J}} \end{array} \label{EQ3.2.8}\]

es una ecuación diferencial que satisface las condiciones del Postulado 2. Ajuste tentativamente

\[\begin{array}{c} {J = \rho 1+\frac{\vec{j}}{c} \cdot \vec{\sigma}} \end{array} \label{EQ3.2.9}\]

con\(\rho, \vec{j}\) las densidades de carga y corriente,\ ref {EQ3.2.8} es de hecho una forma compacta de las ecuaciones de Maxwell.

Esto se verifica fácilmente clasificando los términos con los factores\((1,\sigma_{k})\) y separando las partes reales e imaginarias.

Al operar en la Ecuación\ ref {EQ3.2.9} con D y tomando la traza obtenemos

\[\begin{array}{c} {D\bar{D}F = (\partial_{0}^{2}- \nabla^{2})F = D \bar{J}} \end{array}\]

y

\[\begin{array}{c} {\frac{1}{2} Tr D\bar{J} = \partial_{0 \rho}+\frac{1}{c} \vec{\nabla} \cdot \vec{j} = 0} \end{array}\]

Estos son resultados estándar que son fácilmente proporcionados por el formalismo. Sin embargo, no tenemos una expresión explícita para J que sea satisfactoria para una teoría de la interacción radiativa.

Por lo tanto, de acuerdo con nuestro programa establecido en la Sección 3.1 establecemos\(J = 0\) y examinamos únicamente el campo libre que obedece a las ecuaciones homogéneas

\[\begin{array}{c} {\bar{D}F = 0}\\ {(\partial_{0}^{2}- \nabla^{2})F = 0} \end{array} \label{EQ3.2.12}\]

La solución elemental más simple de\ ref {EQ3.2.12} son las ondas planas monocromáticas a partir de las cuales se pueden construir soluciones más complicadas. De ahí que consideremos

\[\begin{array}{c} {F(\vec{r}, t)=F_{+}(k, \omega) \exp \{i(\omega t-\vec{k} \cdot \vec{r})\}+F_{-}(k, \omega) \exp \{i(\omega t-\vec{k} \cdot \vec{r})\}} \end{array} \label{EQ3.2.13}\]

donde\(F_{\pm}\) son matrices independientes del espacio-tiempo. Insertar en la ecuación\ ref {EQ3.2.12} produce la condición

\[\begin{array}{c} {\omega^{2}-c^{2}k^{2} = 0} \end{array}\]

Introduciendo la notación

\[\begin{array}{c} {\theta = k_{0}r_{0}-\vec{k} \cdot \vec{r}} \end{array}\]

escribimos Ecuación\ ref {EQ3.2.13} como

\[\begin{array}{c} {F(\vec{r}, t) = F_{+}(k, \omega) \exp(-i \theta)+F_{-}(k, \omega) \exp (i \theta)} \end{array}\]

Insertando en\ ref {EQ3.2.12} tenemos

\[\begin{array}{c} {KF_{\pm} = K(\vec{E}_{\pm}+i\vec{B}_{\pm}) \cdot \vec{\sigma} = 0} \end{array}\]

De aquí obtenemos explícitamente

\[\begin{array}{c} {\vec{k} \cdot (\vec{E}_{\pm}+i\vec{B}_{\pm}) = 0} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\vec{E}_{\pm}+i\vec{B}_{\pm} = i \hat{k}x(\vec{E}_{\pm}+i\vec{B}_{\pm})} \end{array}\]

e inferimos las propiedades bien conocidas de las ondas planas:\(\vec{E}\) y\(\vec{B}\) son de igual magnitud, y\(\vec{E}, \vec{B}, \vec{k}\) a partir de una tríada cartesiana diestra. Observamos que esta constelación corresponde al campo del tipo (ii) con\(\vec{f}^2 = 0\) mencionado en la página 51.

Como los clásicos\(\vec{E}, \vec{B}\) son reales, tenemos también las relaciones

\[\begin{array}{cc} {\vec{E}_{-} = \vec{E}_{+}^{*},}&{\vec{B}_{-} = \vec{B}_{+}^{*}} \end{array} \label{EQ3.2.20}\]

Consideremos ahora el caso en el que,

\[\begin{array}{c} {\vec{f}_{-} = \vec{E}_{-} +i \vec{B}_{-} = 0} \end{array}\]

en vista de\ ref {EQ3.2.20} implica

\[\begin{array}{c} {\vec{E}_{+} = i\vec{B}_{+}} \end{array}\]

Así, en un punto y dirección fijos en el espacio el campo eléctrico retarda el campo magnético por una fase\(\pi/2\), y\(\vec{f}_{+} = \vec{E}_{+} +i \vec{B}_{+} = 0\) es la amplitud de una onda polarizada circularmente de helicidad positiva, es decir, la rotación de los vectores eléctricos y magnéticos y el vector de onda\(\vec{k}\) forman un tornillo derecho o el punto de momento lineal y angular en la misma dirección\(+\vec{k}\). En la terminología óptica tradicional a esto se le llama onda polarizada circularmente izquierda. Sin embargo, siguiendo la práctica actual, nos referiremos a la helicidad positiva como polarización derecha R. El estado de helicidad negativo está representado por\(\vec{f}_{-} = \vec{E}_{-} +i \vec{B}_{-}\).

En realidad, tenemos la alternativa de asociarnos\(\vec{f}_{-}^{*} = \vec{E}_{-} +i \vec{B}_{-} = 0\) con R y\(\vec{f}_{+}^{*} = \vec{E}_{+} +i \vec{B}_{+} = 0\) con L. Sin embargo, preferimos la primera opción y utilizaremos la libertad añadida en el formalismo para describir el proceso de absorción y emisión en una etapa posterior.

En tanto, pasamos a la discusión de la polarización que tiene una serie de aspectos interesantes, particularmente si se lleva a cabo en el contexto del álgebra espinora.