5.4: Sobre el nosotros de las involuciones

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La existencia de las tres involuciones (ver Ecuaciones A.1.1 anteriores), proporciona una gran cantidad de bity de flexión. Sin embargo, el uso más eficiente de estos conceptos requiere cierta atención.

Para cualquier matriz de\(\mathcal{A}_{2}\)

\[\begin{array}{c} {A^{-1} = \frac{\tilde{A}}{|A|} |A| = \frac{1}{2} Tr(A \tilde{A})} \end{array}\]

En el caso de las matrices hermitianas tenemos dos alternativas:

\[\begin{array}{c} {k_{0}r_{0}-\vec{k} \cdot \vec{r} = \frac{1}{2} Tr(K \tilde{R})} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {k_{0}r_{0}-\vec{k} \cdot \vec{r} = \frac{1}{2} Tr(K \bar{R})} \end{array}\]

Parecerá, sin embargo de discusiones posteriores, que la compleja reflexión de la Ecuación A.4.3 es más apropiada para describir la transición de entidades contravariantes a covariantes.

Un ejemplo de ello es la representación formal del reflejo de un cuatro vectores en un plano con lo normal a lo largo\(\hat{x}_{1}\). Tenemos

\[\begin{array}{c} {K' = \sigma_{1} \bar{K} \sigma_{1} = \sigma_{1} (k_{0}1-k_{1} \sigma_{1}-k_{2} \sigma_{2}-k_{3} \sigma_{3}) \sigma_{1}}\\ {= \sigma_{1}^{2} (k_{0}1-k_{1} \sigma_{1}+k_{2} \sigma_{2}+k_{3} \sigma_{3})}\\ {= k_{0}1-k_{1} \sigma_{1}+k_{2} \sigma_{2}+k_{3} \sigma_{3}} \end{array}\]

De manera más general, la especular en un plano con x normal se logra por medio de la operación

\[\begin{array}{c} {K' = \hat{a} \cdot \vec{\sigma} \bar{K} \hat{a} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

Nuevamente, podríamos haber elegido\(\tilde{K}\) en vez de\(\bar{K}\).

Sin embargo, la Eq (22) generaliza a la inversión del seis vector electromagnético\(\vec{f} = \vec{E}+i \vec{B}\):

\[\begin{array}{c} {(\vec{E}'+i \vec{B}') \cdot \vec{\sigma} = \overline{(\vec{E}+i \vec{B}) \cdot \vec{\sigma}} = (-\vec{E}+i \vec{B}) \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

Esta relación toma en cuenta el hecho de que\(\vec{E}\) es un vector polar y\(\vec{B}\) uno axial.