5.5: Sobre Parametrización e Integración

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El desempeño explícito de la multiplicación bilateral proporciona la conexión entre los parámetros de rotación y los elementos de las\(4 \times 4\) matrices. Consideramos aquí solo la rotación pura generada por

\[\begin{array}{c} {U = \exp(-i \frac{\phi}{2} \hat{u} \cdot \vec{\sigma})} \end{array}\]

Vamos

\[\begin{array}{cc} {l_{0} = \cos \phi/2,}&{l_{1} = \sin \phi/2 \hat{u}_{1}} \end{array}\]

\[\begin{array}{cc} {l_{2} = \sin \phi/2 \hat{u}_{3}}&{l_{3} = \sin \phi/2 \hat{u}_{3}} \end{array}\]

\[\begin{array}{cc} {u_{1} = \cos( \hat{u} \cdot \hat{x}), \cdots, etc.}&{} \end{array}\]

\[\begin{array}{cc} {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2} = 1}&{} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\begin{pmatrix} {k'_{1}}\\{k'_{2}}\\ {k'_{3}}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {l_{0}^{2}+l_{1}^{2}-l_{2}^{2}-l_{3}^{2}}&{2(l_{1}l_{2}-l_{0}l_{3})}&{2(l_{1}l_{3}+l_{0}l_{2})}\\ {2(l_{1}l_{2}+l_{0}l_{3})}&{l_{0}^{2}-l_{1}^{2}+l_{2}^{2}-l_{3}^{2}}&{2(l_{1}l_{3}-l_{0}l_{2})}\\ {2(l_{1}l_{3}-l_{0}l_{3})}&{2(l_{2}l_{3}+l_{0}l_{1})}&{l_{0}^{2}-l_{1}^{2}-l_{2}^{2}+l_{3}^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {k_{1}}\\{k_{2}}\\ {k_{3}}\\ \end{pmatrix}} \end{array}\]

Tales expresiones son, por supuesto, no muy prácticas. Por lo general, se consideran relaciones infinitesimales con los parámetros\(d \phi \mu k\). La integración de las operaciones infinitesimales en las del grupo finito se puede lograr dentro de la teoría general de los grupos Lie y álgebras de Lie.

En nuestro enfoque la integración se logra mediante la construcción explícita para el caso especial del grupo restringido Lorentz. Este es el primer paso en nuestro programa de utilizar la teoría de grupos para complementar o reemplazar el método de ecuaciones diferenciales.