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19.5: Ejercicios

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

1

Dibuje el diagrama de celosía para el conjunto de potencia de$$X = \{ a, b, c, d \}$$ con la relación de inclusión del conjunto,$$\subset\text{.}$$

2

Dibuja el diagrama para el conjunto de enteros positivos que son divisores de ¿$$30\text{.}$$Es este poset un álgebra booleana?

3

Dibuja un diagrama de la celosía de subgrupos de$${\mathbb Z}_{12}\text{.}$$

4

Dejar$$B$$ ser el conjunto de enteros positivos que son divisores de$$210\text{.}$$ Definir un orden on$$B$$ por$$a \preceq b$$ si$$a \mid b\text{.}$$ Prove que$$B$$ es un álgebra booleana. Encuentra un conjunto$$X$$ tal que$$B$$ sea isomórfico para$${\mathcal P}(X)\text{.}$$

5

Demostrar o desmentir:$${\mathbb Z}$$ es un poset bajo la relación$$a \preceq b$$ si$$a \mid b\text{.}$$

6

Dibuje el circuito de conmutación para cada una de las siguientes expresiones booleanas.

1. $$\displaystyle (a \vee b \vee a') \wedge a$$
2. $$\displaystyle (a \vee b)' \wedge (a \vee b)$$
3. $$\displaystyle a \vee (a \wedge b)$$
4. $$\displaystyle (c \vee a \vee b) \wedge c' \wedge (a \vee b)'$$

7

Dibuja un circuito que se cerrará exactamente cuando solo uno de los tres interruptores$$a\text{,}$$$$b\text{,}$$ y$$c$$ estén cerrados.

8

Demostrar o desacreditar que los dos circuitos mostrados son equivalentes.

9

Let$$X$$ Ser un conjunto finito que contiene$$n$$ elementos. Demostrar que$$|{\cal P}(X)| = 2^n\text{.}$$ Concluir que el orden de cualquier álgebra booleana finita debe ser$$2^n$$ para algunos$$n \in {\mathbb N}\text{.}$$

10

Para cada uno de los siguientes circuitos, escriba una expresión booleana. Si el circuito puede ser reemplazado por uno con menos interruptores, dé la expresión booleana y dibuje un diagrama para el nuevo circuito.

11

Demostrar o desacreditar: El conjunto de todos los enteros distintos de cero es una celosía, donde$$a \preceq b$$ se define por$$a \mid b\text{.}$$

12

$$L$$Sea un conjunto no vacío con dos operaciones binarias$$\vee$$ y que$$\wedge$$ satisfaga las leyes conmutativa, asociativa, idempotente y de absorción. Podemos definir un orden parcial sobre$$L\text{,}$$ como en Teorema$$19.14$$, por$$a \preceq b$$ si$$a \vee b = b\text{.}$$ Demostrar que el mayor límite inferior de$$a$$ y$$b$$ es$$a \wedge b\text{.}$$

13

Dejar$$G$$ ser un grupo y$$X$$ ser el conjunto de subgrupos de$$G$$ ordenado por inclusión set-teórica. Si$$H$$ y$$K$$ son subgrupos de$$G\text{,}$$ mostrar que el límite inferior superior de$$H$$ y$$K$$ es el subgrupo generado por$$H \cup K\text{.}$$

14

Que$$R$$ sea un anillo y supongamos que$$X$$ es el conjunto de ideales de$$R\text{.}$$ Show que$$X$$ es un poset ordenado por la inclusión teórica del conjunto,$$\subset\text{.}$$ Definir el encuentro de dos ideales$$I$$ y$$J$$ en$$X$$ por$$I \cap J$$ y la unión de$$I$$ y$$J$$ por $$I + J\text{.}$$Demostrar que el conjunto de ideales de$$R$$ es una celosía bajo estas operaciones.

15

$$B$$Sea un álgebra booleana. Demostrar cada una de las siguientes identidades.

1. $$a \vee I = I$$y$$a \wedge O = O$$ para todos$$a \in B\text{.}$$
2. Si$$a \vee b = I$$ y$$a \wedge b = O\text{,}$$ entonces$$b = a'\text{.}$$
3. $$(a')'=a$$para todos$$a \in B\text{.}$$
4. $$I' = O$$y$$O' = I\text{.}$$
5. $$(a \vee b)' = a' \wedge b'$$y$$(a \wedge b)' = a' \vee b'$$ (Leyes de De Morgan).

16

Al dibujar los diagramas apropiados, complete la prueba del Teorema$$19.30$$ para mostrar que las funciones de conmutación forman un álgebra booleana.

17

$$B$$Sea un álgebra booleana. Definir operaciones binarias$$+$$ y$$\cdot$$ encendido$$B$$ por

\ begin {alinear*} a + b & = (a\ cuña b')\ vee (a'\ cuña b)\\ a\ cdot b & = a\ cuña b\ texto {.} \ end {align*}

Demostrar que$$B$$ es un anillo conmutativo bajo estas operaciones satisfaciendo$$a^2 = a$$ para todos$$a \in B\text{.}$$

18

Que$$X$$ sea un poset tal que para cada$$a$$ y$$b$$ en$$X\text{,}$$ cualquiera$$a \preceq b$$ o$$b \preceq a\text{.}$$ Entonces$$X$$ se dice que es un conjunto totalmente ordenado.

1. Es$$a \mid b$$ un pedido total en$${\mathbb N}\text{?}$$
2. Demostrar que$${\mathbb N}\text{,}$$$${\mathbb Z}\text{,}$$$${\mathbb Q}\text{,}$$ y$${\mathbb R}$$ son conjuntos totalmente ordenados bajo el pedido habitual$$\leq\text{.}$$

19

Dejar$$X$$ y$$Y$$ ser posets. Un mapa$$\phi : X \rightarrow Y$$ es conservadora de orden si$$a \preceq b$$ implica que$$\phi(a) \preceq \phi(b)\text{.}$$ Let$$L$$ and$$M$$ be celosías. Un mapa$$\psi: L \rightarrow M$$ es un homomorfismo de celosía si$$\psi( a \vee b ) = \psi(a) \vee \psi(b)$$ y$$\psi( a \wedge b ) = \psi(a) \wedge \psi(b)\text{.}$$ Mostrar que cada homomorfismo de celosía es conservadora de orden, pero que no es el caso de que todo homomorfismo conservador de orden sea un homomorfismo de celosía.

20

$$B$$Sea un álgebra booleana. Demostrar que$$a = b$$ si y sólo si$$(a \wedge b') \vee ( a' \wedge b) = O$$ por$$a, b \in B\text{.}$$

21

$$B$$Sea un álgebra booleana. Demostrar que$$a = O$$ si y solo si$$(a \wedge b') \vee ( a' \wedge b) = b$$ por todos$$b \in B\text{.}$$

22

Dejar$$L$$ y$$M$$ ser celosías. Definir una relación de orden on$$L \times M$$ by$$( a, b) \preceq (c, d)$$ if$$a \preceq c$$ y$$b \preceq d\text{.}$$ Mostrar que$$L \times M$$ es una celosía bajo este orden parcial.

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