21: Campos
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Más específicamente si nos dan un campo\(F\) y un polinomio\(p(x) \in F[x]\text{,}\) podemos preguntar si podemos o no encontrar un campo que\(E\) contenga\(F\) tal que\(p(x)\) facte en factores lineales sobre\(E[x]\text{.}\) Por ejemplo, si consideramos el polinomio
\[ p(x) = x^4 -5 x^2 + 6 \nonumber \]
en\({\mathbb Q}[x]\text{,}\) entonces\(p(x)\) factores como\((x^2 - 2)(x^2 - 3)\text{.}\) Sin embargo, ambos factores son irreducibles en\({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Si deseamos encontrar un cero de\(p(x)\text{,}\) debemos ir a un campo más grande. Ciertamente funcionará el campo de los números reales, ya que
\[ p(x) = (x - \sqrt{2} ) (x + \sqrt{2} )( x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})\text{.} \nonumber \]
Es posible encontrar un campo más pequeño en el que\(p(x)\) tenga un cero, a saber
\[ {\mathbb Q }( \sqrt{2} ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.} \nonumber \]
Deseamos poder computar y estudiar dichos campos para polinomios arbitrarios sobre un campo\(F\text{.}\)
- 21.3: Construcciones Geométricas
- En la antigua Grecia, se planteaban tres problemas clásicos. Estos problemas son de naturaleza geométrica e involucran construcciones rectas y brújula a partir de lo que ahora es geometría de secundaria; es decir, se nos permite usar solo una recta y brújula para resolverlos.