7.1: Malabares con dos operaciones

Ahora comenzaremos a mirar estructuras algebraicas con más de una operación. Por lo general, estas estructuras tendrán reglas que rigen las diferentes operaciones, y reglas adicionales sobre cómo interactúan las operaciones. Comenzaremos por mirar los anillos, que tienen dos operaciones, generalmente escritas como suma y multiplicación, relacionadas por la propiedad distributiva.

Hay muchas razones para estudiar la teoría de anillos, muchas veces teniendo que ver con generalizar las propiedades que observamos en muchos de los anillos que tratamos en la vida cotidiana, como los enteros y los números racionales. Al precisar las estructuras algebraicas que (por ejemplo) satisfacen los enteros, podemos averiguar qué hace que nuestros hechos favoritos sobre los enteros sean verdaderos, y ver fácilmente dónde esos mismos hechos se mantienen ciertos.

También es un área donde la mayor parte del pago real viene después. Comprender la teoría de anillos es esencial para la geometría algebraica en particular, que es una fuerza importante en las matemáticas modernas. La idea básica de la geometría algebraica es estudiar la geometría usando ceros de polinomios: por ejemplo, una línea en el plano puede considerarse como los ceros del polinomio\(f(x,y) = y-mx-b\) where \(m\) and \(b\) are constants. In other words, to understand properties of geometry, it is helpful to understand properties of polynomials. And polynomials are an example of a ring, as we'll see.

Definición 7.0.0

Un anillo es un conjunto\(R\) with operations \(+\) and \(\cdot\) such that:

1. \(R\) is a commutative group under \(+\),
2. (Distributividad) Para todos\(r,s,t\in R\), we have \(r\cdot(s+t)=r\cdot s+r\cdot t\), and \((s+t)\cdot r = s\cdot r + t\cdot r\).

Mostrar, usando la definición de un anillo, eso para cualquier anillo\(R\) with additive identity \(0\), we have \(0\cdot r=0\) for every \(r\in R\).

Este es el tipo de anillo más general. Hay muchos tipos diferentes de anillos que surgen de colocar condiciones adicionales, especialmente en la operación multiplicativa. De hecho, la teoría de anillos es una especie de zoológico, dividida en el estudio de diferentes 'especies' de anillos. Posiblemente los anillos más importantes para estudiar son los anillos conmutativos, asociativos con unidad, que definimos ahora.

Definición 7.0.2:

Vamos\(R\) be a ring, and \(r,s,t\in R\). Then \(R\) is:

1. Asociativa si la operación de multiplicación es asociativa:\(r\cdot (s\cdot t) = (r\cdot s)\cdot t\),
2. Un anillo con unidad si hay una identidad multiplicativa\(1\), such that \(1\cdot r=r=r\cdot 1\),
3. Conmutativo si la operación\(\cdot\) is commutative: \(r\cdot s=s\cdot r\).

Normalmente trataremos de anillos asociativos con unidad; de hecho, cuando escribimos 'anillo' nos referiremos a un anillo asociativo con unidad a menos que se indique lo contrario. En consecuencia, 'anillo conmutativo' significará un anillo que sea conmutativo, asociativo y con unidad.

¡Hay numerosos ejemplos de anillos! Aquí hay algunos ejemplos familiares.

1. Enteros. Los enteros son un grupo conmutativo en adición, y tienen la propiedad distributiva. Adicionalmente, los enteros son asociativos y conmutativos bajo multiplicación, y tienen una identidad multiplicativa,\(1\). Thus, the integers are an commutative associative ring with unity.
2. Números Racionales, Números Reales, Números Complejos. Todos estos sistemas numéricos familiares son ejemplos de anillos asociativos conmutativos con unidad.
3. Módulo de enteros\(n\),\(\mathbb{Z}_n\). The multiplication operation works just as the addition operation does: do the normal multiplication, and then divide by \(n\) and keep the remainder: \(a\cdot b = (ab)%n\). This is an associative and commutative operation, and there is a multiplicative identity.
4. Matrices. Recordemos que la suma de matriz es solo entrada por entrada, y que la multiplicación de matrices agrega y multiplica las entradas según una regla determinada: si\(M\) and \(N\) are matrices, then \((MN)_{i,j}=\sum_k M_{i,k}N_{k,j}\). Since this only uses addition and multiplication, we can thus form matrices with entries in any ring \(R\), since \(R\) has notions of addition and multiplication. The set of all \(m\times n\) matrices with entries in \(R\) is denoted \(M_{m\times n}(R)\).
5. Polinomios. Los polinomios se pueden sumar y multiplicar siempre y cuando sepamos sumar y multiplicar los coeficientes. Dejamos\(R[x]\) denote the ring of polynomials with coefficients from the ring \(R\) and variable \(x\) with exponent \(\geq 0\). For example, if \(R=\mathbb{Z}_2\), we have \((x+1)(x+1)=x^2+1\).
6. Anillos de Funciones. Muchos espacios de funciones tienen una estructura de anillo. Por ejemplo, si consideramos funciones diferenciables\(\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), we can add and multiply functions: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) and \((f\cdot g)(x)=f(x)g(x)\). Sums and products of differentiable functions are also differentiable, so they are closed. The functions form an additive group, and there's a multiplicative identity: the constant function defined by \(\mathbb{1}(x)=1\).

Ejercicio 7.0.3

1. Generar dos matrices 'aleatorias'\(M\) and \(N\) in \(M_{3,3}(\mathbb{Z}_6)\). Compute \(M+N\), \(MN\), and \(NM\).
2. Considerar\(f, g\in \mathbb{Z}_6\), defined by \(f=x^3+2x^2+3x\) and \(g=4x^3+5x+4\). Find \(f+g\) and \(fg\).

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