4: Determinantes
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- Resolver la ecuación matricial\(Ax=b\).
- Resuelve la ecuación matricial\(Ax=\lambda x\text{,}\) donde\(\lambda\) está un número.
- Resolver aproximadamente la ecuación matricial\(Ax=b\).
En este punto hemos dicho todo lo que diremos sobre la primera parte. Este capítulo pertenece al segundo.
Aprende sobre los determinantes: su cómputo y sus propiedades.
El determinante de una matriz cuadrada\(A\) es un número\(\det(A)\). Esta increíble cantidad es una de las invariantes más importantes de una matriz; como tal, forma la base de los cálculos más avanzados que involucran matrices.
En la Sección 4.1, definiremos el determinante en términos de su comportamiento con respecto a las operaciones de fila. El determinante satisface muchas propiedades maravillosas: por ejemplo,\(\det(A) \neq 0\) si y solo si\(A\) es invertible. También discutiremos algunas de estas propiedades en la Sección 4.1. En la Sección 4.2, daremos una fórmula recursiva para el determinante de una matriz. Esta fórmula es muy útil, por ejemplo, a la hora de tomar el determinante de una matriz con entradas desconocidas; esto será importante en el Capítulo 5. Por último, en la Sección 4.3, vamos a relacionar los determinantes con los volúmenes. Esto da una interpretación geométrica para los determinantes, y explica por qué el determinante se define como es. Esta interpretación de los determinantes es un ingrediente crucial en la fórmula de cambio de variables en el cálculo multivariable.
- 4.1: Determinantes- Definición
- En esta sección, definimos el determinante, y presentamos una forma de calcularlo. Luego discutimos algunas de las muchas propiedades maravillosas que disfruta el determinante.
- 4.2: Expansiones de cofactores
- En esta sección, damos una fórmula recursiva para el determinante de una matriz, llamada expansión de cofactor. La fórmula es recursiva ya que calcularemos el determinante de una matriz n×n asumiendo que ya sabemos cómo calcular el determinante de una matriz (n−1) × (n−1). Al final hay una subsección suplementaria sobre la regla de Cramer y una fórmula de cofactor para la inversa de una matriz.
- 4.3: Determinantes y Volúmenes
- En esta sección damos una interpretación geométrica de los determinantes, en términos de volúmenes. Esto arrojará luz sobre la razón detrás de tres de las cuatro propiedades definitorias del determinante. También es un ingrediente crucial en la fórmula de cambio de variables en el cálculo multivariable.