18.3: Usando la regla de Cramer para resolver Ax=b

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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Dejar\(Ax=b\) ser un sistema de ecuaciones\(n\) lineales en\(n\) variables tales que\(|A| \neq 0\). El sistema cuenta con una solución única dada por:

\[x_1 = \frac{|A_1|}{|A|}, x_2 = \frac{|A_2|}{|A|}, \ldots, x_n = \frac{|A_n|}{|A|} \nonumber \]

donde\(A_i\) se obtiene la matriz reemplazando columna\(i\)\(A\) de por\(b\). La siguiente función genera\(A_i\) reemplazando la columna\(i\) th\(A\) de por\(b\):

def makeAi(A,i,b):
    '''Replace the ith column in A with b'''
    if type(A) == np.matrix:
        A = A.tolist()
    if type(b) == np.matrix:
        b = b.tolist()
    Ai = copy.deepcopy(A)
    for j in range(len(Ai)):
        Ai[j][i] = b[j][0]
    return Ai

Hacer esto

Crea una nueva función llamada CramersRule, que toma\(A\)\(b\) y devuelve\(x\) usando la regla de Cramer.

Nota: Use numpy y NOT mydet para encontrar los determinantes requeridos. mydet es demasiado lento.

# Stub code. Replace the np.linalg.solve code with your answer

def cramersRule(A,b):
    detA = np.linalg.det(A)
    x = []    
    #####Start of your code here#####  
 

    #####End of your code here#####  
    
    return x

Pregunta

Pruebe su función CramersRule en el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\[ x_1 + 2x_2 = 3 \nonumber \]

\[3x_1 + x_2 = -1 \nonumber \]

#Put your answer to the above question here

Pregunta

Verifique la respuesta anterior usando la función np.linalg.solve:

#Put your answer to the above question here

Pregunta

Pruebe su función cramersRule en el siguiente sistema de ecuaciones lineales y verifique la respuesta usando la función np.linalg.solve:

\[ x_1 + 2x_2 +x_3 = 9 \nonumber \]

\[ x_1 + 3x_2 - x_3 = 4 \nonumber \]

\[ x_1 + 4x_2 - x_3 = 7 \nonumber \]

#Put your answer to the above question here

Pregunta

La regla de Cramer es un\(O(n!)\) algoritmo y la eliminación Gauss-Jordan (o Gaussiana) es\(O(n^3)\). ¿Qué ventajas tiene la regla de Cramer sobre la eliminación?