1.1: Qué podemos esperar

En su esencia, el tema del álgebra lineal es sobre ecuaciones lineales y, más específicamente, colecciones de ecuaciones lineales. Google trata rutinariamente con una colección de billones de ecuaciones cada una de las cuales tiene billones de incógnitas. Eventualmente entenderemos cómo lidiar con ese tipo de complejidad. Para comenzar, sin embargo, veremos una situación más familiar donde tenemos un pequeño número de ecuaciones y un pequeño número de incógnitas. A pesar de su relativa simplicidad, esta situación es lo suficientemente rica como para demostrar algunos conceptos fundamentales que motivaremos gran parte de nuestra exploración.

Algunos ejemplos simples

Actividad 1.1.1.

Con un pequeño número de incógnitas, somos capaces de graficar los conjuntos de soluciones a ecuaciones lineales. Aquí, consideraremos colecciones de ecuaciones que tienen dos incógnitas.

1. En la gráfica de abajo, grafica las líneas
   \ comenzar {ecuación*}\ comenzar {alineado} y & = x+1\\ y & = 2x-1\ texto {.}\\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

   ¿En qué punto o puntos\((x,y)\text{,}\) se cruzan las líneas? ¿Cuántos puntos\((x,y)\) satisfacen ambas ecuaciones?

   

En la gráfica de abajo, grafica las líneas

\ comenzar {ecuación*}\ comenzar {alineado} y & = x+1\\ y & = x-1\ texto {.}\\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

¿En qué punto o puntos\((x,y)\text{,}\) se cruzan las líneas? ¿Cuántos puntos\((x,y)\) satisfacen ambas ecuaciones?

En la gráfica de abajo, grafica la línea

\ begin {ecuación*} y = x+1\ texto {.} \ end {ecuación*}

¿Cuántos puntos\((x,y)\) satisfacen esta ecuación?

En la gráfica de abajo, grafica las líneas

\ comenzar {ecuación*}\ comenzar {alineado} y & = x+1\\ y & = 2x-1\\ y & = -x.\\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

¿En qué punto o puntos\((x,y)\text{,}\) se cruzan las líneas? ¿Cuántos puntos\((x,y)\) satisfacen las tres ecuaciones?

Los ejemplos de esta actividad introductoria demuestran tres posibles resultados, los cuales se representan en las tres figuras siguientes.

Figura 1.1.1. Tres posibilidades para colecciones de ecuaciones lineales en dos incógnitas.

En este ejemplo, vemos que

• Con una sola ecuación, hay infinitamente muchos puntos que\((x,y)\) satisfacen esa ecuación.
• Agregar una segunda ecuación agrega otra condición que colocamos en los puntos\((x,y)\) dando como resultado un solo punto que satisface ambas ecuaciones.
• Agregar una tercera ecuación agrega una tercera condición en los puntos\((x,y)\text{,}\) y ya no es posible satisfacer las tres condiciones.

En términos generales, una sola ecuación tendrá muchas soluciones, de hecho, infinitamente muchas. A medida que agregamos ecuaciones, agregamos condiciones que conducen a, en cierto sentido, concretaremos más adelante, un número menor de soluciones. Eventualmente, tenemos demasiadas ecuaciones y encontramos que ningún punto las satisface a todas al mismo tiempo.

Este ejemplo ilustra un principio general al que volveremos frecuentemente.

Soluciones de ecuaciones lineales.

Dada una colección de ecuaciones lineales, existen:

• infinitamente muchas soluciones,
• exactamente una solución, o
• sin soluciones.

Observe que podemos ver un poco más. En la Figura 1.1.1, estamos viendo ecuaciones en dos incógnitas. Aquí vemos que

• Una ecuación nos dio infinitamente soluciones.
• Dos ecuaciones nos dieron exactamente una solución.
• Tres ecuaciones no nos dieron soluciones.

Parece razonable preguntarse si el número de soluciones depende de si el número de ecuaciones es menor que, igual o mayor que el número de incógnitas. Por supuesto, no siempre puede ser así; recordemos que uno de nuestros ejemplos consistió en dos ecuaciones que estaban representadas gráficamente por líneas paralelas y que por lo tanto no tenían soluciones. Aún así, parece seguro pensar que cuantas más ecuaciones tengamos, menor será el conjunto de soluciones.

Consideremos también algunos ejemplos de ecuaciones que tienen tres incógnitas, a las que llamamos\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y\(z\text{.}\) Así como las soluciones a ecuaciones lineales en dos incógnitas formaron líneas rectas, las soluciones a ecuaciones lineales en tres incógnitas forman planos.

Cuando consideramos gráficamente una ecuación en tres incógnitas, necesitamos agregar un tercer eje de coordenadas, como se muestra en la Figura 1.1.2.

Figura 1.1.2. Sistemas de coordenadas en dos y tres dimensiones.

Como se muestra en la Figura 1.1.3, una ecuación lineal en dos incógnitas, tal como\(y=0\text{,}\) es una línea mientras que una ecuación lineal en tres incógnitas, como\(z=0\text{,}\) es un plano.

Figura 1.1.3. Las soluciones a la ecuación\(y=0\) en dos dimensiones y\(z=0\) en tres.

En tres incógnitas, el conjunto de soluciones a una ecuación lineal forma un plano. El conjunto de soluciones a un par de ecuaciones lineales se ve gráficamente como la intersección de los dos planos. Al igual que en la Figura 1.1.4, normalmente esperamos que esta intersección sea una línea.

Figura 1.1.4. Un solo plano y la intersección de dos planos.

Cuando sumamos una tercera ecuación, estamos buscando la intersección de tres planos, que esperamos que formen un punto, como en la izquierda de la Figura 1.1.5. No obstante, en ciertos casos especiales, puede suceder que no haya soluciones, como se ve a la derecha.

Figura 1.1.5. Dos ejemplos que muestran las intersecciones de tres planos.

Actividad 1.1.2.

Esta actividad comienza con ecuaciones que tienen tres incógnitas. En este caso, sabemos que las soluciones de una sola ecuación forman un plano. Si ayuda con la visualización, considere usar tarjetas\(3\times5\) de índice de pulgadas para representar planos.

1. ¿Es posible que no haya soluciones a dos ecuaciones lineales en tres incógnitas? O bosquejar un ejemplo o dar una razón por la que no puede suceder.
2. ¿Es posible que haya exactamente una solución a dos ecuaciones lineales en tres incógnitas? O bosquejar un ejemplo o dar una razón por la que no puede suceder.
3. ¿Es posible que las soluciones a cuatro ecuaciones en tres incógnitas formen una línea? O bosquejar un ejemplo o dar una razón por la que no puede suceder.
4. ¿Qué esperarías del conjunto de soluciones a cuatro ecuaciones en tres incógnitas?
5. Supongamos que tenemos 500 ecuaciones lineales en 10 incógnitas. ¿Cuál sería una suposición razonable para cuál de las tres posibilidades para el conjunto de soluciones tiene?
6. Supongamos que tenemos 10 ecuaciones lineales en 500 incógnitas. ¿Cuál sería una suposición razonable para cuál de las tres posibilidades para el conjunto de soluciones tiene?

Sistemas de ecuaciones lineales

Ahora que hemos visto algunos ejemplos sencillos, aclaremos a qué nos referimos con un sistema de ecuaciones lineales.

Primero, consideramos una ecuación lineal que tiene la forma

\ begin {ecuación*} y = 2x - 1\ texto {.} \ end {ecuación*}

Será conveniente para nosotros reescribir esto para que todas las incógnitas estén en un lado de la ecuación:

\ begin {ecuación*} -2x + y = -1\ texto {.} \ end {ecuación*}

Pensando gráficamente, esto nos da la flexibilidad para describir todas las líneas; por ejemplo, las líneas verticales, como las que se\(x=3\text{,}\) pueden representar en esta forma.

Observe que cada término de la izquierda es producto de una constante y el primer poder de un desconocido. En el futuro, vamos a querer considerar ecuaciones que tengan muchas más incógnitas, que a veces denotaremos como\(x_1, x_2, \ldots, x_n\text{.}\) Esto lleva a la siguiente definición:

Definición 1.1.6

Una ecuación lineal en las incógnitas\(x_1,x_2,\ldots,x_n\) puede escribirse en la forma

\ begin {ecuación*} a_1x_1 + a_2x_2 +\ ldots + a_nx_n = b\ texto {,}\ final {ecuación*}

donde\(a_1,a_2,\ldots,a_n\) se conocen los números reales como coeficientes.

Por un sistema de ecuaciones lineales o un sistema lineal, nos referimos a una colección de ecuaciones lineales escritas en un conjunto común de incógnitas. Por ejemplo,

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} 2x_1 & {} + & {} 1.2x_2 & {} - {} - {} & 4x_3 & {} = {} & 3.7\\ -0.1x_1 & {} & {} & {} + {} & x_3 & {} = {} & 2\\ x_1 & {} + {} & x_2 & {}} - {} & x_3 & {} = {} & 1.4.\\\ final {alineada}\ final {ecuación* }

Una solución a un sistema lineal es simplemente un conjunto de números\(x_1 = s_1, x_2 = s_2, \ldots, x_n=s_n\) que satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

Por ejemplo, antes consideramos el sistema lineal

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {3} -x & {} + {} & y & {} = {} & 1\\ -2x & {} + {} & y & {} = {} & -1.\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

Para verificar que\((x,y) = (2,3)\) sea una solución, verificamos que las siguientes ecuaciones son válidas.

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {3} -2 & {} + {} & 3 & {} = {} & 1\\ -2 (2) & {} + {} & 3 & {} = {} & -1.\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

Llamamos al conjunto de todas las soluciones el espacio de solución del sistema lineal.

Actividad 1.1.3. Ecuaciones lineales y sus soluciones.

1. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales? Por favor, proporcione una justificación para su respuesta.
   1. \ begin {ecuación*} 2x + xy -3y^2 = 2\ texto {.} \ end {ecuación*}
   2. \ begin {ecuación*} -2x_1 + 3x_2 +4x_3 - x_5 = 0\ texto {.} \ end {ecuación*}
   3. \ begin {ecuación*} x = 3z - 4y\ texto {.} \ end {ecuación*}
2. Considere el sistema de ecuaciones lineales:
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} x & {} + {} & y & & & {} = {} & 3\\ & & y & {} - {} & z & {} = {} & 2\\ 2x & {} + {} & y & {} + {} & z & {} = {} & 4.\\\ end {}\ end {ecuación*}
   1. ¿Es\((x,y,z) = (1,2,0)\) una solución?
   2. ¿Es\((x,y,z) = (-2,1,0)\) una solución?
   3. ¿Es\((x,y,z) = (0,-3,1)\) una solución?
   4. ¿Puedes encontrar una solución en la que\(y = 0\text{?}\)
   5. ¿Crees que hay otras soluciones? Por favor explique su respuesta.

Resumen

El objetivo de esta sección es construir cierta intuición sobre el comportamiento de las soluciones a los sistemas lineales a través de la consideración de algunos ejemplos simples. Desarrollaremos una comprensión más profunda y precisa de estos fenómenos en nuestras futuras exploraciones.

• Una ecuación lineal es aquella que se puede escribir en la forma
  \ begin {ecuación*} a_1x_1 + a_2x_2 +\ ldots + a_nx_n = b\ texto {.} \ end {ecuación*}
• Un sistema lineal es una colección de ecuaciones lineales y una solución es un conjunto de valores asignados a cada una de las incógnitas que hacen que cada ecuación sea verdadera.
• Llegamos a esperar que un sistema lineal tenga infinitamente muchas soluciones, exactamente una solución o ninguna solución.
• Cuando agregamos más ecuaciones a un sistema, el espacio de solución suele parecer ser más pequeño.