1.2: Encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales

En la sección anterior, observamos sistemas de ecuaciones lineales desde una perspectiva gráfica. Dado que las ecuaciones solo tenían dos o tres incógnitas, pudimos estudiar los espacios de solución como las intersecciones de líneas y planos.

Recordando que eventualmente consideraremos muchas más ecuaciones e incógnitas, esta, en general, no será una estrategia útil. En cambio, abordaremos este problema algebraicamente y desarrollaremos una técnica para entender los espacios de solución de los sistemas generales de ecuaciones lineales.

Eliminación gaussiana

Desarrollaremos un algoritmo, que generalmente se llama eliminación gaussiana, que nos permite describir el espacio de solución a un sistema de ecuaciones lineales.

Vista previa Actividad 1.2.1.

Empecemos por considerar algunos ejemplos sencillos que nos guiarán para encontrar un enfoque más general.

1. Dar una descripción del espacio de solución al sistema lineal:
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {3} x & & & {} = {} & 2\\ & & y & {} = {} & -1.\\\ final {alineada}\ final {ecuación*}
2. Dar una descripción del espacio de solución al sistema lineal:
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} -x & {} + {} & 2y & {} - {} - {} & z & {} = {} & -3\\ & & 3y & {} + {} & z & {} = {} & -1.\\ & & & & & 2z & {} = {} & 4.\\\ end {}\\ end {} & fin {ecuación*}
3. Dar una descripción del espacio de solución al sistema lineal:
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {3} x & {} + {} & 2y & {} = {} & 2\\ 2x& {} + {} & 2y & {} = {} & 0.\\ final {alineada}\ final {ecuación*}
4. Describir el espacio de solución a la ecuación lineal\(0x = 0\text{.}\)
5. Describir el espacio de solución a la ecuación lineal\(0x = 5\text{.}\)

Como los ejemplos de esta actividad previa proporcionan cierta motivación para el enfoque general que desarrollaremos, deseamos llamar la atención particular sobre dos de los ejemplos.

Observación 1.2.1.

Veamos con más detenimiento dos ejemplos.

• En primer lugar, encontrar el espacio de solución para algunos sistemas es sencillo. Por ejemplo, cada ecuación en el siguiente sistema
  \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {3} x & & & {} = {} & 2\\ & & y & {} = {} & -1.\\\ final {alineada}\ final {ecuación*}
  tiene sólo una desconocida por lo que podemos ver que hay exactamente una solución, que es\((x,y) = (2,-1)\text{.}\) Nosotros llamamos a tal sistema desacoplado.
• Segundo, podemos operar en un sistema lineal transformándolo en un nuevo sistema que tenga el mismo espacio de solución. Por ejemplo, dado el sistema
  \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} -x & {} + {} & 2y & {} - {} - {} & z & {} = {} & -3\\ & & 3y & {} + {} & z & {} = {} & -1.\\ & & & & & & 2z & {} = {} & 4,\\\ end {}\\ end\\ fin {ecuación*}

  podemos multiplicar la tercera ecuación por\(1/2\) para obtener

  \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} -x & {} + {} & 2y & {} - {} - {} & z & {} = {} & -3\\ & & 3y & {} + {} & z & {} = {} & -1.\\ & & & & & z & {} = {} & 2.\\ final {alineada} final\ {ecuación*}

  Cualquier solución a este sistema de ecuaciones debe tener entonces\(z=2\text{.}\)

  Una vez que lo sepamos, podemos sustituir\(z=2\) en la primera y segunda ecuación y simplificar para obtener un nuevo sistema de ecuaciones que tengan las mismas soluciones:

  \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} -x & {} + {} & 2y & {} {} & {} & & {} = {} & -1\\ & & 3y & {} {} & {} = {} & -3.\\ & & & & & & z & {} = {} & 2.\\\ end {alignedat}\ end {}\ end {}\ end {alignedat}\ end {equation*}

  Continuando de esta manera, finalmente obtenemos un sistema desacoplado que muestra que existe exactamente una solución, que es\((x,y,z)=(-1,-1,2)\text{.}\)

  Nuestro sistema original,

  \ begin {equation*}\ begin {alignedat} {4} -x & {} + {} & 2y & {} - {} & z & {} = {} & -3\\ & & 3y & {} + {} & z & {} = {} & -1\\ & & & & & & 2z & {} = {} & 4,\\\ end {}} final\ {ecuación*}

  se llama sistema triangular debido a la forma formada por los coeficientes. Como demuestra este ejemplo, los sistemas triangulares se resuelven fácilmente mediante un proceso llamado sustitución de retorno.

Veamos el proceso de sustitución con un poco más detenimiento. Una aproximación natural al sistema

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {3} x & {} + {} & 2y & {} = {} & 2\\ 2x& {} + {} & 2y & {} = {} & 0.\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

es utilizar la primera ecuación para expresar\(x\) en términos de\(y\text{:}\)

\ comenzar {ecuación*} x = 2-2y\ final {ecuación*}

y luego sustituirlo en la segunda ecuación y simplificar:

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {2} 2x + 2y & {} = & 0\\ 2 (2-2y) + 2y & {} = {} & 0\\ 4-4y + 2y & {} = {} & 0\\ -2y & {} = {} & {} = {} & -4.\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

El proceso de dos pasos para resolver\(x\) y sustituir en la segunda ecuación se puede realizar de manera más eficiente agregando un múltiplo de la primera ecuación a la segunda. Más específicamente, multiplicamos la primera ecuación por -2 y sumamos a la segunda ecuación

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {cr} & -2 (\ text {ecuación 1})\\ + &\ text {ecuación 2}\\ hline\ end {array}\ end {ecuación*}

para obtener

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {cr} & -2 (x+2y=2)\\ + & 2x+2y = 0\\ hline\\\ end {array}\ end {ecuación*}

lo que nos da

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {crcr} & -2x-4y & = & -4\\ + & 2x+2y & = & 0\\ hline & -2y & = & -4.\\\ end {array}\ end {ecuación*}

De esta manera, el sistema

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {3} x & {} + {} & 2y & {} = {} & 2\\ 2x& {} + {} & 2y & {} = {} & 0.\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

se transforma en el sistema

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {3} x & {} + {} & 2y & {} = {} & 2\\ & -2y & {} = {} & -4,\\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

que tiene el mismo espacio de solución. Por supuesto, la elección de multiplicar la primera ecuación por -2 se hizo de manera que los términos que involucran\(x\) en las dos ecuaciones se cancelarán cuando se agreguen. Observe que esta operación transforma nuestro sistema original en uno triangular; ahora podemos realizar la sustitución hacia atrás para llegar a un sistema desacoplado.

A partir de estas observaciones, tomamos nota de tres operaciones que transforman un sistema de ecuaciones lineales en un nuevo sistema de ecuaciones que tienen el mismo espacio de solución. Nuestro objetivo es crear un nuevo sistema cuyo espacio de solución sea el mismo que el del sistema original y pueda describirse fácilmente.

Escalado

Podemos multiplicar una ecuación por un número distinto de cero. Por ejemplo,

\ comenzar {ecuación*} 2x -4y = 6\ final {ecuación*}

tiene el mismo conjunto de soluciones que

\ begin {ecuación*}\ frac12 (2x-4y=6)\ end {ecuación*}

o

\ begin {ecuación*} x-2y=3\ texto {.} \ end {ecuación*}

Interchange

El cambio de ecuaciones no cambiará el conjunto de soluciones. Por ejemplo,

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {3} 2x & {} + {} & 4y & {} = {} & 1\\ x & {} - {} & 3y & {} = {} & 0\\\ end {alineada}\ final {ecuación*}

tiene el mismo conjunto de soluciones que

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {3} x & {} - {} & 3y & {} = {} & 0\\ 2x & {} + {} & 4y & {} = {} & 1.\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

Repuesto

Como vimos anteriormente, podemos multiplicar una ecuación por un número real y agregarla a otra ecuación. A este proceso lo llamamos reemplazo.

Ejemplo 1.2.2

Ilustremos el uso de estas operaciones para encontrar el espacio de solución al sistema de ecuaciones:

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} x & {} + {} & 2y & & & {} = {} & 4\\ 2x & {} + {} & y & {} - {} & 3z & {} = {} & 11\\ -3x & {} - {} - {} & 2y & {} + {} & z & {} = {} & -10\\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

Primero transformaremos el sistema en un sistema triangular por lo que comenzamos eliminando\(x\) de la segunda y tercera ecuaciones.

Comenzamos con una operación de reemplazo donde multiplicamos la primera ecuación por -2 y sumamos el resultado a la segunda ecuación.

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} x & {} + {} & 2y & & & {} = {} & 4\\ & & -3y & {} - {} - {} & 3z & {} = {} & 3\\ -3x & {} - {} & 2y & {} + {} & z & {} = {} &\ -10\ final alineada}\ final {ecuación*}

Escala la segunda ecuación multiplicándola por\(-1/3\text{.}\)

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} x & {} + {} & 2y & & & {} = {} & 4\ & & & y & {} + {} & z & {} = {} & -1\\ -3x & {} - {} - {} & 2y & {} + {} & z & {} = {} & -10\\\ end {dat}\ end {ecuación*}

Otra operación de reemplazo elimina\(x\) de la tercera ecuación. Multiplicamos la primera ecuación por 3 y sumamos a la tercera.

\ begin {equation*}\ begin {alignedat} {4} x & {} + {} & 2y & & & {} = {} & 4\ & & & y & {} + {} & z & {} = {} & -1\\ & 4y & {} + {} & z & {} = {} & 2\\\ end {alignedat}\ end {equationdat *}

Elimina\(y\) de la tercera ecuación multiplicando la segunda ecuación por -4 y sumarla a la tercera.

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} x & {} + {} & 2y & & & {} = {} & 4\ & & & y & {} + {} & z & {} = {} & -1\\ & & & & -3z & {} = {} & 6\\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

Después de escalar la tercera ecuación por\(-1/3\text{,}\) hemos encontrado el valor para\(z\text{.}\)

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} x & {} + {} & 2y & & & {} = {} & 4\ & & & y & {} + {} & z & {} = {} & -1\ & & & & & & & z & {} = {} & -2\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

El sistema ahora tiene una forma triangular por lo que iniciaremos el proceso de sustitución por retroceso multiplicando la tercera ecuación por -1 y sumando a la segunda.

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} x & {} + {} & 2y & & & {} = {} & 4\\ & & & & & & & & & {} = {} & 1\\ & & & & & & & z & {} = {} & -2\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

Finalmente, multiplica la segunda ecuación por -2 y suma a la primera para obtener:

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} x & & & & & & & & {} = {} & 2\ & & & & & & & & & & & {} = {} & 1\\ & & & & & & z & {} = {} & -2\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

Ahora que hemos llegado a un sistema desacoplado, sabemos que hay exactamente una solución a nuestro sistema original de ecuaciones, que es\((x,y,z) = (2,1,-2)\text{.}\)

Uno podría encontrar el mismo resultado aplicando una secuencia diferente de operaciones de reemplazo y escalado. Sin embargo, elegimos esta secuencia particular guiada por nuestro deseo de transformar primero el sistema en uno triangular. Para ello, eliminamos el primer desconocido\(x\) de todas menos una ecuación y luego pasamos a las siguientes incógnitas trabajando de izquierda a derecha. Una vez que tuvimos un sistema triangular, utilizamos la sustitución de espalda moviéndonos a través de las incógnitas de derecha a izquierda.

Llamamos a este proceso eliminación gaussiana y notamos que es nuestra herramienta principal para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Actividad 1.2.2. Eliminación gaussiana.

Utilice la eliminación gaussiana para describir las soluciones a los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

1. ¿El siguiente sistema lineal tiene exactamente una solución, infinitamente muchas soluciones o ninguna solución?
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} x & {} + {} & y & {} + {} & 2z & {} = {} & 1\\ 2x & {} - {} & y & {} - {} & 2z & {} = {} & 2\\ -x & {} + {} & y & {} + {} & z & {} = {} & 0\\\ final {alineada}\ final {ecuación*}
2. ¿El siguiente sistema lineal tiene exactamente una solución, infinitamente muchas soluciones o ninguna solución?
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} -x & {} - {} - {} & 2y & {} + {} & 2z & {} = {} & -1\ 2x & {} + {} & 4y & {} - {} & z & {} = {} & 5\\ x & {} + {} & 2y & & & {} = {} & 3\\\ final {alineada}\ final {ecuación*}
3. ¿El siguiente sistema lineal tiene exactamente una solución, infinitamente muchas soluciones o ninguna solución?
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} -x & {} - {} - {} & 2y & {} + {} & 2z & {} = {} & -1\ 2x & {} + {} & 4y & {} - {} & z & {} = {} & 5\\ x & {} + {} & 2y & & & {} = {} & 2\\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

Matrices aumentadas

Después de realizar varias veces la eliminación gaussiana, probablemente notaste que pasabas la mayor parte del tiempo concentrándote en los coeficientes y simplemente registraste las incógnitas como colocadores. Por conveniencia, introduciremos una descripción taquigráfica de los sistemas lineales.

Al escribir un sistema lineal, siempre escribimos las incógnitas en el mismo orden en cada ecuación. Luego construimos una matriz aumentada simplemente olvidándonos de las incógnitas y registrando los datos numéricos en una matriz rectangular. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones a continuación tiene la siguiente matriz aumentada

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} -x & {} - {} - {} & 2y & {} + {} & 2z & {} = {} & -1\ 2x & {} + {} & 4y & {} - {} & z & {} = {} & 5\\ x & {} + {} & 2y & & & {} = {} & 3\\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr|r} -1 & -2 & 2 & -1\\ 2 & 4 & -1 & 5\\ 1 & 2 & 0 & 3\\\ end {array}\ right]. \ end {ecuación*}

La línea vertical nos recuerda dónde aparecen los signos iguales en las ecuaciones. Las entradas a la izquierda corresponden a coeficientes de las ecuaciones. A veces elegiremos enfocarnos solo en los coeficientes del sistema en el que caso escribimos la matriz de coeficientes como

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr} -1 & -2 & 2\\ 2 & 4 & -1\\ 1 & 2 & 0\\ end {array}\ right]. \ end {ecuación*}

Las tres operaciones que realizamos en sistemas de ecuaciones se traducen naturalmente en operaciones sobre matrices. Por ejemplo, la operación de reemplazo que multiplica la primera ecuación por 2 y la suma a la segunda puede registrarse como

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr|r} -1 & -2 & 2 & -1\\ 2 & 4 & -1 & 5\\ 1 & 2 & 0 & 0 & 3\\ end {array}\ derecha]\ sim\ izquierda [\ begin {array} {rrr|r} -1 & -2 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 3 & 3\ & 1 2 & 0 & 3\\\ end {array}\ derecha]. \ end {ecuación*}

El símbolo\(\sim\) entre las matrices indica que las dos matrices están relacionadas por una secuencia de operaciones de escalado, intercambio y reemplazo. Dado que estas operaciones actúan sobre las filas de las matrices, decimos que las matrices son equivalentes de fila.

Actividad 1.2.3. Matrices aumentadas y espacios de solución.

1. Escribir la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} x & {} + {} & 2y & {} - {} & z & {} = {} & 1\\ 3x & {} + {} & 2y & {} + {} & {} + {} & 2z & {} = {} & 7\\ -x & & & {} + {} & 4z & {} = {} -3\\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

   y realizar la eliminación gaussiana para describir el espacio de solución del sistema de ecuaciones con el mayor detalle posible.

2. Supongamos que tiene un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas\(x\) y\(y\) cuya matriz aumentada es fila equivalente a
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr|r} 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0\\ end {array}\ derecha]. \ end {ecuación*}

   Escribir el sistema de ecuaciones lineales correspondientes a la matriz aumentada. Después describa el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones con el mayor detalle que pueda.

3. Supongamos que tiene un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas\(x\) y\(y\) cuya matriz aumentada es fila equivalente a
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr|r} 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha]. \ end {ecuación*}

   Escribir el sistema de ecuaciones lineales correspondientes a la matriz aumentada. Después describa el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones con el mayor detalle que pueda.

4. Supongamos que la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales tiene la siguiente forma donde\(*\) podría ser cualquier número real.
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrrrr|r} * & * & * & * & * & * & * & * & * & * & * & * & * & * & * & * & * & * & * & *\\ end {array}\ derecha]. \ end {ecuación*}
   1. ¿Cuántas ecuaciones hay en este sistema y cuántas incógnitas?
   2. Con base en nuestra discusión anterior en la Sección 1.1, ¿cree que es posible que este sistema tenga exactamente una solución, infinitamente muchas soluciones o ninguna solución?
   3. Supongamos que esta matriz aumentada es fila equivalente a
      \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrrr|r} 1 & 2 & 0 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ end {array}\ right]. \ end {ecuación*}

      Haga una elección para los nombres de las incógnitas y escriba el sistema correspondiente de ecuaciones lineales. ¿El sistema tiene exactamente una solución, infinitamente muchas soluciones o ninguna solución?

Forma de escalón de fila reducida

Existe una clase especial de matrices cuya forma hace que sea especialmente fácil describir el espacio de solución del sistema lineal correspondiente. Al describir las propiedades de esta clase de matrices, puede ser útil considerar un ejemplo, como la siguiente matriz.

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrrrr} 1 & * & 0 & * & 0 & *\\ 0 & 0 & 0 & 1 & * & 0 & *\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & *\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ end {array}\ derecha]. \ end {ecuación*}

Definición 1.2.3

Decimos que una matriz está en forma de escalón de fila reducida si se satisfacen las siguientes propiedades.

• Cualquier fila en la que todas las entradas sean cero se encuentran en la parte inferior de la matriz.
• Si nos movemos a través de una fila de izquierda a derecha, la primera entrada distinta de cero que encontremos es 1. Llamamos a esta entrada la entrada principal en la fila.
• La entrada principal en una fila está a la derecha de la entrada principal en cualquier fila anterior.
• Una entrada inicial es la única entrada distinta de cero en su columna.

Llamamos a una matriz en forma de escalón de fila reducida una matriz de escalón de fila reducida.

Hemos sido intencionalmente vagos sobre si la matriz que estamos considerando es una matriz aumentada correspondiente a un sistema lineal o una matriz de coeficientes ya que eventualmente consideraremos ambas posibilidades.

Actividad 1.2.4. Identificar matrices de escalón de filas reducidas.

Considere cada una de las siguientes matrices aumentadas. Determine si la matriz está en forma de escalón de fila reducida. Si no lo es, realice una secuencia de operaciones de escalado, intercambio y reemplazo para obtener una matriz equivalente de fila que esté en forma de escalado de fila reducida. Luego use la matriz de escalón de filas reducidas para describir el espacio de solución.

1. \(\displaystyle \left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 0 & 4 & -8 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right].\)
2. \(\displaystyle \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right].\)
3. \(\displaystyle \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right].\)
4. \(\displaystyle \left[ \begin{array}{rrr|r} 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 2 \\ \end{array} \right].\)
5. \(\displaystyle \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right].\)

Si se nos da una matriz, los ejemplos en la actividad anterior indican que hay una secuencia de operaciones de fila que produce una matriz en forma de escalón de fila reducida. Además, las condiciones que definen matrices de escalón de filas reducidas garantizan que esta matriz sea única.

Teorema 1.2.4.

Dada una matriz, hay exactamente una matriz de escalón de fila reducida a la que es equivalente de fila.

Una vez que tenemos esta matriz de escalón de filas reducidas, podemos describir el conjunto de soluciones al sistema lineal correspondiente con relativa facilidad.

Ejemplo 1.2.5. Describir el espacio de solución a partir de una matriz de escalón de fila reducida

1. Considere la matriz de escalón reducido de fila
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 2\\ end {array}\ right]. \ end {ecuación*}

   Su sistema lineal correspondiente puede escribirse como

   \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} x & & & {} + {} & 2z & {} = {} & -1\\ & & y & {} + {} & z & {} = {} & 2.\\ final {alineada}\ final {alineada}\ final {ecuación*}

   Vamos a reescribir las ecuaciones como

   \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {2} x & {} = {} & -1 -2z\\ y & {} = {} & 2-z.\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

   A partir de esta descripción, queda claro que obtenemos una solución para cualquier valor de la variable\(z\text{.}\) Por ejemplo, si\(z=2\text{,}\) entonces\(x = -5\) y\(y=0\) así esa\((x,y,z) = (-5,0,2)\) es una solución. De igual manera, si\(z=0\text{,}\) vemos que también\((x,y,z) = (-1,2,0)\) es una solución.

   Debido a que no hay restricción en el valor de lo\(z\text{,}\) llamamos una variable libre, y notamos que el sistema lineal tiene infinitamente muchas soluciones. Las variables\(x\) y\(y\) se denominan variables básicas ya que se determinan una vez que hacemos una elección de la variable libre.

   Llamaremos a esta descripción del espacio de solución, en la que las variables básicas se escriben en términos de las variables libres, una descripción paramétrica del espacio de solución.

2. Considerar la matriz
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & -3\\ 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 \ end {ecuación*}

   La última ecuación da

   \ begin {ecuación*} 0x +0y+0z = 0\ text {,}\ end {ecuación*}

   lo cual es cierto para cualquier\((x,y,z)\text{.}\) Podemos ignorar con seguridad esta ecuación ya que no proporciona una restricción en la elección de Entonces\((x,y,z)\text{.}\) vemos que hay una solución única\((x,y,z) = (4,-3,1)\text{.}\)

3. Considerar la matriz
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ end {array}\ derecha]. \ end {ecuación*}

   Comenzando con la última ecuación, vemos que

   \ begin {ecuación*} 0x +0y+0z = 0 = 1\ texto {,}\ final {ecuación*}

   lo cual no es cierto para ninguno No\((x,y,z)\text{.}\) hay solución a esta ecuación en particular y por lo tanto ninguna solución al sistema de ecuaciones.

Resumen

Vimos varios conceptos importantes en este capítulo.

• Podemos describir el espacio de solución a un sistema lineal transformándolo en un nuevo sistema lineal a través de una secuencia de operaciones de escalado, intercambio y reemplazo.
• Representamos un sistema de ecuaciones lineales mediante una matriz aumentada. Mediante operaciones de escalado, intercambio y reemplazo, la matriz aumentada equivale a exactamente una matriz de escalado de fila reducida.
• La matriz de escalón de fila reducida nos permite describir fácilmente el espacio de solución a un sistema de ecuaciones lineales.

Ejercicios 1.2.5Ejercicios

1

Para cada uno de los sistemas lineales a continuación, escriba la matriz aumentada asociada y encuentre la matriz de escalón de fila reducida que sea fila equivalente a ella. Identificar las variables básicas y libres y luego describir el espacio de solución del sistema lineal original utilizando una descripción paramétrica, si procede.

1. \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {3} 2x & {} + {} & y & {} = {} & 0\\ x & {} + {} & 2y & {} = {} & 3\\ -2x & {} + {} & 2y & {} = {} & 6\\\ end {alineada}\ final {ecuación*}
2. \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {5} -x_1 & {} + {} & 2x_2 & & & & {} + {} & x_3 & {} = {} & 2\\ 3x_1 & & & & & & & & {} + {} & 2x_3 & {} = {} & -1\\ -x_1 & {} - {} y x_2 & & {} + {} & x_3 & {} = {} & 2\\\ fin { alineada}\ final {ecuación*}
3. \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {5} x_1 & {} + {} & 2x_2 & {} - {} & 5x_3 & {} - {} - {} & x_4 & {} = {} & -3\ -2x_1 & {} - {} & 2x_2 & {} + {} & 6x_3 & {} - {} y 2x_4 & {} = {} & 4\\ x_1 & & & & {} - {} & x_3 & {} + {} & 9x_ 4 & {} = {} & 7\\ & & -x_2 & {} + {} & 2x_3 & {} - {} & x_4 & {} = {} & 4\\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

2

Considere cada matriz a continuación y determine si está en forma de escalón de fila reducida. Si no, indique el motivo y aplique una secuencia de operaciones de fila para encontrar su matriz de escalón de fila reducida. Para cada matriz, indique si el sistema lineal tiene infinitamente muchas soluciones, exactamente una solución, o ninguna solución.

1. \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr|r} 1 & 1 & 0 & 3 & 3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 4\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}
2. \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}
3. \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 3 & 3\\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1\ 0 & 3 & 0 & 3\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}
4. \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr|r} 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 3\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

3

Dé un ejemplo de una matriz de escalón de fila reducida que describe un sistema lineal que tiene las propiedades declaradas. Si no es posible encontrar tal ejemplo, explique por qué no.

1. Escriba una matriz de escalón de fila reducida para un sistema lineal que tenga cinco ecuaciones y tres incógnitas y que tenga exactamente una solución.
2. Escriba una matriz de escalón de fila reducida para un sistema lineal que tenga tres ecuaciones y tres incógnitas y que no tenga solución.
3. Escriba una matriz de escalón de fila reducida para un sistema lineal que tenga tres ecuaciones y cinco incógnitas y que tenga infinitamente muchas soluciones.
4. Escriba una matriz de escalón de fila reducida para un sistema lineal que tenga tres ecuaciones y cuatro incógnitas y que tenga exactamente una solución.
5. Escriba una matriz de escalón de fila reducida para un sistema lineal que tenga cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas y que tenga exactamente una solución.

4

Para cada una de las preguntas a continuación, proporcione una justificación para su respuesta.

1. ¿Qué nos dice la presencia de una fila cuyas entradas son todas cero en una matriz aumentada sobre el espacio de solución del sistema lineal?
2. ¿Cómo se puede determinar si un sistema lineal no tiene soluciones directamente desde su matriz de escalón de filas reducidas?
3. ¿Cómo se puede determinar si un sistema lineal tiene infinitamente muchas soluciones directamente desde su matriz de escalón de filas reducidas?
4. ¿Qué se puede decir del espacio de solución de un sistema lineal si hay más incógnitas que ecuaciones y al menos existe una solución?

5

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y explica tu razonamiento.

1. Si cada variable es básica, entonces el sistema lineal tiene exactamente una solución.
2. Si dos matrices aumentadas son equivalentes de fila entre sí, entonces describen dos sistemas lineales que tienen los mismos espacios de solución.
3. La presencia de una variable libre indica que no hay soluciones al sistema lineal.
4. Si un sistema lineal tiene exactamente una solución, entonces debe tener el mismo número de ecuaciones que incógnitas.
5. Si un sistema lineal tiene el mismo número de ecuaciones que incógnitas, entonces tiene exactamente una solución.