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2.1: Vectores y Combinaciones Lineales

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Es un hecho notable que el álgebra, que trata de ecuaciones y sus soluciones, y la geometría están íntimamente conectados. Por ejemplo, el conjunto de soluciones de una ecuación lineal en dos incógnitas, tal como se\(2x + y = 1\text{,}\) puede representar gráficamente como una línea recta. El objetivo de esta sección es profundizar esta conexión introduciendo vectores, que nos ayudarán a aplicar la intuición geométrica a nuestro pensamiento sobre los sistemas lineales.

    Vectores

    Un vector es simplemente pensado como una matriz con una sola columna. Por ejemplo,

    \ begin {ecuación*}\ mathbf v =\ left [\ begin {array} {r} 2\\ 1\\ end {array}\ right],\ mathbf w =\ left [\ begin {array} {r} -3\\ 1\ 0\\ 2\\ end {array}\\ derecha]\ end {array}\ end {ecuación*}

    son ambos vectores. Dado que el vector\(\mathbf v\) tiene dos entradas, decimos que es un vector bidimensional; de la misma manera, el vector\(\mathbf w\) es un vector de cuatro dimensiones. Denotamos el conjunto de todos los vectores\(m\) -dimensionales por\(\mathbb R^m\text{.}\) Consecuentemente, si\(\mathbf u\) es un vector tridimensional, decimos que\(\mathbf u\) está en\(\mathbb R^3\text{.}\)

    Si bien puede ser difícil visualizar un vector de cuatro dimensiones, podemos dibujar una imagen simple describiendo el vector bidimensional\(\mathbf v\text{.}\)

    Pensamos en describir una caminata que tomamos en el plano donde movemos dos unidades horizontalmente y una unidad verticalmente.\(\mathbf v\) Aunque nos permitimos comenzar a caminar desde cualquier punto del avión, con mayor frecuencia comenzaremos por el origen, en cuyo caso llegaremos al punto\((2,1)\text{,}\) como se muestra en la figura.

    Hay dos operaciones algebraicas simples que podemos realizar sobre vectores.

    Multiplicación escalar

    Multiplicamos un vector\(\mathbf v\) por un número\(a\) real multiplicando cada uno de los componentes de\(\mathbf v\) por\(a\text{.}\) Por ejemplo,

    \ begin {ecuación*} -3\ left [\ begin {array} {r} 2\\ -4\\ 1\\\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {r} -6\\ 12\\ -3\\ end {array}\\ right]. \ end {ecuación*}

    El número real\(a\) se llama escalar.

    Adición de vectores

    Agregamos dos vectores de la misma dimensión agregando sus componentes. Por ejemplo,

    \ begin {ecuation*}\ left [\ begin {array} {r} 2\\ -4\\ 3\\ end {array}\ right] +\ left [\ begin {array} {r} -5\\ 6\\ -3\\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {r} -3\\ 2\ 0\\ end {array}\ right]. \ end {ecuación*}

    Vista previa Actividad 2.1.1. Multiplicación Escalar y Adición de Vector.

    Supongamos que

    \ begin {ecuación*}\ mathbf v =\ left [\ begin {array} {r} 3\\ 1\ end {array}\ right],\ mathbf w =\ left [\ begin {array} {r} -1\\ 2\ end {array}\ right]. \ end {ecuación*}
    1. Buscar expresiones para los vectores
      \ begin {ecuación*}\ begin {array} {cccc}\ mathbf v, & 2\ mathbf v, & -\ mathbf v, & -2\ mathbf v,\\\ mathbf w, & 2\ mathbf w, & -\ mathbf w, & -2\ mathbf w\ text {.}\\\ end {array}\ end {ecuación*}

      y bosquéelos a continuación.

  • ¿Qué efecto geométrico tiene la multiplicación escalar en un vector? También, describa el efecto que tiene multiplicar por un escalar negativo.
  • Esboza los vectores\(\mathbf v, \mathbf w, \mathbf v + \mathbf w\) a continuación.
  • Considera vectores que tienen la forma\(\mathbf v + a\mathbf w\) donde\(a\) es cualquier escalar. Esboza algunos de estos vectores cuando, digamos,\(a = -2, -1, 0, 1, \) y\(2\text{.}\) Da una descripción geométrica de este conjunto de vectores.
  • Si\(a\) y\(b\) son dos escalares, entonces el vector
    \ begin {ecuación*} a\ mathbf v + b\ mathbf w\ end {ecuación*}

    se llama una combinación lineal de los vectores\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{.}\) Encuentra el vector que es la combinación lineal cuando\(a = -2\) y\(b = 1\text{.}\)

  • ¿Se\(\left[\begin{array}{r} -31 \\ 37 \end{array}\right]\) puede representar el vector como una combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{?}\)

    • La actividad de vista previa demuestra cómo podemos interpretar la multiplicación escalar y la adición de vectores geométricamente.

    Primero, vemos que la multiplicación escalar tiene el efecto de estirar o comprimir un vector. Multiplicar por un escalar negativo cambia la dirección del vector. En cualquier caso, vemos que multiplicando escalar el vector\(\mathbf v\) produce un nuevo vector en la línea definida por\(\mathbf v\text{,}\) como se muestra en la Figura 2.1.1.

    Figura 2.1.1. Multiplos escalares del vector\(\mathbf v\text{.}\)

    Para entender la suma\(\mathbf v + \mathbf w\text{,}\) que imaginamos caminando desde el origen con los cambios horizontales y verticales apropiados dados por\(\mathbf v\text{.}\) A partir de ahí, continuamos nuestro paseo utilizando los cambios horizontales y verticales prescritos por los cuales\(\mathbf w\text{,}\) luego llegamos a la suma\(\mathbf v + \mathbf w\text{.}\) Esto se ilustra en la izquierda de la Figura 2.1.2 donde la cola de\(\mathbf w\) se coloca en la punta de\(\mathbf v\text{.}\)

    Figura 2.1.2. La adición de vectores como un simple paseo en el plano se ilustra a la izquierda. La suma vectorial representada como la diagonal de un paralelogramo está a la derecha.
    Alternativamente, podemos construir el paralelogramo con\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) como dos lados. La suma es entonces la diagonal del paralelogramo, como se ilustra a la derecha de la Figura 2.1.2.

    Ahora hemos visto que el conjunto de vectores que tienen la forma\(a\mathbf v\) es una línea. Para formar el conjunto de vectores\(a\mathbf v+\mathbf w\text{,}\) podemos comenzar con el vector\(\mathbf w\) y agregar múltiplos de\(\mathbf v\text{.}\) Geométricamente, esto significa que comenzamos desde la punta de\(\mathbf w\) y nos movemos en una dirección paralela a\(\mathbf v\text{.}\) El efecto es traducir la línea\(a\mathbf v\) por el vector\(\mathbf w\text{,}\) como se muestra en Figura 2.1.3.

    Figura 2.1.3. El conjunto de vectores\(a\mathbf v + \mathbf w\) forman una línea.

    Por momentos, nos será útil pensar en vectores y puntos indistintamente. Es decir, tal vez deseemos pensar en el vector\(\left[\begin{array}{r} 2 \\ 1 \end{array}\right]\) como describiendo el punto\((2,1)\) y viceversa. Cuando decimos que los vectores que tienen la forma\(a\mathbf v + \mathbf w\) forman una línea, realmente queremos decir que las puntas de los vectores se encuentran todos en la línea que pasa\(\mathbf w\) y son paralelas a\(\mathbf v\text{.}\)

    Observación 2.1.4.

    A pesar de que estas operaciones vectoriales son nuevas, es sencillo verificar que algunas propiedades familiares se mantengan.

    Conmutatividad

    \(\mathbf v + \mathbf w = \mathbf w + \mathbf v\text{.}\)

    Distributividad

    \(a(\mathbf v + \mathbf w) = a\mathbf v + a\mathbf w\text{.}\)

    Sage puede realizar multiplicación escalar y adición de vectores. Definimos un vector usando el comando vector; luego * y + denotan multiplicación escalar y adición de vectores.

    Combinaciones lineales

    Las combinaciones lineales, que encontramos en la actividad de vista previa, proporcionan el vínculo entre vectores y sistemas lineales. En particular, nos ayudarán a aplicar la intuición geométrica a problemas que involucran sistemas lineales.

    Definición 2.1.5

    La combinación lineal de los vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) con escalares\(c_1,c_2,\ldots,c_n\) es el vector

    \ begin {ecuación*} c_1\ mathbf v_1 + c_2\ mathbf v_2 +\ ldots + c_n\ mathbf v_n\ text {.} \ end {ecuación*}

    Los escalares\(c_1,c_2,\ldots,c_n\) se llaman los pesos de la combinación lineal.

    Actividad 2.1.2.

    En esta actividad, veremos combinaciones lineales de un par de vectores,

    \ begin {ecuación*}\ mathbf v =\ left [\ begin {array} {r} 2\\ 1\ end {array}\ right],\ mathbf w =\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 2\ end {array}\ right]\ end {equation*}

    con pesos\(a\) y\(b\text{.}\)

    El siguiente diagrama se puede utilizar para construir combinaciones lineales cuyos pesos\(a\) y\(b\) pueden variarse usando los deslizadores en la parte superior. Los vectores\({\mathbf v}\) y\({\mathbf w}\) se dibujan en gris mientras que la combinación lineal $$ a {\ mathbf v} + b {\ mathbf w} $$ está en rojo.
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    1. El peso\(b\) se establece inicialmente en 0. Explica lo que sucede a medida que varías\(a\) con\(b=0\text{?}\) ¿Cómo se relaciona esto con la multiplicación escalar?
    2. Cuál es la combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) cuándo\(a = 1\) y\(b=-2\text{?}\) Puede encontrar este resultado usando el diagrama, pero también debe verificarlo calculando la combinación lineal.
    3. Describir los vectores que surgen cuando el peso\(b\) se establece en 1 y\(a\) se varía. ¿Cómo se relaciona esto con nuestras investigaciones en la actividad previa?
    4. ¿Se\(\left[\begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \right]\) puede expresar el vector como una combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{?}\) Si es así, qué son los pesos\(a\) y\(b\text{?}\)
    5. ¿Se\(\left[\begin{array}{r} 3 \\ 0 \end{array} \right]\) puede expresar el vector como una combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{?}\) Si es así, qué son los pesos\(a\) y\(b\text{?}\)
    6. Verificar el resultado de la parte anterior encontrando algebraicamente los pesos\(a\) y\(b\) que forman la combinación lineal\(\left[\begin{array}{r} 3 \\ 0 \end{array} \right]\text{.}\)
    7. ¿Se\(\left[\begin{array}{r} 1.3 \\ -1.7 \end{array} \right]\) puede expresar el vector como una combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{?}\) ¿Qué pasa con el vector?\(\left[\begin{array}{r} 15.2 \\ 7.1 \end{array} \right]\text{?}\)
    8. ¿Hay vectores bidimensionales que no se puedan expresar como combinaciones lineales de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{?}\)

    Esta actividad ilustra cómo se construyen geométricamente las combinaciones lineales: la combinación lineal\(a\mathbf v + b\mathbf w\) se encuentra caminando a lo largo de\(\mathbf v\) un total de\(a\) veces seguido de caminar a lo largo de\(\mathbf w\) un total de\(b\) veces. Cuando uno de los pesos se mantiene constante mientras que el otro varía, el vector se mueve a lo largo de una línea.

    Ejemplo 2.1.6

    La actividad anterior también muestra que las preguntas sobre las combinaciones lineales conducen naturalmente a sistemas lineales. Preguntemos cómo podemos describir el vector\(\mathbf b=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 4 \end{array} \right]\) como una combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{.}\) Necesitamos encontrar pesos\(a\) y\(b\) tal que

    \ begin {ecuation*}\ begin {aligned} a\ left [\ begin {array} {r} {r} 2\\ 1\ end {array}\ right] + b\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 2\ end {array}\ right] & =\ left [\ begin {array} {r} -1\\ 4\ end {array}\ derecha]\\\ izquierda [\ begin {array} {r} 2a\\ a\ end {array}\ right] +\ left [\ begin {array} {r} b\\ 2b\ end {array}\ right] & =\ left [\ begin {array} {r} -1\\ 4\ end {array}\ derecha]\\\\ izquierda [\ begin {array} {r} 2a+b\\ a+2b\ end {array}\ right] & =\ left [\ begin {array} {r} -1\\ 4\ end {array}\ right]\\ end {array}\\ end {alineada}\ end {ecuación*}

    Igualando los componentes de los vectores en cada lado de la ecuación, llegamos al sistema lineal

    \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {3} 2a & {} + {} & b & {} = {} & -1\\ a & {} + {} & 2b & {} = {} & 4\\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

    Esto significa que\(\mathbf b\) es una combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) si este sistema lineal es consistente.

    Para resolver este sistema lineal, construimos su correspondiente matriz aumentada y encontramos su forma de escalón de fila reducida.

    \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr|r} 2 & 1 & -1\\ 1 & 2 & 4\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rr|r} 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 3\ end {array}\ right]\ text {,}\ end {ecuación*}

    que nos dice los pesos\(a=-2\) y es\(b=3\text{;}\) decir,

    \ begin {ecuación*} -2\ mathbf v + 3\ mathbf w =\ mathbf b\ texto {.} \ end {ecuación*}

    De hecho, sabemos aún más porque la matriz de escalón de fila reducida nos dice que estos son los únicos pesos posibles. Por lo tanto, se\(\mathbf b\) puede expresar como una combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) exactamente de una manera.

    Este ejemplo demuestra la conexión entre combinaciones lineales y sistemas lineales. Preguntar si un vector\(\mathbf b\) es una combinación lineal de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) es lo mismo que preguntar si un sistema lineal asociado es consistente.

    De hecho, podemos describir fácilmente el sistema lineal que obtenemos en términos de los vectores\(\mathbf v\text{,}\)\(\mathbf w\text{,}\) y\(\mathbf b\text{.}\) Observe que la matriz aumentada que encontramos fue\(\left[ \begin{array}{rr|r} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 4 \end{array} \right].\) Las dos primeras columnas de esta matriz son\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) y la columna más a la derecha es\(\mathbf b\text{.}\) Como taquigrafía, lo haremos escribe esta matriz aumentada reemplazando las columnas con su representación vectorial:

    \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr|r}\ mathbf v &\ mathbf w &\ mathbf b\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

    Este hecho es generalmente cierto por lo que lo registramos en la siguiente proposición.

    Proposición 2.1.7.

    El vector\(\mathbf b\) es una combinación lineal de los vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) si y solo si el sistema lineal correspondiente a la matriz aumentada

    \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr|r}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_n &\ mathbf b\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

    es consistente. Una solución a este sistema lineal da pesos\(c_1,c_2,\ldots,c_n\) tales que

    \ begin {ecuación*} c_1\ mathbf v_1 + c_2\ mathbf v_2 +\ ldots + c_n\ mathbf v_n =\ mathbf b\ text {.} \ end {ecuación*}

    La siguiente actividad pone en práctica esta proposición.

    Actividad 2.1.3. Combinaciones lineales y sistemas lineales.

    1. Dados los vectores
      \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ left [\ begin {array} {r} 4\\ 0\ 2\\ 1\ end {array}\ right],\ mathbf v_2 =\ left [\ begin {array} {r} 1\\ -3\ 3\\ 1\ end {array}\ right],\ mathbf v_3 =\ left [\ begin {array} {r} -2\\ 1\\ 1\\ 0\ end {array}\ derecha],\ mathbf b =\ left [\ begin {array} {r} 0\\ 1\\ 2\ -2\ end {array}\ derecha]\ text {,}\ end {ecuación*}

      preguntamos si se\(\mathbf b\) puede expresar como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\text{.}\) Reformular esta pregunta escribiendo un sistema lineal para los pesos\(c_1\text{,}\)\(c_2\text{,}\) y\(c_3\) y usar la celda Sage a continuación para responder a esta pregunta.

    2. Considera el siguiente sistema lineal.
      \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} 3x_1 & {} + {} & 2x_2 & {} - {} - {} x_3 & {} = {} & 4\\ x_1 & & & & {} + {} 2x_3 & {} = {} & 0\ -x_1 & {} - {} y x_2 & {} + {} 3x_3 & {} = {} & 1\\\ final {alineada}\ final {ecuación*}

      Identificar vectores\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\)\(\mathbf v_3\text{,}\)\(\mathbf b\) y reformular la pregunta “¿Es consistente este sistema lineal?” preguntando “Se\(\mathbf b\) puede expresar como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\text{?}\)”

    3. Considerar los vectores
      \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ left [\ begin {array} {r} 0\\ -2\\ 1\\\ end {array}\ right],\ mathbf v_2 =\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 1\\ -1\\ end {array}\ derecha],\ mathbf v_3 =\ left [\ begin {array} r} 2\\ 0\\ -1\\\ end {array}\ derecha],\ mathbf b =\ left [\ begin {array} {r} -1\\ 3\ -1\\ final {array}\ derecha]\ texto {.} \ end {ecuación*}

      ¿Se\(\mathbf b\) puede expresar como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\text{?}\) Si es así,\(\mathbf b\) se puede escribir como una combinación lineal de estos vectores en más de una manera?

    4. Considerando los vectores\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\) de la parte anterior, ¿podemos escribir cada vector tridimensional\(\mathbf b\) como una combinación lineal de estos vectores? Explica cómo las posiciones de pivote de la matriz\(\left[\begin{array}{rrr} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \mathbf v_3 \end{array} \right]\) ayudan a responder a esta pregunta.
    5. Ahora considera los vectores
      \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ left [\ begin {array} {r} 0\\ -2\\ 1\\\ end {array}\ right],\ mathbf v_2 =\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 1\\ -1\\ end {array}\ derecha],\ mathbf v_3 =\ left [\ begin {array} r} 1\\ -1\ -2\\\ end {array}\ derecha],\ mathbf b =\ left [\ begin {array} {r} 0\\ 8\ -4\\ end {array}\\ derecha]\ texto {.} \ end {ecuación*}

      ¿Se\(\mathbf b\) puede expresar como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\text{?}\) Si es así,\(\mathbf b\) se puede escribir como una combinación lineal de estos vectores en más de una manera?

    6. Considerando los vectores\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\) de la parte anterior, ¿podemos escribir cada vector tridimensional\(\mathbf b\) como una combinación lineal de estos vectores? Explica cómo las posiciones de pivote de la matriz\(\left[\begin{array}{rrr} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \mathbf v_3 \end{array} \right]\) ayudan a responder a esta pregunta.

    Resumen

    En esta sección se han introducido vectores, combinaciones lineales y su conexión a sistemas lineales.

    • Hay dos operaciones que podemos realizar con vectores: multiplicación escalar y adición de vectores. Ambas operaciones tienen un significado geométrico.
    • Dado un conjunto de vectores y un conjunto de escalares que llamamos pesos, podemos crear una combinación lineal usando multiplicación escalar y adición de vectores.
    • Una solución al sistema lineal cuya matriz aumentada es
      \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr|r}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_n &\ mathbf b\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

      es un conjunto de pesos que expresan\(\mathbf b\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\text{.}\)

    Ejercicios 2.1.4Ejercicios

    1

    Considerar los vectores

    \ begin {ecuación*}\ mathbf v =\ left [\ begin {array} {r} 1\\ -1\ end {array}\ right],\ mathbf w =\ left [\ begin {array} {r} 3\\ 1\ end {array}\ right]\ end {equation*}
    1. Esboza estos vectores a continuación.
    2. Calcule los vectores\(-3\mathbf v\text{,}\)\(2\mathbf w\text{,}\)\(\mathbf v + \mathbf w\text{,}\)\(\mathbf v - \mathbf w\) y agréguelos en el boceto anterior.
    3. Esbozar a continuación el conjunto de vectores que tienen la forma\(2\mathbf v + t\mathbf w\) donde\(t\) es cualquier escalar.
    4. Esbozar debajo de la línea\(y=3x - 2\text{.}\) Luego identificar dos vectores\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) para que esta línea sea descrita por ¿\(\mathbf v + t\mathbf w\text{.}\)Hay otras opciones para los vectores\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{?}\)
    2

    A continuación se muestran dos vectores\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\)

    1. Expresar los puntos etiquetados como combinaciones lineales de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{.}\)
    2. Cree el boceto de la línea descrita paramétricamente como\(-2\mathbf v + t\mathbf w\text{.}\)
    3

    Considerar los vectores

    \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ left [\ begin {array} {r} 2\\ 1\ end {array}\ derecha],\ mathbf v_2 =\ left [\ begin {array} {r} -1\\ 1\ end {array}\ derecha],\ mathbf v_3 =\ left [\ begin {array} {r} -2\ 0\ end {array}\ derecha]\ final {ecuación*}
    1. Encuentre la combinación lineal con pesos\(c_1 = 2\text{,}\)\(c_2=-3\text{,}\) y\(c_3=1\text{.}\)
    2. ¿Se puede escribir el vector\({\mathbf 0} = \left[\begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array}\right]\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\text{?}\) Si es así, describir todas las formas en que puede hacerlo?
    3. ¿Puedes escribir el vector\({\mathbf 0} = \left[\begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array}\right]\) como una combinación lineal usando solo los dos primeros vectores?\(\mathbf v_1\)\(\mathbf v_2\text{?}\) Si es así, describe todas las formas en que puedes hacerlo.
    4. ¿Se puede escribir\(\mathbf v_3\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{?}\) Si es así, de cuántas maneras?
    4

    La información nutricional sobre un cereal para el desayuno está impresa en la caja. Por ejemplo, una porción de Frosted Flakes tiene 111 calorías, 140 miligramos de sodio y 1.2 gramos de proteína. Podemos representar esto como un vector

    \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {r} 111\\ 140\\ 1.2\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

    Una porción de Puffs de Cacao tiene 120 calorías, 105 miligramos de sodio y 1.0 gramos de proteína.

    1. Escriba el vector que describa el contenido nutricional de los Puffs de Cacao.
    2. Supongamos que come\(a\) porciones de Copos Helados y\(b\) porciones de Puffs de Cacao. Usa el lenguaje de vectores y combinaciones lineales para expresar la cantidad total de calorías, sodio y proteínas que has consumido.
    3. Cuántas porciones de cada cereal has comido si has consumido 342 calorías, 385 miligramos de sodio y 3.4 gramos de proteína.
    4. Supongamos que su hermana consumió 250 calorías, 200 miligramos de sodio y 4 gramos de proteína. ¿Qué puedes concluir sobre su desayuno?
    5

    Considerar los vectores

    \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ left [\ begin {array} {r} 2\\ -1\ -2\ end {array}\ right],\ mathbf v_2 =\ left [\ begin {array} {r} 0\\ 3\ 1\ end {array}\ right],\ mathbf v_3 =\ left [\ begin {array} {r} 4\\ 4\\ -2\ end {array}\ right]. \ end {ecuación*}
    1. ¿Puedes expresar el vector\(\mathbf b=\left[\begin{array}{r} 10 \\ 1 \\ -8 \end{array}\right]\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\text{?}\) Si es así, describir todas las formas en que puedes hacerlo?
    2. ¿Puedes expresar el vector\(\mathbf b=\left[\begin{array}{r} 3 \\ 7 \\ 1 \end{array}\right]\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\text{?}\) Si es así, describir todas las formas en que puedes hacerlo?
    3. \(\mathbf v_3\)Demostrar que se puede escribir como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)
    4. Explicar por qué cualquier combinación lineal de\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\text{,}\)
      \ begin {ecuación*} a\ mathbf v_1 + b\ mathbf v_2 + c\ mathbf v_3,\ end {ecuación*}

      se puede reescribir como una combinación lineal de solo\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)

    6

    Considerar los vectores

    \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1=\ left [\ begin {array} {r} 3\\ -1\\ 1\ end {array}\ right],\ mathbf v_2=\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 1\\ 2\ end {array}\ right]. \ end {ecuación*}

    Para qué valor o valores de\(k\text{,}\) si los hay, se\(\left[\begin{array}{r} k \\ -2 \\ 5 \end{array}\right]\) puede escribir el vector como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{?}\)

    7

    Proporcione una justificación para su respuesta a las siguientes declaraciones o preguntas.

    1. Verdadero de falso: Dados dos vectores\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{,}\) el vector\(2\mathbf v\) es una combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{.}\)
    2. Verdadero o falso: Supongamos que\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) es una colección de vectores\(m\) -dimensionales y que la matriz\(\left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \ldots & \mathbf v_n \end{array}\right]\) tiene una posición de pivote en cada fila. Si\(\mathbf b\) es cualquier vector\(m\) -dimensional, entonces se\(\mathbf b\) puede escribir como una combinación lineal de\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\text{.}\)
    3. Verdadero o falso: Supongamos que\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) es una colección de vectores\(m\) -dimensionales y que la matriz\(\left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \ldots & \mathbf v_n \end{array}\right]\) tiene una posición de pivote en cada fila y cada columna. Si\(\mathbf b\) es algún vector\(m\) -dimensional, entonces se\(\mathbf b\) puede escribir como una combinación lineal\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) de exactamente una manera.
    4. Verdadero o falso: Es posible encontrar dos vectores tridimensionales\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) tal que cada vector tridimensional pueda escribirse como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)
    8

    Un tema que luego se desarrollará se refiere al uso de sistemas de coordenadas. Podemos identificar el punto\((x,y)\) con la punta del vector\(\left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right]\text{,}\) dibujado que emana del origen. Entonces podemos pensar en el sistema de coordenadas cartesianas habitual en términos de combinaciones lineales de los vectores

    \ begin {ecuación*}\ mathbf e_1 =\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 0\ end {array}\ right],\ mathbf e_2 =\ left [\ begin {array} {r} 0\\ 1\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
    Figura 2.1.8. El sistema de coordenadas cartesianas habitual, definido por los vectores\(\mathbf e_1\) y\(\mathbf e_2\text{,}\) se muestra a la izquierda junto con la representación del punto\((2,-3)\text{.}\) La derecha muestra un sistema de coordenadas no estándar definido por vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)

    El punto\((2,-3)\) se identifica con el vector

    \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {r} 2\\ -3\ end {array}\ right] = 2\ mathbf e_1 - 3\ mathbf e_2\ text {.} \ end {ecuación*}

    Si tenemos vectores

    \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ left [\ begin {array} {r} 2\\ 1\ end {array}\ derecha],\ mathbf v_2 =\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 2\ end {array}\ right]\ text {,}\ end {ecuación*}

    podemos definir un nuevo sistema de coordenadas, tal que un punto\(\{x,y\}\) corresponderá al vector

    \ begin {ecuación*} x\ mathbf v_1 + y\ mathbf v_2\ texto {.} \ end {ecuación*}

    Por ejemplo, el punto\(\{2,-3\}\) se muestra en el lado derecho de la Figura 2.1.8

    1. Escribir el punto\(\{2,-3\}\) en coordenadas estándar; es decir, encontrar\(x\) y\(y\) tal que
      \ begin {ecuación*} (x, y) =\ {2, -3\}\ texto {.} \ end {ecuación*}
    2. Escribe el punto\((2,-3)\) en el nuevo sistema de coordenadas; es decir, encuentra\(a\) y\(b\) tal que
      \ begin {ecuación*}\ {a, b\} = (2, -3)\ texto {.} \ end {ecuación*}
    3. Convertir un punto general\(\{a,b\}\text{,}\) expresado en el nuevo sistema de coordenadas, en coordenadas cartesianas estándar\((x,y)\text{.}\)
    4. Cuál es la estrategia general para convertir un punto de coordenadas cartesianas estándar\((x,y)\) a las nuevas coordenadas\(\{a,b\}\text{?}\) En realidad implementar esta estrategia en general puede requerir un poco de trabajo así que solo describa la estrategia. Estudiaremos esto con más detalle más adelante.

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