2.2: Multiplicación matricial y combinaciones lineales

La sección anterior introdujo vectores y combinaciones lineales y demostró cómo proporcionan un medio de pensar geométricamente sobre los sistemas lineales. En particular, vimos que el vector\(\mathbf b\) es una combinación lineal de los vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) si el sistema lineal correspondiente a la matriz aumentada

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr|r}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_n &\ mathbf b\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

es consistente.

Nuestro objetivo en esta sección es introducir la multiplicación matricial, otra operación algebraica que conecta sistemas lineales y combinaciones lineales.

Matrices

Primero pensamos en una matriz como una matriz rectangular de números. Cuando el número de filas es\(m\) y columnas es\(n\text{,}\) decimos que las dimensiones de la matriz son Por\(m\times n\text{.}\) ejemplo, la matriz de abajo es una\(3\times4\) matriz:

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr} 0 & 4 & -3 & 1\\ 3 & -1 & 2 & 0\\ 2 & 0 & -1 & 1\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

También podemos pensar en las columnas de una matriz como una colección de vectores. Por ejemplo, la matriz anterior puede representarse como

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ mathbf v_3 &\ mathbf v_4\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

donde

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1=\ left [\ begin {array} {r} 0\\ 3\\ 2\\ end {array}\ right],\ mathbf v_2=\ left [\ begin {array} {r} 4\\ -1\ 0\\ end {array}\\ right],\ mathbf v_3=\ left [\ begin {array} {r} -3\\ 2\ -1\\\ end {array}\ derecha],\ mathbf v_4=\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 0\\ 1\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

De esta manera, vemos que nuestra\(3\times 4\) matriz es la misma que una colección de 4 vectores en\(\mathbb R^3\text{.}\)

Esto significa que podemos definir operaciones de multiplicación escalar y adición de matriz usando las operaciones vectoriales correspondientes.

\ begin {ecuation*}\ begin {aligned} a\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_n\ end {array}\ right] {} = {} &\ left [\ begin {array} {rrrr} a\ mathbf v_1 & a\ mathbf v_2 &\ ldots & a\ mathbf v_n\ end {array}\ derecha]\\\ izquierda [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1 & amp;\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_n\ end {array}\ derecha] {} + {} &\ izquierda [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf w_1 &\ mathbf w_2 &\ ldots &\ mathbf w_n\ end {array}\ derecha]\\ {} = {} &\ izquierda [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1+\ mathbf w_1 &\ mathbf v_2+\ mathbf w_2 &\ ldots &\ mathbf v_n+\ mathbf w_n\ end {array}\ derecha].\\\ end {alineado}\ end {equation*}

Vista previa Actividad 2.2.1. Operaciones matriciales.

1. Compute el múltiplo escalar
   \ begin {ecuación*} -3\ left [\ begin {array} {rrr} 3 & 1 & 0\\ -4 & 3 & -1\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
2. Supongamos que\(A\) y\(B\) son dos matrices. Qué necesitamos saber sobre sus dimensiones antes de que podamos formar la suma\(A+B\text{?}\)
3. Encuentra la suma
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr} 0 & -3\\ 1 & -2\\ 3 & 4\\\ end {array}\ right] +\ left [\ begin {array} {rrr} 4 & -1\\ -2 & 2\\ 1 & 1\\\ end {array}\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
4. La matriz a la\(I_n\text{,}\) que llamamos matriz de identidad es la\(n\times n\) matriz cuyas entradas son cero excepto las entradas diagonales, que son 1. Por ejemplo,
   \ begin {ecuación*} I_3 =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Si podemos formar la suma\(A+I_n\text{,}\) lo que debe ser cierto sobre la matriz\(A\text{?}\)

5. Encuentra la matriz\(A - 2I_3\) donde
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 2 & -2\\ 2 & -3 & 3\\ -2 & 3 & 3 & 4\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

Como muestra esta actividad de vista previa, ambas operaciones son relativamente sencillas. Sin embargo, se requiere cierto cuidado al agregar matrices. Dado que necesitamos el mismo número de vectores para sumar y dado que los vectores deben ser de la misma dimensión, dos matrices deben tener las mismas dimensiones también si queremos formar su suma.

La matriz de identidad jugará un papel importante en diversos puntos de nuestras exploraciones. Es importante señalar que es una matriz cuadrada, es decir, tiene igual número de filas y columnas, por lo que cualquier matriz que se le agregue debe ser cuadrada también. Aunque lo escribimos como\(I_n\) en la actividad, a menudo solo escribiremos\(I\) cuando las dimensiones sean claras.

Multiplicación matriz-vector y combinaciones lineales

Una operación más importante será la multiplicación matricial ya que nos permite expresar sistemas lineales de forma compacta. Por ahora, trabajaremos con el producto de una matriz y un vector, que ilustramos con un ejemplo.

Ejemplo 2.2.1

Supongamos que tenemos la matriz\(A\) y el vector\(\mathbf x\) como se indica a continuación.

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} -2 & 3\\ 0 & 2\\ 3 & 1\\\ end {array}\ right],\ mathbf x =\ left [\ begin {array} {r} 2\\ 3\\ end {array}\\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Su producto se definirá como la combinación lineal de las columnas de\(A\) usar los componentes de\(\mathbf x\) como pesos. Esto significa que

\ begin {ecuation*}\ begin {aligned} A\ mathbf x =\ left [\ begin {array} {rr} -2 & 3\\ 0 & 2\\ 3 & 1\\\ end {array}\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {r} 2\\ 3\\ end {array}\ right] {} = {} & 2\ left [\ begin {array} {} -2\\ 0\\ 3\\ final {array}\ derecha] + 3\ izquierda [\ begin {array} {r} 3\\ 2\\ 1\\ end {array}\ derecha]\\\\ {} = {} &\ izquierda [\ begin {array} {r} -4\\ 0\\ 6\\ final {array}\ derecha] +\ left [\ begin {array} {r} 9\\ 6\ 3\\ end {array}\\ derecha]\\\\ {} = {} &\ izquierda [\ begin {array} {r} 5\ 6\\ 9\\\ end {array}\ right].\\ end {aligned}\ end {equation*}

Tomemos nota de las dimensiones de la matriz y los vectores. Los dos componentes del vector\(\mathbf x\) son pesos utilizados para formar una combinación lineal de las columnas de\(A\text{.}\) Since\(\mathbf x\) tiene dos componentes,\(A\) debe tener dos columnas. En otras palabras, el número de columnas de\(A\) debe ser igual a la dimensión del vector\(\mathbf x\text{.}\)

De la misma manera, las columnas de\(A\) son tridimensionales por lo que cualquier combinación lineal de ellas también es tridimensional. Por lo tanto,\(A\mathbf x\) será tridimensional.

Entonces vemos que si\(A\) es una\(3\times2\) matriz,\(\mathbf x\) debe ser un vector bidimensional y\(A\mathbf x\) será tridimensional.

De manera más general, tenemos la siguiente definición.

Definición 2.2.2

El producto de una matriz\(A\) por un vector\(\mathbf x\) será la combinación lineal de las columnas de\(A\) usar los componentes de\(\mathbf x\) como pesos.

Si\(A\) es una\(m\times n\) matriz, entonces\(\mathbf x\) debe ser un vector\(n\) -dimensional, y el producto\(A\mathbf x\) será un vector\(m\) -dimensional. Si

\ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_n\ end {array}\ right],\ mathbf x =\ left [\ begin {array} {r} c_1\\ c_2\\\ vdots\\ c_n\ end {array} derecha\],\ end {ecuación*}

entonces

\ begin {ecuación*} A\ mathbf x = c_1\ mathbf v_1 + c_2\ mathbf v_2 +\ ldots c_n\ mathbf v_n\ text {.} \ end {ecuación*}

La siguiente actividad introduce algunas propiedades de la multiplicación matricial.

Actividad 2.2.2. Multiplicación matriz-vector.

1. Encuentra el producto de la matriz
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & 0 & -1\\ 2 & 4 & -3 & -2\\ -1 & 2 & 6 & 1\\ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {r} 3\\ 1\\ -1\\ 1\\ final {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}
2. Supongamos que\(A\) es la matriz
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr} 3 & -1 & 0\\ 0 & -2 & 4\\ 2 & 1 & 5\\ 1 & 0 & 3\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Si\(A\mathbf x\) se define, cuál es la dimensión del vector\(\mathbf x\) y cuál es la dimensión de\(A\mathbf x\text{?}\)

3. Un vector cuyas entradas son todas cero se denota por\(\zerovec\text{.}\) Si\(A\) es una matriz, cuál es el producto\(A\zerovec\text{?}\)
4. Supongamos que\(I = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right]\) es la matriz de identidad y\(\mathbf x=\threevec{x_1}{x_2}{x_3}\text{.}\) Encuentra el producto\(I\mathbf x\) y explica por qué\(I\) se llama la matriz de identidad.
5. Supongamos que escribimos la matriz\(A\) en términos de sus columnas como
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_n\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Si el vector\(\mathbf e_1 = \left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right]\text{,}\) cuál es el producto\(A\mathbf e_1\text{?}\)

6. Supongamos que
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr} 1 & 2\\ -1 & 1\\\ end {array}\ right],\ mathbf b =\ left [\ begin {array} {r} 6\\ 0\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

   ¿Hay un vector\(\mathbf x\) tal que\(A\mathbf x = \mathbf b\text{?}\)

La multiplicación de una matriz\(A\) y un vector se define como una combinación lineal de las columnas de\(A\text{.}\) Sin embargo, existe un atajo para computar dicho producto. Veamos nuestro ejemplo anterior y centrémonos en la primera fila del producto.

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr} -2 & 3\\ 0 & 2\\ 3 & 1\\\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {r} 2\\ 3\\ end {array}\ right] = 2\ left [\ begin {array} {r} -2\ *\\ *\\\ end {array}\ derecha] + 3\ left [\ begin {array} {r} 3\\ *\\ *\\\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {c} 2 (-2) +3 (3) \\ *\\ *\\\ end {array}\ derecha] =\ left [\ begin {array} {r} 5\\ *\ *\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

Para encontrar el primer componente del producto, consideramos la primera fila de la matriz. Luego multiplicamos la primera entrada en esa fila por el primer componente del vector, la segunda entrada por el segundo componente del vector, y así sucesivamente, y agregamos los resultados. De esta manera, vemos que el tercer componente del producto se obtendría a partir de la tercera fila de la matriz computando\(2(3) + 3(1) = 9\text{.}\)

Se le anima a evaluar el ítem a usando este atajo y comparar el resultado con lo que encontró al completar la actividad anterior.

Actividad 2.2.3.

Además, Sage puede encontrar el producto de una matriz y vector utilizando el operador *. Por ejemplo,

1. Use Sage para evaluar el producto Artículo una vez más.
2. En Sage, definir la matriz y los vectores
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} -2 & 0\\ 3 & 1\\ 4 & 2\\\ end {array}\ right],\ zerovec =\ left [\ begin {array} {r} 0\\ end {array}\ right],\ mathbf v =\ left [\ begin {array} {r} -2\ 3\ end {array}\ right],\ mathbf w =\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 2\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
3. Qué encuentras cuando evalúas\(A\zerovec\text{?}\)
4. ¿Qué encuentras al evaluar\(A(3\mathbf v)\)\(3(A\mathbf v)\) y comparar tus resultados?
5. ¿Qué encuentras al evaluar\(A(\mathbf v+\mathbf w)\)\(A\mathbf v + A\mathbf w\) y comparar tus resultados?
6. Si\(I=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right]\) es la matriz de\(3\times3\) identidad, cuál es el producto\(IA\text{?}\)

Esta actividad demuestra varias propiedades generales satisfechas por la multiplicación matricial que registramos aquí.

Proposición 2.2.3. Linealidad de la multiplicación matricial.

Si\(A\) es una matriz,\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) vectores, y\(c\) un escalar, entonces

• \(A\zerovec = \zerovec\text{.}\)
• \(A(c\mathbf v) = cA\mathbf v\text{.}\)
• \(A(\mathbf v+\mathbf w) = A\mathbf v + A\mathbf w\text{.}\)

Multiplicación matriz-vector y sistemas lineales

Hasta el momento, hemos comenzado con una matriz\(A\) y un vector\(\mathbf x\) y\(A\mathbf x = \mathbf b\text{.}\) hemos formado su producto Ahora nos gustaría darle la vuelta a esto: comenzando con una matriz\(A\) y un vector\(\mathbf b\text{,}\) nos preguntaremos si podemos encontrar un vector\(\mathbf x\) tal que\(A\mathbf x = \mathbf b\text{.}\) Esto conduzca naturalmente de nuevo a sistemas lineales.

Para ver la conexión entre la ecuación matricial\(A\mathbf x = \mathbf b\) y los sistemas lineales, escribamos la matriz\(A\) en términos de sus columnas\(\mathbf v_i\) y\(\mathbf x\) en términos de sus componentes.

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots\ mathbf v_n\ end {array}\ derecha],\ mathbf x =\ left [\ begin {array} {r} c_1\\ c_2\\\ vdots\\ c_n\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

Sabemos que el producto matriz\(A\mathbf x\) forma una combinación lineal de las columnas de\(A\text{.}\) Por lo tanto, la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) es meramente una forma compacta de escribir la ecuación para los pesos\(c_i\text{:}\)

\ begin {ecuación*} c_1\ mathbf v_1 + c_2\ mathbf v_2 +\ ldots + c_n\ mathbf v_n =\ mathbf b\ text {.} \ end {ecuación*}

Hemos visto esta ecuación antes: Recuerde que la Proposición 2.1.7 dice que las soluciones de esta ecuación son las mismas que las soluciones al sistema lineal cuya matriz aumentada es

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr|r}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_n &\ mathbf b\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

Esto nos da tres formas diferentes de ver el mismo espacio de solución.

Proposición 2.2.4.

Si\(A=\left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1& \mathbf v_2& \ldots\mathbf v_n \end{array}\right]\) y\(\mathbf x=\left[ \begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{array}\right] \text{,}\) entonces los siguientes son equivalentes.

• El vector\(\mathbf x\) satisface\(A\mathbf x = \mathbf b \text{.}\)
• El vector\(\mathbf b\) es una combinación lineal de las columnas de\(A\) con pesos\(x_j\text{:}\)
  \ begin {ecuación*} x_1\ mathbf v_1 + x_2\ mathbf v_2 +\ ldots + x_n\ mathbf v_n =\ mathbf b\ text {.} \ end {ecuación*}
• Los componentes\(\mathbf x\) forman una solución al sistema lineal correspondiente a la matriz aumentada
  \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr|r}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_n &\ mathbf b\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

Cuando la matriz\(A = \left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1& \mathbf v_2& \ldots& \mathbf v_n\end{array}\right]\text{,}\) escribiremos frecuentemente

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr|r}\ mathbf v_1&\ mathbf v_2&\ ldots&\ mathbf v_n&\ mathbf b\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {r|r} A &\ mathbf b\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación *}

y decir que aumentamos la matriz\(A\) por el vector\(\mathbf b\text{.}\)

Podemos pensar que\(A\mathbf x = \mathbf b\) se trata simplemente de dar una forma notacionalmente compacta de escribir un sistema lineal. Esta forma de la ecuación, sin embargo, nos permitirá enfocarnos en características importantes del sistema que determinan su espacio de solución.

Ejemplo 2.2.5

Describir el espacio de solución de la ecuación

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr} 2 & 0 & 2\\ 4 & -1 & 6\\ 1 & 3 & -5\\\ end {array}\ right]\ mathbf x =\ left [\ begin {array} {r} 0\\ -5\\ 15\ end {array}\ right]\ end {ecuación*}

Por la Proposición 2.2.4, el espacio de solución a esta ecuación es el mismo que la ecuación

\ begin {ecuation*} x_1\ left [\ begin {array} {r} 2\\ 4\\ 1\ end {array}\ right] + x_2\ left [\ begin {array} {r} 0\\ -1\\ 3\ end {array}\ right] + x_3\ left [\ begin {array} {r} 2\\ 6\ -5\ end {array} derecha] =\ left [\ begin {array} {r} 0\\ -5\\ 15\ end {array}\ right]\ text {,}\ end {ecuación*}

que es lo mismo que el sistema lineal correspondiente a

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr|r} 2 & 0 & 2 & 0\\ 4 & -1 & 6 & -5\\ 1 & 3 & -5 & 15\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Estudiaremos las soluciones a este sistema lineal encontrando la forma de escalón de fila reducida de la matriz aumentada:

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr|r} 2 & 0 & 2 & 0\\ 4 & -1 & 6 & -5\\ 1 & 3 & -5 & 15\\ end {array}\ derecha]\ sim\ izquierda [\ begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2 & 5\ 0 & 0 & 0 & 0\\\ end {array}\ derecha]\ texto {.} \ end {ecuación*}

Esto nos da el sistema de ecuaciones

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} x_1 & & & {} + {} & x_3 & {} = {} & 0\\ & & x_2 & {} - {} & 2x_3 & {} = {} & 5\\ final {alineada}\ texto {.} \ end {ecuación*}

La variable\(x_3\) es libre por lo que podemos escribir el espacio de solución paramétricamente como

\ begin {equation*}\ begin {aligned} x_1 & {} = {} -x_3\\ x_2 & {} = {} 5+2x_3\\ end {alineado}\ text {.} \ end {ecuación*}

Como originalmente pedimos describir las soluciones a la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\text{,}\) expresaremos la solución en términos del vector\(\mathbf x\text{:}\)

\ begin {ecuación*}\ mathbf x =\ left [\ begin {array} {r} x_1\\ x_2\\ x_3\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {r} -x_3\\ 5 + 2x_3\\ x_3\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {r} 0\ 5\\ 0\ end {array}\ derecha] +x_3\ izquierda [\ begin {array} {r} -1\\ 2\\ 1\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

Esto demuestra que las soluciones\(\mathbf x\) pueden escribirse en la forma\(\mathbf v + x_3\mathbf w\text{,}\) para vectores apropiados\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{.}\) Geométricamente, el espacio de solución es una línea que se\(\mathbf v\) mueve en\(\mathbb R^3\) paralelo a\(\mathbf w\text{.}\)

Actividad 2.2.4. La ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\).

1. Considere el sistema lineal
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} 2x & {} + {} & y & {} - {} & 3z & {} = {} & 4\\ -x & {} + {} & 2y & {} + {} & z & {} = {} & 3\\ 3x & {} - {} & y & & {} = {} & -4\\\ end {alineada}\ texto {.} \ end {ecuación*}

   Identificar la matriz\(A\) y el vector\(\mathbf b\) para expresar este sistema en la forma\(A\mathbf x = \mathbf b\text{.}\)

2. Si\(A\) y\(\mathbf b\) son como abajo, escriba el sistema lineal correspondiente a la ecuación\(A\mathbf x=\mathbf b\text{.}\)
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 3 & -1 & 0\\ -2 & 0 & 6\ end {array}\ right],\ mathbf b =\ left [\ begin {array} {r} -6\\ 2\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

   y describir el espacio de solución.
3. Describir el espacio de solución de la ecuación
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & 0 & -1\\ 2 & 4 & -3 & -2\\ -1 & 2 & 6 & 1\\ end {array}\ derecha]\ mathbf x =\ left [\ begin {array} {r} -1\\ 1\\ 5\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
4. Supongamos que\(A\) es una\(m\times n\) matriz. ¿Qué puedes garantizar sobre el espacio de solución de la ecuación?\(A\mathbf x = \zerovec\text{?}\)

Productos Matrix

En esta sección, hemos desarrollado algunas operaciones algebraicas sobre matrices con el objetivo de simplificar nuestra descripción de sistemas lineales. Ahora introduciremos una operación final, producto de dos matrices, que cobrará importancia cuando estudiemos transformaciones lineales en la Sección 2.5.

Dadas las matrices\(A\) y\(B\text{,}\) formaremos su producto\(AB\) escribiendo primero\(B\) en términos de sus columnas:

\ begin {ecuación*} B =\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_p\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Luego definimos

\ begin {ecuación*} AB =\ left [\ begin {array} {rrrr} A\ mathbf v_1 & A\ mathbf v_2 &\ ldots & A\ mathbf v_p\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Ejemplo 2.2.6

Dadas las matrices

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 4 & 2\\ 0 & 1\\ -3 & 4\\ 2 & 0\\\ end {array}\ right], B =\ left [\ begin {array} {rrr} -2 & 3 & 0\\ 1 & 2 & 2\\ end {array}\ right]\ text {,}\ end {equación *}

tenemos

\ begin {ecuación*} AB =\ left [\ begin {array} {rrr} A\ twovec {-2} {1} & A\ twovec {3} {2} & A\ twovec {0} {-2}\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rrr} -6 & 16 & -4\\ 1 y 2\ 10 & -1 & -8\\ -4 & 6 & 0\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Es importante señalar que solo podemos multiplicar matrices si las dimensiones de las matrices son compatibles. Más específicamente, al construir el producto\(AB\text{,}\) la matriz\(A\) multiplica las columnas de\(B\text{.}\) Por lo tanto, el número de columnas de\(A\) debe ser igual al número de filas de\(B\text{.}\) Cuando se cumple esta condición, el número de filas de\(AB\) es el número de filas de\(A\text{,}\) y el número de columnas de\(AB\) es el número de columnas de\(B\text{.}\)

Actividad 2.2.5.

Considerar las matrices

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 3 & 2\\ -3 & 4 & -1\\\ end {array}\ right], B =\ left [\ begin {array} {rr} 3 & 0\\ 1 & 2\\ -2 & -1\\\ end {array}\\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Supongamos que queremos formar el producto\(AB\text{.}\) Antes de computar, primero explica cómo sabes que existe este producto y luego explica cuáles serán las dimensiones de la matriz resultante.
2. Compute el producto\(AB\text{.}\)
3. Sage puede multiplicar matrices usando el operador *. Define las matrices\(A\) y\(B\) en la celda de Sage a continuación y verifique su trabajo por computación\(AB\text{.}\)
4. ¿Eres capaz de formar el producto matriz?\(BA\text{?}\) Si es así, usa la celda Sage anterior para encontrar\(BA\text{.}\) ¿Es generalmente cierto que\(AB = BA\text{?}\)
5. Supongamos que formamos las tres matrices.
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 2\\ 3 & -2\\\ end {array}\ right], B =\ left [\ begin {array} {rr} 0 & 4\\ 2 & -1\\ end {array}\\ right], C =\ left [\ begin {array} {rr} -1 & 3\\ 4 & 3\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Compara lo que sucede cuando\(A(B+C)\) computas y\(AB + AC\text{.}\) declara tu hallazgo como principio general.
6. Compare los resultados de la evaluación\(A(BC)\)\((AB)C\) y exponga su hallazgo como principio general.
7. Cuando estamos tratando con números reales, sabemos si\(a\neq 0\) y\(ab = ac\text{,}\) luego\(b=c\text{.}\) Definir matrices
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 2\\ -2 & -4\\\ end {array}\ right], B =\ left [\ begin {array} {rr} 3 & 0\\ 1 & 3\\ end {array}\\ right], C =\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 2\\ 2 & 2\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

   y computar\(AB\) y\(AC\text{.}\)

   Si\(AB = AC\text{,}\) es necesariamente cierto que\(B = C\text{?}\)
8. Nuevamente, con números reales, sabemos que si\(ab = 0\text{,}\) entonces cualquiera\(a = 0\) o\(b=0\text{.}\) Definir
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 2\\ -2 & -4\\\ end {array}\ right], B =\ left [\ begin {array} {rr} 2 & -4\\ -1 & 2\\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

   y computar\(AB\text{.}\)

   Si\(AB = 0\text{,}\) es necesariamente cierto que cualquiera\(A=0\) o\(B=0\text{?}\)

Esta actividad demostró algunas propiedades generales sobre productos de matrices, que reflejan algunas propiedades sobre operaciones con números reales.

Propiedades de la Multiplicación Matriz-Matriz.

Si\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\) son matrices tales que se definen las siguientes operaciones, se deduce que

Asociatividad:

\(A(BC) = (AB)C\text{.}\)

Distributividad:

\(A(B+C) = AB+AC\text{.}\)

\((A+B)C = AC+BC\text{.}\)

Al mismo tiempo, hay algunas propiedades que se mantienen para números reales que no se mantienen para matrices.

Cosas de las que tener cuidado.

Las siguientes propiedades se mantienen para números reales pero no para matrices.

Conmutatividad:

No es generalmente cierto que\(AB = BA\text{.}\)

Cancelación:

No es generalmente cierto lo que\(AB = AC\) implica que\(B = C\text{.}\)

Divisores cero:

No es generalmente cierto que\(AB = 0\) implica que cualquiera\(A=0\) o\(B=0\text{.}\)

Resumen

En esta sección, hemos encontrado una manera especialmente sencilla de expresar sistemas lineales utilizando la multiplicación matricial.

• Si\(A\) es una\(m\times n\) matriz y\(\mathbf x\) un vector\(n\) -dimensional, entonces\(A\mathbf x\) es la combinación lineal de las columnas de\(A\) usar los componentes de\(\mathbf x\) como pesos. El vector\(A\mathbf x\) es\(m\) -dimensional.
• El espacio de solución a la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) es el mismo que el espacio de solución para el sistema lineal correspondiente a la matriz aumentada\(\left[ \begin{array}{r|r} A & \mathbf b \end{array}\right]\text{.}\)
• Si\(A\) es una\(m\times n\) matriz y\(B\) es una\(n\times p\) matriz, podemos formar el producto\(AB\text{,}\) que es una\(m\times p\) matriz cuyas columnas son los productos de\(A\) y las columnas de\(B\text{.}\)

Ejercicios 2.2.6Ejercicios

1

Considerar el sistema de ecuaciones lineales

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} {4} x & {} + {} & 2y & {} - {} & z & {} = {} & 1\\ 3x & {} + {} & 2y & {} + {} & {} + {} & 2z & {} = {} & 7\\ -x & & & {} + {} & 4z & {} = {} & -3\\\ final {alineada}\ texto {.} \ end {ecuación*}

1. Encuentra la matriz\(A\) y el vector\(\mathbf b\) que expresa este sistema lineal en la forma\(A\mathbf x=\mathbf b\text{.}\)
2. Dar una descripción del espacio de solución a la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\text{.}\)

2

Supongamos que\(A\) es una\(135\times2201\) matriz. Si\(A\mathbf x\) se define, cuál es la dimensión de\(\mathbf x\text{?}\) Cuál es la dimensión de\(A\mathbf x\text{?}\)

3

Supongamos que\(A \) es una\(3\times2\) matriz cuyas columnas son\(\mathbf v_1\) y es\(\mathbf v_2\text{;}\) decir,

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. ¿Cuál es la dimensión de los vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{?}\)
2. Cuál es el producto\(A\twovec{1}{0}\) en términos de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{?}\) Cuál es el producto\(A\twovec{0}{1}\text{?}\) Qué es el producto\(A\twovec{2}{3}\text{?}\)
3. Supongamos que
   \ begin {ecuación*} A\ twovec {1} {0} =\ tresevec {3} {-2} {1}, A\ twovec {0} {1} =\ tresevec {0} {3} {2}\ texto {.} \ end {ecuación*}

   Qué es la matriz\(A\text{?}\)

4

A continuación se muestran los vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\) Supongamos que la matriz\(A\) es

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Figura 2.2.7. Dos vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)

1. Cuáles son las dimensiones de la matriz\(A\text{?}\)
2. En la gráfica anterior, indica los vectores
   \ begin {ecuación*} A\ twovec {1} {0}, A\ twovec {2} {3}, A\ twovec {0} {-3}\ text {.} \ end {ecuación*}
3. Encuentra todos los vectores de\(\mathbf x\) tal manera que\(A\mathbf x=\mathbf b\text{.}\)
4. Encuentra todos los vectores de\(\mathbf x\) tal manera que\(A\mathbf x = \zerovec\text{.}\)

5

Supongamos que

\ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 2\\ 2 & 2 & 2\\ -1 & -3 & 1\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Describir el espacio de solución a la ecuación\(A\mathbf x = \zerovec\text{.}\)
2. Encuentre una\(3\times2\) matriz\(B\) sin cero entradas de tal manera que\(AB = 0\text{.}\)

6

Considerar la matriz

\ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & -4 & -4\\ 2 & 3 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 4 & 6\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Encuentra el producto\(A\mathbf x\) donde
   \ begin {ecuación*}\ mathbf x =\ fourvec {1} {-2} {0} {2}\ texto {.} \ end {ecuación*}
2. Dar una descripción de los vectores de\(\mathbf x\) tal manera que
   \ begin {ecuación*} A\ mathbf x =\ tresevec {-1} {15} {17}\ texto {.} \ end {ecuación*}
3. Encuentre la forma de escalón de fila reducida\(A\) e identifique las posiciones de pivote.
4. ¿Se puede encontrar un vector\(\mathbf b\) tal que\(A\mathbf x=\mathbf b\) sea inconsistente?
5. Para un vector tridimensional general\(\mathbf b\text{,}\) qué se puede decir sobre el espacio de solución de la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\text{?}\)

7

Las operaciones que realizamos en la eliminación gaussiana se pueden realizar mediante multiplicación matricial. Esta observación es la base de una técnica importante que investigaremos en un capítulo posterior.

Consideremos la matriz

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 2 & -1\\ 2 & 0 & 2\\ -3 & 2 & 3\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Supongamos que
   \ begin {ecuación*} S =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 7 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 1\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Verificar que\(SA\) sea la matriz que resulta cuando la segunda fila de\(A\) se escala en un factor de 7. ¿Qué matriz\(S\) escalaría la tercera fila por -3?

2. Supongamos que
   \ begin {ecuación*} P =\ left [\ begin {array} {rrr} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Verifique que\(PA\) sea la matriz que resulta de intercambiar la primera y segunda filas. ¿Qué matriz\(P\) cambiaría la primera y la tercera fila?

3. Supongamos que
   \ begin {ecuación*} L_1 =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Verifique que\(L_1A\) sea la matriz que resulta de multiplicar la primera fila de\(A\) por\(-2\) y agregarla a la segunda fila. ¿Qué matriz\(L_2\) multiplicaría la primera fila por 3 y la agregaría a la tercera fila?

4. Cuando realizamos la eliminación gaussiana, nuestro primer objetivo era realizar operaciones de fila que pusieran la matriz en forma triangular. Para nuestra matriz\(A\text{,}\) encuentre las operaciones de fila necesarias para encontrar una matriz equivalente de fila\(U\) en forma triangular. Al expresar estas operaciones de fila en términos de multiplicación matricial, encuentra una matriz\(L\) tal que\(LA = U\text{.}\)

8

En este ejercicio, construirás la inversa de una matriz, un tema que investigaremos más a fondo en el siguiente capítulo. Supongamos que\(A\) es la\(2\times2\) matriz:

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 3 & -2\\ -2 & 1\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Encuentra los vectores\(\mathbf b_1\) y\(\mathbf b_2\) tal que la matriz\(B=\left[\begin{array}{rr} \mathbf b_1 & \mathbf b_2 \end{array}\right]\) satisfaga
   \ begin {ecuación*} AB = I =\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 0\\ 0 & 1\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
2. En general, no es cierto que\(AB = BA\text{.}\) Compruebe que sea cierto, sin embargo, para lo específico\(A\) y\(B\) que aparecen en este problema.
3. Supongamos que ¿\(\mathbf x = \twovec{x_1}{x_2}\text{.}\)Qué encuentras cuando evalúas\(I\mathbf x\text{?}\)
4. Supongamos que queremos resolver la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\text{.}\) Sabemos cómo hacer esto usando la eliminación gaussiana; usemos nuestra matriz\(B\) para encontrar una manera diferente:
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineado} A\ mathbf x & {} = {}\ mathbf b\\ B (A\ mathbf x) & {} = {} = {} B\ mathbf b\\ (BA)\ mathbf x & {} = {} B\ mathbf b\\ I\ mathbf x & {} = {} B\ mathbf b\\ mathbf x & {} = {} B\ mathbf b\\\ final {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

   En otras palabras, la solución a la ecuación\(A\mathbf x=\mathbf b\) es\(\mathbf x = B\mathbf b\text{.}\)

   Considera la ecuación\(A\mathbf x = \twovec{5}{-2}\text{.}\) Encuentra la solución de dos maneras distintas, primero usando la eliminación gaussiana\(\mathbf x = B\mathbf b\text{,}\) y luego como y verifica que has encontrado el mismo resultado.

9

Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y proporcione una justificación para su respuesta.

1. Si\(A\mathbf x\) se define, entonces el número de componentes de\(\mathbf x\) es igual al número de filas de\(A\text{.}\)
2. El espacio de solución a la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) es equivalente al espacio de solución para el sistema lineal cuya matriz aumentada es\(\left[\begin{array}{r|r} A & \mathbf b \end{array}\right]\text{.}\)
3. Si un sistema lineal de ecuaciones tiene 8 ecuaciones y 5 incógnitas, entonces las dimensiones de la matriz\(A\) en la ecuación correspondiente\(A\mathbf x = \mathbf b\) son\(5\times8\text{.}\)
4. Si\(A\) tiene un pivote en cada fila, entonces cada ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) es consistente.
5. Si\(A\) es una\(9\times5\) matriz, entonces\(A\mathbf x=\mathbf b\) es inconsistente para algún vector\(\mathbf b\text{.}\)

10

Supongamos que\(A\) es una\(4\times4\) matriz y que la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) tiene una solución única para algún vector\(\mathbf b\text{.}\)

1. Qué dice esto sobre los pivotes de la matriz\(A\text{?}\) Escribe la forma de escalón de fila reducida de\(A\text{.}\)
2. ¿Se puede encontrar otro vector\(\mathbf c\) tal que\(A\mathbf x = \mathbf c\) sea inconsistente?
3. ¿Qué se puede decir sobre el espacio de solución a la ecuación\(A\mathbf x = \zerovec\text{?}\)
4. Supongamos\(A=\left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \mathbf v_3 & \mathbf v_4 \end{array}\right]\text{.}\) Explicar por qué cada vector de cuatro dimensiones puede escribirse como una combinación lineal de los vectores\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\)\(\mathbf v_3\text{,}\) y\(\mathbf v_4\) exactamente de una manera.

11

Definir la matriz

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 4\\ -2 & 1 & -3\\ 3 & 1 & 7\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Describir el espacio de solución a la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\text{.}\) ¿Qué representa geométricamente este espacio de solución?
2. Describa el espacio de solución a la ecuación\(A\mathbf x=\mathbf b\) donde\(\mathbf b = \threevec{-3}{-4}{1}\text{.}\) ¿Qué representa geométricamente este espacio de solución y cómo se compara con el espacio de solución anterior?
3. A continuación explicaremos la relación entre los dos espacios de solución anteriores. Supongamos que\(\mathbf x_h\) es una solución a la ecuación homogénea; es decir\(A\mathbf x_h=\zerovec\text{.}\) Supondremos también que\(\mathbf x_p\) es una solución a la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\text{;}\) que es,\(A\mathbf x_p=\mathbf b\text{.}\)

   Usa el Principio de Linealidad expresado en la Proposición 2.2.3 para explicar por qué\(\mathbf x_h+\mathbf x_p\) es una solución a la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\text{.}\) Puedes hacer esto evaluando\(A(\mathbf x_h+\mathbf x_p)\text{.}\)

   Es decir, si encontramos una solución\(\mathbf x_p\) a una ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\text{,}\) podemos agregar cualquier solución a la ecuación homogénea\(\mathbf x_p\) y aún así tener una solución a la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\text{.}\) En otras palabras, el espacio de solución a la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) se da al traducir el espacio de solución a la ecuación homogénea por el vector\(\mathbf x_p\text{.}\)

12

Supongamos que una ciudad está iniciando un programa de bicicletas compartidas con bicicletas en ubicaciones\(B\) y las\(C\text{.}\) Bicicletas que se alquilan en una ubicación pueden ser devueltas a cualquiera de las ubicaciones al final del día. Con el tiempo, la ciudad encuentra que el 80% de las bicicletas rentadas en el lugar\(B\) son devueltas\(B\) con el otro 20% devuelto a\(C\text{.}\) De igual manera, el 50% de las bicicletas rentadas en el lugar\(C\) son devueltas a\(B\) y el 50% a\(C\text{.}\)

Para hacer un seguimiento de las bicicletas, formamos un vector

\ begin {ecuación*}\ mathbf x_k =\ twovec {b_k} {c_k}\ end {ecuación*}

dónde\(B_k\) está el número de bicicletas en el lugar\(B\) al comienzo del día\(k\) y\(C_k\) es el número de bicicletas en\(C\text{.}\) La información anterior nos dice

\ begin {ecuación*}\ mathbf x_ {k+1} = A\ mathbf x_k\ end {ecuación*}

donde

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 0.8 & 0.5\\ 0.2 & 0.5\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Vamos a comprobar que esto tiene sentido.
   1. Supongamos que hay 1000 bicicletas en el lugar\(B\) y ninguna\(C\) en el día 1. Esto significa que tenemos\(\mathbf x_1 = \twovec{1000}{0}\text{.}\) Encuentra el número de bicicletas en ambas ubicaciones el día 2 evaluando\(\mathbf x_2 = A\mathbf x_1\text{.}\)
   2. Supongamos que hay 1000 bicicletas en el lugar\(C\) y ninguna\(B\) en el día 1. Formar el vector\(\mathbf x_1\) y determinar el número de bicicletas en las dos ubicaciones al día siguiente encontrando\(\mathbf x_2 = A\mathbf x_1\text{.}\)
2. Supongamos que un día hay 1050 bicicletas en el lugar\(B\) y 450 en el lugar\(C\text{.}\) ¿Cuántas bicicletas había en cada ubicación el día anterior?
3. Supongamos que hay 500 bicicletas en el lugar\(B\) y 500 en\(C\) el lugar el lunes. ¿Cuántas bicicletas hay en las dos ubicaciones el martes? el miércoles? el jueves?

13

Este problema es una continuación del problema anterior.

1. Definamos vectores
   \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ twovec {5} {2},\ mathbf v_2 =\ twovec {-1} {1}\ text {.} \ end {ecuación*}

   Demostrar que

   \ begin {ecuación*} A\ mathbf v_1 =\ mathbf v_1, A\ mathbf v_2 = 0.3\ mathbf v_2\ text {.} \ end {ecuación*}
2. Supongamos que\(\mathbf x_1 = c_1 \mathbf v_1 + c_2 \mathbf v_2\) donde\(c_2\) y\(c_2\) son escalares. Utilizar el Principio de Linealidad expresado en la Proposición 2.2.3 para explicar por qué
   \ begin {ecuación*}\ mathbf x_ {2} = A\ mathbf x_1 = c_1\ mathbf v_1 + 0.3c_2\ mathbf v_2\ text {.} \ end {ecuación*}
3. Continuando de esta manera, explique por qué
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ mathbf x_ {3} = A\ mathbf x_2 & {} = {} = {} c_1\ mathbf v_1 +0.3^2c_2\ mathbf v_2\\\ mathbf x_ {4} = A\ mathbf x_3 & {} = {} = {} c_1\ mathbf v_1 +0.3 ^3c_2\ mathbf v_2\\\ mathbf x_ {5} = A\ mathbf x_4 & {} = {} = {} c_1\ mathbf v_1 +0.3^4c_2\ mathbf v_2\\ end {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}
4. Supongamos que inicialmente hay 500 bicicletas en el lugar\(B\) y 500 en el lugar\(C\text{.}\) Escribe el vector\(\mathbf x_1\) y encuentra los escalares\(c_1\) y\(c_2\) tal que\(\mathbf x_1=c_1\mathbf v_1 + c_2\mathbf v_2\text{.}\)
5. Utilice la parte anterior de este problema para determinar\(\mathbf x_2\text{,}\)\(\mathbf x_3\) y\(\mathbf x_4\text{.}\)
6. Después de mucho tiempo, ¿cómo se distribuyen todas las bicicletas?