4.1: Una introducción a los valores propios y a los vectores propios

Esta sección introduce el concepto de valores propios y vectores propios y ofrece un ejemplo que motiva nuestro interés en ellos. El punto aquí es desarrollar una comprensión intuitiva de los valores propios y vectores propios y explicar cómo se pueden utilizar para simplificar algunos problemas que hemos encontrado anteriormente. En el resto de este capítulo, desarrollaremos este concepto en una teoría más rica e ilustraremos su uso con ejemplos más significativos.

Vista previa Actividad 4.1.1.

Antes de introducir la definición de vectores propios y valores propios, será útil recordar algunas ideas que hemos visto anteriormente.

1. Supongamos que\(\mathbf v\) es el vector que se muestra en la figura. Esbozar el vector\(2\mathbf v\) y el vector\(-\mathbf v\text{.}\)

   

Afirma el efecto geométrico que tiene la multiplicación escalar sobre el vector\(\mathbf v\text{.}\) Luego bosquejar todos los vectores de la forma\(\lambda \mathbf v\) donde\(\lambda\) es un escalar.

Declarar el efecto geométrico de la transformación matricial definida por

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr} 3 & 0\\ 0 & -1\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Supongamos que\(A\) es una\(2\times 2\) matriz y que\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) son vectores tales que

\ begin {ecuación*} A\ mathbf v_1 = 3\ mathbf v_1,\ qquad A\ mathbf v_2 = -\ mathbf v_2\ text {.} \ end {ecuación*}

Utilice la linealidad de la multiplicación matricial para expresar los siguientes vectores en términos de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)

1. \(A(4\mathbf v_1)\text{.}\)
2. \(A(\mathbf v_1 + \mathbf v_2)\text{.}\)
3. \(A(4\mathbf v_1 -3\mathbf v_2)\text{.}\)
4. \(A^2\mathbf v_1\text{.}\)
5. \(A^2(4\mathbf v_1 - 3\mathbf v_2)\text{.}\)
6. \(A^4\mathbf v_1\text{.}\)

Algunos ejemplos

Ahora introduciremos la definición de valores propios y vectores propios y luego veremos algunos ejemplos simples.

Definición 4.1.1

Dada una\(n\times n\) matriz cuadrada\(A\text{,}\) decimos que un vector distinto de cero\(\mathbf v\) es un vector propio de\(A\) si hay un escalar\(\lambda\) tal que

\ begin {ecuación*} A\ mathbf v =\ lambda\ mathbf v\ texto {.} \ end {ecuación*}

El escalar\(\lambda\) se llama el valor propio asociado al vector propio\(\mathbf v\text{.}\)

A primera vista, están pasando muchas cosas en esta definición así que veamos un ejemplo.

Ejemplo 4.1.2

Consideremos la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 7 & 6 \\ 6 & -2 \\ \end{array}\right]\) y el vector\(\mathbf v=\twovec{2}{1}\text{.}\) Encontramos que

\ begin {ecuación*} A\ mathbf v =\ left [\ begin {array} {rr} 7 & 6\\ 6 & -2\\\ end {array}\ right]\ twovec {2} {1} =\ twovec {20} {10} =10\ twovec {2} {1} =10\ mathbf v\ text {.} \ end {ecuación*}

En otras palabras,\(A\mathbf v = 10\mathbf v\text{,}\) que dice que\(\mathbf v\) es un vector propio de la matriz\(A\) con autovalor asociado\(\lambda = 10\text{.}\)

Del mismo modo, si\(\mathbf w = \twovec{-1}{2}\text{,}\) encontramos que

\ begin {ecuación*} A\ mathbf w =\ left [\ begin {array} {rr} 7 & 6\\ 6 & -2\\\ end {array}\ right]\ twovec {-1} {2} =\ twovec {5} {-10} =-5\ twovec {-1} {2} =-5\ mathbf w\ text {.} \ end {ecuación*}

Aquí de nuevo,\(A\mathbf w = -5\mathbf w\) hemos demostrado que\(\mathbf w\) es un vector propio de\(A\) con autovalor asociado\(\lambda=-5\text{.}\)

Actividad 4.1.2.

Esta definición tiene una interpretación geométrica importante que investigaremos aquí.

1. Supongamos que\(\mathbf v\) es un vector distinto de cero y que\(\lambda\) es un escalar. ¿Cuál es la relación geométrica entre\(\mathbf v\) y\(\lambda\mathbf v\text{?}\)
2. Consideremos ahora la condición de vector propio:\(A\mathbf v = \lambda\mathbf v\text{.}\) Aquí tenemos dos vectores,\(\mathbf v\) y\(A\mathbf v\text{.}\) Si\(A\mathbf v = \lambda\mathbf v\text{,}\) cuál es la relación geométrica entre\(\mathbf v\) y\(A\mathbf v\text{?}\)
3. Los deslizadores en el diagrama a continuación le permiten elegir una matriz\(A\). El vector\({\mathbf v}\) se muestra en rojo y se puede variar haciendo clic en la cabeza del vector. El vector\(A{\mathbf v}\) se muestra entonces en gris.
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   Elija la matriz\(A= \left[\begin{array}{rr} 1& 2 \\ 2& 1 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Mueva el vector\(\mathbf v\) para que se mantenga la condición de vector propio. ¿Qué es el vector propio\(\mathbf v\) y cuál es el valor propio asociado?

4. Al calcular algebraicamente\(A\mathbf v\text{,}\) verificar que la condición de vector propio se mantiene para el vector\(\mathbf v\) que encontró.
5. Si multiplicas el vector propio por el\(\mathbf v\) que encontraste,\(2\text{,}\) ¿aún tienes un vector propio? Si es así, ¿cuál es el valor propio asociado?
6. ¿Puedes encontrar otro vector propio\(\mathbf v\) que no sea un múltiplo escalar del primero que encontraste? Si es así, ¿qué es el vector propio y cuál es el valor propio asociado?
7. Ahora considere la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Use el diagrama para describir cualquier vector propio y valores propios asociados.
8. Finalmente, considere la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Utilice el diagrama para describir cualquier vector propio y valores propios asociados. ¿Qué transformación geométrica realiza esta matriz en los vectores? ¿Cómo explica esto la presencia de algún vector propio?

Consideremos con más profundidad las ideas que vimos en la actividad. Para ser un vector propio\(A\text{,}\) del vector\(\mathbf v\) debe satisfacer\(A\mathbf v = \lambda\mathbf v\) para algún escalar\(\lambda\text{.}\) Esto significa que\(\mathbf v\) y\(A\mathbf v\) son múltiplos escalares entre sí, lo que significa que deben estar en la misma línea.

Consideremos ahora\(A = \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right] \text{.}\) la matriz A la izquierda de la Figura 4.1.3, vemos que no\(\mathbf v=\twovec{1}{0}\) es un vector propio de\(A\) ya que los vectores\(\mathbf v\) y\(A\mathbf v\) no se encuentran en la misma línea. A la derecha, sin embargo, vemos que\(\mathbf v=\twovec{1}{1}\) es un vector propio. De hecho,\(A\mathbf v\) se obtiene de estirando\(\mathbf v\)\(\mathbf v\) por un factor de\(3\text{.}\) Por lo tanto,\(\mathbf v\) es un vector propio de\(A\) con autovalor\(\lambda = 3\text{.}\)

Figura 4.1.3. A la izquierda, el vector no\(\mathbf v\) es un vector propio. A la derecha, el vector\(\mathbf v\) es un vector propio con valor propio\(\lambda = 3\text{.}\)

No es difícil ver que cualquier múltiplo de\(\twovec{1}{1}\) es también un vector propio de\(A\) con autovalor\(\lambda = 3\text{.}\) De hecho, veremos más adelante que todos los vectores propios asociados a un valor propio dado forman un subespacio de\(\mathbb R^n\text{.}\)

En la Figura 4.1.4, vemos que también\(\mathbf v=\twovec{-1}{1}\) es un vector propio con valor propio\(\lambda =-1\text{.}\)

Figura 4.1.4. Aquí vemos otro vector propio\(\mathbf v\) con valor propio\(\lambda = -1\text{.}\)

El diagrama interactivo que utilizamos en la actividad pretende transmitir el hecho de que los vectores propios de una matriz\(A\) son vectores especiales. La mayoría de las veces, los vectores\(\mathbf v\) y\(A\mathbf v\) aparecen algo no relacionados. Para ciertos vectores, sin embargo,\(\mathbf v\) y\(A\mathbf v\) alinearse entre sí. Algo importante está pasando cuando eso sucede así que llamamos la atención a esos vectores llamándolos vectores propios. Para estos vectores, la operación de multiplicar por\(A\) reduce a la operación mucho más simple de multiplicar escalar por\(\lambda\text{.}\) La razón por la que los vectores propios son importantes es porque es sumamente conveniente poder reemplazar la multiplicación matricial por multiplicación escalar.

Eigen es una palabra alemana que puede interpretarse como “característica”. Como veremos, los vectores propios y los valores propios de una matriz\(A\) dan una caracterización importante de la matriz.

La utilidad de los autovalores y vectores propios

En la siguiente sección, introduciremos una técnica algebraica para encontrar los valores propios y los vectores propios de una matriz. Antes de hacer eso, sin embargo, nos gustaría discutir por qué los valores propios y los vectores propios son tan útiles.

Sigamos viendo el ejemplo\(A = \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Hemos visto que\(\mathbf v_1 = \twovec{1}{1}\) es un vector propio con autovalor\(\lambda=3\) y\(\mathbf v_2=\twovec{-1}{1}\) es un autovector con autovalor\(\lambda = -1\text{.}\) Esto quiere decir que\(A\mathbf v_1 = 3\mathbf v_1\) y\(A\mathbf v_2=-\mathbf v_2\text{.}\) Por la linealidad de la multiplicación matricial, podemos entender fácilmente lo que sucede cuando multiplicamos una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) por\(A\text{:}\)

\ begin {ecuación*} A (c_1\ mathbf v_1 + c_2\ mathbf v_2) = 3c_1\ mathbf v_1 - c_2\ mathbf v_2\ text {.} \ end {ecuación*}

Por ejemplo, si consideramos el vector\(\mathbf x=\mathbf v_1-2\mathbf v_2\text{,}\) nos encontramos con que

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} A\ mathbf x& {} = {} A (\ mathbf v_1 - 2\ mathbf v_2)\\ A\ mathbf x& {} = {} = {} 3\ mathbf v_1 + 2\ mathbf v_2\ end {alineado}\ end {ecuación*}

como se ve en la figura.

En otras palabras, multiplicar por\(A\) tiene el efecto de estirar un vector\(\mathbf x\) en la\(\mathbf v_1\) dirección por un factor de\(3\) y voltear la\(\mathbf v_2\) dirección\(\mathbf x\) in.

Podemos dibujar una analogía con el ejemplo más familiar de la matriz diagonal\(D=\left[\begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Como hemos visto, el efecto de multiplicar un vector\(\mathbf x\) por\(D\) es estirar\(\mathbf x\) horizontalmente por un factor de\(3\) y voltear\(\mathbf x\) verticalmente. Esto se ilustra en la Figura 4.1.5.

Figura 4.1.5. La matriz diagonal\(D\) estira los vectores horizontalmente por un factor de\(3\) y voltea los vectores verticalmente.

La matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right]\) tiene un efecto similar cuando se ve en la base definida por los vectores propios\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{,}\) como se ve en la Figura 4.1.6.

Figura 4.1.6. La matriz\(A\) tiene el mismo efecto geométrico que la matriz diagonal\(D\) cuando se expresa en el sistema de coordenadas definido por la base de vectores propios.

En un sentido que se precisará posteriormente, tener un conjunto de vectores propios de\(A\) eso forma una base de nos\(\mathbb R^2\) permite pensar que es equivalente a una matriz diagonal Por\(D\text{.}\) supuesto, como muestran los otros ejemplos de la actividad anterior, puede que no siempre sea posible formar una\(A\) base a partir de los vectores propios de una matriz. Por ejemplo, los únicos vectores propios de la matriz\(\left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right]\text{,}\) que representa un cizallamiento, tienen la forma\(\twovec{x}{0}\text{.}\) En este ejemplo, no somos capaces de crear una base para\(\mathbb R^2\) constar de vectores propios de la matriz. Esto también es cierto para la matriz\(\left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right] \text{,}\) que representa una\(90^\circ\) rotación.

Actividad 4.1.3.

Consideremos un ejemplo que ilustre cómo podemos poner en práctica estas ideas.

Supongamos que trabajamos para una empresa de renta de autos que tiene dos ubicaciones,\(P\) y\(Q\text{.}\) cuando un cliente alquila un auto en una ubicación, tiene la opción de devolverlo a cualquiera de las ubicaciones al final del día. Después de hacer algunas investigaciones de mercado, determinamos:

• Se devuelve el 80% de los autos rentados en el lugar\(P\)\(P\) y el 20% se devuelve a\(Q\text{.}\)
• Se devuelve el 40% de los autos rentados en el lugar\(Q\)\(Q\) y el 60% se devuelve a\(P\text{.}\)

1. Supongamos que hay 1000 autos en el lugar\(P\) y no hay autos en el lugar\(Q\) el lunes por la mañana. ¿Cuántos autos hay localizaciones\(P\) y\(Q\) al final del día el lunes?
2. ¿Cuántos hay en los lugares\(P\) y\(Q\) al final del día el martes?
3. Si dejamos\(P_k\) y\(Q_k\) seremos el número de autos en ubicaciones\(P\) y\(Q\text{,}\) respectivamente, al final del día\(k\text{,}\) tenemos
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineado} P_ {k+1} & {} = {} 0.8p_k + 0.6q_k\\ Q_ {k+1} & {} = {} 0.2p_k + 0.4q_k\ texto {.}\\\ end {alineado}\ end {ecuación*}

   Podemos escribir el vector\(\mathbf x_k = \twovec{P_k}{Q_k}\) para reflejar el número de autos en las dos ubicaciones al final del día\(k\text{,}\) que dice que

   \ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ mathbf x_ {k+1} & {} = {} = {}\ left [\ begin {array} {rr} 0.8 & 0.6\\ 0.2 & 0.4\\ end {array}\ derecha]\ mathbf x_k\\\\ texto {o}\ qquad\ mathbf x_ {k+1} & {} = {} A\ mathbf _k\ final {alineado}\ final {ecuación*}

   donde\(A=\left[\begin{array}{rr}0.8 & 0.6 \\ 0.2 & 0.4 \end{array}\right]\text{.}\)

   Supongamos que

   \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ twovec {3} {1},\ qquad\ mathbf v_2 =\ twovec {-1} {1}\ text {.} \ end {ecuación*}

   Calcular\(A\mathbf v_1\) y\(A\mathbf v_2\) demostrar que\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) son vectores propios de\(A\text{.}\) ¿Cuáles son los valores propios asociados\(\lambda_1\) y\(\lambda_2\text{?}\)

4. Dijimos que 1000 autos están inicialmente en la ubicación\(P\) y ninguno en la ubicación\(Q\text{.}\) Esto significa que el vector inicial que describe el número de autos es\(\mathbf x_0 = \twovec{1000}{0}\text{.}\) Escribir\(\mathbf x_0\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)
5. Recuerda que\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) son vectores propios de\(A\text{.}\) Usa la linealidad de la multiplicación matricial para escribir el vector\(\mathbf x_1 = A\mathbf x_0\text{,}\) que describe el número de autos en las dos ubicaciones al final del primer día, como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)
6. Escribe el vector\(\mathbf x_2 = A\mathbf x_1\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\) Luego escribe los siguientes vectores como combinaciones lineales de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{:}\)
   1. \(\mathbf x_3 = A\mathbf x_2\text{.}\)
   2. \(\mathbf x_4 = A\mathbf x_3\text{.}\)
   3. \(\mathbf x_5 = A\mathbf x_4\text{.}\)
   4. \(\mathbf x_6 = A\mathbf x_5\text{.}\)
7. ¿Qué pasará con la cantidad de autos en las dos ubicaciones después de mucho tiempo? Explica cómo escribir\(\mathbf x_0\) como una combinación lineal de vectores propios te ayuda a determinar el comportamiento a largo plazo.

Esta actividad es importante y motiva gran parte de nuestro trabajo con valores propios y vectores propios por lo que la revisaremos ahora asegurándonos de tener una comprensión clara de los conceptos que surgen.

Primero, calculamos

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} A\ mathbf v_1 =\ left [\ begin {array} {rr} 0.8 & 0.6\\ 0.2 & 0.4\\\ end {array}\ right]\ twovec {3} {1} & {} = {}\ twovec {3} {1} = 1\ mathbf v_1\\\ A\ mathbf v_1\\ A\ mathbf v_1\\ A\ mathbf v_1 _2 =\ left [\ begin {array} {rr} 0.8 & 0.6\\ 0.2 & 0.4\\\ end {array}\ derecha]\ twovec {-1} {1} & {} = {}\ twovec {-0.2} {0.2} = 0.2\ mathbf v_2\ texto {.}\\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

Esto muestra que\(\mathbf v_1\) es un vector propio de\(A\) con valor propio\(\lambda_1 = 1\) y\(\mathbf v_2\) es un vector propio de\(A\) con autovalor\(\lambda_2=0.2\text{.}\)

Por la linealidad de la multiplicación matricial, tenemos

\ begin {ecuación*} A (c_1\ mathbf v_1 + c_2\ mathbf v_2) = c_1\ mathbf v_1 + 0.2c_2\ mathbf v_2\ text {.} \ end {ecuación*}

Por lo tanto, escribiremos el vector describiendo la distribución inicial de los autos\(\mathbf x_0=\twovec{1000}{0}\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y es\(\mathbf v_2\text{;}\) decir,\(\mathbf x_0 = c_1\mathbf v_2 + c_2 \mathbf v_2\text{.}\) Para ello, formamos la matriz aumentada y la fila reducimos:

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr|r}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ mathbf x_0\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rr|r} 3 & -1 & 1000\\ 1 & 0 & 0\\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rr|r} 1 & 0 & 250\\ 0 & 1 & -250\\\ end {array}\ derecha]\ texto {.} \ end {ecuación*}

Por lo tanto,\(\mathbf x_0 = 250\mathbf v_1 -250\mathbf v_2\text{.}\)

Para determinar la distribución de los autos en días subsiguientes, multiplicaremos repetidamente por\(A\text{.}\) Encontramos que

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ mathbf x_1 = A\ mathbf x_0 & {} = {} A (250\ mathbf v_1 - 250\ mathbf v_2) = 250\ mathbf v_1 - (0.2) 250\ mathbf v_2\\ mathbf x_2 = A\ mathbf x_1 & {} = {} A (250\ mathbf v_1 - (0.2) 250\ mathbf v_2) = 250\ mathbf v_1 - (0.2) ^2250\ mathbf v_2\\\ mathbf x_3 = A\ mathbf x_2 & {} = {} A (250\ mathbf v_1 - (0.2) ^2250\ mathbf v_2) = 250\ mathbf v_1 - (0.2) ^3250\ mathbf v_2\\\ mathbf x_4 = A\ mathbf x_3 & {} = {} A (250\ mathbf v_1 - (0.2) ^3250\ mathbf v_2) = 250\ mathbf v_1 - (0.2) ^4250\ mathbf v_2\\\ mathbf x_5 = A\ mathbf x_4 & {} = {} A (250\ mathbf v_1 - (0.2) ^4250\ mathbf v_2) = 250\ mathbf v_1 - ( 0.2) ^5250\ mathbf v_2\\\ end {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

En particular, esto nos demuestra que

\ begin {ecuación*}\ mathbf x_5 = 250\ mathbf v_1 - (0.2) ^5250\ mathbf v_2 =\ twovec {250\ cdot 3 - (0.2) ^5250\ cdot (-1)} {250\ cdot 1 - (0.2) ^5250\ cdot 1} =\ twovec {750.09} {249.92}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Tomando nota del patrón, podemos escribir

\ begin {ecuación*}\ mathbf x_k = 250\ mathbf v_1 - (0.2) ^k250\ mathbf v_2\ text {.} \ end {ecuación*}

Multiplicar un número por\(0.2\) es lo mismo que tomar el 20% de ese número. A medida que pasa cada día, el segundo término se multiplica por\(0.2\) lo que el coeficiente de\(\mathbf v_2\) en la expresión para\(\mathbf x_k\) eventualmente se volverá extremadamente pequeño. Por lo tanto vemos que la distribución de autos se estabilizará en\(\mathbf x=250\mathbf v_1=\twovec{750}{250}\text{.}\)

Observe cómo nuestro uso de los autovalores y vectores propios de nos\(A\) permiten mirar hacia el futuro sin tener que multiplicar repetidamente un vector por la matriz\(A\text{.}\) Conocer los vectores propios nos permite reemplazar la multiplicación matricial con la operación más simple de multiplicación escalar. Esta es una herramienta poderosa que desarrollaremos más en el resto de este capítulo.

Observe también cómo este ejemplo se basa en el hecho de que podemos expresar el vector inicial\(\mathbf x_0\) como una combinación lineal de vectores propios. Por esta razón, nos gustaría, dada una\(n\times n\) matriz, poder crear una base\(\mathbb R^n\) de vectores propios. Con frecuencia volveremos a esta pregunta en secciones posteriores.

Pregunta 4.1.7.

Dada una\(n\times n\) matriz, ¿\(A\text{,}\)cuándo podemos formar una base para\(\mathbb R^n\) constar de vectores propios de\(A\text{?}\)

Resumen

Definimos un vector propio de una matriz cuadrada\(A\) para ser un vector distinto de cero\(\mathbf v\) tal que\(A\mathbf v = \lambda\mathbf v\) para algún escalar\(\lambda\text{,}\) que se llama el valor propio asociado a\(\mathbf v\text{.}\)

• Si\(\mathbf v\) es un vector propio, entonces la multiplicación matricial por\(A\) reduce a la operación más simple de multiplicación escalar por\(\lambda\text{.}\)
• Los múltiplos escalares de un vector propio también son vectores propios. De hecho, veremos que los vectores propios asociados a un valor propio\(\lambda\) forman un subespacio.
• Si podemos formar una base para\(\mathbb R^n\) constar de vectores propios de\(A\text{,}\) entonces\(A\) es, en cierto sentido, equivalente a una matriz diagonal.
• Reescribir un vector\(\mathbf x\) como una combinación lineal de vectores propios de\(A\) hace que sea fácil multiplicar repetidamente\(\mathbf x\) por\(A\text{.}\)

Ejercicios 4.1.4Ejercicios

1

Considere la matriz y los vectores

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 8 & -10\\ 5 & -7\\ end {array}\ derecha],\ qquad\ mathbf v_1=\ twovec {2} {1},\ mathbf v_2=\ twovec {1} {1}\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Mostrar que los vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) son vectores propios de\(A\) y encuentran sus valores propios asociados.
2. Expresar el vector\(\mathbf x = \twovec{-4}{-1}\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)
3. Utilice esta expresión para calcular\(A\mathbf x\text{,}\)\(A^2\mathbf x\text{,}\) y\(A^{-1}\mathbf x\) como una combinación lineal de vectores propios.

2

Considere la matriz y los vectores

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} -5 & -2 & 2\\ 24 & 14 & -10\\ 21 & 14 & -10\\\ end {array}\ derecha],\ qquad\ mathbf v_1=\ threevec {1} {-2} {-1},\ mathbf v_2=\ threevec {2} {-3} {0},\ mathbf v_3=\ tresevec {0} {-1} {-1}\ final {ecuación*}

1. Mostrar que los vectores\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\) son vectores propios de\(A\) y encuentran sus valores propios asociados.
2. Expresar el vector\(\mathbf x = \threevec{0}{-3}{-4}\) como una combinación lineal de los vectores propios.
3. Utilice esta expresión para calcular\(A\mathbf x\text{,}\)\(A^2\mathbf x\text{,}\) y\(A^{-1}\mathbf x\) como una combinación lineal de vectores propios.

3

Supongamos que\(A\) es una\(n\times n\) matriz.

1. Explicar por qué\(\lambda = 0\) es un valor propio si y solo si hay una solución no trivial a la ecuación homogénea\(A\mathbf x = 0\text{.}\)
2. Explique por qué tal matriz no\(A\) es invertible si y sólo si\(\lambda=0\) es un valor propio.
3. Si\(A\) es una\(n\times n\) matriz invertible que tiene un vector propio\(\mathbf v\) y un valor propio asociado\(\lambda\text{,}\) explicar por qué también\(\mathbf v\) es un vector propio de\(A^{-1}\) con autovalor asociado\(\lambda^{-1}\text{.}\)
4. Si\(A\) es una\(n\times n\) matriz con autovector\(\mathbf v\) y autovalor asociado\(\lambda\text{,}\) explicar por qué también\(\mathbf v\) es un vector propio de\(A^2\) con autovalor asociado\(\lambda^2\text{.}\)
5. La matriz\(A=\ \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right]\) tiene vectores propios\(\mathbf v_1=\twovec{1}{1}\) y\(\mathbf v_2=\twovec{-1}{1}\) y valores propios asociados\(\lambda_1 = 3\) y\(\lambda=-1\text{.}\) ¿Cuáles son algunos vectores propios y valores propios asociados para\(A^5\text{?}\)

4

Supongamos que\(A\) es una matriz con vectores propios\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) y valores propios\(\lambda_1 = -1\) y\(\lambda_2=2\) como se muestra.

Esbozar los vectores\(A\mathbf x\text{,}\)\(A^2\mathbf x\text{,}\) y\(A^{-1}\mathbf x\text{.}\)

5

Para las siguientes matrices, encuentre los vectores propios y los valores propios asociados pensando geométricamente sobre la transformación matricial correspondiente.

1. \(\left[\begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
2. \(\left[\begin{array}{rr} -2 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
3. ¿Cuáles son los vectores propios y los valores propios asociados de la matriz de identidad?
4. ¿Cuáles son los vectores propios y los valores propios asociados de una matriz diagonal con distintas entradas diagonales?

6

Supongamos que\(A\) es una\(2\times2\) matriz que tiene vectores propios

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1=\ twovec {2} {1},\ qquad\ mathbf v_2=\ twovec {-1} {2}\ end {ecuación*}

y valores propios asociados\(\lambda_1=2\) y\(\lambda_2=-3\text{.}\) Si\(\mathbf x=\twovec{5}{0}\text{,}\) encuentra el vector\(A^4\mathbf x\text{.}\)

7

Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y proporcione una justificación para su respuesta.

1. Los valores propios de una matriz diagonal son iguales a las entradas en la diagonal.
2. Si\(A\mathbf v=\lambda\mathbf v\text{,}\) entonces\(A^2\mathbf v=\lambda\mathbf v\) también.
3. Cada vector es un vector propio de la matriz de identidad.
4. Si\(\lambda=0\) es un valor propio de\(A\text{,}\) entonces\(A\) es invertible.
5. Por cada\(n\times n\) matriz\(A\text{,}\) es posible encontrar una base\(\mathbb R^n\) consistente en vectores propios de\(A\text{.}\)

8

Considere las dos matrices especiales a continuación y encuentre sus vectores propios y valores propios asociados.

1. \(\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
2. \(\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

9

Para cada una de las siguientes transformaciones matriciales, describa los valores propios y los vectores propios de la matriz correspondiente\(A\text{.}\)

1. Un reflejo\(\mathbb R^2\) en la línea\(y=x\text{.}\)
2. Una\(180^\circ\) rotación en\(\mathbb R^2\text{.}\)
3. Una\(180^\circ\) rotación\(\mathbb R^3\) alrededor del\(y\) eje.
4. Una\(90^\circ\) rotación\(\mathbb R^3\) alrededor del\(x\) eje.

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Supongamos que tenemos dos especies,\(P\) y\(Q\text{,}\) donde las especies\(P\) se aprovechan de\(Q\text{.}\) Sus poblaciones, en millones, en año\(k\) se denotan por\(P_k\) y\(Q_k\) y satisfacen

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} P_ {k+1} & {} = {} 0.8p_k + 0.2q_k\\ Q_ {k+1} & {} = {} -0.3p_k + 1.5q_k\\ end {alineado}\ text {.} \ end {ecuación*}

Haremos un seguimiento de las poblaciones en el año\(k\) usando el vector\(\mathbf x_k=\twovec{P_k}{Q_k}\) para que

\ begin {ecuación*}\ mathbf x_ {k+1} = A\ mathbf x_k =\ left [\ begin {array} {rr} 0.8 & 0.2\\ -0.3 & 1.5\\\ end {array}\ derecha]\ mathbf x_k\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Mostrar que\(\mathbf v_1=\twovec{1}{3}\) y\(\mathbf v_2=\twovec{2}{1}\) son vectores propios de\(A\) y encontrar sus valores propios asociados.
2. Supongamos que las poblaciones iniciales son descritas por el vector\(\mathbf x_0 = \twovec{38}{44}\text{.}\) Express\(\mathbf x_0\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)
3. Encuentre las poblaciones después de un año, dos años y tres años escribiendo los vectores\(\mathbf x_1\text{,}\)\(\mathbf x_2\text{,}\) y\(\mathbf x_3\) como combinaciones lineales de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)
4. ¿Cuál es la forma general para\(\mathbf x_k\text{?}\)
5. Después de mucho tiempo, ¿cuál es la proporción de\(P_k\) a\(Q_k\text{?}\)