4.2: Encontrar valores propios y vectores propios

La última sección introdujo valores propios y vectores propios, presentó la intuición geométrica subyacente detrás de su definición y demostró su uso en la comprensión del comportamiento a largo plazo de ciertos sistemas. Ahora desarrollaremos una comprensión más algebraica de los valores propios y vectores propios. En particular, encontraremos un método algebraico para determinar los valores propios y los vectores propios de una matriz cuadrada.

Vista previa Actividad 4.2.1.

Empecemos por repasar algunas ideas importantes que hemos visto anteriormente.

1. Supongamos que\(A\) es una matriz cuadrada y que el vector distinto de cero\(\mathbf x\) es una solución a la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\text{.}\) ¿Qué podemos concluir sobre la invertibilidad de\(A\text{?}\)
2. ¿Cómo nos\(\det A\) dice el determinante si hay una solución distinta de cero a la ecuación homogénea?\(A\mathbf x = \zerovec\text{?}\)
3. Supongamos que
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 3 & -1 & 1\\ 0 & 2 & 4\\ 1 & 1 & 3\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Encuentra el determinante\(\det A\text{.}\) Qué nos dice esto sobre el espacio de solución a la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\text{?}\)

4. Encuentre una base para\(\nul(A)\text{.}\)
5. ¿Cuál es la relación entre el rango de una matriz y la dimensión de su espacio nulo?

El polinomio característico

Primero veremos que los valores propios de una matriz cuadrada aparecen como las raíces de un polinomio particular. Para comenzar, observe que originalmente definimos un vector propio como un vector distinto de cero\(\mathbf v\) que satisfizo la ecuación\(A\mathbf v = \lambda\mathbf v\text{.}\) Reescribiremos esto como

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} A\ mathbf v & {} = {}\ lambda\ mathbf v\\ A\ mathbf v -\ lambda\ mathbf v & {} = {}\ zerovec\\ A\ mathbf v -\ lambda I\ mathbf v & {} = {}\ zerovec\\ (A-\ lambda I)\ mathbf & v {} = {}\ cerovec\ texto {.}\\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

Es decir, un vector propio\(\mathbf v\) es una solución de la ecuación homogénea\((A-\lambda I)\mathbf v=\zerovec\text{.}\) Esto nos coloca en territorio familiar, que exploraremos en la siguiente actividad.

Actividad 4.2.2.

Los valores propios de una matriz cuadrada se definen por la condición de que haya una solución distinta de cero a la ecuación homogénea\((A-\lambda I)\mathbf v=\zerovec\text{.}\)

1. Si hay una solución distinta de cero a la ecuación homogénea\((A-\lambda I)\mathbf v = \zerovec\text{,}\) qué podemos concluir sobre la invertibilidad de la matriz\(A-\lambda I\text{?}\)
2. Si hay una solución distinta de cero a la ecuación homogénea\((A-\lambda I)\mathbf v = \zerovec\text{,}\) qué podemos concluir sobre el determinante\(\det(A-\lambda I)\text{?}\)
3. Consideremos la matriz
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 2\\ 2 & 1\\\ end {array}\ right]\ end {equation*}

   a partir de la cual construimos

   \ begin {ecuación*} A-\ lambda I =\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 2\\ 2 & 1\\\ end {array}\ right] -\ lambda\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 0\\ 0 & 1\\ end {array}\\ right] =\ left [\ begin {array} {rr} 1-\ lambda y 2\\ 2 y 1-\ lambda\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Encuentra el determinante\(\det(A-\lambda I)\text{.}\) Qué tipo de ecuación obtienes cuando establecemos este determinante en cero para obtener\(\det(A-\lambda I) = 0\text{?}\)

4. Usa el determinante que encontraste en la parte anterior para encontrar los valores propios resolviendo\(\det(A-\lambda I) = 0\text{.}\) Consideramos esta matriz en la sección anterior\(\lambda\) por lo que deberíamos encontrar los mismos valores propios para los\(A\) que encontramos razonando geométricamente ahí.
5. Considera la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{array}\right]\) y encuentra sus valores propios resolviendo la ecuación\(\det(A-\lambda I) = 0\text{.}\)
6. Considera la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right]\) y encuentra sus valores propios resolviendo la ecuación\(\det(A-\lambda I) = 0\text{.}\)
7. Encuentra los valores propios de la matriz triangular\(\left[\begin{array}{rrr} 3 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \text{.}\) ¿Qué es generalmente cierto acerca de los valores propios de una matriz triangular?

Esta actividad demuestra una técnica que nos permite encontrar los valores propios de una matriz cuadrada\(A\text{.}\) Dado que un valor propio\(\lambda\) es un escalar para el cual la ecuación\((A-\lambda I)\mathbf v = \zerovec\) tiene una solución distinta de cero, debe ser el caso que no\(A-\lambda I\) sea invertible. Por lo tanto, su determinante es cero. Esto nos da la ecuación

\ begin {ecuación*}\ det (A-\ lambda I) = 0\ end {ecuación*}

cuyas soluciones son los valores propios de\(A\text{.}\) Esta ecuación se llama la ecuación característica de\(A\text{.}\)

Si escribimos la ecuación característica para la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right] \text{,}\) vemos que

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ det (A-\ lambda I) & {} = {} = {} 0\\\\ det\ left [\ begin {array} {rr} 1 -\ lambda & 2\\ 2 & 1 -\ lambda\\ end {array}\ derecha] & {} = {} = {} 0\\\\ (1-\ lambda) ^2 - 4 & {= {} 0\\ -3 - 2\ lambda +\ lambda^2 {} = {} 0\\ (3-\ lambda) (-1-\ lambda) {} = {} 0\ text {.}\\\ end { alineado}\ end {ecuación*}

Esto nos muestra que los valores propios son\(\lambda = 3\) y\(\lambda=-1\text{,}\) los mismos valores propios que encontramos al razonar geométricamente en la sección anterior.

En general, la expresión\(\det(A-\lambda I)\) es un polinomio en el\(\lambda\text{,}\) que se denomina polinomio característico de\(A\text{.}\) Si\(A\) es una\(n\times n\) matriz, el grado del polinomio característico es\(n\text{.}\) Por ejemplo, si\(A\) es una\(2\times2\) matriz, entonces \(\det(A-\lambda I)\)es un polinomio cuadrático; si\(A\) es una\(3\times3\) matriz, entonces\(\det(A-\lambda I)\) es un polinomio cúbico.

Los otros ejemplos que aparecen en esta actividad demuestran algunos temas que tendremos que tratar más adelante. Por ejemplo, la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{array}\right]\) conduce a la ecuación característica,\((2-\lambda)^2 = 0\text{.}\) en este caso, sólo hay un valor propio\(\lambda = 2\) que aparece como una raíz repetida. Por ahora, simplemente señalamos que nuestro trabajo en el apartado anterior demostró que no era posible formar una base de\(\mathbb R^2\) constar de vectores propios de\(A\text{.}\)

Por último, cuando\(A = \left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right] \text{,}\) encontremos la ecuación característica\(\lambda^2 + 1 = 0\text{.}\) Si bien esta ecuación no tiene soluciones reales, sí tiene soluciones complejas\(\lambda = \pm i\text{,}\) y nos será útil trabajar con estos complejos valores propios en el futuro. Mientras tanto, recordemos que esta matriz define una\(90^\circ\) rotación por lo que no esperamos ninguna solución a la ecuación\(A\mathbf v = \lambda \mathbf v\) para valores propios reales\(\lambda\) ya que es un vector\(\mathbf v\) y nunca\(A\mathbf v\) puede estar en la misma línea.

Finalmente, los valores propios de una matriz triangular se determinan fácilmente porque el determinante de una matriz triangular es el producto de las entradas en la diagonal. Por lo tanto, la ecuación característica es

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ det\ left (\ left [\ begin {array} {rrr} 3 & -1 & 4\\ 0 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ end {array}\ derecha] -\ lambda I\ derecha) & {} = {}\ det\ left [\ begin {array} {rrr} 3-\ lambda y -1 y 4\\ 0 y -2-\ lambda y 3\\ 0 y 0 y 1-\ lambda\ \\ end {array}\ derecha]\\\\ & {} = {} (3-\ lambda) (-2-\ lambda) (1-\ lambda) = 0\ text {,}\ end {alineado}\ end {ecuación*}

mostrando que los valores propios son las entradas diagonales\(\lambda = 3,-2,1\text{.}\)

Tenemos como se ve ahora la ecuación característica puede ser utilizada para determinar los valores propios de una matriz. Recuerde, sin embargo, que encontrar el determinante de una matriz usando una expansión de cofactor no es computacionalmente factible cuando el tamaño de la matriz es relativamente grande. Encontrar los valores propios de una matriz factorizando su polinomio característico es, por lo tanto, una técnica limitada a matrices relativamente pequeñas; introduciremos una nueva técnica para encontrar valores propios de matrices más grandes en el próximo capítulo.

Encontrar vectores propios

Ahora que podemos encontrar los valores propios de una matriz\(A\) cuadrada resolviendo la ecuación característica nos\(\det(A-\lambda I) = 0\text{,}\) dirigiremos a la cuestión de encontrar los vectores propios asociados a un valor propio\(\lambda\text{.}\) Una vez más, la clave es señalar que un vector propio es una solución distinta de cero a lo homogéneo \((A-\lambda I)\mathbf v = \zerovec\text{.}\)En otras palabras, los vectores propios asociados a un valor propio\(\lambda\) forman el espacio nulo\(\nul(A-\lambda I)\text{.}\)

Esto muestra que los vectores propios asociados a un valor propio forman un subespacio de\(\mathbb R^n\text{.}\) Vamos\(E_\lambda\) a utilizar para denotar el subespacio de vectores propios de una matriz\(A\) asociada al valor propio\(\lambda\) y señalar que

\ begin {ecuación*} E_\ lambda =\ nul (A-\ lambda I)\ texto {.} \ end {ecuación*}

Decimos que\(E_\lambda\) es el espacio propio de\(A\) asociado al valor propio\(\lambda\text{.}\)

Actividad 4.2.3.

En esta actividad, encontraremos los vectores propios de una matriz como el espacio nulo de la matriz\(A-\lambda I\text{.}\)

1. Empecemos por la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Hemos visto que\(\lambda = 3\) es un valor propio. Formar la matriz\(A-3I\) y encontrar una base para el espacio propio\(E_3 = \nul(A-3I)\text{.}\) ¿Cuál es la dimensión de este espacio propio? Para cada uno de los vectores base\(\mathbf v\text{,}\) verificar que\(A\mathbf v = 3\mathbf v\text{.}\)
2. También vimos que\(\lambda = -1\) es un valor propio. Formar la matriz\(A-(-1)I\) y encontrar una base para el espacio propio\(E_{-1}\text{.}\) ¿Cuál es la dimensión de este espacio propio? Para cada uno de los vectores base\(\mathbf v\text{,}\) verificar que\(A\mathbf v = -\mathbf v\text{.}\)
3. ¿Es posible formar una base\(\mathbb R^2\) consistente en vectores propios de\(A\text{?}\)
4. Ahora considera la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Escribe la ecuación característica para\(A\) y úsala para encontrar los valores propios de\(A\text{.}\) Para cada autovalor, encuentra una base para su espacio propio\(E_\lambda\text{.}\) ¿Es posible formar una base de\(\mathbb R^2\) constar de vectores propios de\(A\text{?}\)
5. A continuación, considere la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Escriba la ecuación característica para\(A\) y úsela para encontrar los valores propios de\(A\text{.}\) Para cada autovalor, encuentre una base para su espacio propio\(E_\lambda\text{.}\) ¿Es posible formar una base de\(\mathbb R^2\) constar de vectores propios de\(A\text{?}\)
6. Finalmente, encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz diagonal\(A = \left[\begin{array}{rr} 4 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Explica tu resultado considerando el efecto geométrico de la transformación matricial definida por\(A\text{.}\)

Una vez que encontramos los valores propios de una matriz\(A\text{,}\) que describe el espacio propio\(E_\lambda\) equivale a la tarea familiar de describir el espacio nulo\(\nul(A-\lambda I)\text{.}\) Por ejemplo, sabemos que\(\lambda = 3\) es un valor propio de\(A = \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Then,\(E_3 = \nul(A-3I)\text{,}\) y tenemos

\ begin {ecuación*} A - 3I =\ left [\ begin {array} {rr} -2 & 2\\ 2 & -2\\\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rr} 1 & -1\\ 0 & 0\\ end {array}\\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

A partir de la forma de escalón de fila reducida, vemos que los vectores propios\(\mathbf v = \twovec{v_1}{v_2}\) están determinados por la ecuación única\(v_1-v_2 = 0\) o\(v_1 = v_2\text{.}\) Por lo tanto los vectores propios en\(E_3\) tienen la forma

\ begin {ecuación*}\ mathbf v=\ twovec {v_1} {v_2} =\ twovec {v_2} {v_2} = v_2\ twovec {1} {1}\ texto {.} \ end {ecuación*}

En otras palabras,\(E_3\) es un subespacio unidimensional de\(\mathbb R^2\) con base\(\twovec{1}{1}\text{.}\) Una vez más, esto concuerda con los vectores propios que encontramos geométricamente en la sección anterior.

El mismo razonamiento se aplica para mostrar que los vectores propios asociados a\(\lambda = -1\) tener la forma

\ begin {ecuación*}\ mathbf v = v_2\ twovec {-1} {1}\ texto {,}\ final {ecuación*}

lo que demuestra que el espacio propio\(E_{-1}\) es un subespacio unidimensional de\(\mathbb R^2\) tener bases\(\twovec{-1}{1}\text{.}\)

Dos ejemplos más de la actividad son importantes. La ecuación característica para la matriz\(A= \left[\begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{array}\right]\) es\(\det(A-\lambda I) = (3-\lambda)^2 = 0\text{.}\) Esto demuestra que hay un único valor propio\(\lambda = 3\text{.}\) Si encontramos el espacio propio\(E_3=\nul(A-3I)\text{,}\) tenemos

\ begin {ecuación*} A -3I =\ left [\ begin {array} {rr} 3 & 0\\ 0 & 3\\\ end {array}\ right] - 3I =\ left [\ begin {array} {rr} 0 & 0\\ 0 & 0\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Esto demuestra que cada vector está en\(E_3\) tal que\(E_3=\mathbb R^2\text{.}\) En este caso, existe una base de\(\mathbb R^2\) constar de vectores propios de\(A\text{.}\) Esto se alinea con nuestra comprensión geométrica: esta matriz tiene el efecto de escalar vectores por un factor de\(3\) en cada dirección. Por lo tanto, cada vector es un vector propio con valor propio\(\lambda = 3\text{.}\)

Sin embargo, si consideramos la matriz\(A= \left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{array}\right] \text{,}\) encontramos la ecuación característica\((2-\lambda)^2 = 0\text{,}\) que muestra que nuevamente hay un único valor propio\(\lambda = 2\text{.}\) En este caso,

\ begin {ecuación*} A -2I =\ left [\ begin {array} {rr} 2 & 1\\ 0 & 2\\\ end {array}\ right] - 2I =\ left [\ begin {array} {rr} 0 & 1\\ 0 & 0\\ end {array}\ right]\ text {,}\ end {ecuación*}

que muestra que\(E_2\) es un subespacio unidimensional de\(\mathbb R^2\) con base\(\twovec{1}{0}\text{.}\) Dado que no hay otros valores propios, no es posible encontrar una base para\(\mathbb R^2\) constar de vectores propios de\(A\text{.}\)

Una vez más, podemos entender este resultado geométricamente. La transformación matricial correspondiente a la matriz\(A\) es un cizallamiento que desliza vectores horizontalmente. Por lo tanto, esta transformación solo escala los vectores que se encuentran en el eje horizontal.

Estos dos últimos ejemplos ilustran dos tipos de comportamiento cuando hay un único valor propio. En un caso, somos capaces de construir una base de\(\mathbb R^2\) usar vectores propios; en el otro, no lo somos. Exploraremos más este comportamiento en la siguiente subsección.

Un chequeo de nuestro trabajo.

Al encontrar valores propios y sus vectores propios asociados de esta manera, primero encontramos valores propios\(\lambda\) resolviendo la ecuación característica. Si\(\lambda\) es una solución a la ecuación característica, entonces no\(A-\lambda I\) es invertible y, en consecuencia,\(A-\lambda I\) debe contener una fila sin una posición de pivote.

Esto nos sirve como un control de nuestro trabajo. Si hacemos fila reducir\(A-\lambda I\) y encontrar la matriz de identidad, entonces hemos cometido un error ya sea en resolver la ecuación característica o en encontrar\(\nul(A-\lambda I)\text{.}\)

El polinomio característico y la dimensión de los espacios propios

Dada una\(n\times n\) matriz cuadrada\(A\text{,}\) vimos en la sección anterior el valor de poder expresar cualquier vector en\(\mathbb R^n\) como una combinación lineal de vectores propios de\(A\text{.}\) Por esta razón, hicimos la Pregunta 4.1.7 para determinar cuándo podemos construir una base de\(\mathbb R^n\) que consiste en vectores propios. Vamos a explorar esta cuestión más a fondo ahora.

Como vimos anteriormente, los valores propios de\(A\) son las soluciones de la ecuación característica\(\det(A-\lambda I) = 0\text{.}\) Dos ejemplos de ecuaciones características que hemos visto anteriormente son

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} (3-\ lambda) (-2-\ lambda) (1-\ lambda) & {} = {} = {} 0\\\ texto {y}\ qquad (2-\ lambda) ^2 & {} = {} 0\\ final {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

En términos generales, el polinomio característico siempre se puede factorizar en términos que tengan la forma\((\lambda_j-\lambda)\) donde\(\lambda_j\) es un valor propio de\(A\text{.}\) Al hacerlo, debemos permitirnos considerar valores propios complejos, que estudiaremos con más detalle en la siguiente sección. Esto significa, sin embargo, que siempre podemos escribir la ecuación característica en la forma

\ begin {ecuación*} (\ lambda_1-\ lambda) ^ {m_1} (\ lambda_2-\ lambda) ^ {m_2}\ ldots (\ lambda_p-\ lambda) ^ {m_p} = 0\ texto {.} \ end {ecuación*}

Las soluciones a la ecuación característica son los valores propios\(\lambda_j\text{,}\) y\(m_j\text{,}\) el número de veces que\(\lambda_j - \lambda\) aparece como factor en el polinomio característico, se llama la multiplicidad del valor propio\(\lambda_j\text{.}\)

Ejemplo 4.2.1

Hemos visto que la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{array}\right]\) tiene la ecuación característica\((2-\lambda)^2 = 0\text{.}\) Esta matriz\(A\) tiene un único valor propio\(\lambda = 2\text{,}\) que tiene multiplicidad\(2\text{.}\)

Ejemplo 4.2.2

Si una matriz tiene la ecuación característica

\ begin {ecuación*} (4-\ lambda) ^2 (-5-\ lambda) (1-\ lambda) ^7 (3-\ lambda) ^2 = 0\ text {,}\ end {ecuación*}

entonces esa matriz tiene cuatro valores propios:\(\lambda=4\) tener multiplicidad 2;\(\lambda=-5\) tener multiplicidad 1;\(\lambda=1\) tener multiplicdad 7; y\(\lambda=3\) tener multiplicdad 2. El grado del polinomio característico es la suma de las multiplicidades\(2+1+7+2 = 12\) por lo que esta matriz debe ser una\(12\times12\) matriz.

Las multiplicidades de los valores propios son importantes porque influyen en la dimensión de los espacios propios. Sabemos que la dimensión de un espacio propio debe ser al menos una; la siguiente proposición también nos dice que la dimensión de un espacio propio no puede ser mayor que la multiplicidad de su propio valor asociado.

Proposición 4.2.3.

Si\(\lambda\) es un valor propio real de la matriz\(A\) con multiplicidad\(m\text{,}\) entonces

\ begin {ecuación*} 1\ leq\ dim E_\ lambda\ leq m\ texto {.} \ end {ecuación*}

Ejemplo 4.2.4

La matriz diagonal\(\left[\begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{array}\right]\) tiene la ecuación característica\((3-\lambda)^2 = 0\text{.}\) Hay un único valor propio\(\lambda = 3\) que tiene multiplicidad\(m = 2\text{,}\) y vimos antes que\(\dim E_3 = 2 \leq m = 2\text{.}\)

Ejemplo 4.2.5

La matriz\(\left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{array}\right]\) tiene la ecuación característica\((2-\lambda)^2 = 0\text{.}\) Una vez más, hay un único valor propio\(\lambda = 2\) que tiene multiplicidad\(m = 2\text{.}\) En contraste con el ejemplo anterior, vimos que\(\dim E_2 = 1 \leq m = 2\text{.}\)

Ejemplo 4.2.6

Vimos antes que la matriz\(\left[\begin{array}{rrr} 3 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right]\) tiene la ecuación característica

\ begin {ecuación*} (3-\ lambda) (-2-\ lambda) (1-\ lambda) =0\ texto {.} \ end {ecuación*}

Hay tres autovalores\(\lambda=3,-2,1\) cada uno teniendo multiplicidad\(1\text{.}\) Por la proposición, se nos garantiza que la dimensión de cada espacio propio es\(1\text{;}\) que es,

\ begin {ecuación*}\ dim E_3 =\ dim E_ {-2} =\ dim E-1 = 1\ texto {.} \ end {ecuación*}

Resulta que esto es suficiente para garantizar que hay una base de\(\mathbb R^3\) consistir en vectores propios.

Ejemplo 4.2.7

Si una\(12\times12\) matriz tiene la ecuación característica

\ begin {ecuación*} (4-\ lambda) ^2 (-5-\ lambda) (1-\ lambda) ^7 (3-\ lambda) ^2 = 0\ text {,}\ end {ecuación*}

sabemos que hay cuatro valores propios\(\lambda=4,-5,1,3\text{.}\) Sin más información, todo lo que podemos decir sobre las dimensiones de los espacios propios es

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} 1\ leq\ dim E_4 & {}\ leq {} 2\\ 1\ leq\ dim E_ {-5} & {}\ leq {}\ leq {} 1\ leq\ dim E-1 & {}\ leq {} 7\\ 1\ leq\ dim E_3 & {}\ leq {} 2\ texto {.}\\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

Podemos garantizarlo\(\dim E_{-5} = 1\text{,}\) pero no podemos ser más específicos sobre las dimensiones de los otros espacios propios.

Afortunadamente, si tenemos una\(n\times n\) matriz, lo más común es que la ecuación característica tiene la forma

\ begin {ecuación*} (\ lambda_1-\ lambda) (\ lambda_2-\ lambda)\ lpuntos (\ lambda_n-\ lambda) = 0\ end {ecuación*}

donde hay valores propios\(n\) distintos, cada uno de los cuales tiene multiplicidad\(1\text{.}\) En este caso, la dimensión de cada uno de los espacios propios\(\dim E_{\lambda_j} = 1\text{.}\) Con un poco de trabajo, se puede ver que elegir un vector base\(\mathbf v_j\) para cada uno de los espacios propios produce una base para Por lo tanto,\(\mathbb R^n\text{.}\) tenemos la siguiente proposición.

Proposición 4.2.8.

Si\(A\) es una\(n\times n\) matriz que tiene valores propios reales\(n\) distintos, entonces hay una base de\(\mathbb R^n\) consistir en vectores propios de\(A\text{.}\)

Esta proposición proporciona una respuesta a nuestra Pregunta 4.1.7. La siguiente actividad explora esta cuestión más a fondo.

Actividad 4.2.4.

1. Identificar los valores propios, y sus multiplicidades, de una\(n\times n\) matriz cuyo polinomio característico es\((2-\lambda)^3(-3-\lambda)^{10}(5-\lambda)\text{.}\) ¿Qué se puede concluir sobre las dimensiones de los espacios propios? ¿Cuál es la dimensión de la matriz? ¿Tienes suficiente información para garantizar que hay una base de\(\mathbb R^n\) consistir en vectores propios?
2. Encontrar los valores propios de\(\left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 4 & -4 \\ \end{array}\right]\) y declarar sus multiplicidades. ¿Se puede encontrar una base\(\mathbb R^2\) de constar de vectores propios de esta matriz?
3. Consideremos la matriz\(A = \left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 2 \\ -2 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -2 \\ \end{array}\right]\) cuya ecuación característica es
   \ begin {ecuación*} (-2-\ lambda) ^2 (-1-\ lambda) = 0\ texto {.} \ end {ecuación*}
   1. Identificar los valores propios y sus multiplicidades.
   2. Para cada valor propio\(\lambda\text{,}\) encontrar una base del espacio propio\(E_\lambda\) y declarar su dimensión.
   3. ¿Existe una base de\(\mathbb R^3\) que consiste en vectores propios de\(A\text{?}\)
4. Consideremos ahora la matriz\(A = \left[\begin{array}{rrr} -5 & -2 & -6 \\ -2 & -2 & -4 \\ 2 & 1 & 2 \\ \end{array}\right]\) cuya ecuación característica es también
   \ begin {ecuación*} (-2-\ lambda) ^2 (-1-\ lambda) = 0\ texto {.} \ end {ecuación*}
   1. Identificar los valores propios y sus multiplicidades.
   2. Para cada valor propio\(\lambda\text{,}\) encontrar una base del espacio propio\(E_\lambda\) y declarar su dimensión.
   3. ¿Existe una base de\(\mathbb R^3\) que consiste en vectores propios de\(A\text{?}\)
5. Consideremos la matriz\(A = \left[\begin{array}{rrr} -5 & -2 & -6 \\ 4 & 1 & 8 \\ 2 & 1 & 2 \\ \end{array}\right]\) cuya ecuación característica es
   \ begin {ecuación*} (-2-\ lambda) (1-\ lambda) (-1-\ lambda) = 0\ texto {.} \ end {ecuación*}
   1. Identificar los valores propios y sus multiplicidades.
   2. Para cada valor propio\(\lambda\text{,}\) encontrar una base del espacio propio\(E_\lambda\) y declarar su dimensión.
   3. ¿Existe una base de\(\mathbb R^3\) que consiste en vectores propios de\(A\text{?}\)

Problemas computacionales en la búsqueda de valores propios y vectores propios

Podemos usar Sage para encontrar los polinomios característicos, valores propios y vectores propios de una matriz. Como veremos, sin embargo, se requiere cierto cuidado cuando se trata de matrices cuyas entradas incluyen números de punto flotante. La siguiente actividad demuestra cómo se puede utilizar Sage de esta manera y algunas de las complicaciones que se presentan. Volveremos a examinar este número en secciones posteriores.

Actividad 4.2.5.

Usaremos Sage para encontrar los valores propios y los vectores propios de una matriz. Comencemos con la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

1. Podemos encontrar el polinomio característico de una matriz\(A\) escribiendo A.charpoly ('lam'). Observe que tenemos que darle a Sage una variable en la que escribir el polinomio; aquí, usamos lam aunque también podrías usar x.

   La forma factorizada del polinomio característico puede ser más útil ya que nos dirá los valores propios y sus multiplicidades. El polinomio característico del factor se encuentra con a.FCP ('lam').
2. Si solo queremos los valores propios, podemos usar a.EigenValues ().

   Observe que la multiplicidad de un valor propio es el número de veces que se repite en la lista de valores propios.

3. Finalmente, podemos encontrar vectores propios por A.eigenVectors_right (). (Buscamos valores propios correctos ya que el vector\(\mathbf v\) aparece a la derecha de\(A\) en la definición\(A\mathbf v=\lambda \mathbf v\text{.}\))

   A primera vista, el resultado de este comando puede resultar un poco confuso de interpretar. Lo que vemos es una lista con una entrada por cada valor propio. Para cada valor propio, hay un triple que consiste en (i) el valor propio\(\lambda\text{,}\) (ii) una base para\(E_\lambda\text{,}\) y (iii) la multiplicidad de\(\lambda\text{.}\)

4. Al trabajar con entradas decimales, que se denominan números de punto flotante en informática, debemos recordar que las computadoras realizan solo aritmética aproximada. Esto es un problema cuando deseamos encontrar los vectores propios de tal matriz. Para ilustrar, considere la matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} 0.4 & 0.3 \\ 0.6 & 0.7 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
   1. Sin usar Sage, encuentra los valores propios de esta matriz.
   2. ¿Qué encuentras para la forma de escalón de fila reducida de\(A-I\text{?}\)
   3. Ahora usemos Sage para determinar la forma de escalón de fila reducida de\(A-I\text{:}\)

      ¿Qué resultado informa Sage para la forma de escalón de fila reducida? ¿Por qué este resultado no es correcto?

   4. Debido a que la aritmética que Sage realiza con entradas de punto flotante es sólo aproximada, no podemos encontrar el espacio propio\(E_1\text{.}\) En este próximo capítulo, aprenderemos a abordar este tema. Mientras tanto, podemos sortear este problema escribiendo las entradas en la matriz como números racionales:

Resumen

En esta sección, desarrollamos una técnica para encontrar los valores propios y vectores propios de una\(n\times n\) matriz\(A\text{.}\)

• La expresión\(\det(A-\lambda I)\) es un\(n\) polinomio grado, conocido como el polinomio característico. Los valores propios son las raíces del polinomio característico\(\det(A-\lambda I) = 0\text{.}\)
• El conjunto de vectores propios asociados al valor propio\(\lambda\) forma el espacio propio\(E_\lambda = \nul(A-\lambda I)\text{.}\)
• Si el factor\((\lambda_j - \lambda)\) aparece\(m_j\) tiempos en el polinomio característico, decimos que el valor propio\(\lambda_j\) tiene multiplicidad\(m_j\) y notamos que
  \ begin {ecuación*} 1\ leq\ dim E_ {\ lambda_j}\ leq m_j\ texto {.} \ end {ecuación*}
• Si cada uno de los valores propios es real y tiene multiplicidad\(1\text{,}\), entonces podemos formar una base para\(\mathbb R^n\) consistir en vectores propios de\(A\text{.}\)
• Podemos usar Sage para encontrar los valores propios y los valores propios de las matrices. Sin embargo, debemos tener cuidado trabajando con números de punto flotante ya que la aritmética de punto flotante es solo una aproximación.

Ejercicios 4.2.6Ejercicios

1

Para cada una de las siguientes matrices, encuentra su polinomio característico, sus valores propios y la multiplicidad de cada autovalor.

1. \(A=\left[\begin{array}{rr} 4 & -1 \\ 4 & 0 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
2. \(A=\left[\begin{array}{rrr} 3 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -6 \end{array}\right] \text{.}\)
3. \(A = \left[\begin{array}{rr} -2 & 0 \\ 0 & -2 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
4. \(A=\left[\begin{array}{rr} -1 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

2

Dada una\(n\times n\) matriz\(A\text{,}\) una pregunta importante Pregunta 4.1.7 pregunta si podemos encontrar una base de\(\mathbb R^n\) constar de vectores propios de\(A\text{.}\) Para cada una de las matrices en la exericse anterior, encontrar una base\(\mathbb R^n\) de constar de vectores propios o exponer por qué tal base no existe.

3

Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y proporcione una justificación para su respuesta.

1. Los valores propios de una matriz\(A\) son las entradas en la diagonal de\(A\text{.}\)
2. Si\(\lambda\) es un valor propio de multiplicidad\(1\text{,}\) entonces\(E_\lambda\) es unidimensional.
3. Si una matriz\(A\) es invertible, entonces\(\lambda=0\) no puede ser un valor propio.
4. Si\(A\) es una\(13\times 13\) matriz, el polinomio charasterístico tiene un grado menor que\(13\text{.}\)
5. El espacio propio\(E_\lambda\) de\(A\) es el mismo que el espacio nulo\(\nul(A-\lambda I)\text{.}\)

4

Proporcione una justificación para su respuesta a las siguientes preguntas.

1. Supongamos que\(A\) es una\(3\times 3\) matriz que tiene valores propios\(\lambda = -3,3,-5\text{.}\) ¿Cuáles son los valores propios de\(2A\text{?}\)
2. Supongamos que\(D\) es una\(3\times 3\) matriz diagonal. ¿Por qué puedes garantizar que existe una base de\(\mathbb R^3\) consistir en vectores propios de\(D\text{?}\)
3. Si\(A\) es una\(3\times 3\) matriz cuyos valores propios son\(\lambda = -1,3,5\text{,}\) puedes garantizar que existe una base de\(\mathbb R^3\) constar de vectores propios de\(A\text{?}\)
4. Supongamos que el polinomio característico de una matriz\(A\) es
   \ begin {ecuación*}\ det (A-\ lambda I) = -\ lambda^3 + 4\ lambda\ texto {.} \ end {ecuación*}

   ¿Cuáles son los valores propios de\(A\text{?}\) Es\(A\) invertible? ¿Existe una base de\(\mathbb R^n\) que consiste en vectores propios de\(A\text{?}\)

5. Si el polinomio característico de\(A\) es
   \ begin {ecuación*}\ det (A-\ lambda I) = (4 -\ lambda) (-2-\ lambda) (1-\ lambda)\ text {,}\ end {ecuación*}

   cuál es el polinomio característico de\(A^2\text{?}\) lo que es el polinomio característico de\(A^{-1}\text{?}\)

5

Para cada una de las siguientes matrices, use Sage para determinar sus valores propios, sus multiplicidades y una base para cada espacio propio. ¿Para qué matrices es posible construir una base para\(\mathbb R^3\) constar de vectores propios?

1. \(\displaystyle A = \left[\begin{array}{rrr} -4 & 12 & -6 \\ 4 & -5 & 4 \\ 11 & -20 & 13 \\ \end{array}\right]\)
2. \(\displaystyle A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & -3 & 1 \\ -4 & 8 & -5 \\ -8 & 17 & -10 \\ \end{array}\right]\)
3. \(\displaystyle A = \left[\begin{array}{rrr} 3 & -8 & 4 \\ -2 & 3 & -2 \\ -6 & 12 & -7 \\ \end{array}\right]\)

6

Existe una relación entre el determinante de una matriz y el producto de sus valores propios.

1. Hemos visto que los valores propios de la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right]\) son\(\lambda = 3,-1\text{.}\) Qué es\(\det A\text{?}\) ¿Cuál es el producto de los valores propios de\(A\text{?}\)
2. Considerar la matriz triangular\(A = \left[\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 3 & 1 & -2 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Cuáles son los valores propios de\(A\text{?}\) Qué es\(\det A\text{?}\) ¿Cuál es el producto de los valores propios de\(A\text{?}\)
3. A partir de estos ejemplos, ¿cuál crees que es la relación entre el determinante de una matriz y el producto de sus valores propios?
4. Supongamos que el polinomio característico está escrito como
   \ begin {ecuación*}\ det (A-\ lambda I) = (\ lambda_1-\ lambda) (\ lambda_2-\ lambda)\ ldots (\ lambda_n-\ lambda)\ text {.} \ end {ecuación*}

   Al sustituir\(\lambda = 0\) en esta ecuación, explique por qué el determinante de una matriz es igual al producto de sus valores propios.

7

Considerar la matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} 0.5 & 0.6 \\ -0.3 & 1.4 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

1. Encontrar los valores propios\(A\) y una base para sus espacios propios asociados.
2. Supongamos que\(\mathbf x_0=\twovec{11}{6}\text{.}\) Express\(\mathbf x_0\) como una combinación lineal de vectores propios de\(A\text{.}\)
3. Definir los vectores
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ mathbf x_1 & {} = {} A\ mathbf x_0\\ mathbf x_2 & {} = {} A\ mathbf x_1 = A^2\ mathbf x_0\\ mathbf x_3 & {} = {} A\ mathbf x_2 = A^3\ mathbf x_0\\ vdots & {} = {}\ vdots\ end {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

   Escribir\(\mathbf x_1\text{,}\)\(\mathbf x_2\text{,}\) y\(\mathbf x_3\) como una combinación lineal de vectores propios de\(A\text{.}\)

4. ¿Qué sucede a\(\mathbf x_k\) medida que\(k\) crece cada vez más grande?

8

Considerar la matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} 0.4 & 0.3 \\ 0.6 & 0.7 \\ \end{array}\right]\)

1. Encontrar los valores propios\(A\) y una base para sus espacios propios asociados.
2. Supongamos que\(\mathbf x_0=\twovec{0}{1}\text{.}\) Express\(\mathbf x_0\) como una combinación lineal de vectores propios de\(A\text{.}\)
3. Definir los vectores
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ mathbf x_1 & {} = {} A\ mathbf x_0\\ mathbf x_2 & {} = {} A\ mathbf x_1 = A^2\ mathbf x_0\\ mathbf x_3 & {} = {} A\ mathbf x_2 = A^3\ mathbf x_0\\ vdots & {} = {}\ vdots\ end {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

   Escribir\(\mathbf x_1\text{,}\)\(\mathbf x_2\text{,}\) y\(\mathbf x_3\) como una combinación lineal de vectores propios de\(A\text{.}\)

4. ¿Qué sucede a\(\mathbf x_k\) medida que\(k\) crece cada vez más grande?