4.4: Sistemas Dinámicos

En la última sección, se utilizó un sistema de coordenadas definido por los vectores propios de una matriz para expresar la multiplicación matricial de una forma más simple. Por ejemplo, si hay una base de\(\mathbb R^n\) constar de vectores propios de\(A\text{,}\) vimos que multiplicar un vector por\(A\text{,}\) cuando se expresa en las coordenadas definidas por la base de vectores propios, era equivalente a multiplicar por una matriz diagonal.

En esta sección, pondremos en práctica estas ideas a medida que exploramos sistemas dinámicos discretos, encontrados por primera vez en la Subsección 2.5.2. Recordemos que se utilizó un vector de estado\(\mathbf x\) para caracterizar el estado de algún sistema, como la distribución de camiones repartidores entre dos ubicaciones, en un momento determinado. Una matriz\(A\) describió la transición del vector de estado con la\(A\mathbf x\) caracterización del estado del sistema en un momento posterior.

Nuestro objetivo en esta sección es describir los tipos de comportamientos que exhiben los sistemas dinámicos y desarrollar un medio para detectar estos comportamientos.

Vista previa Actividad 4.4.1.

Supongamos que tenemos una matriz diagonalizable\(A=PDP^{-1}\) donde

\ begin {ecuación*} P =\ left [\ begin {array} {rr} 1 & -1\\ 1 & 2\\ end {array}\\ right],\ qquad D =\ left [\ begin {array} {rr} 2 & 0\\ 0 & -3\\\ end {array}\\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Encontrar los valores propios\(A\) y encontrar una base para los espacios propios asociados.
2. Formar una base\(\bcal\)\(\mathbb R^2\) consistente en vectores propios de\(A\) y escribir el vector\(\mathbf x = \twovec{1}{4}\) como una combinación lineal de vectores base.
3. Escribir\(A\mathbf x\) como una combinación lineal de vectores base.
4. ¿Cuál es\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{,}\) la representación\(\mathbf x\) en el sistema de coordenadas definido por\(\bcal\text{?}\)
5. ¿Cuál es\(\coords{A\mathbf x}{\bcal}\text{,}\) la representación\(A\mathbf x\) en el sistema de coordenadas definido por\(\bcal\text{?}\)
6. ¿Cuál es\(\coords{A^4\mathbf x}{\bcal}\text{,}\) la representación\(A^4\mathbf x\) en el sistema de coordenadas definido por\(\bcal\text{?}\)

Un primer ejemplo

Comenzaremos nuestro estudio de sistemas dinámicos con un ejemplo que ilustra cómo los valores propios y los vectores propios pueden ser utilizados para comprender su comportamiento.

Actividad 4.4.2.

Supongamos que tenemos dos especies\(R\) y\(S\) que interactúan entre sí y que registramos el cambio en sus poblaciones de año en año. Cuando comenzamos nuestro estudio, las poblaciones, medidas en miles, son\(R_0\) y\(S_0\text{;}\) después de\(k\) años, las poblaciones son\(R_k\) y\(S_k\text{.}\)

Si conocemos las poblaciones en un año, están determinadas en el año siguiente por las expresiones

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} R_ {k+1} & {} = {} 0.9 R_k + 0.8 s_k\\ S_ {k+1} & {} = {} 0.2 R_k + 0.9 s_k\ texto {.}\\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

Combinaremos las poblaciones en un vector\(\mathbf x_k = \twovec{R_k}{S_k}\) y notaremos que\(\mathbf x_{k+1} = A\mathbf x_k\) donde\(A = \left[\begin{array}{rr} 0.9 & 0.8 \\ 0.2 & 0.9 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

1. Verifica que
   \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1=\ twovec {2} {1},\ qquad\ mathbf v_2=\ twovec {-2} {1}\ end {ecuación*}

   son vectores propios de\(A\) y encuentran sus respectivos valores propios.

2. Supongamos que inicialmente\(\mathbf x_0 = \twovec{2}{3}\text{.}\) Escribir\(\mathbf x_0\) como una combinación lineal de los vectores propios\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)
3. Escribe los vectores\(\mathbf x_1\text{,}\)\(\mathbf x_2\text{,}\) y\(\mathbf x_3\) como una combinación lineal de vectores propios\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)
4. Cuando\(k\) se vuelve muy grande, lo que sucede con la proporción de las poblaciones\(R_k/S_k\text{?}\)
5. Si empezamos en cambio con\(\mathbf x_0 = \twovec{4}{4}\text{,}\) lo que eventualmente sucede a la relación\(R_k/S_k\) como\(k\) se vuelve muy grande?
6. Explique lo que sucede a la proporción\(R_k/S_k\) ya que\(k\) se vuelve muy grande sin importar cuáles sean las poblaciones iniciales.
7. Después de mucho tiempo, ¿en qué factor aproximadamente\(R\) crece la población cada año? ¿Por aproximadamente qué factor\(S\) crece la población cada año?

Esta actividad demuestra el tipo de preguntas que estaremos considerando. En particular, asumiremos que tenemos un vector inicial\(\mathbf x_0\) y una matriz\(A\) y definimos\(\mathbf x_{k+1} = A\mathbf x_k\text{.}\) Los autovalores y vectores propios de\(A\) proporcionar la clave que nos ayuda a entender cómo\(\mathbf x_k\) evolucionan los vectores y nos permite hacer predicciones de largo alcance.

Veamos con más detenimiento el ejemplo específico de la actividad anterior. Vemos que tenemos

\ begin {ecuación*}\ mathbf x_ {k+1} = A\ mathbf x_k =\ left [\ begin {array} {rr} 0.9 & 0.8\\ 0.2 & 0.9\\ end {array}\ derecha]\ mathbf x_k\ end {ecuación*}

y que la matriz\(A\) tiene vectores propios\(\mathbf v_1 = \twovec{2}{1}\) y\(\mathbf v_2=\twovec{-2}{1}\) con valores propios asociados\(\lambda_1=1.3\) y\(\lambda_2=0.5\text{.}\)

Observe que los vectores propios\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) forman una base\(\bcal\) de\(\mathbb R^2\text{.}\) Esto significa que\(A\) es diagonalizable para que podamos escribir\(A=PDP^{-1}\) donde

\ begin {ecuación*} P =\ left [\ begin {array} {rr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rr} 2 & -2\\ 1 & 1\\ end {array}\\ right],\ qquad D =\ left [\ begin {array} {rr} 1.3 & 0\\ 0 & 0 0.5\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

En particular, tenemos

\ begin {ecuación*}\ coords {A\ mathbf x} {\ bcal} = D\ coords {\ mathbf x} {\ bcal}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Con poblaciones iniciales\(\mathbf x_0=\twovec{2}{3}\text{,}\) tenemos lo\(\mathbf x_0 = 2\mathbf v_1+\mathbf v_2\text{,}\) que significa que\(\coords{\mathbf x_0}{\bcal} = \twovec{2}{1}\text{.}\) Por lo tanto,

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada}\ coords {\ mathbf x_1} {\ bcal} & {} = {} D\ coords {\ mathbf x_0} {\ bcal} =\ ctwovec {1.3\ cdot 2} {0.5}\\ coords {\ mathbf x_2} {\ bcal} & {} = {} D coords\ ds {\ mathbf x_1} {\ bcal} =\ ctwovec {1.3^2\ cdot 2} {0.5^2}\\\ coords {\ mathbf x_3} {\ bcal} & {} = {} D\ coords {\ mathbf x_2} {\ bcal} =\ ctwovec {1.3^3\ cdot2} {0.5^3}\\\ coords {\ mathbf x_k} {\ bcal} & {} = {}\ ctwovec {1.3^k\ cdot2} {0.5^k}\ texto {.}\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

Pensando en esto geométricamente, comenzamos con el vector Los vectores\(\coords{\mathbf x_0}{\bcal}=\ctwovec{2}{1}\text{.}\) subsiguientes\(\coords{\mathbf x_k}{\bcal}\) se obtienen escalando horizontalmente por un factor de\(1.3\) y escalando verticalmente por un factor\(0.5\text{.}\) Observe cómo los puntos se mueven a lo largo de una curva alejándose del origen cada vez más cerca de la horizontal eje.

Después de mucho tiempo,\(\coords{\mathbf x_k}{\bcal} \approx \ctwovec{1.3^k\cdot2}{0}\text{,}\) lo que dice\(\coords{\mathbf x_{k+1}}{\bcal} \approx 1.3\coords{\mathbf x_k}{\bcal}\text{.}\) que Es decir, el vector\(\coords{\mathbf x_k}{\bcal}\) crece por un factor de\(1.3\) cada año.

Para recuperar el comportamiento de la secuencia\(\mathbf x_0, \mathbf x_1, \mathbf x_2, \ldots\text{,}\) cambiamos los sistemas de coordenadas utilizando la base definida por\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\) Aquí, los puntos se mueven a lo largo de una curva alejándose del origen cada vez más cerca de la línea definida por\(\mathbf v_1\text{.}\)

Eventualmente, los vectores se vuelven prácticamente indistinguibles de un múltiplo escalar de\(\mathbf v_1 = \twovec{2}{1}\text{;}\) eso es,\(\mathbf x_k\approx s\mathbf v_1\text{.}\) Esto significa que

\ begin {ecuación*}\ mathbf x_k =\ twovec {r_k} {s_k}\ approx s\ twovec {2} {1}\ end {ecuación*}

de\(R_k/S_k \approx 2\text{.}\) manera que además,\(\mathbf x_{k+1} \approx 1.3\mathbf x_k\) para que\(R_{k+1}\approx 1.3 R_k\) y\(S_{k+1}\approx 1.3 S_k\text{.}\) Concluimos que, después de un tiempo muy largo, la proporción de las poblaciones\(R_k\) a\(S_k\) es muy cercana a 2 a 1. También vemos que cada población se multiplica por 1.3 cada año, lo que significa que la tasa de crecimiento anual para ambas poblaciones es de aproximadamente 30%.

De la misma manera, podemos considerar otras posibles poblaciones iniciales\(\mathbf x_0\) como se muestra en la Figura 4.4.1. Independientemente de\(\mathbf x_0\text{,}\) los vectores poblacionales, en las coordenadas definidas por\(\bcal\text{,}\) se escalan horizontalmente por un factor de\(1.3\) y verticalmente por un factor de\(0.5\text{.}\) La secuencia de puntos\(\coords{\mathbf x_k}{\bcal}\text{,}\) llamados trayectorias, se mueven a lo largo de las curvas, como se muestra a la izquierda. En el sistema de coordenadas estándar, vemos que las trayectorias convergen al espacio propio\(E_{1.3}\text{.}\)

Figura 4.4.1. Las trayectorias del sistema dinámico formado por la matriz\(A\) en el sistema de coordenadas definido por\(\bcal\text{,}\) a la izquierda, y en el sistema de coordenadas estándar, a la derecha.

Se concluye que, independientemente de las poblaciones iniciales, la proporción de las poblaciones\(R_k/S_k\) se aproximará a 2 a 1 y que la tasa de crecimiento para ambas poblaciones se aproxima a 30%. Este ejemplo demuestra el poder de usar valores propios y vectores propios para reescribir el problema en términos de un nuevo sistema de coordenadas. Al hacerlo, podemos predecir el comportamiento a largo plazo de las poblaciones independientemente de las poblaciones iniciales.

Los diagramas como los que se muestran en la Figura 4.4.1 se denominan retratos de fase. A la izquierda de la Figura 4.4.1 se encuentra el retrato de fase de la matriz diagonal\(D=\mattwo{1.3}00{0.5}\) mientras que a la derecha de esa figura se muestra\(A = \mattwo{0.9}{0.8}{0.2}{0.9}\text{.}\) el retrato de fase de El retrato de fase de\(D\) es relativamente fácil de entender porque solo está determinado por los dos valores propios. Una vez que tenemos el retrato de fase de\(D\text{,}\) sin embargo, el retrato de fase de\(A\) tiene una apariencia similar con los vectores propios\(\mathbf v_j\) reemplazando a los vectores base estándar\(\mathbf e_j\text{.}\)

Clasificación de sistemas dinámicos

En el ejemplo anterior, pudimos hacer predicciones sobre el comportamiento de las trayectorias considerando\(\mathbf x_k=A^k\mathbf x_0\) los valores propios y los vectores propios de la matriz.\(A\text{.}\) La siguiente actividad analiza una colección de matrices que demuestran los tipos de comportamiento que puede exhibir un sistema\(2\times2\) dinámico.

Actividad 4.4.3.

Ahora veremos varios ejemplos más de sistemas dinámicos. Si\(P = \left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{array}\right] \text{,}\) observamos que las columnas de\(P\) forma una base\(\bcal\) de\(\mathbb R^2\text{.}\) Dado a continuación son varias matrices\(A\) escritas en la forma\(A=PEP^{-1}\) para alguna matriz\(E\text{.}\) Para cada matriz, indicar los valores propios de\(A\) y bosquejar un retrato de fase para la matriz\(E\) en la izquierda y un retrato de fase para\(A\) a la derecha. Describir el comportamiento de\(A^k\mathbf x_0\) como\(k\) se vuelve muy grande para un vector inicial típico\(\mathbf x_0\text{.}\)

1. \(A=PEP^{-1}\)donde\(E = \left[\begin{array}{rr} 1.3 & 0 \\ 0 & 1.5 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
   
2. \(A=PEP^{-1}\)donde\(E = \left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
   
3. \(A=PEP^{-1}\)donde\(E = \left[\begin{array}{rr} 0.7 & 0 \\ 0 & 1.5 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
   
4. \(A=PEP^{-1}\)donde\(E = \left[\begin{array}{rr} 0.3 & 0 \\ 0 & 0.7 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
   
5. \(A=PEP^{-1}\)donde\(E = \left[\begin{array}{rr} 1 & -0.9 \\ 0.9 & 1 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
   
6. \(A=PEP^{-1}\)donde\(E = \left[\begin{array}{rr} 0.6 & -0.2 \\ 0.2 & 0.6 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
   

Esta actividad demuestra seis posibles tipos de sistemas dinámicos, los cuales están determinados por los valores propios de\(A\text{.}\)

• Supongamos que\(A\) tiene dos valores propios reales\(\lambda_1\)\(\lambda_2\) y y que ambos\(|\lambda_1|, |\lambda_2| \gt 1\text{.}\) En este caso, cualquier vector distinto de cero\(\mathbf x_0\) forma una trayectoria que se aleja del origen por lo que decimos que el origen es un repelente. Esto se ilustra en la Figura 4.4.2.

  

  Figura 4.4.2. El origen es un repelente cuando\(|\lambda_1|, |\lambda_2| \gt 1\text{.}\)

• Supongamos que\(A\) tiene dos valores propios reales\(\lambda_1\) y\(\lambda_2\) y que\(|\lambda_1| \gt 1 \gt |\lambda_2| \text{.}\) en este caso, la mayoría de los vectores distintos de cero\(\mathbf x_0\) forman trayectorias que convergen al espacio propio.\(E_{\lambda_1}\text{.}\) En este caso, decimos que el origen es una silla de montar como se ilustra en la Figura 4.4.3.

  

  Figura 4.4.3. El origen es una silla de montar cuando\(|\lambda_1|\gt 1 \gt |\lambda_2|\text{.}\)

• Supongamos que\(A\) tiene dos valores propios reales\(\lambda_1\) y\(\lambda_2\) y que ambos\(|\lambda_1|, |\lambda_2| \lt 1\text{.}\) En este caso, cualquier vector distinto de cero\(\mathbf x_0\) forma una trayectoria que se mueve hacia el origen por lo que decimos que el origen es un atractor. Esto se ilustra en la Figura 4.4.4.

  

  Figura 4.4.4. El origen es un atractor cuando\(|\lambda_1|, |\lambda_2| \lt 1\text{.}\)

• Supongamos que\(A\) tiene un valor propio complejo\(\lambda = a+bi\) donde\(|\lambda| \gt 1\text{.}\) En este caso, un vector distinto de cero\(\mathbf x_0\) forma una trayectoria que se aleja en espiral del origen. Decimos que el origen es un repelente en espiral, como se ilustra en la Figura 4.4.5.

  

  Figura 4.4.5. El origen es un repelente espiral cuando\(A\) tiene un valor propio\(\lambda=a+bi\) con\(a^2+b^2\gt 1\text{.}\)

• Supongamos que\(A\) tiene un valor propio complejo\(\lambda = a+bi\) donde\(|\lambda| = 1\text{.}\) En este caso, un vector distinto de cero\(\mathbf x_0\) forma una trayectoria que se mueve sobre una curva cerrada alrededor del origen. Decimos que el origen es un centro, como se ilustra en la Figura 4.4.6.

  

  Figura 4.4.6. El origen es un centro cuando\(A\) tiene un valor propio\(\lambda=a+bi\) con\(a^2+b^2 = 1\text{.}\)

• Supongamos que\(A\) tiene un valor propio complejo\(\lambda = a+bi\) donde\(|\lambda| \lt 1\text{.}\) En este caso, un vector distinto de cero\(\mathbf x_0\) forma una trayectoria que gira en espiral hacia el origen. Decimos que el origen es un atractor espiral, como se ilustra en la Figura 4.4.7.

  

  Figura 4.4.7. El origen es un atractor espiral cuando\(A\) tiene un valor propio\(\lambda=a+bi\) con\(a^2+b^2\lt 1\text{.}\)

Actividad 4.4.4.

En esta actividad, consideraremos varias formas en las que dos especies podrían interactuar entre sí. A lo largo, consideraremos dos especies\(R\) y\(S\) cuyas poblaciones en el año\(k\) forman un vector\(\mathbf x_k=\twovec{R_k}{S_k}\) y que evolucionan de acuerdo con la regla

\ begin {ecuación*}\ mathbf x_ {k+1} =A\ mathbf x_k\ texto {.} \ end {ecuación*}

1. Supongamos que\(A = \left[\begin{array}{rr} 0.7 & 0 \\ 0 & 1.6 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

   Explicar por qué las especies no interactúan entre sí. ¿Cuál de los seis tipos de sistemas dinámicos tenemos? ¿Qué pasa con ambas especies después de mucho tiempo?

2. Supongamos ahora que\(A = \left[\begin{array}{rr} 0.7 & 0.3 \\ 0 & 1.6 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

   Explicar por qué\(S\) es beneficiosa una especie para ¿\(R\text{.}\)Cuál de los seis tipos de sistemas dinámicos tenemos? ¿Qué pasa con ambas especies después de mucho tiempo?

3. Supongamos ahora que\(A = \left[\begin{array}{rr} 0.7 & 0.5 \\ -0.4 & 1.6 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

   Explique por qué esto describe un sistema depredador-presa. ¿Cuál de las especies es el depredador y cuál es la presa? ¿Cuál de los seis tipos de sistemas dinámicos tenemos? ¿Qué pasa con ambas especies después de mucho tiempo?

4. Supongamos ahora que\(A = \left[\begin{array}{rr} 0.5 & 0.2 \\ -0.4 & 1.1 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

   Compara este sistema depredador-presa con el de la parte anterior. ¿Cuál de los seis tipos de sistemas dinámicos tenemos? ¿Qué pasa con ambas especies después de mucho tiempo?

Un\(3\times3\) sistema

Hasta este punto, nos hemos centrado en\(2\times2\) los sistemas. De hecho, el caso general es bastante similar. Como ejemplo, consideremos un\(3\times3\) sistema\(\mathbf x_{k+1}=A\mathbf x_k\) donde la matriz\(A\) tiene valores propios\(\lambda_1 = 0.6\text{,}\)\(\lambda_2 = 0.8\text{,}\) y\(\lambda_3=1.1\text{.}\) La matriz\(A\) por lo tanto tiene una base\(\bcal\) que consiste en vectores propios para que podamos observar las trayectorias\(\coords{\mathbf x_k}{\bcal}\) en el sistema de coordenadas definido por \(\bcal\text{.}\)Los retratos de fase en la Figura 4.4.8 muestran cómo evolucionarán las trayectorias. Vemos que todas las trayectorias convergerán en el espacio propio\(E_{1.1}\text{.}\)

Figura 4.4.8. En un\(3\times3\) sistema con\(\lambda_1 = 0.6\text{,}\)\(\lambda_2=0.8\text{,}\) y\(\lambda_3 = 1.1\text{,}\) las trayectorias\(\coords{\mathbf x_k}{\bcal}\) se mueven a lo largo de las curvas mostradas arriba.

De la misma manera, supongamos que tenemos un\(3\times3\) sistema con valores propios complejos\(\lambda=0.8 \pm 0.5i\) y\(\lambda_3=1.1\text{.}\) Dado que los valores propios complejos satisfacen\(|\lambda| \lt 1\text{,}\) hay un subespacio bidimensional en el que las trayectorias se enrollan hacia el origen. Los retratos de fase de la Figura 4.4.9 muestran algunas de las trayectorias. Una vez más, vemos que todas las trayectorias convergen en el espacio propio\(E_{1.1}\text{.}\)

Figura 4.4.9. En un\(3\times3\) sistema con valores propios complejos\(\lambda = a\pm bi\) con\(|\lambda| \lt 1\) y\(\lambda_3=1.1\text{,}\) las trayectorias se\(\coords{\mathbf x_k}{\bcal}\) mueven a lo largo de las curvas mostradas anteriormente.

Actividad 4.4.5.

El siguiente tipo de análisis se ha utilizado para estudiar la población de una manada de bisontes. Dividiremos la población de bisontes femeninos en tres grupos: juveniles menores de un año; añares entre uno y dos años; y adultos mayores de dos años.

Cada año,

• El 80% de los juveniles sobrevive para convertirse en añinos.
• El 90% de los años sobrevive para convertirse en adultos.
• El 80% de los adultos sobrevive.
• El 40% de los adultos dan a luz a un menor.

Por\(J_k\text{,}\)\(Y_k\text{,}\) y\(A_k\text{,}\) denotamos el número de juveniles, añinos, y adultos en el año\(k\text{.}\) Tenemos

\ begin {ecuación*} J_ {k+1} = 0.4 a_K\ texto {.} \ end {ecuación*}

1. Encuentra expresiones similares para\(Y_{k+1}\) y\(A_{k+1}\) en términos de\(J_k\text{,}\)\(Y_k\text{,}\) y\(A_k\text{.}\)
2. Como es habitual, escribimos la matriz\(\mathbf x_k=\threevec{J_k}{Y_k}{A_k}\text{.}\) Escribe la matriz de\(A\) tal manera que\(\mathbf x_{k+1} = A\mathbf x_k\text{.}\)
3. Podemos escribir\(A = PEP^{-1}\) donde las matrices\(E\) y\(P\) son aproximadamente:
   \ begin {ecuation*}\ begin {aligned} E & {} = {}\ left [\ begin {array} {rrr} 1.058 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -0.128 & -0.506\\ 0 & 0.506 & -0.128\\ end {array}\\ right],\\\ P & {} = {}\\ left [\ begin {array} {rrr} 1 y 1 & 0\\ 0.756 & -0.378 & 1.486\\ 2.644 & -0.322 & amp; -1.264\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {alineado}\ end {ecuación*}

   Hacer una predicción sobre el comportamiento a largo plazo de\(\mathbf x_k\text{.}\) Por ejemplo, ¿a qué ritmo crece? Por cada 100 adultos, ¿cuántos juveniles y añares hay?

4. Supongamos que la tasa de natalidad disminuye para que sólo el 30% de los adultos den a luz a un menor. ¿Cómo afecta esto a la tasa de crecimiento a largo plazo del rebaño?
5. Supongamos que la tasa de natalidad disminuye aún más para que sólo el 20% de los adultos den a luz a un menor. ¿Cómo afecta esto a la tasa de crecimiento a largo plazo del rebaño?
6. Encuentra la tasa de natalidad más pequeña que sustente a una población estable.

Resumen

Hemos estado explorando sistemas dinámicos discretos, que tienen la forma\(\mathbf x_{k+1}=A\mathbf x_k\text{,}\) al observar los valores propios y vectores propios de\(A\text{.}\) En el\(2\times2\) caso, vimos que

• \(|\lambda_1|, |\lambda_2| \lt 1\)produce un atractor para que las trayectorias sean arrastradas hacia el origen.
• \(|\lambda_1| \gt 1\)y\(|\lambda_2| \lt 1\) produce un sillín en el que la mayoría de las trayectorias se alejan del origen y en la dirección de\(E_{\lambda_1}\text{.}\)
• \(|\lambda_1|, |\lambda_2| \gt 1\)produce un repelente en el que las trayectorias se alejan del origen.

El mismo tipo de razonamiento nos permite analizar\(n\times n\) sistemas también.

Ejercicios 4.4.5Ejercicios

1

Para cada una de las\(2\times2\) matrices a continuación, encuentre los valores propios y, en su caso, los vectores propios para clasificar el sistema dinámico\(\mathbf x_{k+1}=A\mathbf x_k\text{.}\) Utilice esta información para bosquejar los retratos de fase.

1. \(A = \left[\begin{array}{rr} 3& 1 \\ 1 & 3 \\ \end{array}\right]\text{.}\)
2. \(A = \left[\begin{array}{rr} 3& -2 \\ 4 & -1 \\ \end{array}\right]\text{.}\)
3. \(A = \left[\begin{array}{rr} 1.9 & 1.4 \\ -0.7 & -0.2 \\ \end{array}\right]\text{.}\)
4. \(A = \left[\begin{array}{rr} 1.1 & -0.2 \\ 0.4 & 0.5 \\ \end{array}\right]\text{.}\)

2

Consideraremos matrices que tengan la forma\(A=PDP^{-1}\) donde

\ begin {ecuación*} D =\ mattwo p00 {\ frac12}, P =\ mattwo 2 {-2} 11\ final {ecuación*}

donde\(p\) es un parámetro que variaremos. Esbozar retratos de fase para\(D\) y\(A\) abajo cuando

1. \(p=\frac12\text{.}\)
   
2. \(p=1\text{.}\)
   
3. \(p=2\text{.}\)
   
4. Para los diferentes valores de\(p\text{,}\) determinar qué tipos de sistema dinámico resulta. ¿Para qué rango de\(p\) valores tenemos un atractor? ¿Para qué rango de\(p\) valores tenemos un sillín? ¿Para qué valor se produce la transición entre los dos tipos?

3

Supongamos que las poblaciones de dos especies interactúan de acuerdo con las relaciones

\ comenzar {ecuación*}\ comenzar {alineado} R_ {k+1} & {} = {}\ frac12 R_k +\ Frac12s_k\\ S_ {k+1} & {} = {} -Pr_k + 2s_k\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

donde\(p\) es un parámetro. Como vimos en el texto, este sistema dinámico representa una relación típica depredador-presa, y el parámetro\(p\) representa la velocidad a la que las especies se\(R\) aprovechan.\(S\text{.}\) Denotaremos la matriz\(A=\mattwo{\frac12}{\frac12}{-p}2\text{.}\)

1. Si se\(p = 0\text{,}\) determinan los vectores propios y los valores propios del sistema y se clasifican como uno de los seis tipos. Esboce los retratos de fase para la matriz diagonal\(D\) a la que\(A\) es similar, así como el retrato de fase para\(A\text{.}\)
   
2. Si se\(p=1\text{,}\) determinan los vectores propios y los valores propios del sistema. Esboce los retratos de fase para la matriz diagonal\(D\) a la que\(A\) es similar, así como el retrato de fase para\(A\text{.}\)
   
3. ¿Para qué valores del origen\(p\) es una silla de montar? ¿Qué se puede decir de las poblaciones cuando esto sucede?
4. Describir la evolución del sistema dinámico\(p\) a medida que comienza en\(0\) y aumenta a\(p=1\text{.}\)

4

Considerar las matrices

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {cc} 3 & 2\\ -5 & -3\\\ end {array}\ right],\ qquad B =\ left [\ begin {array} {cc} 5 & 7\\ -3 & -4\\ end {array}\\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Encuentra los valores propios de ¿\(A\text{.}\)A cuál de los seis tipos\(\mathbf x_{k+1}=A\mathbf x_{k}\) pertenece el sistema?
2. Usando los valores propios de\(A\text{,}\) podemos escribir\(A=PEP^{-1}\) para algunas matrices\(E\) y\(P\text{.}\) ¿Qué es la matriz\(E\) y qué efecto geométrico tiene la multiplicación por\(E\) sobre los vectores en el plano?
3. Si recordamos que\(A^k = PE^kP^{-1}\text{,}\) determinamos el valor positivo más pequeño de\(k\) para el cual\(A^k=I\text{?}\)
4. Encuentra los valores propios de\(B\text{.}\)
5. Entonces encuentra una matriz\(E\) tal que\(B = PEP^{-1}\) para alguna matriz\(P\text{.}\) ¿Qué efecto geométrico\(E\) tiene la multiplicación por sobre vectores en el plano?
6. Determinar el valor positivo más pequeño\(k\) para el cual\(B^k=I\text{.}\)

5

Supongamos que tenemos la población femenina de una especie se divide en juveniles, añinos y adultos y que cada año

• El 90% de los juveniles viven para ser añinos.
• El 80% de los años vive para ser adultos.
• El 60% de los adultos sobrevive hasta el próximo año.
• El 50% de los adultos dan a luz a un menor.

1. Establecer un sistema de la forma\(\mathbf x_{k+1}=A\mathbf x_k\) que describa esta situación.
2. Encuentra los valores propios de la matriz\(A\text{.}\)
3. ¿Qué predicción se puede hacer sobre estas poblaciones después de mucho tiempo?
4. Si la tasa de natalidad sube al 80%, ¿qué predicción puedes hacer sobre estas poblaciones después de mucho tiempo? Por cada 100 adultos, ¿cuántos juveniles y añares hay?

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Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y proporcione una justificación para su respuesta. En cada caso, estamos considerando un sistema dinámico de la forma\(\mathbf x_{k+1} = A\mathbf x_k\text{.}\)

1. Si la\(2\times2\) matriz\(A\) tiene un valor propio complejo, no podemos hacer una predicción sobre el comportamiento de las trayectorias.
2. Si\(A\) tiene valores propios cuyo valor absoluto es menor que 1, entonces todas las trayectorias son arrastradas hacia el origen.
3. Si el origen es un repelente, entonces es un atractor para el sistema\(\mathbf x_{k+1} = A^{-1}\mathbf x_k\text{.}\)
4. Si una\(4\times4\) matriz tiene valores propios complejos\(\lambda_1\text{,}\)\(\lambda_2\text{,}\)\(\lambda_3\text{,}\) y\(\lambda_4\text{,}\) todos los cuales satisfacen\(|\lambda_j| \gt 1\text{,}\) entonces todas las trayectorias se alejan del origen.
5. Si el origen es una silla de montar, entonces todas las trayectorias se alejan del origen.

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Los números de Fibonacci forman la secuencia de números que comienza\(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots\text{.}\) Si dejamos\(F_n\) denotar el número de\(n^{th}\) Fibonacci, entonces

\ begin {ecuación*} F_0 =0, F_1 =1, F_2 =1, F_3 =2, F_4 =3,\ ldots\ text {.} \ end {ecuación*}

En general, un número de Fibonacci es la suma de los dos números anteriores de Fibonacci; es decir,\(F_{n+2} = F_{n}+F_{n+1}\) para que tengamos

\ comenzar {ecuación*}\ comenzar {alineado} F_ {n+2} & {} = {} F_ {n} + F_ {n+1}\\ F_ {n+1} & {} = {} F_ {n+1}\ texto {.}\\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

1. Si escribimos\(\mathbf x_n = \twovec{F_{n+1}}{F_n}\text{,}\) encontramos la matriz\(A\) tal que\(\mathbf x_{n+1} = A\mathbf x_n\text{.}\)
2. Mostrar que\(A\) tiene valores propios
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ lambda_1 & {} = {}\ frac {1+\ sqrt {5}} {2}\ approx 1.61803\ ldots\\\ lambda_2 & {} = {} = {}\ frac {1-\ sqrt {5}} {2}\ aprox. -0.61803\ ldots\\ end {alineado}\ final {ecuación/ final {alineado}\ final {ecuación/ final {alineado} *}

   con vectores propios asociados\(\mathbf v_1=\twovec{\lambda_1}{1}\) y\(\mathbf v_2=\twovec{\lambda_2}{1}\text{.}\)

3. Clasificar este sistema dinámico como uno de los seis tipos que hemos visto en esta sección. ¿Qué pasa con\(\mathbf x_n\) como\(n\) se vuelve muy grande?
4. Escribe el vector inicial\(\mathbf x_0 = \twovec{1}{0}\) como una combinación lineal de vectores propios\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)
5. Escribe el vector\(\mathbf x_n\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)
6. Explicar por qué el número de\(n^{th}\) Fibonacci
   \ begin {ecuación*} F_ {n} =\ frac {1} {\ sqrt {5}}\ izquierda [\ izquierda (\ frac {1+\ sqrt {5}} {2}\ derecha) ^n -\ izquierda (\ frac {1-\ sqrt {5}} {2}\ derecha) ^n\ derecha]\ texto {.} \ end {ecuación*}
7. Usa esta relación para calcular\(F_{20}\text{.}\)
8. Explique por qué\(F_{n+1}/F_{n}\approx \lambda_1\) cuando\(n\) es muy grande.

El número\(\lambda_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2} = \phi\) se llama la proporción áurea y es uno de los números especiales de las matemáticas.

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Este ejercicio es una continuación del anterior.

\(L_n\)Los números de Lucas se definen por la misma relación que los números de Fibonacci:\(L_{n+2}=L_{n+1}+L_n\text{.}\) Sin embargo, comenzamos con\(L_0=2\) y\(L_1=1\text{,}\) que lleva a la secuencia\(2,1,3,4,7,11,\ldots\text{.}\)

1. Como antes, formar el vector de\(\mathbf x_n=\twovec{L_{n+1}}{L_n}\) manera que\(\mathbf x_{n+1}=A\mathbf x_n\text{.}\) Express\(\mathbf x_0\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{,}\) vectores propios de\(A\text{.}\)
2. Explicar por qué
   \ begin {ecuación*} L_n =\ izquierda (\ frac {1+\ sqrt {5}} {2}\ derecha) ^n +\ izquierda (\ frac {1-\ sqrt {5}} {2}\ derecha) ^n\ texto {.} \ end {ecuación*}
3. \(L_n\)Explique por qué es el entero más cercano a\(\phi^n\) cuándo\(n\) es grande, dónde\(\phi = \lambda_1\) está la proporción áurea.
4. Utilice esta observación para encontrar\(L_{20}\text{.}\)

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Gil Strang define los números Gibonacci de la\(G_n\) siguiente manera. Empezamos con\(G_0 = 0\) y\(G_1=1\text{.}\) Un número posterior de Gibonacci es el promedio de los dos anteriores; es decir, entonces\(G_{n+2} = \frac12(G_{n}+G_{n+1})\text{.}\) tenemos

\ comenzar {ecuación*}\ comenzar {alineado} G_ {n+2} & {} = {}\ frac12 G_ {n} +\ frac 12 G_ {n+1}\\ G_ {n+1} & {} = {} G_ {n+1}\ texto {.}\\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

1. Si\(\mathbf x_n=\twovec{G_{n+1}}{G_n}\text{,}\) encuentra la matriz\(A\) tal que\(\mathbf x_{n+1} = A\mathbf x_n\text{.}\)
2. Encuentra los valores propios y los vectores propios asociados de\(A\text{.}\)
3. Explique por qué este sistema dinámico no encaja perfectamente en uno de los seis tipos que vimos en esta sección.
4. Escribir\(\mathbf x_{0}\) como una combinación lineal de vectores propios de\(A\text{.}\)
5. Escribir\(\mathbf x_n\) como una combinación lineal de vectores propios de\(A\text{.}\)
6. ¿Qué pasa con\(G_n\) como\(n\) se vuelve muy grande?

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Considera un pequeño roedor que vive tres años. Una vez más, podemos separar una población de hembras en juveniles, añinos y adultos. Supongamos que, cada año,

• La mitad de los juveniles viven para ser añinos.
• Una cuarta parte de los años vive para ser adultos.
• Las hembras adultas producen ocho crías femeninas.
• Ninguno de los adultos sobrevive hasta el próximo año.

1. Al escribir las poblaciones de juveniles, añinos y adultos en el año\(k\) usando el vector, se\(\mathbf x_k=\threevec{J_k}{Y_k}{A_k}\text{,}\) encuentra la matriz de\(A\) tal manera que\(\mathbf x_{k+1} = A\mathbf x_k\text{.}\)
2. Demostrar que\(A^3=I\text{.}\)
3. ¿Cuáles son los valores propios de\(A^3\text{?}\) Qué dice esto sobre los valores propios de\(A\text{?}\)
4. Verifica tu observación encontrando los valores propios de\(A\text{.}\)
5. ¿Qué se puede decir sobre las trayectorias de este sistema dinámico?
6. ¿Qué significa esto sobre la población de roedores?
7. Encontrar un vector poblacional\(\mathbf x_0\) que no se haya cambiado de año en año.