4.3: Diagonalización, similitud y potencias de una matriz

El primer ejemplo que consideramos en este capítulo fue la matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right] \text{,}\) que tiene vectores propios\(\mathbf v_1=\twovec{1}{1}\) y\(\mathbf v_2 = \twovec{-1}{1}\) y valores propios asociados\(\lambda_1=3\) y\(\lambda_2=-1\text{.}\) en la Subsección 4.1.2, describimos cómo\(A\) es, en cierto sentido, equivalente a la matriz diagonal\(D = \left[\begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & -1\\ \end{array}\right] \text{.}\)

Esta equivalencia se resume en la Figura 4.3.1. La matriz diagonal\(D\) tiene el efecto geométrico de estirar vectores horizontalmente por un factor de\(3\) y voltear vectores verticalmente. La matriz\(A\) tiene el efecto geométrico de estirar vectores por un factor de\(3\) en la dirección\(\mathbf v_1\) y voltearlos en la dirección de\(\mathbf v_2\text{.}\) El efecto geométrico de\(A\) es el mismo que el de\(D\) cuando se ve en una base de vectores propios de\(A\text{.}\)

Figura 4.3.1. La matriz\(A\) tiene el mismo efecto geométrico que la matriz diagonal\(D\) cuando se expresa en el sistema de coordenadas definido por la base de vectores propios.

Ahora que hemos desarrollado algunas técnicas algebraicas para encontrar valores propios y vectores propios, exploraremos esta observación con mayor profundidad. En particular, haremos preciso el sentido en que\(A\) y\(D\) son equivalentes mediante el uso del sistema de coordenadas definido por la base de vectores propios\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)

Vista previa Actividad 4.3.1.

Recordemos cómo se\(\mathbb R^2\) puede representar un vector in en un sistema de coordenadas definido por una base\(\bcal=\{\mathbf v_1, \mathbf v_2\}\text{.}\)

1. Supongamos que consideramos la base\(\bcal\) definida por

   \[ \mathbf v_1 = \twovec{1}{1},\qquad \mathbf v_2 = \twovec{-1}{0}\text{.} \]

   Encuentra el vector\(\mathbf x\) cuya representación en el sistema de coordenadas definido por\(\bcal\) es\(\coords{\mathbf x}{\bcal} = \twovec{-3}{2}\text{.}\)

2. Considere el vector\(\mathbf x=\twovec{4}{5}\) y encuentre su representación\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\) en el sistema de coordenadas definido por\(\bcal\text{.}\)
3. Cómo usamos la matriz\(C_{\bcal} = \left[\begin{array}{rr} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 \end{array}\right]\) para convertir la representación de un vector\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\) en el sistema de coordenadas definido por\(\bcal\) en su representación estándar\(\mathbf x\text{?}\) ¿Cómo usamos esta matriz para\(\mathbf x\) convertirla en\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{?}\)
4. Supongamos que tenemos una matriz\(A\) cuyos vectores propios son\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) y los valores propios asociados son\(\lambda_1=4\) y\(\lambda_2 = 2\text{.}\) Expresar el vector\(A(-3\mathbf v_1 +5\mathbf v_2)\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)
5. Si\(\coords{\mathbf x}{\bcal} = \twovec{-3}{5}\text{,}\) encuentra\(\coords{A\mathbf x}{\bcal}\text{.}\)

Diagonalización de matrices

Como hemos investigado los valores propios y los vectores propios de matrices en este capítulo, hemos preguntado frecuentemente si podemos encontrar una base de vectores propios, como en la Pregunta 4.1.7. De hecho, la Proposición 4.2.3 nos dice que si\(A\) es una\(n\times n\) matriz que tiene valores propios distintos y reales, entonces hay una\(\mathbb R^n\) base para constar de vectores propios de\(A\text{.}\) Hay, además, otras condiciones sobre\(A\) esa garantía tal base, como veremos en subsecuente capítulos, pero por ahora, basta con decir que para muchas matrices, podemos encontrar una base de vectores propios. Ahora veremos cómo tal matriz\(A\) es equivalente a una matriz diagonal\(D\text{.}\)

Recuerda también que hemos visto cómo usar una base\(\bcal=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\}\) de\(\mathbb R^n\) para construir un sistema de coordenadas para\(\mathbb R^n\text{.}\) En particular,\(\coords{\mathbf x}{\bcal} = \fourvec{c_1}{c_2}{\vdots}{c_n}\) si también\(\mathbf x = c_1\mathbf v_1 + c_2\mathbf v_2 + \ldots + c_n\mathbf v_n\text{.}\) usamos la multiplicación matricial para expresar este hecho: si\(C_{\bcal} = \left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \ldots & \mathbf v_n \end{array}\right]\text{,}\) entonces

\[ \mathbf x = C_{\bcal}\coords{\mathbf x}{\bcal}, \qquad \coords{\mathbf x}{\bcal} = C_{\bcal}^{-1}\mathbf x\text{.} \]

Actividad 4.3.2.

Una vez más, consideraremos las matrices

\[ A = \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right],\qquad D = \left[\begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right]\text{.} \]

La matriz\(A\) tiene vectores propios\(\mathbf v_1=\twovec{1}{1}\) y\(\mathbf v_2=\twovec{-1}{1}\) y valores propios\(\lambda_1=3\) y\(\lambda_2=-1\text{.}\) Consideraremos la base de\(\mathbb R^2\) consistir en vectores propios\(\bcal= \{\mathbf v_1, \mathbf v_2\}\text{.}\)

1. Si\(\mathbf x= 2\mathbf v_1 - 3\mathbf v_2\text{,}\) escribe\(A\mathbf x\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)
2. Si\(\coords{\mathbf x}{\bcal}=\twovec{2}{-3}\text{,}\) encuentra\(\coords{A\mathbf x}{\bcal}\text{,}\) la representación de\(A\mathbf x\) en el sistema de coordenadas definido por\(\bcal\text{.}\)
3. Si\(\coords{\mathbf x}{\bcal}=\twovec{c_1}{c_2}\text{,}\) encuentra\(\coords{A\mathbf x}{\bcal}\text{,}\) la representación de\(A\mathbf x\) en el sistema de coordenadas definido por\(\bcal\text{.}\)
4. Explicar por qué\(\coords{A\mathbf x}{\bcal} = D\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{.}\)
5. Explicar por qué\(C_{\bcal}^{-1}A\mathbf x = DC_{\bcal}^{-1}\mathbf x\) para todos los vectores\(\mathbf x\) y por tanto

   \[ C_{\bcal}^{-1}A = DC_{\bcal}^{-1}\text{.} \]

6. Explica por qué\(A = C_{\bcal}DC_{\bcal}^{-1}\) y verifica esta relación computando\(C_{\bcal}DC_{\bcal}^{-1}\) en la celda de Sage a continuación.

La clave para entender la equivalencia de una matriz\(A\) y una matriz diagonal\(D\) es a través del sistema de coordenadas definido por una base que consiste en vectores propios de\(A\text{.}\) Supondremos que\(A\) es una\(n\times n\) matriz y que hay una base que\(\bcal=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\}\) consiste en vectores propios de\(A\) con valores propios asociados\(\lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_n\text{.}\)

Sabemos que si

\[ \mathbf x = c_1\mathbf v_1 + c_2\mathbf v_2 + \ldots + c_n\mathbf v_n\text{,} \]

entonces

\[ A\mathbf x = \lambda_1c_1\mathbf v_1 + \lambda_2c_2\mathbf v_2 + \ldots + \lambda_nc_n\mathbf v_n \text{.} \]

Este hecho se expresa convenientemente utilizando el sistema de coordenadas definido por,\(\bcal\text{;}\) en particular,

\[ \coords{\mathbf x}{\bcal} = \fourvec{c_1}{c_2}{\vdots}{c_n},\qquad \coords{A\mathbf x}{\bcal} = \fourvec{\lambda_1c_1}{\lambda_2c_2}{\vdots}{\lambda_nc_n}\text{.} \]

Formando la matriz diagonal

\[ D = \left[\begin{array}{cccc} \lambda_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & \lambda_n \\ \end{array}\right]\text{,} \]

vemos que

\[ \coords{A\mathbf x}{\bcal} = D\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{.} \]

Ahora usamos el hecho de que la matriz\(C_{\bcal} = \left[\begin{array}{cccc} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \ldots & \mathbf v_n \end{array}\right]\) realiza el cambio de coordenadas; es decir,\(\coords{A\mathbf x}{\bcal} = C_{\bcal}^{-1}A\mathbf x\) y\(\coords{\mathbf x}{\bcal} = C_{\bcal}^{-1}\mathbf x\text{.}\) Esto dice que

\[ C_{\bcal}^{-1}A\mathbf x = DC_{\bcal}^{-1}\mathbf x\text{,} \]

para todos los vectores\(\mathbf x\text{,}\), lo que significa que\(C_{\bcal}^{-1}A = DC_{\bcal}^{-1}\) o

\[ A = C_{\bcal}DC_{\bcal}^{-1}\text{.} \]

Para que la forma de esta expresión destaque más claramente, es costumbre denotar la matriz\(C_{\bcal}\) como\(P\) para que tengamos\(P = C_{\bcal}\) y de ahí

\[ A = PDP^{-1}\text{.} \]

Definición 4.3.2

Decimos que la matriz\(A\) es diagonalizable si hay una matriz diagonal\(D\) y una matriz invertible\(P\) tal que

\[ A = PDP^{-1}\text{.} \]

Este es el sentido en el que queremos decir que\(A\) es equivalente a una matriz diagonal\(D\text{.}\) La expresión\(A=PDP^{-1}\) dice que\(A\text{,}\) expresado en la base definida por las columnas de\(P\text{,}\) tiene el mismo efecto geométrico que se\(D\text{,}\) expresa en la base estándar\(\mathbf e_1, \mathbf e_2,\ldots,\mathbf e_n\text{.}\)

Ya hemos visto la siguiente proposición.

Proposición 4.3.3.

Si\(A\) es una\(n\times n\) matriz y hay una base\(\{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\}\) que consiste en vectores propios de\(A\) tener valores propios asociados\(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\text{,}\) entonces\(A\) es diagonalizable. Es decir, podemos escribir\(A=PDP^{-1}\) dónde\(D\) está la matriz diagonal cuyas entradas diagonales son los valores propios de\(A\)

\[ D = \left[\begin{array}{cccc} \lambda_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & \lambda_n \\ \end{array}\right] \]

y la matriz\(P = \left[\begin{array}{cccc} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \ldots & \mathbf v_n \end{array}\right] \text{.}\)

De hecho, si solo sabemos que\(A = PDP^{-1}\) donde\(P = \left[\begin{array}{cccc} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \ldots \mathbf v_n \end{array}\right]\text{,}\) podemos decir que los vectores\(\mathbf v_j\) son vectores propios de\(A\) y que el valor propio asociado es la entrada\(j^{th}\) diagonal de\(D\text{.}\)

Ejemplo 4.3.4

Vamos a tratar de encontrar una diagonalización de\(A = \left[\begin{array}{rr} -5 & 6 \\ -3 & 4 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

Primero, encontramos los valores propios de\(A\) resolviendo la ecuación característica

\[ \det(A-\lambda I) = (-5-\lambda)(4-\lambda)+18 = (-2-\lambda)(1-\lambda) = 0\text{.} \]

Esto demuestra que los valores propios de\(A\) son\(\lambda_1 = -2\) y\(\lambda_2 = 1\text{.}\)

Al construir\(\nul(A-(-2)I)\text{,}\) encontramos una base para consistir\(E_{-2}\) en el vector.\(\mathbf v_1 = \twovec{2}{1}\text{.}\) De manera similar, una base para\(E_1\) consiste en el vector\(\mathbf v_2 = \twovec{1}{1}\text{.}\) Esto demuestra que podemos construir una base\(\bcal=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\)\(\mathbb R^2\) consistente en vectores propios de\(A\text{.}\)

Ahora formamos las matrices

\[ D = \left[\begin{array}{rr} -2 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right],\qquad P = \left[\begin{array}{cc} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array}\right] \]

y verificar que

\[ PDP^{-1} = \left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} -2 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 2 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} -5 & 6 \\ -3 & 4 \\ \end{array}\right] = A\text{.} \]

Hay, por supuesto, muchas formas de diagonalizar\(A\text{.}\) Por ejemplo, podríamos cambiar el orden de los autovalores y vectores propios y escribir

\[ D = \left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -2 \\ \end{array}\right],\qquad P = \left[\begin{array}{cc} \mathbf v_2 & \mathbf v_1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ \end{array}\right]\text{.} \]

Si elegimos una base diferente para los espacios propios, también encontraremos una matriz diferente\(P\) que diagonalice\(A\text{.}\) El punto es que hay muchas formas en las que se\(A\) puede escribir en la forma\(A=PDP^{-1}\text{.}\)

Ejemplo 4.3.5

Vamos a tratar de encontrar una diagonalización de\(A = \left[\begin{array}{rr} 0 & 4 \\ -1 & 4 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

Una vez más, encontramos los valores propios resolviendo la ecuación característica:

\[ \det(A-\lambda I) = -\lambda(4-\lambda) + 4 = (2-\lambda)^2 = 0\text{.} \]

En este caso, hay un único valor propio\(\lambda=2\text{.}\)

Encontramos una base para el espacio propio\(E_2\) describiendo\(\nul(A-2I)\text{:}\)

\[ A-2I = \left[\begin{array}{rr} -2 & 4 \\ -1 & 2 \\ \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right]\text{.} \]

Esto demuestra que el espacio propio\(E_2\) es unidimensional con la\(\mathbf v_1=\twovec{2}{1}\) formación de una base.

En este caso, no existe una base de\(\mathbb R^2\) consistir en vectores propios de los\(A\text{,}\) que nos diga que no\(A\) es diagonalizable.

Ejemplo 4.3.6

Supongamos que sabemos que\(A=PDP^{-1}\) donde

\[ D = \left[\begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 0 & -2 \\ \end{array}\right],\qquad P = \left[\begin{array}{cc} \mathbf v_2 & \mathbf v_1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array}\right]\text{.} \]

En este caso, sabemos que las columnas de\(P\) forma vectores propios de\(A\text{.}\) Por ejemplo,\(\mathbf v_1 = \twovec{1}{1}\) es un vector propio de\(A\) con autovalor\(\lambda_1 = 2\text{.}\) También,\(\mathbf v_2 = \twovec{1}{2}\) es un vector propio con autovalor\(\lambda_2=-2\text{.}\)

Podemos verificar esto computando

\[ A = PDP^{-1} = \left[\begin{array}{rr} 6 & -4 \\ 8 & -6 \\ \end{array}\right]\text{.} \]

Entonces, podemos computar eso\(A\mathbf v_1 = \twovec{1}{1}=2\mathbf v_1\) y\(A\mathbf v_2 = \twovec{1}{2} = -2\mathbf v_2\text{.}\)

Actividad 4.3.3.

1. Encuentra una diagonalización de\(A\text{,}\) si existe, cuando

   \[ A = \left[\begin{array}{rr} 3 & -2 \\ 6 & -5 \\ \end{array}\right]\text{.} \]

2. ¿Puede la matriz diagonal

   \[ A = \left[\begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 0 & -5 \\ \end{array}\right] \]

   estar diagonalizado? Si es así, explique cómo encontrar las matrices\(P\) y\(D\text{.}\)

3. Encuentra una diagonalización de\(A\text{,}\) si existe, cuando

   \[ A = \left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 0 \\ 1 & -3& 0 \\ 2 & 0 & -3 \\ \end{array}\right]\text{.} \]
4. Encuentra una diagonalización de\(A\text{,}\) si existe, cuando

   \[ A = \left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 0 \\ 1 & -3& 0 \\ 2 & 1 & -3 \\ \end{array}\right]\text{.} \]
5. Supongamos que\(A=PDP^{-1}\) donde

   \[ D = \left[\begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right],\qquad P = \left[\begin{array}{cc} \mathbf v_2 & \mathbf v_1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} 2 & 2 \\ 1 & -1 \\ \end{array}\right]\text{.} \]

   1. Explique por qué\(A\) es invertible.
   2. Encuentra una diagonalización de\(A^{-1}\text{.}\)
   3. Encuentra una diagonalización de\(A^3\text{.}\)

Potencias de una matriz diagonalizable

En varios ejemplos anteriores, nos ha interesado la computación de potencias de una matriz dada. Por ejemplo, en la Actividad 4.1.3, se nos da la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 0.8 & 0.6 \\ 0.2 & 0.4 \\ \end{array}\right]\) y un vector inicial\(\mathbf x_0=\twovec{1000}{0}\text{,}\) y queríamos calcular

\[ \begin{aligned} \mathbf x_1 & {}={} A\mathbf x_0 \\ \mathbf x_2 & {}={} A\mathbf x_1 = A^2\mathbf x_0 \\ \mathbf x_3 & {}={} A\mathbf x_2 = A^3\mathbf x_0\text{.} \\ \end{aligned} \]

De manera más general, nos gustaría encontrar\(\mathbf x_k=A^k\mathbf x_0\) y determinar lo que sucede a medida que\(k\) se vuelve muy grande. Si una matriz\(A\) es diagonalizable, la escritura\(A=PDP^{-1}\) puede ayudarnos a entender los poderes de la\(A\) facilidad.

Actividad 4.3.4.

1. Comencemos con la matriz diagonal

   \[ D = \left[\begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right]\text{.} \]

   Encuentra los poderes\(D^2\text{,}\)\(D^3\text{,}\) y\(D^4\text{.}\) Lo que es\(D^k\) para un valor general de\(k\text{?}\)

2. Supongamos que\(A\) es una matriz con autovector\(\mathbf v\) y autovalor asociado es\(\lambda\text{;}\) decir, Al considerar\(A^2\mathbf v\text{,}\) explicar\(A\mathbf v = \lambda\mathbf v\text{.}\) por qué también\(\mathbf v\) es un vector propio de\(A\) con autovalor\(\lambda^2\text{.}\)
3. Supongamos que\(A= PDP^{-1}\) donde

   \[ D = \left[\begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right]\text{.} \]

   Recordando que las columnas de\(P\) son vectores propios de\(A\text{,}\) explicar por qué\(A^2\) es diagonalizable y encontrar una diagonalización de la misma.

4. Dar otra explicación de la diagonalizabilidad de\(A^2\) por escrito

   \[ A^2 = (PDP^{-1})(PDP^{-1}) = PD(P^{-1}P)DP^{-1}\text{.} \]

5. De la misma manera, encontrar una diagonalización de\(A^3\text{,}\)\(A^4\text{,}\) y\(A^k\text{.}\)
6. Supongamos que\(A\) es una\(2\times2\) matriz diagonalizable con valores propios\(\lambda_1 = 0.5\) y\(\lambda_2=0.1\text{.}\) ¿Qué pasa con\(A^k\) como\(k\) se vuelve muy grande?

Comenzamos señalando que los vectores propios de una matriz también\(A\) son vectores propios de las potencias de\(A\text{.}\) Por ejemplo, si\(A\mathbf v = \lambda\mathbf v\text{,}\) entonces

\[ A^2\mathbf v = A(A\mathbf v) = A(\lambda\mathbf v) = \lambda A\mathbf v = \lambda^2\mathbf v\text{.} \]

De esta manera, vemos que\(\mathbf v\) es un vector propio de\(A^2\) con valor propio\(\lambda^2\text{.}\) Además, para cualquiera\(k\text{,}\)\(\mathbf v\) es un vector propio de\(A^k\) con autovalor\(\lambda^k\text{.}\)

Ahora bien, si\(A\) es diagonalizable, podemos escribir\(A=PDP^{-1}\) donde las columnas de\(P\) son vectores propios de\(A\) y las entradas diagonales de\(D\) son los valores propios. Si\(D = \left[\begin{array}{rr} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \\ \end{array}\right] \text{,}\) entonces

\[ A^2 = P\left[\begin{array}{rr} \lambda_1^2 & 0 \\ 0 & \lambda_2^2 \\ \end{array}\right] P^{-1} = PD^2P^{-1}\text{.} \]

Tenemos la misma matriz\(P\) en esta expresión ya que los vectores propios de\(A^2\) son también los vectores propios de\(A\text{.}\)

Otra forma de ver esto es señalar que

\[ \begin{aligned} A^2 & {}={} (PDP^{-1})(PDP^{-1}) \\ & {}={} PD(P^{-1}P)DP^{-1} \\ & {}={} PDIDP^{-1} \\ & {}={} PDDP^{-1} \\ & {}={} PD^2P^{-1}\text{.} \end{aligned} \]

Del mismo modo, cualquier poder de\(A\) es diagaonalizable; en particular,\(A^k = PD^kP^{-1}\text{.}\)

En la siguiente sección veremos algunos usos importantes de nuestra capacidad para tratar con los poderes de esta manera. Hasta entonces, consideremos el caso donde\(D = \left[\begin{array}{rr} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.1 \\ \end{array}\right]\) para que\(D^k = \left[\begin{array}{rr} 0.5^k & 0 \\ 0 & 0.1^k \\ \end{array}\right] \text{.}\) As\(k\) se vuelva muy grande, las entradas diagonales se acercan cada vez más a cero. Esto significa que\(D^k\) se acerca cada vez más a la matriz cero al\(\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right]\) igual que lo hace\(A^k = PD^kP^{-1}\text{.}\) En otras palabras, no importa con qué vector\(\mathbf x_0\) comencemos, los vectores\(A^k\mathbf x_0\) se acercan cada vez más a\(\zerovec\text{.}\)

Similaridad y valores propios complejos

Nos ha interesado diagonalizar una matriz\(A\) porque al hacerlo se relaciona una matriz\(A\) con una matriz diagonal más simple\(D\text{.}\) Si\(A=PDP^{-1}\text{,}\) escribimos vemos que multiplicar un vector por\(A\) en las coordenadas definidas por las columnas de\(P\) es lo mismo que multiplicar por \(D\)en coordenadas estándar. Bajo este cambio de coordenadas,\(A\) y\(D\) tienen el mismo efecto sobre los vectores.

De manera más general, si tenemos dos matrices\(A\) y\(B\) tal que\(A=PBP^{-1}\text{,}\) podemos considerar la multiplicación por\(A\) y\(B\) como teniendo el mismo efecto sobre los vectores bajo el cambio de coordenadas definidas por las columnas de Es\(P\text{.}\) decir, si\(\bcal\) es la base formada por el columnas de\(P\text{,}\) entonces\(\coords{A\mathbf x}{\bcal} = B\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{.}\) Esto lleva a la siguiente definición.

Definición 4.3.7

Decimos que\(A\) es similar a\(B\) si hay una matriz invertible\(P\) tal que\(A = PBP^{-1}\text{.}\)

Observe que una matriz es diagonalizable si y sólo si es similar a una matriz diagonal. Sin embargo, hemos visto varios ejemplos de una matriz\(A\) que no es diagonalizable. En este caso, es natural preguntar si hay alguna matriz más simple que sea similar a\(A\text{.}\)

Ejemplo 4.3.8

Consideremos la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} -2 & 2 \\ -5 & 4 \\ \end{array}\right]\) cuya ecuación característica es

\[ \det(A-\lambda I) = (-2-\lambda)(4-\lambda)+10 = 2 - 2\lambda + \lambda^2 = 0\text{.} \]

Aplicando la fórmula cuadrática para encontrar los valores propios, obtenemos

\[ \lambda = \frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot2}}{2}=1\pm i\text{.} \]

Aquí vemos que la matriz\(A\) tiene dos valores propios complejos y por lo tanto no es diagonalizable.

En caso de que una matriz\(A\) tenga valores propios complejos, encontraremos una matriz más simple\(C\) que es similar a\(A\text{.}\) En particular, si\(A\) tiene un valor propio\(\lambda = a+bi\text{,}\) entonces\(A\) es similar a\(C=\left[\begin{array}{rr} a & -b \\ b & a \\ \end{array}\right] \text{.}\)

La siguiente actividad muestra que\(C\) tiene un efecto geométrico simple en\(\mathbb R^2\text{.}\) First, sin embargo, vamos a reescribir\(C\) en coordenadas polares, como se muestra en la figura. Formamos el punto\((a,b)\text{,}\) que define\(r\text{,}\) la distancia desde el origen, y\(\theta\text{,}\) el ángulo formado con el eje horizontal positivo. Entonces tenemos

\[ \begin{aligned} a & {}={} r\cos\theta \\ b & {}={} r\sin\theta\text{.} \\ \end{aligned} \]

Observe que\(r=\sqrt{a^2+b^2}\text{.}\)

Actividad 4.3.5.

1. Vamos a reescribir\(C\) en términos de\(r\) y\(\theta\text{.}\) explicar por qué

   \[ \left[\begin{array}{rr} a & -b \\ b & a \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} r\cos\theta & -r\sin\theta \\ r\sin\theta & r\cos\theta \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} r & 0 \\ 0 & r \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{array}\right]\text{.} \]

2. Explicar por qué\(C\) tiene el efecto geométrico de rotar vectores\(\theta\) y estirarlos por un factor de\(r\text{.}\)
3. Consideremos ahora la matriz\(A\) del Ejemplo 4.3.8:

   \[ A = \left[\begin{array}{rr} -2 & 2 \\ -5 & 4 \\ \end{array}\right] \]

   cuyos valores propios son\(\lambda_1 = 1+i\) y\(\lambda_2 = 1-i\text{.}\) elegiremos enfocarnos en uno de los valores propios\(\lambda_1 = a+bi= 1+i. \)

   Formar la matriz\(C\) usando estos valores de\(a\) y\(b\text{.}\) Luego reescriba el punto\((a,b)\) en coordenadas polares identificando los valores de\(r\) y\(\theta\text{.}\) Explicar el efecto geométrico de multiplicar vectores de\(C\text{.}\)

4. Supongamos que\(P=\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Verifica que\(A = PCP^{-1}\text{.}\)
5. Explicar por qué\(A^k = PC^kP^{-1}\text{.}\)
6. Formamos la matriz\(C\) eligiendo el valor propio\(\lambda_1=1+i\text{.}\) Supongamos que en su lugar habíamos elegido\(\lambda_2 = 1-i\text{.}\) Formar la matriz\(C'\) y usar coordenadas polares para describir el efecto geométrico de\(C\text{.}\)
7. El uso de la matriz\(P' = \left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 2 & -1 \\ \end{array}\right] \text{,}\) muestra que\(A = P'C'P'^{-1}\text{.}\)

Si la\(2\times2\) matriz\(A\) tiene un valor propio complejo\(\lambda = a + bi\text{,}\) esta actividad demuestra el hecho de que\(A\) es similar a la matriz\(C = \left[\begin{array}{rr} a & -b \\ b & a \\ \end{array}\right] \text{.}\) Cuando consideramos la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} -2 & 2 \\ -5 & 4 \\ \end{array}\right] \text{,}\) encontramos el valor propio complejo\(\lambda=1+i\text{,}\) que conduce a la matriz

\[ C = \left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} \cos(45^\circ) & -\sin(45^\circ) \\ \sin(45^\circ) & \cos(45^\circ) \\ \end{array}\right]\text{.} \]

La matriz tiene el efecto geométrico de rotar vectores por\(45^\circ\) y estirarlos por un factor de\(\sqrt{2}\text{,}\) como se muestra en la figura.

Como vimos en la actividad, nuestra matriz original\(A\) es similar a Es\(C\text{.}\) decir, vimos que hay una matriz\(P\) tal que\(A=PCP^{-1}\text{.}\) Esto quiere decir que, cuando se expresa en las coordenadas definidas por las columnas de\(P\text{,}\) multiplicar un vector por\(A\) es equivalente a multiplicar por \(C\text{;}\)es decir, si\(\bcal\) es la base formada por las columnas de\(A\text{,}\) entonces\(\coords{A\mathbf x}{\bcal} = C\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{.}\)

Si hubiéramos elegido el otro valor propio\(\lambda_2 = 1-i\text{,}\) habríamos formado la matriz

\[ C' = \left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} \cos(-45^\circ) & -\sin(-45^\circ) \\ \sin(-45^\circ) & \cos(-45^\circ) \\ \end{array}\right]\text{.} \]

En otras palabras, esta matriz\(C'\) gira los vectores\(-45^\circ\) y los estira por un factor de\(\sqrt{2}\text{.}\) La matriz original también\(A\) es similar a\(C'\text{.}\)

Dependiendo de qué valor propio complejo elegimos, encontramos una matriz\(C\) que realiza una rotación en sentido antihorario o en sentido horario. En nuestros usos futuros, nos centraremos en\(r\text{,}\) el factor de estiramiento, y no nos preocuparemos por la dirección de la rotación.

Resumen

Las ideas de esta sección demuestran cómo los valores propios y los vectores propios de una matriz\(A\) pueden proporcionarnos un nuevo sistema de coordenadas en el que multiplicar por\(A\) reduce a una operación más simple.

• Dijimos que\(A\) es diagonalizable si podemos escribir\(A = PDP^{-1}\) donde\(D\) está una matriz diagonal. Las columnas de\(P\) consisten en vectores propios de\(A\) y las entradas diagonales de\(D\) son los valores propios asociados.
• Una\(n\times n\) matriz\(A\) es diagonalizable si y solo si hay una base de\(\mathbb R^n\) consistir en vectores propios de\(A\text{.}\)
• Lo dijimos\(A\) y\(B\) son similares si existe una matriz invertible\(P\) tal que\(A=PBP^{-1}\text{.}\) En este caso,\(A^k = PB^kP^{-1}\text{.}\)
• Si\(A\) es una\(2\times2\) matriz con valor propio complejo\(\lambda = a+bi\text{,}\) entonces\(A\) es similar a\(C = \left[\begin{array}{rr} a & -b \\ b & a \\ \end{array} \right] \text{.}\) Escribir el punto\((a,b)\) en coordenadas polares\(r\) y\(\theta\text{,}\) vemos que\(C\) gira vectores a través de un ángulo\(\theta\) y los estira por un factor de\(r=\sqrt{a^2+b^2}\text{.}\)

Ejercicios 4.3.5Ejercicios

1

Determinar si las siguientes matrices son diagonalizables. Si es así, encuentra matrices\(D\) y\(P\) tal que\(A=PDP^{-1}\text{.}\)

1. \(A = \left[\begin{array}{rr} -2 & -2 \\ -2 & 1 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
2. \(A = \left[\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ -1 & -3 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
3. \(A = \left[\begin{array}{rr} 3 & -4 \\ 2 & -1 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
4. \(A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
5. \(A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

2

Determinar si las siguientes matrices tienen valores propios complejos. Si es así, encuentra la matriz\(C\) tal que\(A = PCP^{-1}\text{.}\)

1. \(A = \left[\begin{array}{rr} -2 & -2 \\ -2 & 1 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
2. \(A = \left[\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ -1 & -3 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
3. \(A = \left[\begin{array}{rr} 3 & -4 \\ 2 & -1 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

3

Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y proporcione una justificación para su respuesta.

1. Si\(A\) es invertible, entonces\(A\) es diagonalizable.
2. Si\(A\) y\(B\) son similares y\(A\) es invertible, entonces también\(B\) es invertible.
3. Si\(A\) es una\(n\times n\) matriz diagonalizable, entonces hay una base de\(\mathbb R^n\) consistir en vectores propios de\(A\text{.}\)
4. Si\(A\) es diagonalizable, entonces también\(A^{10}\) es diagonalizable.
5. Si\(A\) es diagonalizable, entonces\(A\) es invertible.

4

Proporcione una justificación para su respuesta a las siguientes preguntas.

1. Si\(A\) una\(3\times3\) matriz tiene valores propios ¿\(\lambda = 2, 3, -4\text{,}\)puedes garantizar que\(A\) es diagonalizable?
2. Si\(A\) es una\(2\times 2\) matriz con un valor propio complejo, ¿puede garantizar que\(A\) es diagonalizable?
3. Si\(A\) es similar a la matriz\(B = \left[\begin{array}{rrr} -5 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{array}\right] \text{,}\) es\(A\) diagonalizable?
4. ¿Qué matrices son similares a la matriz de identidad?
5. Si\(A\) es una\(2\times2\) matriz diagonalizable con un único valor propio\(\lambda = 4\text{,}\) lo que es\(A\text{?}\)

5

Describir el efecto geométrico que las siguientes matrices tienen sobre\(\mathbb R^2\text{:}\)

1. \(\displaystyle A = \left[\begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{array}\right]\)
2. \(\displaystyle A = \left[\begin{array}{rr} 4 & 2 \\ 0 & 4 \\ \end{array}\right]\)
3. \(\displaystyle A = \left[\begin{array}{rr} 3 & -6 \\ 6 & 3 \\ \end{array}\right]\)
4. \(\displaystyle A = \left[\begin{array}{rr} 4 & 0 \\ 0 & -2 \\ \end{array}\right]\)
5. \(\displaystyle A = \left[\begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 3 & 1 \\ \end{array}\right]\)

6

Decimos que\(A\) es similar a\(B\) si hay una matriz\(P\) tal que\(A = PBP^{-1}\text{.}\)

1. Si\(A\) es similar\(B\text{,}\) explicar por qué\(B\) es similar a\(A\text{.}\)
2. Si\(A\) es similar\(B\) y\(B\) es similar para\(C\text{,}\) explicar por qué\(A\) es similar a\(C\text{.}\)
3. Si\(A\) es similar\(B\) y\(B\) es diagonalizable, explique por qué\(A\) es diagonalizable.
4. Si\(A\) y\(B\) son similares, explica por qué\(A\) y\(B\) tienen el mismo polinomio característico; es decir, explicar por qué\(\det(A-\lambda I) = \det(B-\lambda I)\text{.}\)
5. Si\(A\) y\(B\) son similares, explique por qué\(A\) y\(B\) tengan los mismos valores propios.

7

Supongamos que\(A = PDP^{-1}\) donde

\[ D = \left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right],\qquad P = \left[\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right]\text{.} \]

1. Explicar el efecto geométrico que\(D\) tiene sobre los vectores en\(\mathbb R^2\text{.}\)
2. Explicar el efecto geométrico que\(A\) tiene sobre los vectores en\(\mathbb R^2\text{.}\)
3. ¿Qué se puede decir sobre\(A^2\) y otros poderes de\(A\text{?}\)
4. ¿Es\(A\) invertible?

8

Cuando\(A\) es una\(2\times2\) matriz con un valor propio complejo\(\lambda = a+bi\text{,}\) hemos dicho que hay una matriz\(P\) tal que\(A=PCP^{-1}\) donde\(C=\left[\begin{array}{rr} a & -b \\ b & a \\ \end{array}\right] \text{.}\) En este ejercicio, aprenderemos a encontrar la matriz\(P\text{.}\) Como ejemplo, consideraremos la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 2 & 2 \\ -1 & 4 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

1. Demostrar que los valores propios de\(A\) son complejos.
2. Elija uno de los valores propios complejos\(\lambda=a+bi\) y construya la matriz habitual\(C\text{.}\)
3. Usando el mismo valor propio, encontraremos un vector propio\(\mathbf v\) donde las entradas de\(\mathbf v\) son números complejos. Como siempre, lo describiremos\(\nul(A-\lambda I)\) construyendo la matriz\(A-\lambda I\) y encontrando su forma de escalón de fila reducida. Al hacerlo, necesariamente necesitaremos usar aritmética compleja.
4. Ahora hemos encontrado un complejo eigenvector\(\mathbf v\text{.}\) Write\(\mathbf v = \mathbf v_1 - i \mathbf v_2\) para identificar vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) tener entradas reales.
5. Construye la matriz\(P = \left[\begin{array}{rr} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 \end{array}\right]\) y verifica que\(A=PCP^{-1}\text{.}\)

9

Para cada una de las siguientes matrices, esboce el vector\(\mathbf x = \twovec{1}{0}\) y las potencias\(A^k\mathbf x\) para\(k=1,2,3,4\text{.}\)

1. \(A = \left[\begin{array}{rr} 0 & -1.4 \\ 1.4 & 0 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

   

2. \(A = \left[\begin{array}{rr} 0 & -0.8 \\ 0.8 & 0 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

   

3. \(A = \left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

   
4. Considera una matriz de la forma\(C=\left[\begin{array}{rr} a & -b \\ b & a \\ \end{array}\right]\) con\(r=\sqrt{a^2+b^2}\text{.}\) Qué sucede cuando\(k\) se vuelve muy grande cuando
   1. \(r \lt 1\text{.}\)
   2. \(r = 1\text{.}\)
   3. \(r \gt 1\text{.}\)

10

Para cada una de las siguientes matrices y vectores, esboce el vector\(\mathbf x\) junto con\(A^k\mathbf x\) para\(k=1,2,3,4\text{.}\)

1. \[ \begin{aligned} A & {}={} \left[\begin{array}{rr} 1.4 & 0 \\ 0 & 0.7 \\ \end{array}\right] \\ \\ \mathbf x & {}={} \twovec{1}{2}\text{.} \end{aligned}\text{.} \]

   

2. \[ \begin{aligned} A & {}={} \left[\begin{array}{rr} 0.6 & 0 \\ 0 & 0.9 \\ \end{array}\right] \\ \\ \mathbf x & {}={} \twovec{4}{3}\text{.} \end{aligned} \]

   

3. \[ \begin{aligned} A & {}={} \left[\begin{array}{rr} 1.2 & 0 \\ 0 & 1.4 \\ \end{array}\right] \\ \\ \mathbf x& {}={}\twovec{2}{1}\text{.} \end{aligned} \]

   

4. \[ \begin{aligned} A & {}={} \left[\begin{array}{rr} 0.95 & 0.25 \\ 0.25 & 0.95 \\ \end{array}\right] \\ \\ \mathbf x& {}={}\twovec{3}{0}\text{.} \end{aligned} \]

   Encuentra los valores propios y vectores propios de\(A\) para crear tu boceto.

   
5. Si\(A\) es una\(2\times2\) matriz con valores propios\(\lambda_1=0.7\) y\(\lambda_2=0.5\) y\(\mathbf x\) es cualquier vector, ¿qué pasa\(A^k\mathbf x\) cuando\(k\) se vuelve muy grande?