2.1: Adición de Matrices y Multiplicación Escalar

Objetivos de aprendizaje

• ¿Cuándo son iguales dos matrices?
• Escribe una explicación de cómo agregar matrices como si fueran incorrectas a alguien que sabe lo que es una matriz pero no mucho más.
• T/F: Sólo hay 1 matriz cero.
• T/F: Multiplicar una matriz por 2 medias para multiplicar cada entrada en la matriz por 2.

En el pasado, cuando tratábamos de expresiones que usaban “”\(x\), no solo sumábamos y\(x\) multiplicábamos juntos por el gusto de hacerlo, sino porque normalmente nos daban algún tipo de ecuación que tenía\(x\) en ella y teníamos que “resolver por \(x\).”

Esto plantea la pregunta: “¿Qué significa ser igual?” Dos números son iguales, cuando\(\ldots\), eh\(\ldots\), no importa. ¿Qué significa que dos matrices sean iguales? Decimos que las matrices\(A\) y\(B\) son iguales cuando sus entradas correspondientes son iguales. Esta parece una definición muy simple, pero es bastante importante, así que le damos una caja.

Definición: Matrix Igualdad

Dos\(m\times n\) matrices\(A\) y\(B\) son iguales si sus entradas correspondientes son iguales.

Observe que nuestra definición más formal especifica que si las matrices son iguales, tienen las mismas dimensiones. Esto debería tener sentido.

Ahora pasamos a describir cómo sumar dos matrices juntas. Para empezar, hazte una puñalada salvaje: ¿a qué crees que es igual la siguiente suma?

\[\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\: +\: \left[\begin{array}{cc}{2}&{-1}\\{5}&{7}\end{array}\right]\: =\: ? \nonumber \]

Si adivinaste

\[\left[\begin{array}{cc}{3}&{1}\\{8}&{11}\end{array}\right]\: , \nonumber \]

adivinaste correctamente. Eso no fue tan difícil, ¿verdad?

Sigamos adelante, esperando que estemos empezando a ponernos en rollo. Haz otra conjetura salvaje: ¿a qué crees que es igual la siguiente expresión?

\[3\cdot\:\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\: = \: ? \nonumber \]

Si adivinaste

\[\left[\begin{array}{cc}{3}&{6}\\{9}&{12}\end{array}\right]\: , \nonumber \]

¡adivinaste correctamente!

Incluso si adivinaste mal las dos veces, probablemente hayas visto lo suficiente en estos dos ejemplos para tener una idea justa ahora de qué se trata la adición matricial y la multiplicación escalar.

Antes de definir formalmente cómo realizar las operaciones anteriores, primero recordemos que si\(A\) es una\(m\times n\) matriz, entonces podemos escribir\(A\) como

\[A=\left[\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\end{array}\right] . \nonumber \]

En segundo lugar, debemos definir a qué nos referimos con la palabra escalar. Un escalar es cualquier número por el que multiplicamos una matriz. (En cierto sentido, usamos ese número para escalar la matriz.) Ahora estamos listos para definir nuestras primeras operaciones aritméticas.

Definición: Adición de matriz

Dejar\(A\) y\(B\) ser\(m\times n\) matrices. La suma de\(A\) y\(B\), denotada\(A + B\), es

\[\left[\begin{array}{cccc}{a_{11}+b_{11}}&{a_{12}+b_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}+b_{1n}} \\ {a_{21}+b_{21}}&{a_{22}+b_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}+b_{2n}} \\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots} \\ {a_{m1}+b_{m1}}&{a_{m2}+b_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}+b_{mn}}\end{array}\right] . \nonumber \]

Definición: Multiplicación escalar

Dejar\(A\) ser una\(m\times n\) matriz y dejar\(k\) ser un escalar. La multiplicación escalar de\(k\) y\(A\), denotada\(kA\), es

\[\left[\begin{array}{cccc}{ka_{11}}&{ka_{12}}&{\cdots}&{ka_{1n}} \\ {ka_{21}}&{ka_{22}}&{\cdots}&{ka_{2n}} \\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots} \\ {ka_{m1}}&{ka_{m2}}&{\cdots}&{ka_{mn}}\end{array}\right] \nonumber \]

Ya estamos listos para un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Let

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{-1}&{2}&{1}\\{5}&{5}&{5}\end{array}\right] \:, \qquad B=\left[\begin{array}{ccc}{2}&{4}&{6}\\{1}&{2}&{2}\\{-1}&{0}&{4}\end{array}\right] \:, \qquad C=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{9}&{8}&{7}\end{array}\right] \:. \nonumber \]

Simplifique las siguientes expresiones de matriz.

1. \(A+B\)
2. \(B+A\)
3. \(A-B\)
4. \(A+C\)
5. \(-3A+2B\)
6. \(A-A\)
7. \(5A+5B\)
8. \(5(A+B)\)

Solución

1. \(A+B=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{6}&{9}\\{0}&{4}&{3}\\{4}&{5}&{9}\end{array}\right]\)
2. \(B+A=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{6}&{9}\\{0}&{4}&{3}\\{4}&{5}&{9}\end{array}\right]\)
3. \(A-B=\left[\begin{array}{ccc}{-1}&{-2}&{-3}\\{-2}&{0}&{-1}\\{6}&{5}&{1}\end{array}\right]\)
4. \(A+C\)no está definido. Si miramos nuestra definición de adición de matriz, vemos que las dos matrices necesitan ser del mismo tamaño. Ya que\(A\) y\(C\) tenemos diferentes dimensiones, ni siquiera tratamos de crear algo como una adición; simplemente decimos que la suma no está definida.
5. \(-3A+2B=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{5}&{-2}&{1}\\{-17}&{-15}&{-7}\end{array}\right]\)
6. \(A-A=\left[\begin{array}{ccc}{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{array}\right]\)
7. Estrictamente hablando, esto es\(\left[\begin{array}{ccc}{5}&{10}&{15}\\{-5}&{10}&{5}\\{25}&{25}&{25}\end{array}\right]\: + \:\left[ \begin{array}{ccc}{10}&{20}&{30}\\{5}&{10}&{10}\\{-5}&{0}&{20}\end{array}\right]\: = \:\left[ \begin{array}{ccc}{15}&{30}&{45}\\{0}&{20}&{15}\\{20}&{25}&{45}\end{array}\right]\).
8. Estrictamente hablando, esto es
   \(\begin{aligned}5\left(\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{-1}&{2}&{1}\\{5}&{5}&{5}\end{array}\right]\:+ \:\left[\begin{array}{ccc}{2}&{4}&{6}\\{1}&{2}&{2}\\{-1}&{0}&{4}\end{array}\right]\right)\: &=\:5\cdot\left[\begin{array}{ccc}{3}&{6}&{9}\\{0}&{4}&{3}\\{4}&{5}&{9}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ccc}{15}&{30}&{45}\\{0}&{20}&{15}\\{20}&{25}&{45}\end{array}\right]\end{aligned}\)

Nuestro ejemplo planteó algunos puntos interesantes. Observe cómo\(A+B = B+A\). Probablemente no nos sorprenda esto, ya que sabemos que cuando se trata de números,\(a+b = b+a\). También, fíjese en eso\(5A+5B=5(A+B)\). En nuestro ejemplo, estuvimos atentos al computar cada una de estas expresiones siguiendo el orden adecuado de las operaciones; saber que estas son iguales nos permite computar expresiones similares de la manera más conveniente.

Otra cosa interesante que vino de nuestro ejemplo anterior es que
\[A-A=\left[\begin{array}{ccc}{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{array}\right] \: . \nonumber \]
Parece que esta debería ser una matriz especial; después de todo, cada entrada es 0 y 0 es un número especial.

De hecho, esta es una matriz especial. Definimos, que leemos como “la matriz cero”, como la matriz de todos los ceros. \(^{1}\)Debemos tener cuidado; esta “definición” anterior es un poco ambigua, pues no hemos dicho de qué tamaño debería ser la matriz cero. ¿Es\(\left[\begin{array}{cc}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{array}\right]\) la matriz cero? ¿Qué tal\(\left[\begin{array}{cc}{0}&{0}\end{array}\right]\)?

No nos empantanemos en la semántica. Si alguna vez vemos\(\mathbf{0}\) en una expresión, normalmente sabremos de inmediato qué tamaño\(\mathbf{0}\) debe ser; será el tamaño el que permita que la expresión tenga sentido. Si\(A\) es una\(3\times 5\) matriz, y escribimos\(A+\mathbf{0}\), simplemente asumiremos que también\(\mathbf{0}\) es una\(3\times 5\) matriz. Si alguna vez estamos en duda, podemos agregar un subíndice; por ejemplo,\(\mathbf{0}_{2\times 7}\) es la\(2\times7\) matriz de todos los ceros.

Dado que la matriz cero es un concepto importante, le damos su propia caja de definición.

Definición: La Matriz Cero

La\(m\times n\) matriz de todos los ceros, denotada\(\mathbf{0}_{m\times n}\), es la matriz cero. Cuando las dimensiones de la matriz cero son claras a partir del contexto, generalmente se omite el subíndice.

A continuación se presentan algunas de las propiedades de adición matricial y multiplicación escalar que descubrimos anteriormente, además de algunas más.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Properties of Matrix Addition and Scalar Multiplication

Las siguientes igualdades se mantienen para todas\(m\times n\) las matrices\(A\),\(B\) y\(C\) y escalares\(k\).

1. \(A+B=B+A\)(Propiedad conmutativa)
2. \((A+B)+C=A+(B+C)\)(Propiedad asociativa)
3. \(k(A+B)=kA+kB\)(Propiedad Distributiva de Multiplicación Escalar)
4. \(kA=Ak\)
5. \(A+\mathbf{0}=\mathbf{0}+A=A\)(Identidad Aditiva)
6. \(0A=\mathbf{0}\)

Asegúrese de que esta última propiedad tenga sentido; dice que si multiplicamos cualquier matriz por el número 0, el resultado es la matriz cero, o\(\mathbf{0}\).

Iniciamos esta sección con el concepto de igualdad matricial. Pongamos nuestras propiedades de adición de matriz para usar y resolvamos una ecuación matricial.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Let

\[A=\left[\begin{array}{cc}{2}&{-1}\\{3}&{6}\end{array}\right] . \nonumber \]

Encuentra la matriz de\(X\) tal manera que

\[2A+3X=-4A. \nonumber \]

Solución

Podemos usar técnicas básicas de álgebra para manipular esta ecuación para\(X\); first, let’s subtract \(2A\) from both sides. This gives us \[3X = -6A. \nonumber \] Ahora dividir ambos lados por 3 para obtener\[X = -2A. \nonumber \] Ahora solo necesitamos calcular\(-2A\); encontramos que\[X=\left[\begin{array}{cc}{-4}&{2}\\{-6}&{-12}\end{array}\right] . \nonumber \]

Nuestras propiedades de matriz se identifican\(\mathbf{0}\) como la Identidad Aditiva; es decir, si agregas\(\mathbf{0}\) a alguna matriz\(A\), simplemente obtienes\(A\). Esto es similar en noción al hecho de que para todos los números\(a\),\(a+0 = a\). Una Identidad Multiplicativa sería una matriz\(I\) donde\(I\times A=A\) para todas las matrices\(A\). (¿Cómo sería una matriz así? Una matriz de todos los 1s, ¿quizás?) No obstante, para que esto tenga sentido, tendremos que aprender a multiplicar matrices juntas, lo que haremos en la siguiente sección.

Notas al pie

[1] Utilizamos la cara en negrita para distinguir la matriz cero\(\mathbf{0}\),, del número cero, 0.