2.2: Multiplicación de Matrices

Objetivos de aprendizaje

• T/F: Los vectores de columna se utilizan más en este texto que los vectores de fila, aunque algunos otros textos hacen lo contrario.
• T/F: Para multiplicar\(A\times B\), el número de filas de\(A\) y\(B\) tiene que ser el mismo.
• T/F: La entrada en la 2da fila y 3ra columna del producto\(AB\) proviene de multiplicar la 2da fila de\(A\) por la 3ra columna de\(B\).
• Nombra dos propiedades de multiplicación matricial que también se mantienen para la “multiplicación regular” de números.
• Nombrar una propiedad de “multiplicación regular” de números que no se sostiene para la multiplicación matricial.
• T/F:\(A^{3} = A\cdot A\cdot A\)

En la sección anterior encontramos que la definición de adición de matriz era muy intuitiva, y terminamos esa sección discutiendo el hecho de que eventualmente nos gustaría saber qué significa multiplicar matrices juntas.

En el espíritu de la última sección, llévate otra puñalada salvaje: qué opinas

\[\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\times\:\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{2}&{2}\end{array}\right] \nonumber \]

significa?

Es probable que hayas adivinado

\[\left[\begin{array}{cc}{1}&{-2}\\{6}&{8}\end{array}\right] \nonumber \]

pero esto, de hecho, no es correcto. \(^{1}\)La respuesta real es

\[\left[\begin{array}{cc}{5}&{3}\\{11}&{5}\end{array}\right] . \nonumber \]

Si puedes mirar este ejemplo y de repente entender exactamente cómo funciona la multiplicación matricial, entonces probablemente seas más inteligente que el autor. Si bien la multiplicación de matrices no es difícil, no es tan intuitiva como lo es la adición de matrices.

Para enturbiar aún más las aguas (antes de limpiarlas), considere

\[\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\times\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-1}&{0}\\{2}&{2}&{-1}\end{array}\right] . \nonumber \]

Nuestra experiencia desde la última sección nos llevaría a creer que esto no está definido, pero nuestra confianza probablemente ya esté un poco sacudida. De hecho, esta multiplicación está definida, y es

\[\left[\begin{array}{ccc}{5}&{3}&{-2}\\{11}&{5}&{-4}\end{array}\right] . \nonumber \]

Es posible que veas cierta similitud en esta respuesta con lo que obtuvimos antes, pero de nuevo, probablemente no lo suficiente como para realmente resolver las cosas.

Entonces demos un paso atrás y progresemos despacio. Lo primero que nos gustaría hacer es definir un tipo especial de matriz llamada vector.

Definición: Vectores de columna y fila

Una\(m\times 1\) matriz se llama vector de columna.

Una\(1\times n\) matriz se llama vector de fila.

Si bien no es obvio en este momento, los vectores de columna van a ser mucho más útiles para nosotros que los vectores de fila. Por lo tanto, a menudo omitimos la palabra “columna” cuando nos referimos a vectores de columna, y simplemente los llamamos “vectores”. \(^{2}\)

Hemos estado usando letras mayúsculas para denotar matrices; usamos letras minúsculas con una flecha en la parte superior para denotar vectores de fila y columna. Un ejemplo de un vector de fila es

\[\vec{u}=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{-1}&{0}\end{array}\right] \nonumber \]

y un ejemplo de un vector de columna es

\[\vec{v}=\left[\begin{array}{c}{1}\\{7}\\{8}\end{array}\right] . \nonumber \]

Antes de aprender a multiplicar matrices en general, aprenderemos lo que significa multiplicar un vector de fila por un vector de columna.

Definición: Multiplicar un vector de fila por un vector de columna

Dejar\(\vec{u}\) ser un vector de\(1\times n\) fila con entradas\(u_{1},\: u_{2},\cdots ,\: u_{n}\) y dejar\(\vec{v}\) ser un vector de\(n\times 1\) columna con entradas\(v_{1},\: v_{2},\cdots ,\: v_{n}\). El producto de\(\vec{u}\) y\(\vec{v}\), denotado\(\vec{u}\cdot\vec{v}\) o\(\vec{u}\vec{v}\), es

\[\sum_{i=1}^{n}u_{i}v_{i}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\cdots +u_{n}v_{n} . \nonumber \]

No te preocupes si esta definición no tiene sentido inmediato. Realmente es un concepto fácil; un ejemplo va a dejar las cosas más claras.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Vamos

\[\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\end{array}\right],\:\vec{v}=\left[\begin{array}{cccc}{2}&{0}&{1}&{-1}\end{array}\right],\:\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{-2}\\{4}\\{3}\end{array}\right],\:\vec{y}=\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\\{5}\\{0}\end{array}\right] .\nonumber \]

Encuentra los siguientes productos.

1. \(\vec{u}\vec{x}\)
2. \(\vec{v}\vec{y}\)
3. \(\vec{u}\vec{y}\)
4. \(\vec{u}\vec{v}\)
5. \(\vec{x}\vec{u}\)

Solución

1. \(\vec{u}\vec{x}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\end{array}\right]\)\(\left[\begin{array}{c}{-2}\\{4}\\{3}\end{array}\right]=1(-2)+2(4)+3(3)=15\)
2. \(\vec{v}\vec{y}=\left[\begin{array}{cccc}{2}&{0}&{1}&{-1}\end{array}\right]\)\(\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\\{5}\\{0}\end{array}\right]=2(1)+0(2)+1(5)-1(0)=7\)
3. \(\vec{u}\vec{y}\)no está definido; Definición Multiplicar un Vector de Fila por un Vector de Columna especifica que para multiplicar un vector de fila y un vector de columna, deben tener el mismo número de entradas.
4. \(\vec{u}\vec{v}\)no está definido; solo sabemos cómo multiplicar vectores de fila por vectores de columna. No hemos definido cómo multiplicar dos vectores de fila (en general, no se puede hacer).
5. El producto\(\vec{x}\vec{u}\) está definido, pero aún no sabemos cómo hacerlo. En este momento, solo sabemos cómo multiplicar un vector de fila por un vector de columna; no sabemos cómo multiplicar un vector de columna por un vector de fila. (Así es:\(\vec{u}\vec{x}\neq\vec{x}\vec{u}\)!

Ahora que entendemos cómo multiplicar un vector de fila por un vector de columna, estamos listos para definir la multiplicación matricial.

Definición: Multiplicación Matricial

Dejar\(A\) ser una\(m\times r\) matriz, y dejar\(B\) ser una\(r\times n\) matriz. El producto matriz de\(A\) y\(B\), denotado\(A\cdot B\), o simplemente\(AB\), es la\(m\times n\) matriz\(M\) cuya entrada en la\(i^{\text{th}}\) fila y\(j^{\text{th}}\) columna es el producto de la\(i^{\text{th}}\) fila de\(A\) y la\(j^{\text{th}}\) columna de \(B\).

Puede ayudar a ilustrarlo de esta manera. Dejar matriz\(A\) tener filas\(\vec{a_1}\),\(\vec{a_2}\),\(\cdots\),\(\vec{a_m}\) y dejar\(B\) tener columnas\(\vec{b_1}\),\(\vec{b_2}\),\(\cdots\),\(\vec{b_n}\). Así\(A\) parece

\[\left[\begin{array}{ccc}{-}&{\vec{a_{1}}}&{-}\\{-}&{\vec{a_{2}}}&{-}\\{}&{\vdots}&{}\\{-}&{\vec{a_{m}}}&{-}\end{array}\right] \nonumber \]

donde los símbolos “\(-\)” solo sirven como recordatorios de que\(\vec{a_i}\) representan filas, y\(B\) se ve como

\[\left[\begin{array}{cccc}{|}&{|}&{}&{|}\\{\vec{b_{1}}}&{\vec{b_{2}}}&{\cdots}&{\vec{b_{n}}}\\{|}&{|}&{}&{|}\end{array}\right] \nonumber \]

donde de nuevo, los símbolos “\(|\)” solo nos recuerdan que los vectores de columna\(\vec{b_{i}}\) representan. Entonces

\[AB=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{a_{1}}\vec{b_{1}}}&{\vec{a_{1}}\vec{b_{2}}}&{\cdots}&{\vec{a_{1}}\vec{b_{n}}} \\ {\vec{a_{2}}\vec{b_{1}}}&{\vec{a_{2}}\vec{b_{2}}}&{\cdots}&{\vec{a_{2}}\vec{b_{n}}} \\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{\vec{a_{m}}\vec{b_{1}}}&{\vec{a_{m}}\vec{b_{2}}}&{\cdots}&{\vec{a_{m}}\vec{b_{n}}}\end{array}\right] \nonumber \]

Dos notas rápidas sobre esta definición. Primero, observe que para poder multiplicarse\(A\) y\(B\), el número de columnas de\(A\) debe ser el mismo que el número de filas de\(B\) (nos referimos a estas como las “dimensiones internas”). En segundo lugar, la matriz resultante tiene el mismo número de filas\(A\) y el mismo número de columnas que\(B\) (nos referimos a estas como las “dimensiones exteriores”).

\[\begin{array}{c}{\text{final dimensions are the outer}}\\{\text{dimensions}}\\{\overbrace{(m\times \underbrace{r)\times (r}\times n)}}\\{\text{these inner dimensions}}\\{\text{must match}}\end{array}\nonumber \]

Por supuesto, esto tendrá mucho más sentido cuando veamos un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Revisar el producto matriz que vimos al inicio de esta sección; multiplicar

\[\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-1}&{0}\\{2}&{2}&{-1}\end{array}\right] \nonumber \]

Solución

Llamemos a nuestra primera matriz\(A\) y la segunda\(B\). Primero debemos verificar para ver que realmente podemos realizar esta multiplicación. Matrix\(A\) es\(2\times 2\) y\(B\) es\(2\times 3\). Las dimensiones “internas” coinciden, por lo que podemos calcular el producto; las dimensiones “externas” nos dicen que el producto será\(2\times 3\). Vamos

\[AB=\left[\begin{array}{ccc}{m_{11}}&{m_{12}}&{m_{13}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}\end{array}\right] . \nonumber \]

Encontremos el valor de cada una de las entradas.

La entrada\(m_{11}\) está en la primera fila y primera columna; por lo tanto, para encontrar su valor, necesitamos multiplicar la primera fila de\(A\) por la primera columna de\(B\). Así

\[m_{11}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\end{array}\right] \nonumber \]=1 (1) +2 (2) =5. \ nonumber\]

Entonces ahora sabemos que

\[AB=\left[\begin{array}{ccc}{5}&{m_{12}}&{m_{13}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}\end{array}\right] . \nonumber \]

Terminando la primera fila, tenemos

\[m_{12}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{-1}\\{2}\end{array}\right]=1(-1)+2(2)=3 \nonumber \]

usando la primera fila\(A\) y la segunda columna de\(B\), y

\[m_{13}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{0}\\{-1}\end{array}\right]=1(0)+2(-1)=-2 \nonumber \]

usando la primera fila de\(A\) y la tercera columna de\(B\). Así tenemos

\[AB=\left[\begin{array}{ccc}{5}&{3}&{-2}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}\end{array}\right] . \nonumber \]

Para calcular la segunda fila de\(AB\), multiplicamos por la segunda fila de\(A\). Encontramos

\[m_{21}=\left[\begin{array}{cc}{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\end{array}\right]=11, \nonumber \]

\[m_{22}=\left[\begin{array}{cc}{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{-1}\\{2}\end{array}\right]=5, \nonumber \]

y

\[m_{23}=\left[\begin{array}{cc}{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{0}\\{-1}\end{array}\right]=-4 . \nonumber \]

Así

\[AB=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-1}&{0}\\{2}&{2}&{-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{5}&{3}&{-2}\\{11}&{5}&{-4}\end{array}\right] . \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Multiplicar

\[\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{5}&{2}\\{-2}&{3}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{1}&{1}\\{2}&{6}&{7}&{9}\end{array}\right] . \nonumber \]

Solución

Primero verifiquemos para asegurarnos de que este producto esté definido. Nuevamente llamando a la primera matriz\(A\) y a la segunda\(B\), vemos que\(A\) es una\(3\times 2\) matriz y\(B\) es una\(2\times4\) matriz; las dimensiones internas coinciden así se define el producto, y el producto será una\(3\times 4\) matriz,

\[AB=\left[\begin{array}{cccc}{m_{11}}&{m_{12}}&{m_{13}}&{m_{14}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}&{m_{24}} \\ {m_{31}}&{m_{32}}&{m_{33}}&{m_{34}}\end{array}\right] . \nonumber \]

Demostraremos cómo calcular algunas de las entradas, luego dar la respuesta final. El lector puede rellenar los detalles de cómo se computó cada entrada.

\[m_{11}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\end{array}\right]=-1 . \nonumber \]

\[m_{13}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{7}\end{array}\right]=-6 . \nonumber \]

\[m_{23}=\left[\begin{array}{cc}{5}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{7}\end{array}\right]=19 . \nonumber \]

\[m_{24}=\left[\begin{array}{cc}{5}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{9}\end{array}\right]=23 . \nonumber \]

\[m_{32}=\left[\begin{array}{cc}{-2}&{3}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{6}\end{array}\right]=16 . \nonumber \]

\[m_{34}=\left[\begin{array}{cc}{-2}&{3}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{9}\end{array}\right]=25 . \nonumber \]

Hasta ahora, hemos calculado esta gran parte de\(AB\):

\[AB=\left[\begin{array}{cccc}{-1}&{m_{12}}&{-6}&{m_{14}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{19}&{23}\\{m_{31}}&{16}&{m_{33}}&{25}\end{array}\right] . \nonumber \]

El producto final es

\[AB=\left[\begin{array}{cccc}{-1}&{-5}&{-6}&{-8}\\{9}&{17}&{19}&{23}\\{4}&{16}&{19}&{25}\end{array}\right] . \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Multiplicar, si es posible

\[\left[\begin{array}{ccc}{2}&{3}&{4}\\{9}&{8}&{7}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{cc}{3}&{6}\\{5}&{-1}\end{array}\right] . \nonumber \]

Solución

Nuevamente, llamaremos a la primera matriz\(A\) and the second \(B\). Checking the dimensions of each matrix, we see that \(A\) is a \(2\times 3\) matrix, whereas \(B\) is a \(2\times2\) matrix. The inner dimensions do not match, therefore this multiplication is not defined.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

En Ejemplo\(\PageIndex{1}\), nos dijeron que el producto\(\vec{x}\vec{u}\) estaba definido, donde

\[\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{-2}\\{4}\\{3}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\end{array}\right] , \nonumber \]

aunque no nos mostraron cuál era el producto. Encontrar\(\vec{x}\vec{u}\).

Solución

Nuevamente, necesitamos verificar para asegurarnos de que las dimensiones funcionen correctamente (recuerde que aunque nos estemos refiriendo a\(\vec{u}\) y\(\vec{x}\) como vectores, son, de hecho, solo matrices).

El vector de columna\(\vec{x}\) tiene dimensiones\(3\times1\), mientras que el vector de fila\(\vec{u}\) tiene dimensiones\(1\times 3\). Dado que las dimensiones internas sí coinciden, se define el producto matriz; las dimensiones externas nos indican que el producto será una\(3\times3\) matriz, como se muestra a continuación:

\[\vec{x}\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}{m_{11}}&{m_{12}}&{m_{13}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}\\{m_{31}}&{m_{32}}&{m_{33}}\end{array}\right] . \nonumber \]

Para calcular la entrada\(m_{11}\), multiplicamos la primera fila de\(\vec{x}\) por la primera columna de\(\vec{u}\). ¿Cuál es la primera fila de\(\vec{x}\)? Simplemente el número\(-2\). ¿Cuál es la primera columna de\(\vec{u}\)? Apenas el número 1. Así\(m_{11} = -2\). (Esto sí parece extraño, pero a través de la comprobación, se puede ver que efectivamente estamos siguiendo las reglas).

¿Y la entrada\(m_{12}\)? Nuevamente, multiplicamos la primera fila de\(\vec{x}\) por la primera columna de\(\vec{u}\); es decir, multiplicamos\(-2(2)\). Entonces\(m_{12} = -4\).

¿Y qué pasa\(m_{23}\)? Multiplicar la segunda fila de\(\vec{x}\) por la tercera columna de\(\vec{u}\); multiplicar\(4(3)\), así\(m_{23} = 12\).

Un último ejemplo:\(m_{31}\) viene de multiplicar la tercera fila de\(\vec{x}\), que es 3, por la primera columna de\(\vec{u}\), que es 1. Por lo tanto\(m_{31} = 3\).

Hasta ahora hemos calculado

\[\vec{x}\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}{-2}&{-4}&{m_{13}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{12}\\{3}&{m_{32}}&{m_{33}}\end{array}\right] . \nonumber \]

Después de realizar las 9 multiplicaciones, encontramos

\[\vec{x}\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}{-2}&{-4}&{-6}\\{4}&{8}&{12}\\{3}&{6}&{9}\end{array}\right] . \nonumber \]

En este último ejemplo, vimos una multiplicación “no estándar” (al menos, se sentía no estándar). Al estudiar las entradas de esta matriz, parece que hay varios patrones diferentes que se pueden ver entre las entradas. (Recuerda que a los matemáticos les gusta buscar patrones. También recuerda que a menudo adivinamos mal al principio; no tengas miedo y trata de identificar algunos patrones.)
En la Sección 2.1, identificamos la matriz cero\(\mathbf{0}\) que tenía una buena propiedad en relación con la adición de matriz (es decir,\(A+\mathbf{0}=A\) para cualquier matriz\(A\)). En el siguiente ejemplo identificaremos una matriz que funcione bien con la multiplicación así como algunas propiedades multiplicativas. Por ejemplo, hemos aprendido cómo\(1\cdot A=A\); ¿hay una matriz que actúe como el número 1? Es decir, ¿podemos encontrar una matriz\(X\) dónde\(X\cdot A=A\)? \(^{3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Vamos

\[\begin{array}{cc}{A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right],}&{B=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]}\\ {C=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{2}\\{2}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{1}\end{array}\right],} &{I=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right] .}\end{array}\nonumber \]

Encuentra los siguientes productos.

1. \(AB\)
2. \(BA\)
3. \(A\mathbf{0}_{3\times 4}\)
4. \(AI\)
5. \(IA\)
6. \(I^{2}\)
7. \(BC\)
8. \(B^{2}\)

Solución

Encontraremos cada producto, pero dejamos al lector los detalles de cada cómputo.

1. \(AB=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{6}&{6}&{6}\\{0}&{0}&{0}\\{-7}&{-7}&{-7}\end{array}\right]\)
2. \(BA=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-13}&{11}\\{1}&{-13}&{11}\\{1}&{-13}&{11}\end{array}\right]\)
3. \(A\mathbf{0}_{3\times 4}=\mathbf{0}_{3\times 4}\).
4. \(AI=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]\)
5. \(IA=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]\)
6. No hemos definido formalmente qué\(I^{2}\) significa, pero probablemente podríamos hacer la suposición razonable de eso\(I^{2}=I\cdot I\). Así
   \[I^{2}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]\nonumber \]
7. \(BC=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{2}\\{2}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{3}&{3}\\{3}&{3}&{3}\\{3}&{3}&{3}\end{array}\right]\)
8. \(B^{2}=BB=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{3}&{3}\\{3}&{3}&{3}\\{3}&{3}&{3}\end{array}\right]\)

Este ejemplo simplemente está repleto de ideas interesantes; es casi difícil pensar por dónde empezar.

Idea Interesante #1: Observe que en nuestro ejemplo,\(AB\neq BA\)! Cuando se trata de números, estábamos acostumbrados a la idea de que\(ab = ba\). Con matrices, la multiplicación no es conmutativa. (Por supuesto, podemos encontrar situaciones especiales donde sí funciona. En general, sin embargo, no lo hace.)

Idea interesante #2: Justo antes de este ejemplo nos preguntábamos si había una matriz que “actuara como el número 1", y adivinamos que puede ser una matriz de todos los 1s. No obstante, descubrimos que tal matriz no funciona de esa manera; en nuestro ejemplo,\(AB\neq A\). Eso sí lo encontramos\(AI=IA=A\). Hay una Identidad Multiplicativa; simplemente no es lo que pensábamos que sería. Y así como\(1^2 = 1\),\(I^{2}=I\).

Idea interesante #3: Cuando se trata de números, estamos muy familiarizados con la noción de que “Si\(ax = bx\), entonces”\(a=b\). (Siempre y cuando\(x\neq 0\).) Observe eso, en nuestro ejemplo,\(BB=BC\), todavía\(B\neq C\). En general, sólo porque\(AX=BX\), no podemos concluir eso\(A=B\).
La multiplicación matricial está llegando a ser una operación muy extraña. Estamos muy acostumbrados a multiplicar números, y conocemos un montón de propiedades que se mantienen al usar este tipo de multiplicación. Sin embargo, al multiplicar matrices, probablemente nos encontramos haciendo dos preguntas: “¿Qué funciona?” y “¿Qué no funciona?” Responderemos a estas preguntas; primero haremos un ejemplo que demuestre algunas de las cosas que sí funcionan.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Vamos

\[A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad C=\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right] . \nonumber \]

Encuentra lo siguiente:

1. \(A(B+C)\)
2. \(AB+AC\)
3. \(A(BC)\)
4. \((AB)C\)

Solución

Calcularemos cada uno de estos sin mostrar todos los pasos intermedios. Tenga en cuenta el orden de las operaciones: las cosas que aparecen dentro de paréntesis se calculan primero.

1. \[\begin{aligned}A(B+C)&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right]\right) \\ &=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{3}&{2}\\{2}&{1}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{7}&{4}\\{17}&{10}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber \]
2. \[\begin{aligned}AB+AC&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{3}&{-1}\\{7}&{-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{4}&{5}\\{10}&{11}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{7}&{4}\\{17}&{10}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber \]
3. \[\begin{aligned}A(BC)&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right]\right) \\ &=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{3}&{3}\\{1}&{-1}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{5}&{1}\\{13}&{5}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber \]
4. \[\begin{aligned}(AB)C&=\left(\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array}\right]\right) \left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{3}&{-1}\\{7}&{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{5}&{1}\\{13}&{5}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber \]

Al mirar nuestro ejemplo, deberíamos notar dos cosas. Primero, parece que la “propiedad distributiva” sostiene; es decir,\(A(B+C)=AB+AC\). Esto es agradable ya que muchas técnicas algebraicas que hemos aprendido en el pasado (al hacer “álgebra ordinaria”) seguirán funcionando. En segundo lugar, parece que la “propiedad asociativa” sostiene; es decir,\(A(BC)=(AB)C\). Esto es agradable, pues nos dice que cuando estamos multiplicando varias matrices juntas, no tenemos que ser particularmente cuidadosos en qué orden multiplicamos ciertos pares de matrices juntas. \(^{4}\)

Al llevar a un teorema importante, definamos una matriz que vimos en un ejemplo anterior. \(^{5}\)

Definición: Matriz de Identidad

La\(n\times n\) matriz con 1's en la diagonal y ceros en otra parte es la matriz de\(n\times n\) identidad, denotada\(I_{n}\). Cuando el contexto deja clara la dimensión de la identidad, generalmente se omite el subíndice.

Tenga en cuenta que si bien la matriz cero puede venir en todas las formas y tamaños diferentes, la matriz de identidad es siempre una matriz cuadrada. A continuación mostramos algunas matrices de identidad.

\[I_{2}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}\right],\quad I_{3}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right],\quad I_{4}=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{array}\right] \nonumber \]

En nuestros ejemplos anteriores, hemos visto ejemplos de cosas que funcionan y no funcionan. Sin embargo, debemos tener cuidado con lo que prueban los ejemplos. Si alguien dijera que eso siempre\(AB=BA\) es cierto, uno solo necesitaría mostrarle un ejemplo donde eran falsos, y sabríamos que la persona estaba equivocada. No obstante, si alguien afirma que eso siempre\(A(B+C)=AB+AC\) es cierto, no podemos probarlo con un solo ejemplo. Necesitamos algo más poderoso; necesitamos una verdadera prueba.

En este texto, nos olvidamos de la mayoría de las pruebas. El lector debe saber, sin embargo, que cuando declaramos algo en un teorema, hay una prueba que respalda lo que declaramos. Nuestra justificación viene de algo más fuerte que solo ejemplos.

Ahora damos la buena noticia de lo que funciona cuando se trata de la multiplicación matricial.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Propiedades de la Multiplicación Matriz

Dejar\(A\),\(B\) y\(C\) ser matrices con dimensiones para que las siguientes operaciones tengan sentido, y dejen\(k\) ser un escalar. Se mantienen las siguientes igualdades:

1. \(A(BC) = (AB)C\)(Propiedad asociativa)
2. \(A(B + C) = AB + AB\)y
   \((B + C)A = BA + CA\) (Propiedad distributiva)
3. \(k(AB) = (kA)B = A(kB)\)
4. \(AI = IA = A\)

El cuadro de arriba contiene algunas muy buenas noticias, y probablemente algunas noticias muy sorprendentes. La multiplicación matricial probablemente nos parece una operación muy extraña, así que probablemente no nos hubiéramos sorprendido si nos dijeran eso\(A(BC)\neq (AB)C\). Es algo muy bonito que la Propiedad Asociativa sí sostiene.

Al acercarnos al final de esta sección, planteamos un tema más de notación. Definimos\(A^{0}=I\). Si\(n\) es un entero positivo, definimos

\[\begin{array}{c}{A^{n}=\underbrace{A\cdot A\cdot\cdots\cdot A.}} \\ {\quad n\text{ times}}\end{array} \nonumber \]

Con números, estamos acostumbrados\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). ¿Los exponentes negativos también funcionan con matrices? La respuesta es sí, más o menos. Tendremos que tener cuidado, y cubriremos el tema en detalle una vez que definamos la inversa de una matriz. Por ahora, sin embargo, reconocemos el hecho de\(\frac{1}{A}\) que\(A^{-1}\neq\frac{1}{A}\), porque no tiene sentido; no sabemos cómo “dividir” por una matriz.
Terminamos esta sección con un recordatorio de algunas de las cosas que no funcionan con la multiplicación matricial. La buena noticia es que en realidad solo hay dos cosas en esta lista.

1. La multiplicación matricial no es conmutativa; es decir,\(AB\neq BA\).
2. En general, sólo porque\(AX=BX\), no podemos concluir eso\(A=B\).

La mala noticia es que estas ideas aparecen en muchos lugares donde no las esperamos. Por ejemplo, estamos acostumbrados a\[(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2. \nonumber \] ¿Qué pasa\((A+B)^{2}\)? Todo lo que diremos aquí es que

\[(A+B)^{2}\neq A^{2}+2AB+B^{2}; \nonumber \]

dejamos que el lector averigue por qué.

La siguiente sección está dedicada a visualizar vectores de columna y “ver” cómo algunas de estas propiedades aritméticas funcionan juntas.

Notas al pie

[1] Supongo que podrías definir la multiplicación de esta manera. Si prefieres este tipo de multiplicación, escribe tu propio libro.

[2] En este texto, los vectores de fila solo se utilizan en esta sección cuando discutimos la multiplicación de matrices, mientras que haremos un uso extensivo de vectores de columna. Otros textos hacen un gran uso de vectores de fila, pero poco uso de vectores de columna. Es cuestión de preferencia y tradición: “la mayoría” de los textos utilizan más vectores de columna.

[3] Hicimos una suposición en la Sección 2.1 que tal vez una matriz de todos los 1s funcionaría.

[4] Tengan cuidado: al computar\(ABC\) juntos, primero podemos multiplicar\(AB\) o\(BC\), pero no podemos cambiar el orden en que aparecen estas matrices. No podemos multiplicar\(BA\) ni\(AC\), por ejemplo.

[5] La siguiente definición utiliza un término que no vamos a definir hasta Definición La Diagonal, una Matriz Diagonal, Matrices Triangulares en la Sección 3.1: diagonal. En resumen, una “matriz diagonal” es aquella en la que las únicas entradas distintas de cero son las “entradas diagonales”. Los ejemplos dados aquí y en los ejercicios deberían bastar hasta que encontremos con la definición completa más adelante.