2.5: Resolver ecuaciones matriciales AX=B

Objetivos de aprendizaje

• T/F: Para resolver la ecuación matricial\(AX = B\), ponga la matriz\([A\; X]\) en forma de escalón de fila reducida e interprete el resultado correctamente.
• T/F: La primera columna de un producto matricial\(AB\) es\(A\) multiplicada por la primera columna de\(B\).
• Dar dos razones por las que uno podría resolver para las columnas de\(X\) en la ecuación\(AX=B\) por separado.

Empezamos la última sección hablando de resolver ecuaciones numéricas como\(ax=b\) for\(x\). Mencionamos que resolver ecuaciones matriciales de la forma\(AX=B\) es de interés, pero primero aprendimos a resolver las ecuaciones relacionadas, pero más simples\(A\vec{x}=\vec{b}\). En esta sección aprenderemos a resolver la ecuación matricial general\(AX=B\) para\(X\).

Comenzaremos por considerar el mejor escenario a la hora de resolver\(A\vec{x}=\vec{b}\); es decir, cuándo\(A\) es cuadrado y tenemos exactamente una solución. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver\(A\vec{x}=\vec{b}\) dónde

\[A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{2}&{1}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{b}=\left[\begin{array}{c}{0}\\{1}\end{array}\right]. \nonumber \]

Sabemos resolver esto; poner la matriz apropiada en forma de escalón de fila reducida e interpretar el resultado.

\[\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{0}\\{2}&{1}&{1}\end{array}\right]\quad\vec{\text{rref}}\quad\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{-1}\end{array}\right] \nonumber \]

Leemos de esto que

\[\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{1}\\{-1}\end{array}\right]. \nonumber \]

Escrito en una forma más general, encontramos nuestra solución formando la matriz aumentada

\[\left[\begin{array}{cc}{A}&{\vec{b}}\end{array}\right] \nonumber \]

e interpretando su forma de escalón de fila reducida:

\[\left[\begin{array}{cc}{A}&{\vec{b}}\end{array}\right]\quad\vec{\text{rref}}\quad\left[\begin{array}{cc}{I}&{\vec{x}}\end{array}\right] \nonumber \]

Observe que cuando la forma de escalón de fila reducida de\(A\) es la matriz de identidad\(I\) tenemos exactamente una solución. Este, nuevamente, es el mejor escenario de los casos.

Aplicamos la misma técnica general para resolver la ecuación matricial\(AX=B\) para\(X\). Supondremos que\(A\) es una matriz cuadrada (no\(B\) necesita ser) y formaremos la matriz aumentada

\[\left[\begin{array}{cc}{A}&{B}\end{array}\right]. \nonumber \]

Poner esta matriz en escalonform de fila reducida nos dará\(X\), muy parecido a lo que encontramos\(\vec{x}\) antes.

\[\left[\begin{array}{cc}{A}&{B}\end{array}\right]\quad\vec{\text{rref}}\quad\left[\begin{array}{cc}{I}&{X}\end{array}\right] \nonumber \]

Siempre que la forma de escalón de fila reducida de\(A\) sea la matriz de identidad, esta técnica funciona muy bien. Después de algunos ejemplos, discutiremos por qué funciona esta técnica, y también hablaremos un poco sobre lo que sucede cuando la forma de escalón de fila reducida de no\(A\) es la matriz de identidad.

Primero, algunos ejemplos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resolver la ecuación matricial\(AX=B\) donde

\[A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{5}&{3}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad B=\left[\begin{array}{ccc}{-8}&{-13}&{1}\\{32}&{-17}&{21}\end{array}\right] . \nonumber \]

Solución

\(AX=B\)Para resolverlo\(X\), formamos la matriz aumentada adecuada, la ponemos en forma de escalón de fila reducida e interpretamos el resultado.

\[\left[\begin{array}{ccccc}{1}&{-1}&{-8}&{-13}&{1}\\{5}&{3}&{32}&{-17}&{21}\end{array}\right]\quad\vec{\text{rref}}\quad\left[\begin{array}{ccccc}{1}&{0}&{1}&{-7}&{3}\\{0}&{1}&{9}&{6}&{2}\end{array}\right] \nonumber \]

Leemos de la forma de escalón de fila reducida de la matriz que

\[X=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-7}&{3}\\{9}&{6}&{2}\end{array}\right]. \nonumber \]

Podemos verificar fácilmente para ver si nuestra respuesta es correcta multiplicando\(AX\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resolver la ecuación matricial\(AX=B\) donde

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{2}\\{0}&{-1}&{-2}\\{2}&{-1}&{0}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad B=\left[\begin{array}{cc}{-1}&{2}\\{2}&{-6}\\{2}&{-4}\end{array}\right]. \nonumber \]

Solución

Para resolver, volvamos a formar la matriz aumentada

\[\left[\begin{array}{cc}{A}&{B}\end{array}\right], \nonumber \]

ponerlo en forma de escalón de fila reducida, e interpretar el resultado.

\[\left[\begin{array}{ccccc}{1}&{0}&{2}&{-1}&{2}\\{0}&{-1}&{-2}&{2}&{-6}\\{2}&{-1}&{0}&{2}&{-4}\end{array}\right]\quad\vec{\text{rref}}\quad\left[\begin{array}{ccccc}{1}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}&{4}\\{0}&{0}&{1}&{-1}&{1}\end{array}\right] \nonumber \]

Vemos de esto que

\[X=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{0}&{4}\\{-1}&{1}\end{array}\right]. \nonumber \]

¿Por qué funciona esto? Para ver la respuesta, definamos cinco matrices.

\[A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right],\quad\vec{u}=\left[\begin{array}{c}{1}\\{1}\end{array}\right],\quad\vec{v}=\left[\begin{array}{c}{-1}\\{1}\end{array}\right],\quad\vec{w}=\left[\begin{array}{c}{5}\\{6}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad X=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-1}&{5}\\{1}&{1}&{6}\end{array}\right] \nonumber \]

Observe que\(\vec{u}\),\(\vec{v}\) y\(\vec{w}\) son la primera, segunda y tercera columnas de\(X\), respectivamente. Ahora considere esta lista de productos matriciales:\(A\vec{u}\),\(A\vec{v}\),\(A\vec{w}\) y\(AX\).

\[\begin{aligned}A\vec{u}&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{1}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c}{3}\\{7}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber \]	\[\begin{aligned}A\vec{u}&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{-1}\\{1}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c}{1}\\{1}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber \]
\[\begin{aligned}A\vec{u}&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{5}\\{6}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c}{17}\\{39}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber \]	\[\begin{aligned}AX&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-1}&{5}\\{1}&{1}&{6}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{1}&{17}\\{7}&{1}&{39}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber \]

Entonces nuevamente anotar que las columnas de\(X\) son\(\vec{u}\),\(\vec{v}\) y\(\vec{w}\); es decir, podemos escribir

\[X=\left[\begin{array}{ccc}{\vec{u}}&{\vec{v}}&{\vec{w}}\end{array}\right]. \nonumber \]

Observe también que las columnas de\(AX\) son\(A\vec{u}\),\(A\vec{v}\) y\(A\vec{w}\), respectivamente. Así podemos escribir

\[\begin{align}\begin{aligned}AX&=A\left[\begin{array}{ccc}{\vec{u}}&{\vec{v}}&{\vec{w}}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ccc}{A\vec{u}}&{A\vec{v}}&{A\vec{w}}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ccc}{\left[\begin{array}{c}{3}\\{7}\end{array}\right]}&{\left[\begin{array}{c}{1}\\{1}\end{array}\right]}&{\left[\begin{array}{c}{17}\\{39}\end{array}\right]}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{1}&{17}\\{7}&{1}&{39}\end{array}\right]\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Resumimos lo que vimos anteriormente en el siguiente comunicado:

Las columnas de un producto matricial\(AX\) son\(A\) veces las columnas de\(X\).

¿Cómo nos ayuda esto a resolver la ecuación\(AX=B\) matricial\(X\)? Supongamos que\(A\) es una matriz cuadrada (que fuerza\(X\) y\(B\) que sea del mismo tamaño). Vamos a dejar\(\vec{x_{1}},\:\vec{x_{2}},\cdots\vec{x_{n}}\) denotar las columnas de la matriz (desconocida)\(X\), y vamos a dejar\(\vec{b_{1}},\:\vec{b_{2}},\cdots\vec{b_{n}}\) denotar las columnas de\(B\). Queremos resolver\(AX=B\) para\(X\). Es decir, queremos\(X\) donde

\[\begin{align}\begin{aligned}AX&=B\\ A\left[\begin{array}{cccc}{\vec{x_{1}}}&{\vec{x_{2}}}&{\cdots}&{\vec{x_{n}}}\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{b_{1}}}&{\vec{b_{2}}}&{\cdots}&{\vec{b_{n}}}\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{cccc}{A\vec{x_{1}}}&{A\vec{x_{2}}}&{\cdots}&{A\vec{x_{n}}}\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{b_{1}}}&{\vec{b_{2}}}&{\cdots}&{\vec{b_{n}}}\end{array}\right] \end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Si la matriz del lado izquierdo es igual a la matriz de la derecha, entonces sus respectivas columnas deben ser iguales. Esto significa que necesitamos resolver\(n\) ecuaciones:

\[\begin{align}\begin{aligned}A\vec{x_{1}}&=\vec{b_{1}}\\ A\vec{x_{2}}&=\vec{b_{2}} \\ \vdots&=\vdots \\ A\vec{x_{n}}&=\vec{b_{n}}\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Ya sabemos cómo hacer esto; esto es lo que aprendimos en el apartado anterior. Hagámoslo en un ejemplo concreto. En nuestro trabajo anterior definimos matrices\(A\) y\(X\), y miramos el producto\(AX\). Llamemos al producto\(B\); es decir, set\(B=AX\). Ahora, pretendamos que no sabemos qué\(X\) es, e intentemos encontrar la matriz\(X\) que satisfaga la ecuación\(AX=B\). Como repaso, recordemos que

\[A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad B=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{1}&{17}\\{7}&{1}&{39}\end{array}\right]. \nonumber \]

Ya que\(A\) es una\(2\times 2\) matriz y\(B\) es una\(2\times 3\) matriz, ¿qué dimensiones deben\(X\) estar en la ecuación\(AX=B\)? El número de filas de\(X\) debe coincidir con el número de columnas de\(A\); el número de columnas de\(X\) debe coincidir con el número de columnas de\(B\). Por lo tanto sabemos que\(X\) debe ser una\(2\times 3\) matriz.

Llamaremos a las tres columnas de\(X\)\(\vec{x_{1}},\:\vec{x_{2}}\) y\(\vec{x_{3}}\). Nuestra explicación anterior nos dice que si\(AX=B\), entonces:

\[\begin{align}\begin{aligned}AX&=B \\ A\left[\begin{array}{c}{\vec{x_{1}}}&{\vec{x_{2}}}&{\vec{x_{3}}}\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{1}&{17}\\{7}&{1}&{39}\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ccc}{A\vec{x_{1}}}&{A\vec{x_{2}}}&{A\vec{x_{3}}}\end{array}\right] &=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{1}&{17}\\{7}&{1}&{39}\end{array}\right] \end{aligned}\end{align} \nonumber \]

De ahí

\[\begin{align}\begin{aligned}A\vec{x_{1}}&=\left[\begin{array}{c}{3}\\{7}\end{array}\right] \\ A\vec{x_{2}}&=\left[\begin{array}{c}{1}\\{1}\end{array}\right] \\ A\vec{x_{3}}&=\left[\begin{array}{c}{17}\\{39}\end{array}\right]\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Para encontrar\(\vec{x_{1}}\), formamos la matriz aumentada adecuada y la ponemos en forma de escalón de fila reducida e interpretamos los resultados.

\[\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{3}&{4}&{7}\end{array}\right]\quad\vec{\text{rref}}\quad\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{1}\end{array}\right] \nonumber \]

Esto nos demuestra que

\[\vec{x_{1}}=\left[\begin{array}{c}{1}\\{1}\end{array}\right]. \nonumber \]

Para encontrarlo\(\vec{x_{2}}\), nuevamente formamos una matriz aumentada e interpretamos su forma de escalón de fila reducida.

\[\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{1}\\{3}&{4}&{1}\end{array}\right]\quad\vec{\text{rref}}\quad\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{-1}\\{0}&{1}&{1}\end{array}\right] \nonumber \]

Así

\[\vec{x_{2}}=\left[\begin{array}{c}{-1}\\{1}\end{array}\right] \nonumber \]

que coincide con lo que ya sabíamos desde arriba.

Antes de continuar de esta manera para encontrar\(\vec{x_{3}}\), debemos detenernos y pensar. Si la ecuación del vector de matriz\(A\vec{x}=\vec{b}\) es consistente, entonces los pasos involucrados en poner

\[\left[\begin{array}{cc}{A}&{\vec{b}}\end{array}\right] \nonumber \]

en forma de escalón de fila reducida dependen sólo de\(A\); no importa lo que\(\vec{b}\) sea. Así que cuando ponemos las dos matrices

\[\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{3}&{4}&{7}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{1}\\{3}&{4}&{1}\end{array}\right] \nonumber \]

desde arriba en forma de escalón de fila reducida, ¡realizamos exactamente los mismos pasos! (De hecho, esos pasos son:\(-3R_1+R_2\rightarrow R_2\);;\(-\frac12R_2\rightarrow R_2\);\(-2R_2+R_1\rightarrow R_1\).)

En lugar de resolver para cada columna de\(X\) por separado, realizar los mismos pasos para poner las matrices necesarias en forma de escalón de fila reducida tres veces diferentes, ¿por qué no lo hacemos todo a la vez? \(^{1}\)En lugar de poner individualmente

\[\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{3}&{4}&{7}\end{array}\right],\quad\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{1}\\{3}&{4}&{1}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{17}\\{3}&{4}&{39}\end{array}\right] \nonumber \]

en forma de escalón de fila reducida, vamos a poner

\[\left[\begin{array}{ccccc}{1}&{2}&{3}&{1}&{17}\\{3}&{4}&{7}&{1}&{39}\end{array}\right] \nonumber \]

en forma de escalón de fila reducida.

\[\left[\begin{array}{ccccc}{1}&{2}&{3}&{1}&{17}\\{3}&{4}&{7}&{1}&{39}\end{array}\right]\quad\vec{\text{rref}}\quad\left[\begin{array}{ccccc}{1}&{0}&{1}&{-1}&{5}\\{0}&{1}&{1}&{1}&{6}\end{array}\right] \nonumber \]

Al mirar las tres últimas columnas, vemos\(X\):

\[X=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-1}&{5}\\{1}&{1}&{6}\end{array}\right]. \nonumber \]

Ahora que hemos justificado la técnica que hemos estado usando en esta sección\(AX=B\) para resolver\(X\), reforzamos su importancia reafirmándola como una Idea Clave.

Idea Clave\(\PageIndex{1}\): Solving \(AX=B\)

Dejar\(A\) ser una\(n\times n\) matriz, donde es la forma escalón de fila reducida\(A\) de\(I\). Para resolver la ecuación matricial\(AX=B\) para\(X\),

1. Formar la matriz aumentada\(\left[\begin{array}{cc}{A}&{B}\end{array}\right]\).
2. Pon esta matriz en forma de escalón de fila reducida. Será de la forma\(\left[\begin{array}{cc}{I}&{X}\end{array}\right]\), donde\(X\) aparece en las columnas donde\(B\) alguna vez estuvo.

Estos sencillos pasos nos hacen hacer ciertas preguntas. Primero, especificamos arriba que\(A\) debe ser una matriz cuadrada. ¿Qué pasa si\(A\) no es cuadrado? ¿Todavía es posible una solución? En segundo lugar, solo consideramos casos en los que la forma de escalón de fila reducida\(A\) era\(I\) (y lo afirmamos como requisito en nuestra Idea Clave). ¿Y si la forma de escalón de fila reducida de\(A\) no lo es? ¿Seguiríamos siendo capaces de encontrar una solución? (En lugar de tener exactamente una solución, ¿no podríamos tener solución? ¿Soluciones infinitas? ¿Cómo podríamos decirlo?)

Estas preguntas son buenas para hacer, y dejamos que el lector descubra sus respuestas. En lugar de abordar estas preguntas, en cambio abordamos el problema de “¿Por qué nos importa resolver\(AX=B\)?” La respuesta simple es que, por ahora, sólo nos importa el caso especial cuando\(B=I\). Al resolver\(AX=I\) por\(X\), encontramos una matriz\(X\) que, al multiplicarse por\(A\), da la identidad\(I\). Eso va a ser muy útil.

Notas al pie

[1] Una razón para hacerlo en tres ocasiones distintas es que disfrutamos haciendo un trabajo innecesario. Otra razón podría ser que somos estúpidos. ↩ ︎