2.6: La Matriz Inversa

Objetivos de aprendizaje

• T/F: Si\(A\) y\(B\) son matrices cuadradas donde\(AB = I\), entonces\(BA = I\).
• T/F: Una matriz\(A\) tiene exactamente una inversa, infinitas inversas o ninguna inversa.
• T/F: Todos son especiales.
• T/F: Si\(A\) es invertible, entonces\(A\vec{x} =\vec{0}\) tiene exactamente\(1\) solución.
• ¿Qué es un corolario?
• Rellenar los espacios en blanco:\(\underline{\qquad}\) una matriz es invertible es útil; computar lo inverso es\(\underline{\qquad}\).

Una vez más visitamos la vieja ecuación álgebra,\(ax=b\). ¿Cómo resolvemos\(x\)? Sabemos que, siempre y cuando\(a\neq 0\),\[x = \frac{b}{a}, \ \text{or, stated in another way,} \ x = a^{-1}b. \nonumber \]

¿Qué es\(a^{-1}\)? Es el número que, al multiplicarse por\(a\), devuelve 1. Es decir,\[a^{-1}a = 1. \nonumber \]

Pensemos ahora en términos de matrices. Hemos aprendido de la matriz de identidad\(I\) que “actúa como el número 1". Es decir, si\(A\) es una matriz cuadrada, entonces

\[IA=AI=A. \nonumber \]

Si tuviéramos una matriz, a la que llamaremos\(A^{-1}\)\(A^{-1}A=I\), donde, entonces por analogía a nuestro ejemplo álgebra anterior parece que podríamos ser capaces de resolver el sistema lineal\(A\vec{x}=\vec{b}\) para\(\vec{x}\) multiplicando ambos lados de la ecuación por\(A^{-1}\). Es decir, quizás

\[\vec{x}=A^{-1}\vec{b}. \nonumber \]

Por supuesto, aquí hay mucha especulación. No sabemos que tal matriz como\(A^{-1}\) existe. Sin embargo, sí sabemos cómo resolver la ecuación matricial\(AX=B\), por lo que podemos usar esa técnica para resolver la ecuación\(AX=I\) para\(X\). Esto parece que nos acercará a lo que queremos. Practicemos esto una vez y luego estudiemos nuestros resultados.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Let

\[A=\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{1}\end{array}\right]. \nonumber \]

Encuentra una matriz\(X\) tal que\(AX=I\).

Solución

Sabemos resolver esto desde la sección anterior: formamos la matriz aumentada adecuada, la ponemos en forma de escalón de fila reducida e interpretamos los resultados.

\[\left[\begin{array}{cccc}{2}&{1}&{1}&{0}\\{1}&{1}&{0}&{1}\end{array}\right]\quad\vec{\text{rref}}\quad\left[\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{1}&{-1}\\{0}&{1}&{-1}&{2}\end{array}\right] \nonumber \]

Leemos de nuestra matriz que

\[X=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{-1}&{2}\end{array}\right]. \nonumber \]

Comprobemos nuestro trabajo:

\[\begin{align}\begin{aligned}AX&=\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{-1}&{2}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}\right] \\ &=I\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Bastante seguro, funciona.

Al mirar nuestro ejemplo anterior, estamos tentados a saltar y llamar “” a la matriz\(X\) que encontramos\(A^{-1}\). No obstante, hay dos obstáculos en la manera de hacer esto.

Primero, eso lo sabemos en general\(AB\neq BA\). Entonces, si bien encontramos eso\(AX=I\), no podemos asumir automáticamente eso\(XA=I\).

En segundo lugar, hemos visto ejemplos de matrices donde\(AB=AC\), pero\(B\neq C\). Entonces solo porque\(AX=I\), es posible que\(Y\) exista otra matriz donde\(AY=I\). Si este es el caso, usar la notación\(A^{-1}\) sería engañoso, ya que podría referirse a más de una matriz.

Estos obstáculos a los que nos enfrentamos no son insuperables. El primer obstáculo fue que lo sabemos\(AX=I\) pero no lo sabíamos\(XA=I\). Eso es bastante fácil de verificar, sin embargo. Veamos\(A\) y a\(X\) partir de nuestro ejemplo anterior.

\[\begin{align}\begin{aligned}AX&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{-1}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{1}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}\right] \\ &=I\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Quizás este primer obstáculo no sea un gran obstáculo después de todo. Por supuesto, sólo tenemos un ejemplo donde funcionó, así que esto no quiere decir que siempre funcione. Sin embargo, tenemos buenas noticias: siempre funciona. La única “mala” noticia que viene con esto es que esto es un poco más difícil de probar. No nos preocuparemos por probar que siempre funciona, sino que declararemos formalmente que lo hace en el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Productos especiales de Matriz de Desplazamiento

\(A\)Déjese ser una\(n\times n\) matriz.

1. Si hay una matriz\(X\) tal que\(AX=I_{n}\), entonces\(XA=I_{n}\).
2. Si hay una matriz\(X\) tal que\(XA=I_{n}\), entonces\(AX=I_{n}\).

El segundo obstáculo es más fácil de abordar. Queremos saber si\(Y\) existe otra matriz donde\(AY=I=YA\). Supongamos que sí. Considera la expresión\(XAY\). Dado que la multiplicación matricial es asociativa, podemos agruparla de la forma que escojamos. Podríamos agrupar esto como\((XA)Y\); esto da como resultado

\[\begin{align}\begin{aligned}(XA)Y&=IY \\ &=Y. \end{aligned}\end{align} \nonumber \]

También podríamos agruparnos\(XAY\) como\(X(AY)\). Esto nos dice

\[\begin{align}\begin{aligned}X(AY)&=XI \\ &=X\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Combinando las dos ideas anteriores, vemos eso\(X=XAY=Y\); es decir,\(X=Y\). Se concluye que sólo hay una matriz\(X\) donde\(XA=I=AX\). (Aunque pensemos que tenemos dos, podemos hacer el ejercicio anterior y ver que realmente solo tenemos uno).

Acabamos de probar el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Singularidad de las soluciones para\(AX=I_{n}\)

Dejar\(A\) ser una\(n\times n\) matriz y dejar\(X\) ser una matriz donde\(AX=I_{n}\). Entonces\(X\) es único; es la única matriz que satisface esta ecuación.

Entonces dada una matriz cuadrada\(A\), si podemos encontrar una matriz\(X\) donde\(AX=I\), entonces sabemos que\(XA=I\) y esa\(X\) es la única matriz que hace esto. Esto hace\(X\) especial, así que le damos un nombre especial.

Definición: Matrices invertibles y la inversa de\(A\)

Dejar\(A\) y\(X\) ser\(n\times n\) matrices donde\(AX=I=XA\). Entonces:

1. \(A\)es invertible.
2. \(X\)es la inversa de\(A\), denotado por\(A^{-1}\).

Hagamos un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra la inversa de\(A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{2}&{4}\end{array}\right]\).

Solución

Resolviendo la ecuación\(AX=I\) for \(X\) will give us the inverse of \(A\). Forming the appropriate augmented matrix and finding its reduced row echelon form gives us

\[\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{1}&{0}\\{2}&{4}&{0}&{1}\end{array}\right]\quad\vec{\text{rref}}\quad\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{0}&{1/2}\\{0}&{0}&{1}&{-1/2}\end{array}\right] \nonumber \]

¡Ay! Esperábamos encontrar que la forma de escalón de fila reducida de esta matriz se vería como

\[\left[\begin{array}{cc}{I}&{A^{-1}}\end{array}\right]. \nonumber \]

No obstante, no tenemos la identidad en el lado izquierdo. Nuestra conclusión:\(A\) is not invertible.

Acabamos de ver que no todas las matrices son invertibles. \(^{1}\)Con este pensamiento en mente, completemos el conjunto de cajas que iniciamos antes del ejemplo. Hemos descubierto que si una matriz tiene una inversa, solo tiene una. Por lo tanto, le dimos un nombre a esa matriz especial, “la inversa”. Finalmente, describimos la forma más general de encontrar la inversa de una matriz, y una forma de saber si no la tiene.

Idea Clave\(\PageIndex{1}\): Finding \(A^{-1}\)

\(A\)Déjese ser una\(n\times n\) matriz. Para encontrar\(A^{-1}\), poner la matriz aumentada

\[\left[\begin{array}{cc}{A}&{I_{n}}\end{array}\right] \nonumber \]

en forma de escalón de fila reducida. Si el resultado es de la forma

\[\left[\begin{array}{cc}{I_{n}}&{X}\end{array}\right], \nonumber \]

entonces\(A^{-1}=X\). Si no, (es decir, si las primeras\(n\) columnas de la forma escalón de fila reducida no lo son\(I_{n}\)), entonces no\(A\) es invertible.

Vamos a intentarlo de nuevo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra la inversa, si existe, de\(A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{-1}\\{1}&{-1}&{1}\\{1}&{2}&{3}\end{array}\right]\).

Solución

Vamos a tratar de resolver\(AX=I\) para\(X\) y ver qué pasa.

\[\left[\begin{array}{cccccc}{1}&{1}&{-1}&{1}&{0}&{0}\\{1}&{-1}&{1}&{0}&{1}&{0}\\{1}&{2}&{3}&{0}&{0}&{1}\end{array}\right]\quad\vec{\text{rref}}\quad\left[\begin{array}{cccccc}{1}&{0}&{0}&{0.5}&{0.5}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0.2}&{-0.4}&{0.2}\\{0}&{0}&{1}&{-0.3}&{0.1}&{0.2}\end{array}\right] \nonumber \]

Tenemos una solución, entonces

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{0.5}&{0.5}&{0}\\{0.2}&{-0.4}&{0.2}\\{-0.3}&{0.1}&{0.2}\end{array}\right]. \nonumber \]

\(AA^{-1}\)Multiplicar para verificar que efectivamente es la inversa de\(A\).

En general, dada una matriz\(A\), para encontrar\(A^{-1}\) necesitamos formar la matriz aumentada\(\left[\begin{array}{cc}{A}&{I}\end{array}\right]\) y ponerla en forma de escalón de fila reducida e interpretar el resultado. En el caso de una\(2\times 2\) matriz, sin embargo, hay un atajo. Damos el atajo en términos de un teorema. \(^{2}\)

Teorema\(\PageIndex{3}\)

La inversa de una\(2\times 2\) matriz

Let

\[A=\left[\begin{array}{cc}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}\right]. \nonumber \]

\(A\)es invertible si y solo si\(ad-bc\neq 0\).

Si\(ad-bc\neq 0\), entonces

\[A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{array}\right]. \nonumber \]

No podemos dividir por 0, así que si\(ad-bc=0\), no tenemos una inversa. Recall Ejemplo\(\PageIndex{2}\), donde

\[A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{2}&{4}\end{array}\right]. \nonumber \]

Aquí,\(ad-bc = 1(4) - 2(2) = 0\), razón por la cual\(A\) no se tuvo una inversa.

Si bien esta idea es sencilla, debemos practicarla.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Utilice el teorema\(\PageIndex{3}\) para encontrar la inversa de

\[A=\left[\begin{array}{cc}{3}&{2}\\{-1}&{9}\end{array}\right] \nonumber \]

si existe.

Solución

Ya que\(ad-bc = 29 \neq 0\),\(A^{-1}\) existe. Por el Teorema,

\[\begin{align}\begin{aligned}A^{-1}&=\frac{1}{3(9)-2(-1)}\left[\begin{array}{cc}{9}&{-2}\\{1}&{3}\end{array}\right] \\ &=\frac{1}{29}\left[\begin{array}{cc}{9}&{-2}\\{1}&{3}\end{array}\right]\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Podemos dejar nuestra respuesta en esta forma, o podríamos “simplificarla” como

\[A^{-1}=\frac{1}{29}\left[\begin{array}{cc}{9}&{-2}\\{1}&{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{9/29}&{-2/29} \\ {1/29}&{3/29}\end{array}\right]. \nonumber \]

Comenzamos esta sección especulando que así como resolvimos ecuaciones algebraicas de la forma\(ax=b\) computando\(x = a^{-1}b\), podríamos resolver ecuaciones matriciales de la forma\(A\vec{x}=\vec{b}\) computando\(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\). Si\(A^{-1}\) existe, entonces podemos resolver la ecuación de\(A\vec{x}=\vec{b}\) esta manera. Considerar:

\[\begin{align}\begin{aligned}A\vec{x}&=\vec{b} &\text{(original equation)} \\ A^{-1}A\vec{x}&=A^{-1}\vec{b} &\text{(multiply both sides on the left by }A^{-1}) \\ I\vec{x}&=A^{-1}\vec{b} &\text{(since }A^{-1}A=I) \\ \vec{x}&=A^{-1}\vec{b} &\text{(since }I\vec{x}=\vec{x})\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Demos un paso atrás y pensemos en esto por un momento. Lo único que sabemos de la ecuación\(A\vec{x}=\vec{b}\) es que\(A\) es invertible. También sabemos que las soluciones\(A\vec{x}=\vec{b}\) vienen en tres formas: exactamente una solución, soluciones infinitas y ninguna solución. Acabamos de demostrar que si\(A\) es invertible, entonces\(A\vec{x}=\vec{b}\) tiene al menos una solución. Demostramos que al establecer\(\vec{x}\) igual a\(A^{-1}\vec{b}\), tenemos una solución. ¿Es posible que existan más soluciones?

No. Supongamos que se nos dice que un vector conocido\(\vec{v}\) es una solución a la ecuación\(A\vec{x}=\vec{b}\); es decir, eso lo sabemos\(A\vec{v}=\vec{b}\). Podemos repetir los pasos anteriores:

\[\begin{align}\begin{aligned}A\vec{v}&=\vec{b} \\ A^{-1}A\vec{v}&=A^{-1}\vec{b} \\ I\vec{v}&=A^{-1}\vec{b} \\ \vec{v}&=A^{-1}\vec{b}.\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Esto demuestra que todas las soluciones a\(A\vec{x}=\vec{b}\) son exactamente\(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\) cuando\(A\) es invertible. Acabamos de probar el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Matrices invertibles y soluciones para\(A\vec{x}=\vec{b}\)

Dejar\(A\) ser una\(n\times n\) matriz invertible, y dejar\(\vec{b}\) ser cualquier vector de\(n\times 1\) columna. Entonces la ecuación\(A\vec{x}=\vec{b}\) tiene exactamente una solución, a saber

\[\vec{x}=A^{-1}\vec{b} . \nonumber \]

Un corolario \(^{3}\)de este teorema es: Si no\(A\) es invertible, entonces\(A\vec{x}=\vec{b}\) no tiene exactamente una solución. Puede tener infinitas soluciones y puede que no tenga solución, y necesitaríamos examinar la forma de escalón de fila reducida de la matriz aumentada\(\left[\begin{array}{cc}{A}&{\vec{b}}\end{array}\right]\) para ver qué caso aplica.

Demostramos nuestro teorema con un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Resolver\(A\vec{x}=\vec{b}\) por computación\(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\), donde

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{-3}\\{-3}&{-4}&{10}\\{4}&{-5}&{-11}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{b}=\left[\begin{array}{c}{-15}\\{57}\\{-46}\end{array}\right]. \nonumber \]

Solución

Sin mostrar nuestros pasos, calculamos

\[A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{94}&{15}&{-12}\\{7}&{1}&{-1}\\{31}&{5}&{-4}\end{array}\right]. \nonumber \]

Luego encontramos la solución a\(A\vec{x}=\vec{b}\) por computación\(A^{-1}\vec{b}\):

\[\begin{align}\begin{aligned}\vec{x}&=A^{-1}\vec{b} \\ &=\left[\begin{array}{ccc}{94}&{15}&{-12}\\{7}&{1}&{-1}\\{31}&{5}&{-4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{-15}\\{57}\\{-46}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c}{-3}\\{-2}\\{4}\end{array}\right].\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Podemos verificar fácilmente nuestra respuesta:

\[\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{-3}\\{-3}&{-4}&{10}\\{4}&{-5}&{-11}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{-3}\\{-2}\\{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{-15}\\{57}\\{-46}\end{array}\right]. \nonumber \]

Saber que una matriz es invertible es increíblemente útil. \(^{4}\)Entre muchas otras razones, si sabes que\(A\) es invertible, entonces sabes con certeza que\(A\vec{x}=\vec{b}\) tiene una solución (como acabamos de decir en Teorema\(\PageIndex{4}\)). En la siguiente sección demostraremos muchas propiedades diferentes de las matrices invertibles, incluyendo afirmar varias formas diferentes en las que sabemos que una matriz es invertible.

Notas al pie

[1] De ahí nuestra definición anterior; ¿por qué molestarse en llamar\(A\) “invertible” si cada matriz cuadrada es? Si todos son especiales, entonces nadie lo es. Entonces otra vez, todos son especiales.

[2] Aquí no probamos este teorema, pero realmente no es difícil de hacer. Pon la matriz\[\left[\begin{array}{cccc}{a}&{b}&{1}&{0}\\{c}&{d}&{0}&{1}\end{array}\right] \nonumber \] en forma de escalón de fila reducida y descubrirás el resultado del teorema. Alternativamente, multiplicar\(A\) por lo que proponemos es lo inverso y ver que efectivamente obtenemos\(I\).

[3] un corolario es una idea que sigue directamente de un teorema

[4] Por extraño que parezca, es útil saber que una matriz es invertible; en realidad, calcular la inversa no lo es, esto se discute al final de la siguiente sección.