3.3: El Determinante

Objetivos de aprendizaje

• T/F: El determinante de una matriz es siempre positivo.
• T/F: Para calcular el determinante de una\(3\times 3\) matriz, es necesario computar los determinantes de\(3\)\(2\times 2\) las matrices.
• Dar un ejemplo de una\(2\times 2\) matriz con un determinante de\(3\).

En este capítulo hasta ahora hemos aprendido sobre la transposición (una operación sobre una matriz que devuelve otra matriz) y la traza (una operación sobre una matriz cuadrada que devuelve un número). En esta sección aprenderemos otra operación sobre matrices cuadradas que devuelve un número, llamado el determinante. Damos aquí una pseudo-definición del determinante.

Definición: Determinante

El determinante de una\(n\times n\) matriz\(A\) es un número, denotado\(\text{det}(A)\), que está determinado por\(A\).

Esa definición no pretende explicar todo; solo nos pone en marcha haciéndonos darnos cuenta de que el determinante es un número. El determinante es algo complicado de definir. Una vez que lo conoces y lo entiendes, no es tan difícil, pero empezar es un poco complicado. \(^{1}\)Empezamos simplemente; definimos el determinante para\(2 \times 2\) las matrices.

Definición: Determinante de\(2\times 2\) Matrices

Let

\[A=\left[\begin{array}{cc}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}\right].\nonumber \]

El determinante de\(A\), denotado por

\[\text{det}(A)\text{ or }\left|\begin{array}{cc}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}\right|,\nonumber \]

es\(ad-bc\).

Ya hemos visto la expresión\(ad-bc\) antes. En la Sección 2.6, vimos que una\(2\times2\) matriz\(A\) tiene

\[\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{array}\right]\nonumber \]

siempre y cuando\(ad-bc\neq 0\); de lo contrario, no exista lo inverso. Podemos reformular la declaración anterior ahora: Si\(\text{det}(A)\neq 0\), entonces

\[A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\left[\begin{array}{cc}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{array}\right].\nonumber \]

Una breve palabra sobre la notación: observe que podemos referirnos al determinante usando lo que parece barras de valor absoluto alrededor de las entradas de una matriz. Al final de la última sección discutimos la idea de medir el “tamaño” de una matriz, y mencionamos que existen muchas formas diferentes de medir el tamaño. El determinante es una de esas formas. Así como el valor absoluto de un número mide su tamaño (e ignora su signo), el determinante de una matriz es una medida del tamaño de la matriz. (Sin embargo, ten cuidado: ¡\(\text{det}(A)\)puede ser negativo!)

Vamos a practicar.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encontrar el determinante de\(A\),\(B\) y\(C\) dónde

\[A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{cc}{3}&{-1}\\{2}&{7}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad C=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-3}\\{-2}&{6}\end{array}\right].\nonumber \]

Solución

Encontrar el determinante de\(A\):

\[\begin{align*}\begin{aligned}\text{det}(A)&=\left|\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right| \\ &=1(4)-2(3) \\ &=-2.\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

Cálculos similares muestran que\(\det{(B)} = 3(7)- (-1)(2) = 23\) y\(\det{(C)} = 1(6) - (-3)(-2) = 0\).

Encontrar el determinante de una\(2\times2\) matriz es bastante sencillo. Es natural preguntarse a continuación “¿Cómo calculamos el determinante de matrices que no lo son\(2\times2\)?” Primero necesitamos definir algunos términos. \(^{2}\)

Definición: Matriz menor, cofactor

\(A\)Déjese ser una\(n\times n\) matriz. El\(i\),\(j\) menor de\(A\), denotado\(A_{i,j}\), es el determinante de la\((n − 1)\times (n − 1)\) matriz formada al eliminar la\(i^{\text{th}}\) fila y\(j^{\text{th}}\) columna de\(A\).

El\(i\),\(j\) - cofactor de\(A\) es el número

\[C_{ij}=(-1)^{i+j}A_{i,j}.\nonumber \]

Observe que esta definición hace referencia a tomar el determinante de una matriz, mientras que aún no hemos definido cuál es el determinante más allá de\(2\times 2\) las matrices. Reconocemos este problema, y veremos hasta dónde podemos llegar antes de que se convierta en un problema.

Los ejemplos ayudarán.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Let

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\\{7}&{8}&{9}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad B=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{0}&{8}\\{-3}&{5}&{7}&{2}\\{-1}&{9}&{-4}&{6}\\{1}&{1}&{1}&{1}\end{array}\right].\nonumber \]

Encontrar\(A_{1,3}\),\(A_{3,2}\),\(B_{2,1}\),\(B_{4,3}\) y sus respectivos cofactores.

Solución

Para calcular el menor\(A_{1,3}\), eliminamos la primera fila y la tercera columna de\(A\) luego tomar el determinante.

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\\{7}&{8}&{9}\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}{\cancel{1}}&{\cancel{2}}&{\cancel{3}}\\{4}&{5}&{\cancel{6}}\\{7}&{8}&{\cancel{9}}\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}{4}&{5}\\{7}&{8}\end{array}\right]\nonumber \]

\[A_{1,3}=\left|\begin{array}{cc}{4}&{5}\\{7}&{8}\end{array}\right| =32-35=-3.\nonumber \]

El cofactor correspondiente,\(C_{1,3}\), es\[C_{1,3} = (-1)^{1+3}A_{1,3} = (-1)^4(-3) = -3.\nonumber \]

El menor\(A_{3,2}\) se encuentra quitando la tercera fila y la segunda columna de\(A\) entonces tomando el determinante.

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\\{7}&{8}&{9}\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}{1}&{\cancel{2}}&{3}\\{4}&{\cancel{5}}&{6}\\{\cancel{7}}&{\cancel{8}}&{\cancel{9}}\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}{1}&{3}\\{4}&{6}\end{array}\right]\nonumber \]

\[A_{3,2}=\left|\begin{array}{cc}{1}&{3}\\{4}&{6}\end{array}\right| =6-12=-6.\nonumber \]

El cofactor correspondiente,\(C_{3,2}\), es\[C_{3,2} = (-1)^{3+2}A_{3,2} = (-1)^5(-6) = 6.\nonumber \]

El menor\(B_{2,1}\) se encuentra quitando la segunda fila y la primera columna de\(B\) luego tomando el determinante.

\[B=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{0}&{8}\\{-3}&{5}&{7}&{2}\\{-1}&{9}&{-4}&{6}\\{1}&{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\Rightarrow B=\left[\begin{array}{cccc}{\cancel{1}}&{2}&{0}&{8}\\{\cancel{-3}}&{\cancel{5}}&{\cancel{7}}&{\cancel{2}}\\{\cancel{-1}}&{9}&{-4}&{6}\\{\cancel{1}}&{1}&{1}&{1}\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}{2}&{0}&{8}\\{9}&{-4}&{6}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\nonumber \]

\[B_{2,1}=\left|\begin{array}{ccc}{2}&{0}&{8}\\{9}&{-4}&{6}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right| \stackrel{!}{=}?\nonumber \]

Estamos un poco atascados. No sabemos cómo encontrar el determinado de esta\(3\times 3\) matriz. Volveremos a esto más tarde. El cofactor correspondiente es\[C_{2,1} = (-1)^{2+1}B_{2,1} = -B_{2,1},\nonumber \] cualquiera que sea este número.

El menor\(B_{4,3}\) se encuentra quitando la cuarta fila y tercera columna de\(B\) entonces tomando el determinante.

\[B=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{0}&{8}\\{-3}&{5}&{7}&{2}\\{-1}&{9}&{-4}&{6}\\{1}&{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\Rightarrow B=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{\cancel{0}}&{8}\\{-3}&{5}&{\cancel{7}}&{2}\\{-1}&{9}&{\cancel{-4}}&{6}\\{\cancel{1}}&{\cancel{1}}&{\cancel{1}}&{\cancel{1}}\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{8}\\{-3}&{5}&{2}\\{-1}&{9}&{6}\end{array}\right]\nonumber \]

\[B_{4,3}=\left|\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{8}\\{-3}&{5}&{2}\\{-1}&{9}&{6}\end{array}\right|\stackrel{!}{=}?\nonumber \]

De nuevo, estamos atascados. No vamos a ser capaces de computar completamente\(C_{4,3}\); todo lo que sabemos hasta ahora es que

\[C_{4,3} = (-1)^{4+3}B_{4,3} = (-1)B_{4,3}.\nonumber \]

Una vez aprendemos a calcular determinados para matrices más grandes de las que\(2\times 2\) podemos volver y terminar este ejercicio.

En nuestro ejemplo anterior nos topamos con un poco de problemas. Por nuestra definición, para calcular un menor de una\(n\times n\) matriz necesitábamos calcular el determinante de una\((n-1)\times(n-1)\) matriz. Esto estuvo bien cuando empezamos con una\(3\times3\) matriz, pero cuando nos levantamos a una\(4\times4\) matriz (y más grande) nos encontramos con problemas.

Estamos casi listos para definir el determinante para cualquier matriz cuadrada; necesitamos una última definición.

Definición: Expansión del cofactor

\(A\)Déjese ser una\(n\times n\) matriz.

La expansión del cofactor\(A\) a lo largo de la\(i^{\text{th}}\) fila es la suma

\[a_{i,1}C_{i,1} + a_{i,2}C_{i,2} +\cdots + a_{i,n}C_{i,n}.\nonumber \]

La expansión del cofactor\(A\) a lo largo de la\(j^{\text{th}}\) fila es la suma

\[a_{1,j}C_{1,j} + a_{2,j}C_{2,j} +\cdots + a_{n,j}C_{n,j} .\nonumber \]

La notación de esta definición puede ser un poco intimidante, así que veamos un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Let

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\\{7}&{8}&{9}\end{array}\right].\nonumber \]

Encuentra las expansiones del cofactor a lo largo de la segunda fila y abajo de la primera columna.

Solución

Por la definición, la expansión del cofactor a lo largo de la segunda fila es la suma\[a_{2,1}C_{2,1} + a_{2,2}C_{2,2} + a_{2,3}C_{2,3}.\nonumber \] (Asegúrese de comparar la línea anterior con la definición de expansión de cofactor, y vea cómo el “\(i\)” en la definición se reemplaza por “2” aquí.)

Encontraremos cada cofactor y luego calcularemos la suma.

\[C_{2,1}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{cc}{2}&{3}\\{8}&{9}\end{array}\right| =(-1)(-6)=6\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we removed the second row and}} \\{\text{first column of }A\text{ to compute the}} \\ {\text{minor}}\end{array}\right)\nonumber \]

\[C_{2,2}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{cc}{1}&{3}\\{7}&{9}\end{array}\right| =(1)(-12)=-12\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we removed the second row and}} \\{\text{second column of }A\text{ to compute}} \\ {\text{the minor}}\end{array}\right)\nonumber \]

\[C_{2,3}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{7}&{8}\end{array}\right| =(-1)(-6)=6\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we removed the second row and}} \\{\text{third column of }A\text{ to compute}} \\ {\text{the minor}}\end{array}\right)\nonumber \]

Así, la expansión del cofactor a lo largo de la segunda fila es

\[\begin{align*}\begin{aligned} a_{2,1}C_{2,1} + a_{2,2}C_{2,2} + a_{2,3}C_{2,3} &= 4(6) + 5(-12) + 6(6) \\ &= 24-60+36\\ &= 0\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

Por el momento, no sabemos qué hacer con esta expansión del cofactor; la acabamos de encontrar con éxito.

Pasamos para encontrar la expansión del cofactor por la primera columna. Por definición, esta suma es

\[a_{1,1}C_{1,1} + a_{2,1}C_{2,1} + a_{3,1}C_{3,1}.\nonumber \]

(Nuevamente, compare esto con la definición anterior y vea cómo reemplazamos el “\(j\)” por “1”.)

Encontramos cada cofactor:

\[C_{1,1}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cc}{5}&{6}\\{8}&{9}\end{array}\right| =(1)(-3)=-3\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we removed the first row and first}} \\{\text{column of }A\text{ to compute the minor}} \end{array}\right)\nonumber \]

\[C_{2,1}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{cc}{2}&{3}\\{8}&{9}\end{array}\right| =(-1)(-6)=6\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we computed this cofactor above}} \end{array}\right)\nonumber \]

\[C_{3,1}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{cc}{2}&{3}\\{5}&{6}\end{array}\right| =(1)(-3)=-3\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we removed the third row and first}} \\{\text{column of }A\text{ to compute the minor}} \end{array}\right)\nonumber \]

La expansión del cofactor hacia abajo en la primera columna es

\[\begin{align*}\begin{aligned} a_{1,1}C_{1,1} + a_{2,1}C_{2,1} + a_{3,1}C_{3,1} &= 1(-3) + 4(6) + 7(-3) \\ &= -3+24-21\\ &=0\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

¿Es una coincidencia que ambas expansiones de cofactores fueran 0? Vamos a responder a eso en un rato.

Esta sección se titula “El Determinante”, sin embargo, aún no sabemos cómo calcularlo a excepción de\(2\times 2\) las matrices. Por fin lo definimos ahora.

Definición: El Determinante

El determinante de una\(n\times n\) matriz\(A\), denotado\(\text{det}(A)\) o\(|A|\), es un número dado por lo siguiente:

• si\(A\) es una\(1\times 1\) matriz\(A=[a]\), entonces\(\text{det}(A)=a\).
• si\(A\) es una\(2\times 2\) matriz
  \[A=\left[\begin{array}{cc}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}\right],\nonumber \]
  entonces\(\text{det}(A)=ad-bc\).
• si\(A\) es una\(n\times n\) matriz, donde\(n\geq 2\), entonces\(\text{det}(A)\) es el número encontrado tomando la expansión del cofactor a lo largo de la primera fila de\(A\). Es decir,
  \[\text{det}(A)=a_{1,1}C_{1,1}+a_{1,2}C_{1,2}+\cdots +a_{1,n}C_{1,n}.\nonumber \]

Observe que para poder calcular el determinante de una\(n\times n\) matriz, necesitamos computar los determinantes de\(n\)\((n-1)\times (n-1)\) matrices. Esto puede ser mucho trabajo. Posteriormente aprenderemos a acortar algo de esto. Primero, practiquemos.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el determinante de

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\\{7}&{8}&{9}\end{array}\right].\nonumber \]

Solución

Observe que esta es la matriz de Ejemplo\(\PageIndex{3}\). La expansión del cofactor a lo largo de la primera fila es\[\text{det}(A) = a_{1,1}C_{1,1}+a_{1,2}C_{1,2}+a_{1,3}C_{1,3}.\nonumber \] Calcularemos cada cofactor primero y luego tomaremos la suma apropiada.

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,1}&=(-1)^{1+1}A_{1,1} \\ &=1\cdot\left|\begin{array}{cc}{5}&{6}\\{8}&{9}\end{array}\right| \\ &=45-48 \\ &=-3\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,2}&=(-1)^{1+2}A_{1,2} \\ &=(-1)\cdot\left|\begin{array}{cc}{4}&{6}\\{7}&{9}\end{array}\right| \\ &=(-1)(36-42) \\ &=6\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,3}&=(-1)^{1+3}A_{1,3} \\ &=1\cdot\left|\begin{array}{cc}{4}&{5}\\{7}&{8}\end{array}\right| \\ &=32-35 \\ &=-3\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

Por lo tanto, el determinante de\(a\) es\[\text{det}(A) = 1(-3) + 2(6)+3(-3) = 0.\nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Encuentra el determinante de

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{6}&{7}\\{0}&{2}&{-1}\\{3}&{-1}&{1}\end{array}\right].\nonumber \]

Solución

Primero calcularemos cada cofactor y luego encontraremos el determinante.

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,1}&=(-1)^{1+1}A_{1,1} \\ &=1\cdot\left|\begin{array}{cc}{2}&{-1}\\{-1}&{1}\end{array}\right| \\ &=2-1 \\ &=1\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,2}&=(-1)^{1+2}A_{1,2} \\ &=(-1)\cdot\left|\begin{array}{cc}{0}&{-1}\\{3}&{1}\end{array}\right| \\ &=(-1)(0+3) \\ &=-3\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,3}&=(-1)^{1+3}A_{1,3} \\ &=1\cdot\left|\begin{array}{cc}{0}&{2}\\{3}&{-1}\end{array}\right| \\ &=0-6 \\ &=-6\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

Así, el determinante es\[\text{det}(A) = 3(1)+6(-3)+7(-6) = -57.\nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Encuentra el determinante de

\[A=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{1}&{2}\\{-1}&{2}&{3}&{4}\\{8}&{5}&{-3}&{1}\\{5}&{9}&{-6}&{3}\end{array}\right].\nonumber \]

Solución

Esto, francamente, tomará bastante trabajo. Para poder calcular este determinante, necesitamos computar 4 menores, ¡cada uno de los cuales requiere encontrar el determinante de una\(3\times 3\) matriz! Quejarse no nos acercará más a la solución, \(^{3}\)así que comencemos. Primero calculamos los cofactores:

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,1}&=(-1)^{1+1}A_{1,1} \\ &=1\cdot\left|\begin{array}{ccc}{2}&{3}&{4}\\{5}&{-3}&{1}\\{9}&{-6}&{3}\end{array}\right|\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we must compute the determinant}} \\ {\text{of this }3\times 3\text{ matrix}}\end{array}\right) \\ &=2\cdot (-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cc}{-3}&{1}\\{-6}&{3}\end{array}\right| +3\cdot (-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc}{5}&{1}\\{9}&{3}\end{array}\right| +4\cdot (-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc}{5}&{-3}\\{9}&{-6}\end{array}\right| \\ &=2(-3)+3(-6)+4(-3) \\ &=-36\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,2}&=(-1)^{1+2}A_{1,2} \\ &=(-1)\cdot\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{3}&{4}\\{8}&{-3}&{1}\\{5}&{-6}&{3}\end{array}\right|\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we must compute the determinant}} \\ {\text{of this }3\times 3\text{ matrix}}\end{array}\right) \\ &\underset{\text{the determinant of the }3\times 3\text{ matrix}}{=(-1)\underbrace{\left[ (-1)\cdot (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{cc}{-3}&{1}\\{-6}&{3}\end{array}\right| +3\cdot (-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc}{8}&{1}\\{5}&{3}\end{array}\right| +4\cdot (-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc}{8}&{-3}\\{5}&{-6}\end{array}\right|\right]}} \\ &= (−1) [(−1)(−3) + 3(−19) + 4(−33)] \\ &=186\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,3}&=(-1)^{1+3}A_{1,3} \\ &=1\cdot\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{2}&{4}\\{8}&{5}&{1}\\{5}&{9}&{3}\end{array}\right|\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we must compute the determinant}} \\ {\text{of this }3\times 3\text{ matrix}}\end{array}\right) \\ &=(-1)\cdot (-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cc}{5}&{1}\\{9}&{3}\end{array}\right| +2\cdot (-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc}{8}&{1}\\{5}&{3}\end{array}\right| +4\cdot (-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc}{8}&{5}\\{5}&{9}\end{array}\right| \\ &=(-1)(6)+2(-19)+4(47) \\ &=144\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

\[\begin{align*}\begin{aligned}C_{1,4}&=(-1)^{1+4}A_{1,4} \\ &=(-1)\cdot\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{2}&{3}\\{8}&{5}&{-3}\\{5}&{9}&{-6}\end{array}\right|\quad\left(\begin{array}{c}{\text{we must compute the determinant}} \\ {\text{of this }3\times 3\text{ matrix}}\end{array}\right) \\ &\underset{\text{the determinant of the }3\times 3\text{ matrix}}{=(-1)\underbrace{\left[ (-1)\cdot (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{cc}{5}&{-3}\\{9}&{-6}\end{array}\right| +2\cdot (-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc}{8}&{-3}\\{5}&{-6}\end{array}\right| +3\cdot (-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc}{8}&{5}\\{5}&{9}\end{array}\right|\right]}} \\ &= (−1) [(−1)(−3) + 2(33) + 3(47)] \\ &=-210\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

Hemos calculado nuestros cuatro cofactores. Todo lo que queda es calcular la expansión del cofactor.

\[\text{det}(A) = 1(-36) + 2(186)+1(144)+2(-210) = 60.\nonumber \]

Como forma de “visualizar” esto, escribamos nuevamente la expansión del cofactor pero incluyendo las matrices en su lugar.

\[\begin{align*}\begin{aligned} \text{det}(A)&=a_{1,1}C_{1,1} + a_{1,2}C_{1,2} + a_{1,3}C_{1,3} + a_{1,4}C_{1,4} \\ &=1(-1)^{2}\underset{=-36}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{2}&{3}&{4}\\{5}&{-3}&{1}\\{9}&{-6}&{3}\end{array}\right|}} +2(-1)^{3}\underset{=-186}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{3}&{4}\\{8}&{-3}&{1}\\{5}&{-6}&{3}\end{array}\right|}} \\ &+ 1(-1)^{4}\underset{=144}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{2}&{4}\\{8}&{5}&{1}\\{5}&{9}&{3}\end{array}\right|}} +2(-1)^{5}\underset{=210}{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}{-1}&{2}&{3}\\{8}&{5}&{-3}\\{5}&{9}&{-6}\end{array}\right|}} \\ &=60\end{aligned}\end{align*}\nonumber \]

Eso ciertamente tomó un tiempo; requirió más de 50 multiplicaciones (no contamos las adiciones). Para calcular el determinante de una\(5\times5\) matriz, necesitaremos calcular los determinantes de cinco\(4\times 4\) matrices, ¡lo que significa que necesitaremos más de 250 multiplicaciones! Esto no sólo es mucho trabajo, sino que hay demasiadas formas de cometer errores tontos. \(^{4}\)Hay algunos trucos para facilitar este trabajo, pero independientemente vemos la necesidad de emplear la tecnología. Incluso entonces, la tecnología se empantana rápidamente. Una\(25 \times 25\) matriz se considera “pequeña” según los estándares actuales, \(^{5}\)pero es esencialmente imposible que una computadora calme su determinante solo usando la expansión de cofactores; también necesita emplear “trucos”.

En la siguiente sección aprenderemos algunos de estos trucos a medida que aprendemos algunas de las propiedades del determinante. Ahora mismo, repasemos lo esencial de lo que hemos aprendido.

1. El determinante de una matriz cuadrada es un número que está determinado por la matriz.
2. Encontramos el determinante calculando la expansión del cofactor a lo largo de la primera fila.
3. Para calcular el determinante de una\(n\times n\) matriz, necesitamos computar\(n\) determinantes de\((n-1)\times(n-1)\) matrices.

Notas al pie

[1] Es similar a aprender a andar en bicicleta. La conducción en sí no es difícil, es empezar eso es difícil.

[2] Esta es la definición estándar de estos dos términos, aunque existen ligeras variaciones.

[3] Pero podría hacernos sentir un poco mejor. Mirada hacia adelante: ¿ves cuánto trabajo tenemos que hacer?!?

[4] El autor hizo tres cuando originalmente se mecanografió el ejemplo anterior.

[5] Es común que matemáticos, científicos e ingenieros consideren sistemas lineales con miles de ecuaciones y variables.