3.5: Regla de Cramer

Objetivos de aprendizaje

• T/F: La regla de Cramer es otro método para calcular el determinante de una matriz.
• T/F: La regla de Cramer se usa a menudo porque es más eficiente que la eliminación gaussiana.
• ¿Los matemáticos usan qué palabra para describir las conexiones entre ideas aparentemente no relacionadas?

En las secciones anteriores hemos aprendido sobre el determinante, pero no hemos dado una razón realmente buena por la que quisiéramos calcularlo. \(^{1}\)En esta sección se muestra una aplicación del determinante: resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introducimos esta idea en términos de un teorema, luego practicaremos.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Regla de Cramer

Dejar\(A\) ser una\(n\times n\) matriz con\(\text{det}(A)\neq 0\) y dejar\(\vec{b}\) ser un vector de\(n\times 1\) columna. Luego el sistema lineal

\[A\vec{x}=\vec{b} \nonumber \]

tiene solución

\[x_{i}=\frac{\text{det}\left(A_{i}(\vec{b})\right)}{\text{det}(A)}, \nonumber \]

donde\(A_{i}(\vec{b})\) se forma la matriz reemplazando la\(i^{\text{th}}\) columna\(A\) de por\(\vec{b}\).

Hagamos un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Usa la regla de Cramer para resolver el sistema lineal\(A\vec{x}=\vec{b}\) donde

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{5}&{-3}\\{1}&{4}&{2}\\{2}&{-1}&{0}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{b}=\left[\begin{array}{c}{-36}\\{-11}\\{7}\end{array}\right]. \nonumber \]

Solución

Primero calculamos el determinante de\(A\) para ver si podemos aplicar la Regla de Cramer.

\[\text{det}(A)=\left|\begin{array}{ccc}{1}&{5}&{-3}\\{1}&{4}&{2}\\{2}&{-1}&{0}\end{array}\right|=49. \nonumber \]

Ya que\(\text{det}(A)\neq 0\), podemos aplicar la Regla de Cramer. Siguiendo el teorema\(\PageIndex{1}\), calculamos\(\text{det}\left(A_{1}(\vec{b})\right)\),\(\text{det}\left(A_{2}(\vec{b})\right)\) y\(\text{det}\left(A_{3}(\vec{b})\right)\).

\[\text{det}\left(A_{1}(\vec{b})\right)=\left|\begin{array}{ccc}{\bf{-36}}&{5}&{-3}\\{\bf{-11}}&{4}&{2}\\{\bf{7}}&{-1}&{0}\end{array}\right|=49. \nonumber \]

(Utilizamos una fuente en negrita para mostrar dónde\(\vec{b}\) reemplazó la primera columna de\(A\).)

\[\text{det}\left(A_{2}(\vec{b})\right)=\left|\begin{array}{ccc}{1}&{\bf{-36}}&{-3}\\{1}&{\bf{-11}}&{2}\\{2}&{\bf{7}}&{0}\end{array}\right|=-245. \nonumber \]

\[\text{det}\left(A_{3}(\vec{b})\right)=\left|\begin{array}{ccc}{1}&{5}&{\bf{-36}}\\{1}&{4}&{\bf{-11}}\\{2}&{-1}&{\bf{7}}\end{array}\right|=49. \nonumber \]

Por lo tanto podemos calcular\(\vec{x}\):

\[\begin{align}\begin{aligned} x_{1}&=\frac{\text{det}\left(A_{1}(\vec{b})\right)}{\text{det}(A)}=\frac{49}{49}=1 \\ x_{2}&=\frac{\text{det}\left(A_{2}(\vec{b})\right)}{\text{det}(A)}=\frac{-245}{49}=-5 \\ x_{3}&=\frac{\text{det}\left(A_{3}(\vec{b})\right)}{\text{det}(A)}=\frac{196}{49}=4\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Por lo tanto

\[\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{x_{1}}\\{x_{2}}\\{x_{3}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{1}\\{-5}\\{4}\end{array}\right]. \nonumber \]

Hagamos otro ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Usa la regla de Cramer para resolver el sistema lineal\(A\vec{x}=\vec{b}\) donde

\[A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{b}=\left[\begin{array}{c}{-1}\\{1}\end{array}\right]. \nonumber \]

Solución

El determinante de\(A\) es\(-2\), así podemos aplicar la Regla de Cramer.

\[\begin{align}\begin{aligned}\text{det}\left(A_{1}(\vec{b})\right)&=\left|\begin{array}{cc}{-1}&{2}\\{1}&{4}\end{array}\right| =-6 \\ \text{det}\left(A_{2}(\vec{b})\right)&=\left|\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{3}&{1}\end{array}\right|=4.\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Por lo tanto

\[\begin{align}\begin{aligned}x_{1}&=\frac{\text{det}\left(A_{1}(\vec{b})\right)}{\text{det}(A)}=\frac{-6}{-2}=3 \\ x_{2}&=\frac{\text{det}\left(A_{2}(\vec{b})\right)}{\text{det}(A)}=\frac{4}{-2}=-2\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

y

\[\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{x_{1}}\\{x_{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{3}\\{-2}\end{array}\right]. \nonumber \]

Aprendimos en la Sección 3.4 que al considerar un sistema lineal\(A\vec{x}=\vec{b}\) donde\(A\) es cuadrado, si\(\text{det}(A)\neq 0\) entonces\(A\) es invertible y\(A\vec{x}=\vec{b}\) tiene exactamente una solución. También afirmamos en Key Idea 2.7.1 que si\(\text{det}(A) = 0\), entonces no\(A\) es invertible y así por lo tanto o no\(A\vec{x}=\vec{b}\) tiene solución ni soluciones infinitas. Nuestro método para determinar cuál de estos casos se aplicó fue formar la matriz aumentada\([A\:\vec{b}]\), ponerla en forma de escalón de fila reducida y luego interpretar los resultados.

La Regla de Cramer especifica que\(\text{det}(A)\neq 0\) (por lo que se nos garantiza una solución). Cuando no\(\text{det}(A)=0\) somos capaces de discernir si existen soluciones infinitas o ninguna solución para un vector dado\(\vec{b}\). La Regla de Cramer solo es aplicable al caso cuando existe exactamente una solución.

Terminamos esta sección con una consideración práctica. Hemos mencionado antes que encontrar determinantes es una operación computacionalmente intensiva. Para resolver un sistema lineal con 3 ecuaciones y 3 incógnitas, necesitamos calcular 4 determinantes. Solo piensa: ¡con 10 ecuaciones y 10 incógnitas, necesitaríamos calcular 11 determinantes realmente duros de\(10\times 10\) matrices! ¡Eso es mucho trabajo!

El resultado de esto es que la regla de Cramer es una mala elección para resolver sistemas lineales numéricos. Simplemente no se hace en la práctica; es difícil vencer a la eliminación gaussiana. \(^{2}\)

Entonces, ¿por qué incluirlo? Porque su verdad es increíble. El determinante es una operación muy extraña; produce un número de una manera muy extraña. Debe parecerle increíble al lector que manipulando determinantes de una manera particular, podamos resolver sistemas lineales.

En el siguiente capítulo veremos otro uso para el determinante. En tanto, trata de desarrollar una apreciación más profunda de las matemáticas: cosas extrañas y complicadas que parecen completamente desrelacionadas a menudo están intrincadamente ligadas entre sí. Los matemáticos ven estas conexiones y las describen como “hermosas”.

Notas al pie

[1] Lo más cerca que llegamos de la motivación es que si\(\text{det}(A) =0\), entonces sabemos que no\(A\) es invertible. Pero parece que puede haber formas más fáciles de verificar.

[2] Una versión de la regla de Cramer a menudo se enseña en cursos introductorios de ecuaciones diferenciales, ya que puede ser utilizada para encontrar soluciones a ciertas ecuaciones diferenciales lineales. En esta situación, las entradas de las matrices son funciones, no números, y por lo tanto calcular determinantes es más fácil que usar la eliminación gaussiana. De nuevo, sin embargo, a medida que las matrices se hacen grandes, se recurre a otros métodos de solución.