6: Método de eliminación gaussiana para resolver ecuaciones lineales simultáneas
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Después de completar con éxito esta lección, deberías poder
- escribir el algoritmo para resolver un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas usando el método de eliminación de Gauss ingenuo
- resolver un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas usando la eliminación de Gauss ingenuos.
- utilizar los pasos de eliminación directa del método de eliminación de Gauss para encontrar el determinante de una matriz cuadrada,
- enumerar teoremas relacionados con determinantes de matrices,
- relacionar el valor cero y distinto de cero del determinante de una matriz cuadrada con la existencia o inexistencia de la matriz inversa.
- enumerar las trampas del método de eliminación de Gauss ingenuos
- mostrar las trampas del método de eliminación de Gauss ingenuo a través de ejemplos
- escribir el algoritmo para resolver un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas usando eliminación gaussiana con Pivote Parcial.
- resolver un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas utilizando el método de eliminación de Gauss con pivotamiento parcial
¿Cómo se resuelve numéricamente un conjunto de ecuaciones mediante el método de eliminación gaussiana?
Una de las técnicas más populares para resolver ecuaciones lineales simultáneas es el método de eliminación gaussiana. El enfoque está diseñado para resolver un conjunto general de\(n\) ecuaciones e\(n\) incógnitas
\[\begin{split} &a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1}\\ &a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} + \ldots + a_{2n}x_{n} = b_{2}\\ &\vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\ &a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + a_{n3}x_{3} + \ldots + a_{nn}x_{n} = b_{n} \end{split} \nonumber \]
La eliminación gaussiana consta de dos pasos
- Eliminación hacia adelante de incógnitas: En este paso, lo desconocido se elimina en cada ecuación comenzando por la primera ecuación. De esta manera, las ecuaciones se reducen a una ecuación y una desconocida en cada ecuación.
- Sustitución de espalda: En este paso, partiendo de la última ecuación, se encuentra cada una de las incógnitas.
Eliminación hacia adelante de incógnitas:
En el primer paso de la eliminación hacia adelante, el primer desconocido,\(x_{1}\) se elimina de todas las filas por debajo de la primera fila. La primera ecuación se selecciona como la ecuación de pivote a eliminar\(x_{1}\). Entonces, para eliminar\(x_{1}\) en la segunda ecuación, uno divide la primera ecuación por\(a_{11}\) (de ahí llamado el elemento pivote) y luego la multiplica por\(a_{21}\). Esto es lo mismo que multiplicar la primera ecuación por\(a_{21}/a_{11}\) dar
\[a_{21}x_{1} + \frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12}x_{2} + \ldots + \frac{a_{21}}{a_{11}}a_{1n}x_{n} = \frac{a_{21}}{a_{11}}b_{1} \nonumber \]
Ahora bien, esta ecuación se puede restar de la segunda ecuación para dar
\[\left( a_{22} - \frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12} \right)x_{2} + \ldots + \left( a_{2n} - \frac{a_{21}}{a_{11}}a_{1n} \right)x_{n} = b_{2} - \frac{a_{21}}{a_{11}}b_{1} \nonumber \]
o
\[{a^\prime }_{22}x_{2} + \ldots + {a^\prime }_{2n}x_{n} = {b^\prime }_{2} \nonumber \]
donde
\[\begin{split} &{a^\prime }_{22} = a_{22} - \frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12}\\ &\vdots\\ &{a^\prime }_{2n} = a_{2n} - \frac{a_{21}}{a_{11}}a_{1n}\end{split} \nonumber \]
Este procedimiento de eliminación\(x_{1}\), ahora se repite para la tercera ecuación a la\(n^{th}\) ecuación para reducir el conjunto de ecuaciones como
\[\begin{split} &a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1}\\ &{a^\prime }_{22}x_{2} + {a^\prime }_{23}x_{3} + \ldots + {a^\prime }_{2n}x_{n} = {b^\prime }_{2}\\ &{a^\prime }_{32}x_{2} + {a^\prime }_{33}x_{3} + \ldots + {a^\prime }_{3n}x_{n} = {b^\prime }_{3}\\ &\vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\ &{a^\prime }_{n2}x_{2} + {a^\prime }_{n3}x_{3} + \ldots + {a^\prime }_{\text{nn}}x_{n} = {b^\prime }_{n} \end{split} \nonumber \]
Este es el final del primer paso de la eliminación hacia adelante. Ahora para el segundo paso de la eliminación hacia adelante, comenzamos con la segunda ecuación como la ecuación de pivote y\({a^\prime }_{22}\) como el elemento pivote. Entonces, para eliminar\(x_{2}\) en la tercera ecuación, se divide la segunda ecuación por\({a^\prime }_{22}\) (el elemento pivote) y luego se multiplica por\({a^\prime }_{32}\). Esto es lo mismo que multiplicar la segunda ecuación por\(\displaystyle {a^\prime }_{32}/{a^\prime }_{22}\) y restarla de la tercera ecuación. Esto hace que el coeficiente de\(x_{2}\) cero en la tercera ecuación. El mismo procedimiento se repite ahora para la cuarta ecuación hasta la\(n^{\text{th}}\) ecuación para dar
\[\begin{split} &a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1}\\ &{a^\prime }_{22}x_{2} + {a^\prime }_{23}x_{3} + \ldots + {a^\prime }_{2n}x_{n} = {b^\prime }_{2}\\ &{a^{\prime\prime}}_{33}x_{3} + \ldots + {a^{\prime\prime}}_{3n}x_{n} = {b^{\prime\prime}}_{3}\\ &\vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\ &{a^{\prime\prime}}_{n3}x_{3} + \ldots + {a^{\prime\prime}}_{\text{nn}}x_{n} = {b^{\prime\prime}}_{n} \end{split} \nonumber \]
Los siguientes pasos de la eliminación hacia adelante se llevan a cabo utilizando la tercera ecuación como una ecuación de pivote y así sucesivamente. Es decir, habrá un total de\(n - 1\) pasos de eliminación hacia adelante. Al final de\(n - 1\) los pasos de eliminación hacia adelante, obtenemos un conjunto de ecuaciones que parecen
\[\begin{split} &a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {a^\prime }_{22}x_{2} + {a^\prime }_{23}x_{3} + \ldots + {a^\prime }_{2n}x_{n} = {b^\prime }_{2}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {a^{\prime\prime}}_{33}x_{3} + \ldots + {a^{\prime\prime}}_{3n}x_{n} = {b{\prime\prime}}_{3}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{nn}^{\left( n - 1 \right)}x_{n} = b_{n}^{\left( n - 1 \right)}\end{split} \nonumber \]
Sustitución de espalda:
Ahora las ecuaciones se resuelven a partir de la última ecuación ya que solo tiene una desconocida.
\[x_{n} = \frac{b_{n}^{(n - 1)}}{a_{nn}^{(n - 1)}} \nonumber \]
Entonces la segunda última ecuación, esa es la\((n - 1)^{th}\) ecuación, tiene dos incógnitas:\(x_{n}\) y\(x_{n - 1}\), pero ya\(x_{n}\) se conoce. Esto reduce la\((n - 1)^{th}\) ecuación también a una desconocida. Por lo tanto, la sustitución posterior se puede representar para todas las ecuaciones mediante la fórmula
\[x_{i} = \frac{b_{i}^{\left( i - 1 \right)} - \displaystyle\sum_{j = i + 1}^{n}{a_{ij}^{\left( i - 1 \right)}x_{j}}}{a_{ii}^{\left( i - 1 \right)}}\ \text{for }i = n - 1,\ \ n - 2,\ldots\ ,\ 1 \nonumber \]
y
\[x_{n} = \frac{b_{n}^{(n - 1)}}{a_{nn}^{(n - 1)}} \nonumber \]
La velocidad ascendente de un cohete se da en tres momentos diferentes en la Tabla 1.
| Tiempo, t (s) | Velocidad, v (m/s) |
|---|---|
| \(5\) | \(106.8\) |
| \(8\) | \(177.2\) |
| \(12\) | \(279.2\) |
Los datos de velocidad son aproximados por un polinomio como
\[v\left( t \right) = a_{1}t^{2} + a_{2}t + a_{3},5 \leq t \leq 12 \nonumber \]
Los coeficientes\(a_{1},a_{2},anda_{3}\) para la expresión anterior vienen dados por
\[\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106.8 \\ 177.2 \\ 279.2 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Encuentra los valores de\(a_{1},a_{2},and\ a_{3}\) usar el método de eliminación de Gauss Naïve. Encuentra la velocidad en\(t = 6,7.5,9,11\) segundos.
Solución
La matriz aumentada es
\[\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 & | & 106.8 \\ 64 & 8 & 1 & | & 177.2 \\ 144 & 12 & 1 & | & 279.2 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Eliminación hacia adelante de incógnitas
Dado que hay tres ecuaciones, habrá dos pasos para avanzar la eliminación de incógnitas.
Primer paso
Divide Fila\(1\) por\(25\) y luego multiplícala por\(64\), es decir, multiplica Fila\(1\) por\(64/25 = 2.56\).
\[\left( \begin{matrix} \left\lbrack 25 \right.\ & \ 5 & \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ |\ \ \ \ \ \\ \end{matrix}106.8\rbrack \right) \times 2.56\ \text{gives Row 1 as} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack 64 \right.\ & 12.8 & 2.56 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ |\ \ 273.408\rbrack \nonumber \]
Restar el resultado de Fila\(2\)
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \ \lbrack\begin{matrix} 64 & \ \ \ \ 8 & \ \ \ \ \ 1 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ |\ \ & 177.2\rbrack \\- \lbrack\begin{matrix} 64 & 12.8 & 2.56 \\ \end{matrix}\ \ | & 273.408\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ \end{matrix} & - 96.208 \\ \end{matrix}} \nonumber \]
para obtener las ecuaciones resultantes como
\[\left\lbrack \begin{matrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} | \ \ \ \ \ \ \ 106.8 \\ \ |\ - 96.208 \\ |\ \ \ \ \ \ \ 279.2 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]
Divide Fila\(1\) por\(25\) y luego multiplícala por\(144\), es decir, multiplica Fila\(1\) por\(144/25 = 5.76\).
\[\left( \begin{matrix} \left\lbrack 25 \right.\ & \ \ \ \ 5 & \ \ \ 1 \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ |\ \ \ \ \ \ \ \ \ 106.8\rbrack \right) \times 5.76\ \text{gives Row 1 as} \nonumber \]
\[\left\lbrack \begin{matrix} 144 & 28.8 & 5.76 \\ \end{matrix} \ \ \ \ \right|\ \ \ \ \ \ 615.168\rbrack \nonumber \]
Restar el resultado de Fila\(3\)
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \ \ \lbrack\begin{matrix} 144 & 12 & \ \ \ \ \ \ 1 \\ \end{matrix}\ \ \ \ | & 279.2\rbrack \\ - \begin{matrix} \lbrack 144 & 28.8 & 5.76 \\ \end{matrix}\ \ \ | & 615.168\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & - 16.8 & - 4.76 \\ \end{matrix} & - 335.968 \\ \end{matrix}} \nonumber \]
para obtener las ecuaciones resultantes como
\[\left\lbrack \begin{matrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 0 & - 16.8 & - 4.76 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} |\ \ \ \ \ \ \ \ \ 106.8 \\ |\ \ - 96.208 \\| - 335.968 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]
Segundo paso
Ahora dividimos Fila\(2\) por\(-4.8\) y luego multiplicamos por\(-16.8\), es decir, multiplicamos Fila\(2\) por\(-16.8/-4.8 = 3.5\).
\[\left( \left\lbrack 0 - 4.8\ \ - 1.56\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \right|\ \ \ - 96.208\rbrack\ \right) \times 3.5\ \text{gives Row 2 as} \nonumber \]
\[\left\lbrack 0 - 16.8\ - 5.46\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \right| - 336.728\rbrack \nonumber \]
Restar el resultado de Fila\(3\)
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \ \ \ \lbrack\begin{matrix} 0 & -16.8 & -4.76\ \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ | & -335.968\rbrack \\ \ -\ \lbrack \begin{matrix} 0 & -16.8 & -5.46\ \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ | & -336.728\rbrack \\ \end{matrix}}{\begin{matrix} \ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 & \ \ \ \ \ \ \ 0 & \ \ \ \ \ \ 0.7 \end{matrix} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0.76 \ \ \ \end{matrix}} \nonumber \]
para obtener las ecuaciones resultantes como
\[\left\lbrack \begin{matrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 0 & 0 & 0.7 \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} |\ \ \ \ \ \ 106.8 \\ \ \ |\ - 96.208 \\ |\ \ \ \ \ \ \ \ 0.76 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]
\[\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 0 & 0 & 0.7 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106.8 \\ - 96.208 \\ 0.76 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Sustitución de espalda
A partir de la tercera ecuación
\[0.7a_{3} = 0.76 \nonumber \]
\[\begin{split} a_{3} &= \frac{0.76}{0.7}\\ &= 1.08571 \end{split} \nonumber \]
Sustituyendo el valor de\(a_{3}\) en la segunda ecuación,
\[- 4.8a_{2} - 1.56a_{3} = - 96.208 \nonumber \]
\[\begin{split} a_{2} &= \frac{- 96.208 + 1.56a_{3}}{- 4.8}\\ &= \frac{- 96.208 + 1.56 \times 1.08571}{- 4.8}\\ &= 19.6905\end{split} \nonumber \]
Sustituyendo el valor de\(a_{2}\) y\(a_{3}\) en la primera ecuación,
\[25a_{1} + 5a_{2} + a_{3} = 106.8 \nonumber \]
\[\begin{split} a_{1} &= \frac{106.8 - 5a_{2} - a_{3}}{25}\\ &= \frac{106.8 - 5 \times 19.6905 - 1.08571}{25}\\ &= 0.290472 \end{split} \nonumber \]
Por lo tanto, el vector de solución es
\[\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.290472 \\ 19.6905 \\ 1.08571 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
El polinomio que pasa por los tres puntos de datos es entonces
\[\begin{split} v\left( t \right) &= a_{1}t^{2} + a_{2}t + a_{3}\\ &= 0.290472t^{2} + 19.6905t + 1.08571,\ \ 5 \leq t \leq 12 \end{split} \nonumber \]
Como queremos encontrar la velocidad a\(t = 6,7.5,9\) y\(11\) segundos, simplemente podríamos sustituir cada valor de\(t\) in\(v\left( t \right) = 0.290472t^{2} + 19.6905t + 1.08571\) y encontrar la velocidad correspondiente. Por ejemplo, en\(t = 6\)
\[\begin{split} v\left( 6 \right) &= 0.290472\left( 6 \right)^{2} + 19.6905\left( 6 \right) + 1.08571\\ &= 129.686\ \ m/s \end{split} \nonumber \]
Sin embargo, también podríamos encontrar todos los valores necesarios de velocidad a\(t\) =\(6, 7.5, 9, 11\) segundos usando la multiplicación matricial.
\[v\left( t \right) = \left\lbrack 0.290472\ \ 19.6905 \ \ 1.08571 \right\rbrack\begin{bmatrix} t^{2} \\ t \\ 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Entonces, si queremos\(v\left( 6 \right),v\left( 7.5 \right),v\left( 9 \right),v\left( 11 \right),\) encontrarla viene dada por
\[\begin{split} \begin{matrix}\left\lbrack v\left( 6 \right)v\left( 7.5 \right)v\left( 9 \right)v\left( 11 \right) \right\rbrack \end{matrix} &= \left\lbrack 0.290472 \ \ 19.6905\ \ 1.08571 \right\rbrack\begin{bmatrix} 6^{2} & 7.5^{2} & 9^{2} & 11^{2} \\ 6 & 7.5 & 9 & 11 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\\ &= \left\lbrack 0.290472 \ \ 19.6905 \ \ 1.08571 \right\rbrack\begin{bmatrix} 36 & 56.25 & 81 & 121 \\ 6 & 7.5 & 9 & 11 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\\ &= \left\lbrack 129.686 \ \ 165.104\ \ 201.828 \ \ 252.828 \right\rbrack \end{split} \nonumber \]
\[v(6) = 129.686\ m/s \nonumber \]
\[v(7.5) = 165.1\ 04\ m/s \nonumber \]
\[v(9) = 201.828\ m/s \nonumber \]
\[v(11) = 252.828\ m/s \nonumber \]
¿Podemos usar métodos de eliminación de Gauss ingenuos para encontrar el determinante de una matriz cuadrada?
Una de las formas más eficientes de encontrar el determinante de una matriz cuadrada es aprovechando los siguientes dos teoremas sobre un determinante de matrices acoplado a la eliminación de Gauss Naive.
\(\lbrack A\rbrack\)Déjese ser una\(n \times n\) matriz. Entonces, si\(\lbrack B\rbrack\) es una\(n \times n\) matriz que resulta de sumar o restar un múltiplo de una fila a otra fila, entonces\(det(A) = det(B)\) (Lo mismo es cierto para las operaciones de columna también).
Dejar\(\lbrack A\rbrack\) ser una\(n \times n\) matriz que es triangular superior, triangular inferior o diagonal, entonces
\[\begin{split} \det(A) &= a_{11} \times a_{22} \times ... \times a_{ii} \times ... \times a_{nn}\\ &= \prod_{i = 1}^{n}a_{ii} \end{split} \nonumber \]
Esto implica que si aplicamos los pasos de eliminación hacia adelante del método de eliminación de Gauss Naive, el determinante de la matriz permanece igual según el Teorema\(\PageIndex{1}\). Entonces dado que al final de los pasos de eliminación hacia adelante, la matriz resultante es triangular superior, el determinante será dado por Teorema\(\PageIndex{2}\).
Encuentra el determinante de
\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Solución
Recuerde que en el Ejemplo 1, llevamos a cabo los pasos de la eliminación hacia adelante de incógnitas usando el método de eliminación Naive Gauss on\(\lbrack A\rbrack\) para dar
\[\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 0 & 0 & 0.7 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Según el Teorema 2
\[\begin{split} det(A) &= det(B)\\ &= 25 \times ( - 4.8) \times 0.7\\ &= - 84.00 \end{split} \nonumber \]
¿Y si no puedo encontrar el determinante de la matriz usando el método de eliminación Naive Gauss, por ejemplo, si consigo división por cero problemas durante el método de eliminación Naive Gauss?
Bueno, se puede aplicar la eliminación gaussiana con pivotamiento parcial. Sin embargo, el determinante de la matriz triangular superior resultante puede diferir por un signo. El siguiente teorema se aplica además de los dos anteriores para encontrar el determinante de una matriz cuadrada.
\(\lbrack A\rbrack\)Déjese ser una\(n \times n\) matriz. Entonces, si\(\lbrack B\rbrack\) es una matriz que resulta de cambiar una fila con otra fila, entonces\(det(B) = - det(A)\).
Encuentra el determinante de
\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ - 3 & 2.099 & 6 \\ 5 & - 1 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Solución
El final de los pasos de eliminación hacia adelante de eliminación gaussiana con pivotamiento parcial, obtendríamos
\[\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ 0 & 2.5 & 5 \\ 0 & 0 & 6.002 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
\[\begin{split} \det\left( B \right) &= 10 \times 2.5 \times 6.002\\ &= 150.05 \end{split} \nonumber \]
Dado que las filas se cambiaron una vez durante los pasos de eliminación hacia adelante de eliminación gaussiana con pivotamiento parcial,
\[\begin{split} \det\left( A \right) &= - det(B)\\ &= - 150.05 \end{split} \nonumber \]
Demostrar
\[\det(A) = \frac{1}{\det\left( A^{- 1} \right)} \nonumber \]
Solución
\[\lbrack A\rbrack\lbrack A\rbrack^{- 1} = \lbrack I\rbrack \nonumber \]
\[\det(AA^{- 1}) = det(I) \nonumber \]
\[\det(A)\det(A^{-1}) = 1 \nonumber \]
\[\det(A) = \frac{1}{\det(A^{-1})} \nonumber \]
Si\({\lbrack A\rbrack}\) es una\({n \times n}\) matriz y\({\det(A) \neq 0}\), ¿qué otras declaraciones le equivalen?
- \(\lbrack A\rbrack\)es invertible.
- \(\lbrack A\rbrack^{- 1}\)existe.
- \(\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack C\rbrack\)tiene una solución única.
- \(\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack 0\rbrack\)solución es\(\lbrack X\rbrack = \lbrack{0}\rbrack\).
- \(\lbrack A\rbrack\ \lbrack A\rbrack^{- 1} = \lbrack I\rbrack = \lbrack A\rbrack^{- 1}\ \lbrack A\rbrack\).
¿Hay algún escollo del método de eliminación de Gauss ingenuo?
Sí, hay dos escollos del método de eliminación de Gauss Naïve.
División por cero: Es posible que la división por cero ocurra durante el inicio de los\(n - 1\) pasos de eliminación hacia adelante.
Por ejemplo
\[5x_{2} + 6x_{3} = 11 \nonumber \]
\[4x_{1} + 5x_{2} + 7x_{3} = 16 \nonumber \]
\[9x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 15 \nonumber \]
dará como resultado la división por cero en el primer paso de la eliminación hacia adelante ya que el coeficiente de\(x_{1}\) en la primera ecuación es cero como es evidente cuando escribimos las ecuaciones en forma de matriz.
\[\begin{bmatrix} 0 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 7 \\ 9 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ 16 \\ 15 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Pero, ¿qué pasa con las siguientes ecuaciones: ¿Es la división por cero un problema?
\[5x_{1} + 6x_{2} + 7x_{3} = 18 \nonumber \]
\[10x_{1} + 12x_{2} + 3x_{3} = 25 \nonumber \]
\[20x_{1} + 17x_{2} + 19x_{3} = 56 \nonumber \]
Escrito en forma de matriz,
\[\begin{bmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 10 & 12 & 3 \\ 20 & 17 & 19 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 \\25 \\ 56 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
no hay tema de división por cero en el primer paso de la eliminación hacia adelante. El elemento pivote es el coeficiente de\(x_{1}\) en la primera ecuación, 5, y ese es un número distinto de cero. Sin embargo, al final del primer paso de la eliminación hacia adelante, obtenemos las siguientes ecuaciones en forma de matriz
\[\begin{bmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & - 11 \\ 0 & - 7 & - 9 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 \\ - 11 \\ - 16 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Ahora al inicio del\(2^{nd}\) paso de eliminación hacia adelante, el coeficiente de\(x_{2}\) en la Ecuación 2 se utilizaría como elemento pivote. Ese elemento es cero y de ahí crearía el problema de división por cero.
Por lo que es importante considerar que la posibilidad de división por cero puede ocurrir al inicio de cualquier paso de eliminación adelante.
El método de eliminación de Gauss ingenuo es propenso a errores de redondeo. Esto es cierto cuando hay un gran número de ecuaciones a medida que se propagan los errores. Además, si hay sustracción de números entre sí, puede crear grandes errores. Vea el ejemplo a continuación.
Recuerda Ejemplo 2 donde usamos la eliminación de Gauss Naïve para resolver
\[20x_{1} + 15x_{2} + 10x_{3} = 45 \nonumber \]
\[- 3x_{1} - 2.249x_{2} + 7x_{3} = 1.751 \nonumber \]
\[5x_{1} + x_{2} + 3x_{3} = 9 \nonumber \]
usando seis dígitos significativos con cortar en tus cálculos? Repite el problema, pero ahora usa cinco dígitos significativos con cortar en tus cálculos.
Solución
Escribir en forma de matriz
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ - 3 & - 2.249 & 7 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 1.751 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Eliminación hacia adelante de incógnitas
Primer paso
Divide la fila 1 por 20 y luego multiplícalo por —3, es decir, multiplica la fila 1 por\(- 3/20 = - 0.15\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack 45 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times - 0.15\ \text{gives Row 1 as} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack - 3 \right.\ & - 2.25 & \left. \ - 1.5 \right\rbrack \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack - 6.75 \right\rbrack \nonumber \]
Restar el resultado de la fila 2
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \lbrack\begin{matrix} -3 & \ \ \ -2.249 & \ \ \ \ \ 7 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ | & 1.751\rbrack \\ - \begin{matrix} \lbrack -3 & \ \ \ \ -2.25 \ \ -1.5 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & -6.75\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & \ \ \ \ \ 0.001 & \ \ \ \ 8.5 \\ \end{matrix} & \ \ \ \ \ 8.501 \end{matrix}} \nonumber \]
para obtener las ecuaciones resultantes como
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & 0.001 & 8.5 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 8.501 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Divide la fila 1 por 20 y luego multiplícalo por\(5\), es decir, multiplica la fila 1 por\(5/20 = 0.25\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack 45 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times 0.25\ \text{gives Row 1 as} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack 5 \right.\ & 3.75 & \left. \ 2.5 \right\rbrack \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack 11.25 \right\rbrack \nonumber \]
Restar el resultado de la fila 3
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \lbrack\begin{matrix} 5 & \ \ \ \ \ \ 1 & \ \ \ \ \ \ 3 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ | & 9\rbrack \\ - \begin{matrix} \lbrack 5 & \ \ \ \ 3.75 \ \ \ \ \ 2.5 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & 11.25\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 &\ -2.75 \ \ \ \ \ \ 0.5 \\ \end{matrix} & \ -2.25 \end{matrix}} \nonumber \]
para obtener las ecuaciones resultantes como
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & 0.001 & 8.5 \\ 0 & - 2.75 & 0.5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 8.501 \\ - 2.25 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Segundo paso
Ahora para el segundo paso de la eliminación hacia adelante, usaremos la Fila 2 como la ecuación de pivote y eliminaremos la Fila 3: Columna 2.
Divide la fila 2 por\(0.001\) y luego multiplícalo por\(-2.75\), es decir, multiplica la fila 2 por\(- 2.75/0.001 = - 2750\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0.001 & 8.5 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack 8.501 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times - 2750\ \text{gives Row 2 as} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack 0 \right.\ & - 2.75 & \left. \ - 23375 \right\rbrack \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack - 23377.75 \right\rbrack \nonumber \]
Reescritura dentro de 5 dígitos significativos con cortar
\[\begin{matrix} \left\lbrack 0 \right.\ & - 2.75 & \left. \ - 23375 \right\rbrack \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack - 23377 \right\rbrack \nonumber \]
Restar el resultado de la fila 3
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \lbrack\begin{matrix} 0 & \ \ \ \ \ \ -2.75 & \ \ \ \ \ \ 0.5 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ | & -2.25\rbrack \\ - \begin{matrix} \lbrack 0 & \ \ \ \ -2.75 \ \ \ \ \ -23375 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & -23377\rbrack \\ \end{matrix}}{\begin{matrix} \begin{matrix} 0 &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 23375 \\ \end{matrix} & \ \ \ \ \ \ \ \ 23374 \end{matrix}} \nonumber \]
Reescritura dentro de 6 dígitos significativos con cortar
\[\begin{matrix} \left\lbrack 0 \right.\ & 0 & \left. \ 23375 \right\rbrack \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack - 23374 \right\rbrack \nonumber \]
para obtener las ecuaciones resultantes como
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & 0.001 & 8.5 \\ 0 & 0 & 23375 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 8.501 \\ 23374 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Este es el final de los pasos de eliminación hacia adelante.
Sustitución de espalda
Ahora podemos resolver las ecuaciones anteriores mediante la sustitución posterior. A partir de la tercera ecuación,
\[\begin{split} 23375x_{3} &= 23374\\ x_{3} &= \frac{23374}{23375}\\ &= 0.99995 \end{split} \nonumber \]
Sustituyendo el valor de\(x_{3}\) en la segunda ecuación
\[0.001x_{2} + 8.5x_{3} = 8.501 \nonumber \]
\[\begin{split} x_{2} &= \frac{8.501 - 8.5x_{3}}{0.001}\\ &= \frac{8.501 - 8.5 \times 0.99995}{0.001}\\ &= \frac{8.501 - 8.499575}{0.001}\\ &= \frac{8.501 - 8.4995}{0.001}\\ &= \frac{0.0015}{0.001}\\ &= 1.5 \end{split} \nonumber \]
Sustituyendo el valor de\(x_{3}\) y\(x_{2}\) en la primera ecuación,
\[20x_{1} + 15x_{2} + 10x_{3} = 45 \nonumber \]
\[\begin{split} x_{1} &= \frac{45 - 15x_{2} - 10x_{3}}{20}\\ &= \frac{45 - 15 \times 1.5 - 10 \times 0.99995}{20}\\ &= \frac{45 - 22.5 - 9.9995}{20}\\ &= \frac{22.5 - 9.9995}{20}\\ &= \frac{12.5005}{20}\\ &= \frac{12.500}{20}\\ &= 0.625 \end{split} \nonumber \]
De ahí que la solución sea
\[\begin{split} \left\lbrack X \right\rbrack &= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 0.625 \\ 1.5 \\ 0.99995 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]
Compare esto con la solución exacta de
\[\left\lbrack X \right\rbrack = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
¿Cuáles son algunas técnicas para mejorar el método de eliminación de Gauss Naïve?
Como se ve en el Ejemplo 3, los errores de redondeo fueron grandes cuando se usaron cinco dígitos significativos en lugar de seis dígitos significativos. Un método para disminuir el error de redondeo sería usar dígitos más significativos, es decir, usar precisión doble o cuádruple para representar los números. Sin embargo, esto no evitaría la posible división por cero errores en el método de eliminación de Gauss Naïve. Para evitar la división por cero así como reducir (no eliminar) el error de redondeo, la eliminación gaussiana con pivotamiento parcial es el método de elección.
¿En qué se diferencia la eliminación gaussiana con pivotamiento parcial de la eliminación ingenua de Gauss?
Los dos métodos son los mismos, excepto en el inicio de cada paso de eliminación hacia adelante, se realiza un cambio de fila basado en el siguiente criterio. Si hay\(n\) ecuaciones, entonces hay pasos de eliminación\(n - 1\) hacia adelante. Al inicio del\(k^{th}\) paso de la eliminación hacia adelante, se encuentra el máximo de
\[\left| a_{kk} \right|,\left| a_{k + 1,k} \right|,\ldots\ldots,\left| a_{nk} \right| \nonumber \]
Entonces si el máximo de estos valores está\(\left| a_{pk} \right|\) en la\(p^{th}\) fila,\(k \leq p \leq n\), luego cambiar filas\(p\) y\(k\).
Los otros pasos de la eliminación hacia adelante son los mismos que el método de eliminación ingenua de Gauss. Los pasos de sustitución posterior permanecen exactamente los mismos que el método de eliminación de Gauss ingenuo.
En los dos ejemplos anteriores, utilizamos la eliminación de Naive Gauss para resolver
\[20x_{1} + 15x_{2} + 10x_{3} = 45 \nonumber \]
\[- 3x_{1} - 2.249x_{2} + 7x_{3} = 1.751 \nonumber \]
\[5x_{1} + x_{2} + 3x_{3} = 9 \nonumber \]
utilizando cinco y seis dígitos significativos con corte en los cálculos. Usando cinco dígitos significativos con corte, la solución encontrada fue
\[\begin{split} \left\lbrack X \right\rbrack &= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 0.625 \\ 1.5 \\ 0.99995 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]
Esto es diferente de la solución exacta de
\[\begin{split} \left\lbrack X \right\rbrack &= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]
Encuentra la solución usando eliminación gaussiana con pivotamiento parcial usando cinco dígitos significativos con corte en tus cálculos.
Solución
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ - 3 & - 2.249 & 7 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 1.751 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Eliminación hacia adelante de incógnitas
Ahora, para el primer paso de la eliminación hacia adelante, el valor absoluto de los elementos de la primera columna debajo de la fila 1 es
\[\left| 20 \right|,\left| - 3 \right|,\left| 5 \right| \nonumber \]
o
\[20,\ 3,\ 5 \nonumber \]
Entonces, el valor absoluto más grande está en la fila\(1\). Entonces, según la eliminación gaussiana con pivotamiento parcial, el interruptor está entre Fila\(1\) y Fila\(1\) para dar
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ - 3 & - 2.249 & 7 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 1.751 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Divide Fila\(1\) por\(20\) y luego multiplícala por\(-3\), es decir, multiplica Fila\(1\) por\(\displaystyle - 3/20 = - 0.15\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack 45 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times - 0.15\ \text{gives Row 1 as} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack - 3 \right.\ & - 2.25 & \left. \ - 1.5 \right\rbrack \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack - 6.75 \right\rbrack \nonumber \]
Restar el resultado de Fila\(2\)
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \lbrack\begin{matrix} -3 & \ \ \ -2.249 & \ \ \ \ \ 7 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ | & 1.751\rbrack \\ - \begin{matrix} \lbrack -3 & \ \ \ \ -2.25 \ \ -1.5 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & -6.75\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & \ \ \ \ \ 0.001 & \ \ \ \ 8.5 \\ \end{matrix} & \ \ \ \ \ 8.501 \end{matrix}} \nonumber \]
para obtener las ecuaciones resultantes como
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & 0.001 & 8.5 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 8.501 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Divide Fila\(1\) por\(20\) y luego multiplícala por\(5\), es decir, multiplica Fila\(1\) por\(5/20 = 0.25\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack 45 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times 0.25\ \text{gives Row 1 as} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack 5 \right.\ & 3.75 & \left. \ 2.5 \right\rbrack \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack 11.25 \right\rbrack \nonumber \]
Restar el resultado de Fila\(3\)
\[\displaystyle \frac{\begin{matrix} \ \ \lbrack\begin{matrix} 5 & \ \ \ \ \ \ 1 & \ \ \ \ \ \ 3 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ | & 9\rbrack \\ - \begin{matrix} \lbrack 5 & \ \ \ \ 3.75 \ \ \ \ \ 2.5 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & 11.25\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 &\ -2.75 \ \ \ \ \ \ 0.5 \\ \end{matrix} & \ -2.25 \end{matrix}} \nonumber \]
para obtener las ecuaciones resultantes como
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & 0.001 & 8.5 \\ 0 & - 2.75 & 0.5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 8.501 \\ - 2.25 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Este es el final del primer paso de la eliminación hacia adelante.
Ahora, para el segundo paso de la eliminación hacia adelante, el valor absoluto de los elementos de la segunda columna debajo de la fila 1 es
\[\left| 0.001 \right|,\left| - 2.75 \right| \nonumber \]
o
\[0.001,\ 2.75 \nonumber \]
Entonces, el valor absoluto más grande está en Fila\(3\). Entonces, Row\(2\) se cambia con Row\(3\) para dar
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & - 2.75 & 0.5 \\ 0 & 0.001 & 8.5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ - 2.25 \\ 8.501 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Divide Fila\(2\) por\(-2.75\) y luego multiplícala por\(0.001\), es decir, multiplica Fila\(2\) por\(0.001/ - 2.75 = - 0.00036363\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 0 & - 2.75 & 0.5 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack - 2.25 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times - 0.00036363\ \text{gives Row 2 as} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack 0 \right.\ & 0.00099998 & \left. \ - 0.00018182 \right\rbrack \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack 0.00081816 \right\rbrack \nonumber \]
Restar el resultado de Fila\(3\)
\[\displaystyle \frac{\begin{matrix} \ \ \ \lbrack \begin{matrix} 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0.001 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8.5 \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | & 8.501\rbrack \\ - \begin{matrix} \lbrack 0 & \ \ \ \ 0.00099998 \ \ \ \ \ -0.00018182 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & 0.00081816\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \begin{matrix} \ \begin{matrix} 0 &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8.50018182 \\ \end{matrix} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8.50018184 \end{matrix}} \nonumber \]
Reescritura dentro de dígitos\(5\) significativos con cortar
\[\begin{matrix} \left\lbrack 0 \right.\ & 0 & \left. \ 8.5001 \right\rbrack \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack 8.5001 \right\rbrack \nonumber \]
para obtener las ecuaciones resultantes como
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & - 2.75 & 0.5 \\ 0 & 0 & 8.5001 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ - 2.25 \\ 8.5001 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Sustitución de espalda
\[8.5001x_{3} = 8.5001 \nonumber \]
\[\begin{split} x_{3} &= \frac{8.5001}{8.5001}\\ &= 1 \end{split} \nonumber \]
Sustituyendo el valor de\(x_{3}\) en fila\(2\)
\[- 2.75x_{2} + 0.5x_{3} = - 2.25 \nonumber \]
\[\begin{split} x_{2} &= \frac{- 2.25 - 0.5x_{2}}{- 2.75}\\ &= \frac{- 2.25 - 0.5 \times 1}{- 2.75}\\ &= \frac{- 2.25 - 0.5}{- 2.75}\\ &= \frac{- 2.75}{- 2.75}\\ &= 1\end{split} \nonumber \]
Sustituyendo el valor de\(x_{3}\) y\(x_{2}\) en la Fila 1
\[20x_{1} + 15x_{2} + 10x_{3} = 45 \nonumber \]
\[\begin{split} x_{1} &= \frac{45 - 15x_{2} - 10x_{3}}{20}\\ &= \frac{45 - 15 \times 1 - 10 \times 1}{20}\\ &= \frac{45 - 15 - 10}{20}\\ &= \frac{30 - 10}{20}\\ &= \frac{20}{20}\\ &= 1 \end{split} \nonumber \]
Método de eliminación gaussiana para resolver ecuaciones lineales simultáneas
El objetivo de los pasos de eliminación hacia adelante en el método de eliminación de Gauss ingenuo es reducir la matriz de coeficientes a una matriz (a) _____________.
(A) diagonal
(B) identidad
(C) triangular inferior
(D) triangular superior
La división por cero durante los pasos de eliminación hacia adelante en la eliminación gaussiana ingenua del conjunto de ecuaciones\(\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack C \right\rbrack\) implica la matriz de coeficientes\(\left\lbrack A \right\rbrack\)
(A) es invertible
(B) es no singular
(C) puede ser singular o no singular
(D) es singular
Usando una computadora con cuatro dígitos significativos con corte, la solución de eliminación Naïve Gauss para
\[\begin{matrix} 0.0030x_{1} + 55.23x_{2} = 58.12 \\ 6.239x_{1} - 7.123x_{2} = 47.23 \\ \end{matrix} \nonumber \]es
(A)\(x_{1} = 26.66;\ x_{2} = 1.051\)
(B)\(x_{1} = 8.769;\ x_{2} = 1.051\)
(C)\(x_{1} = 8.800;\ x_{2} = 1.000\)
(D)\(x_{1} = 8.771;\ x_{2} = 1.052\)
Usando una computadora con cuatro dígitos significativos con corte, la eliminación gaussiana con solución pivotante parcial para
\[\begin{matrix} 0.0030x_{1} + 55.23x_{2} = 58.12 \\ 6.239x_{1} - 7.123x_{2} = 47.23 \\ \end{matrix} \nonumber \]es
(A)\(x_{1} = 26.66;\ x_{2} = 1.051\)
(B)\(x_{1} = 8.769;\ x_{2} = 1.051\)
(C)\(x_{1} = 8.800;\ x_{2} = 1.000\)
(D)\(x_{1} = 8.771;\ x_{2} = 1.052\)
Al final de los pasos de eliminación hacia adelante del método de eliminación de Gauss ingenuo en las siguientes ecuaciones
\[\begin{bmatrix} {4.2857 \times 1}{0}^7 & {- 9.2307 \times 1}{0}^5 & {0} & {0} \\ {4.2857 \times 1}{0}^7 & {- 5.4619 \times 1}{0}^5 & {- 4.2857 \times 1}{0}^7 & {5.4619 \times 1}{0}^5 \\ {- 6.5} & {- 0.15384} & {6.5} & {0.15384} \\ {0} & {0} & {4.2857 \times 1}{0}^7 & {- 3.6057 \times 1}{0}^5 \\ \end{bmatrix}{\ \ }\begin{bmatrix} {c}_1 \\ {c}_2 \\ {c}_3 \\ {c}_4 \\ \end{bmatrix}{=}\begin{bmatrix} {- 7.887 \times 1}{0}^3 \\ {0} \\ {0.007} \\ {0} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
las ecuaciones resultantes en forma de matriz están dadas por
\[\begin{bmatrix} {4.2857 \times 1}{0}^7 & {- 9.2307 \times 1}{0}^5 & {0} & {0} \\ {0} & {3.7688 \times 1}{0}^5 & {- 4.2857 \times 1}{0}^7 & {5.4619 \times 1}{0}^5 \\ {0} & {0} & {- 26.9140} & {0.579684} \\ {0} & {0} & {0} & {5.62500 \times 1}{0}^5 \\ \end{bmatrix}{\ \ }\begin{bmatrix} {c}_1 \\ {c}_2 \\ {c}_3 \\ {c}_4 \\ \end{bmatrix}{=}\begin{bmatrix} {- 7.887 \times 1}{0}^3 \\ {7.887 \times 1}{0}^3 \\ {1.19530 \times 1}{0}^-2 \\ {1.90336 \times 1}{0}^4 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
El determinante de la matriz de coeficientes original es
(A)\({0.00}\)
(B)\({4.2857 \times 1}{0}^7\)
(C)\({5.486 \times 1}{0}^19\)
(D)\({- 2.445 \times 1}{0}^20\)
Se dan los siguientes datos para la velocidad del cohete en función del tiempo. Para encontrar la velocidad a\(t = 21s\), se le pide usar un polinomio cuadrático,\(v(t) = at^{2} + {bt} + c\) para aproximar el perfil de velocidad.
| \(t\) | \((s)\) | 0 | 14 | 15 | 20 | 30 | 35 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \ (t\) ">\(v(t)\) | \ (s)\) ">\((m/s)\) | 0 | 227.04 | 362.78 | 517.35 | 602.97 | 901.67 |
El conjunto correcto de ecuaciones que encontrará a, b y c son
(A)\(\begin{bmatrix} {176} & {14} & {1} \\ {225} & {15} & {1} \\ {400} & {20} & {1} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {a} \\ {b} \\ {c} \\ \end{bmatrix}{=}\begin{bmatrix} {227.04} \\ {362.78} \\ {517.35} \\ \end{bmatrix}\)
(B)\(\begin{bmatrix} {225} & {15} & {1} \\ {400} & {20} & {1} \\ {900} & {30} & {1} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {a} \\ {b} \\ {c} \\ \end{bmatrix}{=}\begin{bmatrix} {362.78} \\ {517.35} \\ {602.97} \\ \end{bmatrix}\)
(C)\(\begin{bmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {225} & {15} & {1} \\ {400} & {20} & {1} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {a} \\ {b} \\ {c} \\ \end{bmatrix}{=}\begin{bmatrix} {0} \\ {362.78} \\ {517.35} \\ \end{bmatrix}\)
(D)\(\begin{bmatrix} 400 & 20 & 1 \\ 900 & 30 & 1 \\ 1225 & 35 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 517.35 \\ 602.97 \\ 901.67 \\ \end{bmatrix}\)
Ejercicio de método de eliminación gaussiana para resolver ecuaciones lineales simultáneas
Usa la eliminación ingenua de Gauss para resolver
\[{4x_{1} + x_{2} - x_{3} = - 2} \nonumber \]\[{5x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 4} \nonumber \]\[{6x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6} \nonumber \]
Suponga que está usando una computadora con cuatro dígitos significativos con cortar. Utilice el método de eliminación de Gauss ingenuo para resolver
\[{4x_{1} + x_{2} - x_{3} = - 2} \nonumber \]\[{5x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 4} \nonumber \]\[{6x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6} \nonumber \]
Para
\[[A]= \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ - 3 & 2.099 & 6 \\ 5 & - 1 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Encuentre el determinante de [A] usando el paso de eliminación hacia adelante del método de eliminación de Gauss ingenuo.
Al final de las etapas de eliminación hacia adelante utilizando el método de eliminación de Gauss ingenuo en la matriz de coeficientes
\[[A]= \begin{bmatrix} 25 & c & 1 \\ 64 & a & 1 \\ 144 & b & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
[A] reduce a
\[[B]= \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 0 & 0 & 0.7 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
¿Cuál es el determinante de\([A]\)?
Uso de la eliminación gaussiana con pivotamiento parcial para resolver
\[{4x_{1} + x_{2} - x_{3} = - 2} \nonumber \]\[{5x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 4} \nonumber \]\[{6x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6} \nonumber \]
Suponga que está usando una computadora con cuatro dígitos significativos con corte, use eliminación gaussiana con pivotamiento parcial para resolver
\[{4x_{1} + x_{2} - x_{3} = - 2} \nonumber \]\[{5x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 4} \nonumber \]\[{6x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6} \nonumber \]