10: Valores propios y vectores propios

Objetivos de aprendizaje

Después de leer este capítulo, deberías poder:

1. definir valores propios y vectores propios de una matriz cuadrada,
2. encontrar valores propios y vectores propios de una matriz cuadrada,
3. relacionar valores propios con la singularidad de una matriz cuadrada, y
4. utilice el método power para encontrar numéricamente el valor propio más grande en magnitud de una matriz cuadrada y el vector propio correspondiente.

¿Qué significa valor propio?

La palabra autovalor proviene de la palabra alemana Eigenwert donde Eigen significa característica y Wert significa valor. Sin embargo, ¡lo que significa la palabra no está en tu mente! Quieres saber por qué necesito aprender sobre los valores propios y los vectores propios. Una vez que te dé un ejemplo de una aplicación de valores propios y vectores propios, querrás saber cómo encontrar estos autovalores y vectores propios.

¿Me puede dar un ejemplo físico de aplicación de valores propios y vectores propios?

Mire el sistema de masa de resorte como se muestra en la imagen de abajo.

Asumir cada uno de los dos desplazamientos masivos a denotar por\(x_{1}\) y\(x_{2}\), y supongamos que cada resorte tiene la misma constante de resorte\(k\). Luego, aplicando la ^{segunda y tercera} ley del movimiento de Newton para desarrollar un equilibrio de fuerzas para cada masa que tenemos

\[m_{1}\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}} = - kx_{1} + k(x_{2} - x_{1}) \nonumber \]

\[m_{2}\frac{d^{2}x_{2}}{dt^{2}} = - k(x_{2} - x_{1}) \nonumber \]

Reescribiendo las ecuaciones, tenemos

\[m_{1}\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}} - k( - 2x_{1} + x_{2}) = 0 \nonumber \]

\[m_{2}\frac{d^{2}x_{2}}{dt^{2}} - k(x_{1} - x_{2}) = 0 \nonumber \]

Let\(m_{1}\ = 10,\ m_{2} = 20,k = 15\)

\[10\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}} - 15( - 2x_{1} + x_{2}) = 0 \nonumber \]

\[20\frac{d^{2}x_{2}}{dt^{2}} - 15(x_{1} - x_{2}) = 0 \nonumber \]

A partir de la teoría de la vibración, las soluciones pueden ser de la forma

\[x_{i} = A_{i}\sin\left( \omega t - \Theta \right) \nonumber \]

donde

• \(A_{i}\)= amplitud de la vibración de la masa\(i\),
• \(\omega\)= frecuencia de vibración,
• \(\Theta\)= desplazamiento de fase.

entonces

\[\frac{d^{2}x_{i}}{dt^{2}} = - A_{i}w^{2}{Sin}(\omega t - \Theta) \nonumber \]

Sustituyendo\(x_{i}\) y\(\frac{d^{2}x_{i}}{dt^{2}}\) en ecuaciones,

\[- 10A_{1}\omega^{2} - 15( - 2A_{1} + A_{2}) = 0 \nonumber \]

\[- 20A_{2}\omega^{2} - 15(A_{1} - A_{2}) = 0 \nonumber \]

da

\[( - 10\omega^{2} + 30)A_{1} - 15A_{2} = 0 \nonumber \]

\[- 15A_{1} + ( - 20\omega^{2} + 15)A_{2} = 0 \nonumber \]

o

\[( - \omega^{2} + 3)A_{1} - 1.5A_{2} = 0 \nonumber \]

\[- 0.75A_{1} + ( - \omega^{2} + 0.75)A_{2} = 0 \nonumber \]

En forma de matriz, estas ecuaciones se pueden reescribir como

\[\begin{bmatrix} - \omega^{2} + 3 & - 1.5 \\ - 0.75 & - \omega^{2} + 0.75 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{1} \\ A_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\begin{bmatrix} 3 & - 1.5 \\ - 0.75 & 0.75 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{1} \\ A_{2} \\ \end{bmatrix} - \omega^{2}\begin{bmatrix} A_{1} \\ A_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Let\(\omega^{2} = \lambda\)

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 3 & - 1.5 \\ - 0.75 & 0.75 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\lbrack X\rbrack = \begin{bmatrix} A_{1} \\ A_{2} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack - \lambda\lbrack X\rbrack = 0 \nonumber \]

\[\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lambda\lbrack X\rbrack \nonumber \]

En la ecuación anterior,\(\lambda\) es el valor propio y\(\lbrack X\rbrack\) es el autovector correspondiente a\(\lambda\). Como puede ver, si conocemos\(\lambda\) para el ejemplo anterior podemos calcular la frecuencia natural de la vibración

\(\omega = \sqrt{\lambda}\)

¿Por qué son importantes las frecuencias naturales de vibración? Porque no se quiere tener una fuerza de forzamiento sobre el sistema de masa-resorte cercana a esta frecuencia ya que haría que la amplitud fuera\(A_{i}\) muy grande y haría que el sistema fuera inestable.

¿Cuál es la definición general de valores propios y vectores propios de una matriz cuadrada?

Si\(\lbrack A\rbrack\) es una\(n \times n\) matriz, entonces\(\lbrack X\rbrack \neq \overrightarrow{0}\) es un vector propio de\(\lbrack A\rbrack\) si

\[\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lambda\lbrack X\rbrack \nonumber \]

donde\(\lambda\) es un escalar y\(\lbrack X\rbrack \neq 0\). El escalar\(\lambda\) se llama el valor propio de\(\lbrack A\rbrack\) y\(\lbrack X\rbrack\) se llama el vector propio correspondiente al valor propio\(\lambda\).

¿Cómo se encuentran los valores propios de una matriz cuadrada?

Para encontrar los valores propios de una\(n \times n\) matriz\(\lbrack A\rbrack\ \), tenemos

\[\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lambda\lbrack X\rbrack \nonumber \]

\[\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack - \lambda\lbrack X\rbrack = 0 \nonumber \]

\[\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack - \lambda\ \lbrack I\rbrack\lbrack X\rbrack = 0 \nonumber \]

\[(\lbrack A\rbrack\ - \lbrack\lambda\rbrack\lbrack I\rbrack)\lbrack X\rbrack = 0 \nonumber \]

Ahora para que el conjunto de ecuaciones anterior tenga una solución distinta de cero,

\[det(\lbrack A\rbrack - \lambda\lbrack I\rbrack) = 0 \nonumber \]

Este lado izquierdo se puede expandir para dar un polinomio\(\lambda\) y resolver la ecuación anterior nos daría valores de los valores propios. La ecuación anterior se llama la ecuación característica de\(\lbrack A\rbrack\).

Para una\(\lbrack A\rbrack\)\(n \times n\) matriz, el polinomio característico de\(A\) es de grado\(n\) como sigue

\[det(\lbrack A\rbrack - \lambda\lbrack I\rbrack) = 0 \nonumber \]

dando

\[\lambda^{n} + c_{1}\lambda^{n - 1} + c_{2}\lambda^{n - 2} + - - + c_{n} = 0 \nonumber \]

En lo sucesivo, este polinomio tiene\(n\) raíces.

Ejemplo 1

Encontrar los valores propios del problema físico discutido en el inicio de este capítulo, es decir, encontrar los valores propios de la matriz

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 3 & - 1.5 \\ - 0.75 & 0.75 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

\[\lbrack A\rbrack - \lambda\lbrack I\rbrack = \begin{bmatrix} 3 - \lambda & - 1.5 \\ - 0.75 & 0.75 - \lambda \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[det(\left\lbrack A \right\rbrack - \lambda\left\lbrack I \right\rbrack) = (3 - \lambda)(0.75 - \lambda) - ( - 0.75)( - 1.5) = 0 \nonumber \]

\[2.25 - 0.75\lambda - 3\lambda + \lambda^{2} - 1.125 = 0 \nonumber \]

\[\lambda^{2} - 3.75\lambda + 1.125 = 0 \nonumber \]

\[\begin{split} \lambda &= \frac{- ( - 3.75) \pm \sqrt{( - 3.75)^{2} - 4(1)(1.125)}}{2(1)}\\ &= \frac{3.75 \pm 3.092}{2}\\ &= 3.421,\ 0.3288 \end{split} \nonumber \]

Entonces los valores propios son 3.421 y 0.3288.

Ejemplo 2

Encuentra los vectores propios de

\[A = \begin{bmatrix} 3 & - 1.5 \\ - 0.75 & 0.75 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

Los valores propios ya se han encontrado en el Ejemplo 1 como

\[\lambda_{1} = 3.421,\lambda_{2} = 0.3288 \nonumber \]

Let

\[\lbrack X\rbrack = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

ser el vector propio correspondiente a

\[\lambda_{1} = 3.421 \nonumber \]

De ahí

\[(\lbrack A\rbrack - \lambda_{1}\lbrack I\rbrack)\lbrack X\rbrack = 0 \nonumber \]

\[\left\{ \begin{bmatrix} 3 & - 1.5 \\ - 0.75 & 0.75 \\ \end{bmatrix} - 3.421\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \right\}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} = 0 \nonumber \]

\[\begin{bmatrix} - 0.421 & - 1.5 \\ - 0.75 & - 2.671 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Si

\[x_{1} = s \nonumber \]

entonces

\[\begin{matrix} - 0.421s - 1.5x_{2} = 0 \\ x_{2} = - 0.2808s \\ \end{matrix} \nonumber \]

El vector propio correspondiente a\(\lambda_{1} = 3.421\) entonces es

\[\begin{split} \lbrack X\rbrack &= \begin{bmatrix} s \\ - 0.2808s \\ \end{bmatrix}\\ &= s\begin{bmatrix} 1 \\ - 0.2808 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

El vector propio correspondiente a

\[\lambda_{1} = 3.421 \nonumber \]

es

\[\begin{bmatrix} 1 \\ - 0.2808 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Del mismo modo, el vector propio correspondiente a

\[\lambda_{2} = 0.3288 \nonumber \]

es

\[\begin{bmatrix} 1 \\ 1.781 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Ejemplo 3

Encuentra los valores propios y los vectores propios de

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 1.5 & 0 & 1 \\ - 0.5 & 0.5 & - 0.5 \\ - 0.5 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

La ecuación característica viene dada por

\[det(\lbrack A\rbrack - \lambda\lbrack I\rbrack) = 0 \nonumber \]

\[\det\begin{bmatrix} 1.5 - \lambda & 0 & 1 \\ - 0.5 & 0.5 - \lambda & - 0.5 \\ - 0.5 & 0 & - \lambda \\ \end{bmatrix} = 0 \nonumber \]

\[(1.5 - \lambda)\lbrack(0.5 - \lambda)( - \lambda) - ( - 0.5)(0)\rbrack + (1)\lbrack( - 0.5)(0) - ( - 0.5)(0.5 - \lambda)\rbrack = 0 \nonumber \]

\[- \lambda^{3} + 2\lambda^{2} - 1.25\lambda + 0.25 = 0 \nonumber \]

Para encontrar las raíces de la ecuación polinómica característica

\[- \lambda^{3} + 2\lambda^{2} - 1.25\lambda + 0.25 = 0 \nonumber \]

encontramos que la primera raíz por observación es

\[\lambda = 1 \nonumber \]

como sustitución de\(\lambda = 1\) da

\[( - 1)^{3} + 2(1)^{2} - 1.25(1) + 0.25 = 0 \nonumber \]\[0= 0 \nonumber \]

Entonces

\[(\lambda - 1) \nonumber \]

es un factor de

\[- \lambda^{3} + 2\lambda^{2} - 1.25\lambda + 0.25 \nonumber \]

Para encontrar los otros factores del polinomio característico, primero realizamos división larga

\[- \lambda^{2} + \lambda + 0.25 \nonumber \]

\[\left( \ \lambda - 1 \right)\overline{- \lambda^{3} + 2\lambda^{2} - 1.25\lambda + 0.25} \nonumber \]

\[- \lambda^{3} + \lambda^{2} \nonumber \]

\[\overline{\lambda^{2} - 1.25\lambda + 0.25} \nonumber \]

\[\lambda^{2} - \lambda \nonumber \]

\[\overline{- 0.25\lambda + 0.25} \nonumber \]

\[\overline{- 0.25\lambda + 0.25} \nonumber \]

De ahí

\[- \lambda^{3} + 2\lambda^{2} - 1.25\lambda + 0.25 = (\lambda - 1)( - \lambda^{2} + \lambda + 0.25) \nonumber \]

Para encontrar ceros de\(- \lambda^{2} + \lambda + 0.25\), resolvemos la ecuación cuadrática,

\[- \lambda^{2} + \lambda + 0.25 = 0 \nonumber \]

para dar

\[\begin{split} \lambda &=\frac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2-(4)(-1)(0.25)}}{2(-1)}\\ &= \frac{- 1 \pm \sqrt{0}}{- 2}\\ &= 0.5,0.5 \end{split} \nonumber \]

Así\\(\lambda = 0.5\) y\(\lambda = 0.5\) son los ceros de

\[- \lambda^{2} + \lambda + 0.5 \nonumber \]

dando

\[- \lambda^{2} + \lambda + 0.25 = - (\lambda - 0.5)(\lambda - 0.5) \nonumber \]

De ahí

\[- \lambda^{3} + 2\lambda^{2} - 1.25\lambda + 0.25 = 0 \nonumber \]

se puede reescribir como

\[- (\lambda - 1)(\lambda - 0.5)(\lambda - 0.5) = 0 \nonumber \]

para dar las raíces como

\[\lambda = 1,\ \ 0.5,\ \ 0.5 \nonumber \]

Estas son las tres raíces de la ecuación polinómica característica y de ahí los valores propios de la matriz [A].

Tenga en cuenta que hay valores propios que se repiten. Dado que solo hay dos valores propios distintos, solo hay dos espacios propios. Pero, correspondiente a que\(\lambda = 0.5\) haya dos vectores propios que formen una base para el espacio propio correspondiente a\(\lambda = 0.5\).

Dado

\[\lbrack(A - \lambda I)\rbrack\ \lbrack X\rbrack = 0 \nonumber \]

entonces

\[\begin{bmatrix} 1.5 - \lambda & 0 & 1 \\ - 0.5 & 0.5 - \lambda & - 0.5 \\ - 0.5 & 0 & - \lambda \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Para\(\lambda = 0.5\),

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ - 0.5 & 0 & - 0.5 \\ - 0.5 & 0 & - 0.5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Resolver este sistema da

\[x_{1} = - a,\ x_{2} = b,\ x_{3} = a \nonumber \]

Entonces

\[\begin{split} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - a \\ b \\ a \\ \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} - a \\ 0 \\ a \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ b \\ 0 \\ \end{bmatrix}\\ &= a\begin{bmatrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

Entonces, los vectores\(\begin{bmatrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\) y\(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\) forman una base para el espacio propio para el autovalor\(\lambda = 0.5\) y son los dos vectores propios correspondientes a\(\lambda = 0.5\).

Para\(\lambda = 1\),

\[\begin{bmatrix} 0.5 & 0 & 1 \\ - 0.5 & - 0.5 & - 0.5 \\ - 0.5 & 0 & - 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Resolver este sistema da

\[x_{1} = a,\ x_{2} = - 0.5a,\ x_{3} = - 0.5a \nonumber \]

El vector propio correspondiente a\(\lambda = 1\) es

\[\begin{bmatrix} a \\ - 0.5a \\ - 0.5a \\ \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ - 0.5 \\ - 0.5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

De ahí el vector

\[\begin{bmatrix} 1 \\ - 0.5 \\ - 0.5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

es una base para el espacio propio para el valor propio de\(\lambda = 1\), y es el autovector correspondiente a\(\lambda = 1\).

¿Cuáles son algunos de los teoremas de los valores propios y vectores propios?

Teorema 1: Si\(\lbrack A\rbrack\) es una matriz\(n \times n\) triangular — triangular superior, triangular inferior o diagonal, los valores propios de\(\lbrack A\rbrack\) son las entradas diagonales de\(\lbrack A\rbrack\).

Teorema 2:\(\lambda = 0\) es un valor propio de\(\lbrack A\rbrack\) if\(\lbrack A\rbrack\) es una matriz singular (no invertible).

Teorema 3:\(\lbrack A\rbrack\) y\(\lbrack A\rbrack^{T}\) tienen los mismos valores propios.

Teorema 4: Los valores propios de una matriz simétrica son reales.

Teorema 5: Los vectores propios de una matriz simétrica son ortogonales, pero solo para valores propios distintos.

Teorema 6:\(\left| det(A) \right|\) es el producto de los valores absolutos de los valores propios de\(\lbrack A\rbrack\).

Ejemplo 4

¿Cuáles son los valores propios de

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 3 & 0 & 0 \\ 9 & 5 & 7.5 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & - 7.2 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

Dado que la matriz\(\lbrack A\rbrack\) es una matriz triangular inferior, los valores propios de\(\lbrack A\rbrack\) son los elementos diagonales de\(\lbrack A\rbrack\). Los valores propios son

\[\lambda_{1} = 6,\ \lambda_{2} = 3,\ \lambda_{3} = 7.5,\ \lambda_{4} = - 7.2 \nonumber \]

Ejemplo 5

Uno de los valores propios de

\[\ \lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 2 \\ 3 & 5 & 9 \\ 2 & 1 & - 7 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

es cero. ¿Es\(\lbrack A\rbrack\) invertible?

Solución

\(\lambda = 0\)es un valor propio de\(\lbrack A\rbrack\), que implica\(\lbrack A\rbrack\) es singular y no es invertible.

Ejemplo 6

Dados los valores propios de

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & - 3.5 & 6 \\ 3.5 & 5 & 2 \\ 8 & 1 & 8.5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

son

\[\lambda_{1} = - 1.547,\ \lambda_{2} = 12.33,\ \lambda_{3} = 4.711 \nonumber \]

¿Cuáles son los valores propios de\(\lbrack B\rbrack\) si

\[\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 3.5 & 8 \\ - 3.5 & 5 & 1 \\ 6 & 2 & 8.5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

Ya que\(\lbrack B\rbrack = \lbrack A\rbrack^{T}\), los valores propios de\(\lbrack A\rbrack\) y\(\lbrack B\rbrack\) son los mismos. Por lo tanto, los valores propios de\(\lbrack B\rbrack\) también son

\[\lambda_{1} = - 1.547,\ \lambda_{2} = 12.33,\ \lambda_{3} = 4.711 \nonumber \]

Ejemplo 7

Dados los valores propios de

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & - 3.5 & 6 \\ 3.5 & 5 & 2 \\ 8 & 1 & 8.5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

son

\[\lambda_{1} = - 1.547,\ \lambda_{2} = 12.33,\ \lambda_{3} = 4.711 \nonumber \]

Calcular la magnitud del determinante de la matriz.

Solución

Desde

\[\begin{split} \left| det\lbrack A\rbrack \right| &= \left| \lambda_{1} \right|\ \left| \lambda_{2} \right|\ \left| \lambda_{3} \right|\\ &= \left| - 1.547 \right|\ \left| 12.33 \right|\ \left| 4.711 \right|\\ &= 89.88 \end{split} \nonumber \]

¿Cómo se encuentran los valores propios y los vectores propios numéricamente?

Uno de los métodos más comunes utilizados para encontrar valores propios y vectores propios es el método power. Se utiliza para encontrar el valor propio más grande en un sentido absoluto. Tenga en cuenta que si se repiten estos valores propios más grandes, este método no funcionará. También este valor propio necesita ser distinto. El método es el siguiente:

(1). Asumir una suposición\(\lbrack X^{(0)}\rbrack\) para el vector propio en

\[\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lambda\lbrack X\rbrack \nonumber \]

ecuación. Una de las entradas de\(\lbrack X^{(0)}\rbrack\) necesita ser la unidad.

(2). Encuentra

\[\lbrack Y^{(1)}\rbrack = \lbrack A\rbrack\ \lbrack X^{(0)}\rbrack \nonumber \]

(3). Escala\(\lbrack Y^{(1)}\rbrack\) para que el componente de unidad elegido siga siendo unidad.

\[\lbrack Y^{(1)}\rbrack = \lambda^{(1)}\lbrack X^{(1)}\rbrack \nonumber \]

(4). Repita los pasos (2) y (3) con

\(\lbrack X\rbrack = \lbrack X^{(1)}\rbrack\)para conseguir\(\lbrack X^{(2)}\rbrack\).

(5). Repita los pasos 2 y 3 hasta que converja el valor del valor propio.

Si\(E_{s}\) es el porcentaje preespecificado de tolerancia de error relativo a la que desea que converja la respuesta, siga iterando hasta

\[\left| \frac{\lambda^{(i + 1)} - \lambda^{(i)}}{\lambda^{(i + 1)}} \right| \times 100 \leq E_{s} \nonumber \]

donde el lado izquierdo de la desigualdad anterior es la definición de porcentaje absoluto relativo error aproximado, denotado generalmente por\(E_{s}\) Un porcentaje de tolerancia relativa preespecificado de\(0.5 \times 10^{2 - m}\) implica que al menos dígitos\(m\) significativos son actuales en su respuesta. Cuando el sistema converge, el valor de\(\lambda\) es el valor propio más grande (en valor absoluto) de\(\lbrack A\rbrack\).

Ejemplo 8

Usando el método power, encuentra el valor propio más grande y el correspondiente vector propio de

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 1.5 & 0 & 1 \\ - 0.5 & 0.5 & - 0.5 \\ - 0.5 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

Asumir

\[\lbrack X^{(0)}\rbrack = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\begin{split} \lbrack A\rbrack\ \lbrack X^{(0)}\rbrack &= \begin{bmatrix} 1.5 & 0 & 1 \\ - 0.5 & 0.5 & - 0.5 \\ - 0.5 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 2.5 \\ - 0.5 \\ - 0.5 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

\[Y^{(1)} = 2.5\begin{bmatrix} 1 \\ - 0.2 \\ - 0.2 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\lambda^{(1)} = 2.5 \nonumber \]

Escogeremos el primer elemento de\(\lbrack X^{(0)}\rbrack\) ser la unidad.

\[\lbrack X^{(1)}\rbrack = \begin{bmatrix} 1 \\ - 0.2 \\ - 0.2 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\begin{split} \lbrack A\rbrack\ \lbrack X^{(1)}\rbrack &= \begin{bmatrix} 1.5 & 0 & 1 \\ - 0.5 & 0.5 & - 0.5 \\ - 0.5 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ - 0.2 \\ - 0.2 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1.3 \\ - 0.5 \\ - 0.5 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

\[\lbrack X^{(2)}\rbrack = 1.3\begin{bmatrix} 1 \\ - 0.3846 \\ - 0.3846 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\lambda^{(2)} = 1.3 \nonumber \]

\[\lbrack X^{(2)}\rbrack = \begin{bmatrix} 1 \\ - 0.3846 \\ - 0.3846 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

El error aproximado relativo absoluto en los valores propios es

\[\begin{split} \left| \varepsilon_{a} \right| &= \left| \frac{\lambda^{(2)} - \lambda^{(1)}}{\lambda^{(2)}} \right| \times 100\\ &= \left| \frac{1.3 - 1.5}{1.5} \right| \times 100\\ &= 92.307\% \end{split} \nonumber \]

Realización de iteraciones adicionales, los valores de\(\lambda^{(i)}\) y los vectores propios correspondientes se dan en la siguiente tabla

\(i\)	\(\lambda^{(i)}\)	\(\lbrack X^{(i)}\rbrack\)	\(\left| \varepsilon_{a} \right|\ \ (\%)\)
\ (i\) ">\(1\)	\ (\ lambda^ {(i)}\) ">\(2.5\)	\ (\ lbrack X^ {(i)}\ rbrack\) ">\[\begin{bmatrix} 1 \\ - 0.2 \\ - 0.2 \\\end{bmatrix} \nonumber \]	\ (\ izquierda|\ varepsilon_ {a}\ derecha|\\ (\%)\) ">_____
\ (i\) ">\(2\)	\ (\ lambda^ {(i)}\) ">\(1.3\)	\ (\ lbrack X^ {(i)}\ rbrack\) ">\[\begin{bmatrix} 1 \\ - 0.38462 \\ - 0.38462 \\\end{bmatrix} \nonumber \]	\ (\ izquierda|\ varepsilon_ {a}\ derecha|\\ (\%)\) ">\(92.307\)
\ (i\) ">\(3\)	\ (\ lambda^ {(i)}\) ">\(1.1154\)	\ (\ lbrack X^ {(i)}\ rbrack\) ">\[\begin{bmatrix} 1 \\ - 0.44827 \\ - 0.44827 \\\end{bmatrix} \nonumber \]	\ (\ izquierda|\ varepsilon_ {a}\ derecha|\\ (\%)\) ">\(16.552\)
\ (i\) ">\(4\)	\ (\ lambda^ {(i)}\) ">\(1.0517\)	\ (\ lbrack X^ {(i)}\ rbrack\) ">\[\begin{bmatrix} 1 \\ - 0.47541 \\ - 0.47541 \\\end{bmatrix} \nonumber \]	\ (\ izquierda|\ varepsilon_ {a}\ derecha|\\ (\%)\) ">\(6.0529\)
\ (i\) ">\(5\)	\ (\ lambda^ {(i)}\) ">\(1.02459\)	\ (\ lbrack X^ {(i)}\ rbrack\) ">\[\begin{bmatrix} 1 \\ - 0.48800 \\ - 0.48800 \\\end{bmatrix} \nonumber \]	\ (\ izquierda|\ varepsilon_ {a}\ derecha|\\ (\%)\) ">\(1.2441\)

El valor exacto del valor propio es\(\lambda = 1\)

y el vector propio correspondiente es

\[\lbrack X\rbrack = \begin{bmatrix} 1 \\ - 0.5 \\ - 0.5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Cuestionario de valores propios y vectores propios

Quiz 1

Los valores propios de

\[\begin{bmatrix} 5 & 6 & 17 \\ 0 & - 19 & 23 \\ 0 & 0 & 37 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

son

(A)\(- 19,\ \ 5,\ \ 37\)

(B)\(19,\ \ - 5,\ \ - 37\)

(C)\(2,\ \ - 3,\ \ 7\)

(D)\(3,\ \ - 5,\ \ 37\)

Quiz 2

Si\(\begin{bmatrix} - 4.5 \\ - 4 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\) es un vector propio de\(\begin{bmatrix} 8 & - 4 & 2 \\ 4 & 0 & 2 \\ 0 & - 2 & - 4 \\ \end{bmatrix}\), el valor propio correspondiente al vector propio es

(A)\(1\)

(B)\(4\)

(C)\(-4.5\)

(D)\(6\)

Quiz 3

Los valores propios de la siguiente matriz

\[\begin{bmatrix} 3 & 2 & 9 \\ 7 & 5 & 13 \\ 6 & 17 & 19 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

se dan resolviendo la ecuación cúbica

(A)\(\lambda^{3} - 27\lambda^{2} + 167\lambda - 285\)

(B)\(\lambda^{3} - 27\lambda^{2} - 122\lambda - 313\)

(C)\(\lambda^{3} + 27\lambda^{2} + 167\lambda + 285\)

(D)\(\lambda^{3} + 23.23\lambda^{2} - 158.3\lambda + 313\)

Quiz 4

Los valores propios de una\(4 \times 4\) matriz\(\left\lbrack A \right\rbrack\) se dan como\(2, - 3,13\), y 7. El\(\left| \det\left( A \right) \right|\) entonces es

(A)\(546\)

(B)\(19\)

(C)\(25\)

(D) no se puede determinar

Quiz 5

Si uno de los valores propios de\(\left\lbrack A \right\rbrack_{n \times n}\) es cero, implica

(A) La solución al\(\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack C \right\rbrack\) sistema de ecuaciones es única

(B) El determinante de\(\left\lbrack A \right\rbrack\) es cero

(C) La solución al\(\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack 0 \right\rbrack\) sistema de ecuaciones es trivial

(D) El determinante de\(\left\lbrack A \right\rbrack\) es distinto de cero

Quiz 6

Dado que la matriz\(\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 8 & - 4 & 2 \\ 4 & 0 & 2 \\ 0 & - 2 & - 3 \\ \end{bmatrix}\) tiene un valor propio de 4 con los vectores propios correspondientes de\(\left\lbrack x \right\rbrack = \begin{bmatrix} - 4.5 \\ - 4 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\), entonces\(\left\lbrack A \right\rbrack^{5}\left\lbrack X \right\rbrack\) es

(A)\(\begin{bmatrix} - 18 \\ -16 \\ 4 \\ \end{bmatrix}\)

(B)\(\begin{bmatrix} -4.5 \\ -4 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\)

(C)\(\begin{bmatrix} -4608 \\ -4096 \\ 1024 \\ \end{bmatrix}\)

(D)\(\begin{bmatrix} -0.004395 \\ -0.003906 \\ 0.0009766 \\ \end{bmatrix}\)

Ejercicio de valores propios y vectores propios

Ejercicio 1

Los valores propios\(\lambda\) de la matriz\(\lbrack A\rbrack\) se encuentran resolviendo la (s) ecuación (es)?

1. \(\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack I\rbrack\)
2. \(\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack - \lambda\lbrack I\rbrack = 0\)
3. \(\left| A = 0 \right|\)
4. \(\left| A - \lambda I \right| = 0\)

Contestar

D

Ejercicio 2

Encuentra los valores propios y los vectores propios de

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & 9 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

usando el método determinante

Contestar

\((12,1)\),\(\begin{bmatrix} 0.9762 \\ 0.2169 \\ \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} 0.8381 \\ - 0.8381 \\ \end{bmatrix}\)

Ejercicio 3

Encuentra los valores propios y los vectores propios de

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 1 \\ - 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

usando el método determinante

Contestar

\((0,4,5615,0.43845)\),\(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} 0.87193 \\ - 0.27496 \\ 0.48963 \\ \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} - 0.27816 \\ 3.5284 \\ 0.99068 \\ \end{bmatrix}\)

Ejercicio 4

Encuentre los valores propios de estas matrices por inspección

1. \(\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{bmatrix}\)
2. \(\begin{bmatrix} 3 & 5 & 7 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\)
3. \(\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 6 \\ \end{bmatrix}\)

Contestar

A. 2, -3,6

B. 3, -2,0

C. 2,5,6

Ejercicio 5

Encuentra el valor propio más grande en magnitud y su vector correspondiente usando el método power

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Comience con una suposición inicial del vector propio como

\[\begin{bmatrix} 1 \\ -0.5 \\ 0.5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Contestar

4.5615,\(\begin{bmatrix} 1 \\ -0.31534 \\ 0.56154 \\ \end{bmatrix}\) después de 4 iteraciones

Ejercicio 6

Demostrar si\(\lambda\) es un valor propio de\(\lbrack A\rbrack\), entonces\(\frac{1}{\lambda}\) es un valor propio de\(\lbrack A\rbrack^{- 1}\).

Ejercicio 7

Demostrar que las matrices cuadradas\(\lbrack A\rbrack\) y\(\lbrack A\rbrack^{T}\) tienen los mismos valores propios.

Ejercicio 8

Demostrar que\(\left| det(A) \right|\) es el producto de los valores absolutos de los valores propios de\(\lbrack A\rbrack\).