9: Adecuación de soluciones

Objetivos de aprendizaje

Después de leer este capítulo, deberías poder:

1. conocer la diferencia entre sistemas de ecuaciones mal condicionados y bien acondicionados,
2. definir y encontrar la norma de una matriz
3. definir y evaluar el número de condición de una matriz cuadrada invertible
4. relacionar el número de condición de una matriz de coeficientes con el mal o bien condicionamiento del sistema de ecuaciones lineales simultáneas, es decir, cuánto se puede confiar en la solución de las ecuaciones lineales simultáneas.

¿Qué quiere decir con sistema de ecuaciones mal acondicionado y bien acondicionado?

Se considera que un sistema de ecuaciones está bien acondicionado si un pequeño cambio en la matriz de coeficientes o un pequeño cambio en el lado derecho da como resultado un pequeño cambio en el vector de solución.

Un sistema de ecuaciones se considera mal condicionado si un pequeño cambio en la matriz de coeficientes o un pequeño cambio en el lado derecho da como resultado un cambio grande en el vector de solución.

Ejemplo 1

¿Este sistema de ecuaciones está bien condicionado?

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3.999 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 7.999 \\ \end{bmatrix}\ \nonumber$$

Solución

La solución al conjunto de ecuaciones anterior es

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Hacer un pequeño cambio en el vector del lado derecho de las ecuaciones

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3.999 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4.001 \\ 7.998 \\ \end{bmatrix}\ \ \nonumber$$

da

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 3.999 \\ 4.000 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Hacer un pequeño cambio en la matriz de coeficientes de las ecuaciones

$$\begin{bmatrix} 1.001 & 2.001 \\ 2.001 & 3.998 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 7.999 \\ \end{bmatrix}\ \ \nonumber$$

da

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3.994 \\ 0.001388 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Este último sistema de ecuación “parece” mal condicionado porque un pequeño cambio en la matriz de coeficientes o el lado derecho resultó en un gran cambio en el vector de solución.

Ejemplo 2

¿Este sistema de ecuaciones está bien condicionado?

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \\ \end{bmatrix}\ \ \nonumber$$

Solución

La solución a las ecuaciones anteriores es

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Hacer un pequeño cambio en el vector del lado derecho de las ecuaciones.

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4.001 \\ 7.001 \\ \end{bmatrix}\ \ \nonumber$$

da

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.999 \\ 1.001 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Hacer un pequeño cambio en la matriz de coeficientes de las ecuaciones.

$$\begin{bmatrix} 1.001 & 2.001 \\ 2.001 & 3.001 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \\ \end{bmatrix}\ \ \nonumber$$

da

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.003 \\ 0.997 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Este sistema de ecuación “se ve” bien condicionado porque pequeños cambios en la matriz de coeficientes o el lado derecho dieron como resultado pequeños cambios en el vector de solución.

Entonces, ¿y si el sistema de ecuaciones está mal condicionado o bien condicionado?

Bueno, si un sistema de ecuaciones está mal condicionado, no podemos confiar tanto en la solución. Vuelva a examinar el problema de la velocidad, Ejemplo 5.1 en el Capítulo 5. Los valores en la matriz de coeficientes$\lbrack A\rbrack$ son cuadrados de tiempo, etc. Por ejemplo, si en lugar de$a_{11} = 25,$ lo usaste$a_{11} = 24.99,$ querrías que este pequeño cambio marcara una gran diferencia en el vector de solución. Si lo hiciera, ¿confiaría en la solución?

Posteriormente veremos cuánto (términos cuantificables) podemos confiar en la solución en un sistema de ecuaciones. Cada matriz cuadrada invertible tiene un número de condición y junto con la máquina epsilon, podemos cuantificar cuántos dígitos significativos se puede confiar en la solución.

Para calcular el número de condición de una matriz cuadrada invertible, necesito saber qué significa la norma de una matriz. ¿Cómo se define la norma de una matriz?

Al igual que el determinante, la norma de una matriz es un simple número escalar único. Sin embargo, la norma es siempre positiva y se define para todas las matrices, cuadradas o rectangulares, y matrices cuadradas invertibles o no invertibles.

Una de las definiciones populares de una norma es la norma de suma de filas (también llamada norma de matriz uniforme). Para una$m \times n$ matriz$\lbrack A\rbrack$, la norma de suma de filas de$\lbrack A\rbrack$ se define como

$$\left\| A \right\|_{\infty} = \begin{matrix} \max \\ 1 \leq i \leq m \\ \end{matrix}\sum_{j = 1}^{n}\left| a_{ij} \right| \nonumber$$

es decir, encontrar la suma del valor absoluto de los elementos de cada fila de la matriz$\lbrack A\rbrack$. El máximo de$m$ dichos valores es la norma de suma de filas de la matriz$\lbrack A\rbrack$.

Ejemplo 3

Encuentra la norma de suma de filas de la siguiente matriz [A].

$$A = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ - 3 & 2.099 & 6 \\ 5 & - 1 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Solución

$$\begin{split} \left\| A \right\|_{\infty} &= \begin{matrix} \max \\ 1 \leq i \leq 3 \\ \end{matrix}\sum_{j = 1}^{3}\left| a_{ij} \right|\\ &= max\left\lbrack \left( \left| 10 \right| + \left| - 7 \right| + \left| 0 \right| \right),\left( \left| - 3 \right| + \left| 2.099 \right| + \left| 6 \right| \right),\left( \left| 5 \right| + \left| - 1 \right| + \left| 5 \right| \right) \right\rbrack\\ &= max\left\lbrack \left( 10 + 7 + 0 \right),\left( 3 + 2.099 + 6 \right),\left( 5 + 1 + 5 \right) \right\rbrack\\ &= max\left\lbrack 17,\ 11.099,\ 11 \right\rbrack\\ &= 17 \end{split} \nonumber$$

¿Cómo se relaciona la norma con el condicionamiento de la matriz?

Empecemos a responder a esta pregunta usando un ejemplo. Volver al sistema mal condicionado de ecuaciones,

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3.999 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 7.999 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

que da la solución como

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Denotando el conjunto anterior de ecuaciones como

$$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack C \right\rbrack \nonumber$$

$$\left\| X \right\|_{\infty} = 2 \nonumber$$

$$\left\| C \right\|_{\infty} = 7.999 \nonumber$$

Haciendo un pequeño cambio en el lado derecho,

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3.999 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4.001 \\ 7.998 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

da

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 3.999 \\ 4.000 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Denotando el conjunto anterior de ecuaciones por

$$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X' \right\rbrack = \left\lbrack C' \right\rbrack \nonumber$$

vector lado derecho es encontrado por

$$\left\lbrack \Delta C \right\rbrack = \left\lbrack C' \right\rbrack - \left\lbrack C \right\rbrack \nonumber$$

y el cambio en el vector de solución se encuentra por

$$\left\lbrack \Delta X \right\rbrack = \left\lbrack X' \right\rbrack - \left\lbrack X \right\rbrack \nonumber$$

entonces

$$\begin{split} \left\lbrack \Delta C \right\rbrack &= \begin{bmatrix} 4.001 \\ 7.998 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 \\ 7.999 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 0.001 \\ - 0.001 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber$$

y

$$\begin{split} \left\lbrack \Delta X \right\rbrack &= \begin{bmatrix} - 3.999 \\ 4.000 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} - 5.999 \\ 3.000 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber$$

entonces

$$\left\| \Delta C \right\|_{\infty} = 0.001 \nonumber$$

$$\left\| \Delta X \right\|_{\infty} = 5.999 \nonumber$$

El cambio relativo en la norma del vector de solución es

$$\frac{\left\| \Delta X \right\|_{\infty}}{\left\| X \right\|_{\infty}} = \frac{5.999}{2} \nonumber$$

$$\ = 2.9995 \nonumber$$

El cambio relativo en la norma del vector del lado derecho es

$$\frac{\left\| \Delta C \right\|_{\infty}}{\left\| C \right\|_{\infty}} = \frac{0.001}{7.999} \nonumber$$

$$\ = 1.250 \times 10^{- 4} \nonumber$$

Ver el pequeño cambio relativo de$1.250 \times 10^{- 4}$ en la norma del vector del lado derecho da como resultado un gran cambio relativo en la norma del vector de solución de 2.9995.

De hecho, la relación entre el cambio relativo en la norma del vector de solución y el cambio relativo en la norma del vector del lado derecho es

$$\begin{split} \frac{\left\| \Delta X \right\|_{\infty}/\left\| X \right\|_{\infty}}{\left\| \Delta C \right\|_{\infty}/\left\| C \right\|_{\infty}} &= \frac{2.9995}{1.250 \times 10^{- 4}}\\ &= 23993 \end{split} \nonumber$$

Volvamos ahora al sistema bien acondicionado de ecuaciones.

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\ \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

da

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Denotando el sistema de ecuaciones por

$$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack C \right\rbrack \nonumber$$

$$\left\| X \right\|_{\infty} = 2 \nonumber$$

$$\left\| C \right\|_{\infty} = 7 \nonumber$$

Hacer un pequeño cambio en el vector del lado derecho

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4.001 \\ 7.001 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

da

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.999 \\ 1.001 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Denotando el conjunto anterior de ecuaciones por

$$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X' \right\rbrack = \left\lbrack C' \right\rbrack \nonumber$$

el cambio en el vector del lado derecho se encuentra entonces por

$$\left\lbrack \Delta C \right\rbrack = \left\lbrack C' \right\rbrack - \left\lbrack C \right\rbrack \nonumber$$

y el cambio en el vector de solución es

$$\left\lbrack \Delta X \right\rbrack = \left\lbrack X' \right\rbrack - \left\lbrack X \right\rbrack \nonumber$$

entonces

$$\begin{split} \left\lbrack \Delta C \right\rbrack &= \begin{bmatrix} 4.001 \\ 7.001 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 0.001 \\ 0.001 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber$$

y

$$\begin{split} \left\lbrack \Delta X \right\rbrack &= \begin{bmatrix} 1.999 \\ 1.001 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} - 0.001 \\ 0.001 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber$$

entonces

$$\left\| \Delta C \right\|_{\infty} = 0.001 \nonumber$$

$$\left\| \Delta X \right\|_{\infty} = 0.001 \nonumber$$

El cambio relativo en la norma del vector de solución es

$$\begin{split} \frac{\left\| \Delta X \right\|_{\infty}}{\left\| X \right\|_{\infty}} &= \frac{0.001}{2}\\ &= 5 \times 10^{- 4} \end{split} \nonumber$$

El cambio relativo en la norma del vector del lado derecho es

$$\begin{split} \frac{\left\| \Delta C \right\|_{\infty}}{\left\| C \right\|_{\infty}} &= \frac{0.001}{7}\\ &= 1.429 \times 10^{- 4} \end{split} \nonumber$$

Ver el pequeño cambio relativo en la norma del vector del lado derecho de$1.429 \times 10^{- 4}$ los resultados en el pequeño cambio relativo en la norma del vector de solución de$5 \times 10^{- 4}$.

De hecho, la relación entre el cambio relativo en la norma del vector de solución y el cambio relativo en la norma del vector del lado derecho es

$$\begin{split} \frac{\left\| \Delta X \right\|_{\infty}/\left\| X \right\|_{\infty}}{\left\| \Delta C \right\|_{\infty}/\left\| C \right\|_{\infty}} &= \frac{5 \times 10^{- 4}}{1.429 \times 10^{- 4}}\\ &= 3.5 \end{split} \nonumber$$

¿Cuáles son algunas de las propiedades de las normas?

1. Para una matriz$\lbrack A\rbrack$,$\left\| A \right\| \geq 0$
2. Para una matriz$\lbrack A\rbrack$ y un escalar k,$\left\| {kA} \right\| = \left| k \right|\left\| A \right\|$
3. Para dos matrices$\lbrack A\rbrack$ y$\lbrack B\rbrack$ del mismo orden,$\left\| A + B \right\| \leq \left\| A \right\| + \left\| B \right\|$
4. Para dos matrices$\lbrack A\rbrack$ y$\lbrack B\rbrack$ eso se puede multiplicar como$\lbrack A\rbrack\ \lbrack B\rbrack$,$\left\| {AB} \right\| \leq \left\| A \right\|\left\| B \right\|$

¿Existe una relación general entre$\left\| \mathbf{\Delta}\mathbf{X} \right\|\mathbf{/}\left\| \mathbf{X} \right\|$ y$\left\| \mathbf{\Delta}\mathbf{C} \right\|\mathbf{/}\left\| \mathbf{C} \right\|$ o entre$\left\| \mathbf{\Delta}\mathbf{X} \right\|\mathbf{/}\left\| \mathbf{X} \right\|$ y$\left\| \mathbf{\Delta}\mathbf{A} \right\|\mathbf{/}\left\| \mathbf{A} \right\|$? Si es así, podría ayudarnos a identificar sistemas de ecuaciones bien acondicionados y mal condicionados.

Si existe tal relación, ¿nos ayudará a cuantificar el condicionamiento de la matriz? Es decir, ¿nos dirá en cuántos dígitos significativos podríamos confiar en la solución de un sistema de ecuaciones lineales simultáneas?

Existe una relación que existe entre

$$\frac{\left\| \Delta X \right\|}{\left\| X \right\|}\text{and}\frac{\left\| \Delta C \right\|}{\left\| C \right\|} \nonumber$$

y entre

$$\frac{\left\| \Delta X \right\|}{\left\| X \right\|}\text{and}\frac{\left\| \Delta A \right\|}{\left\| A \right\|} \nonumber$$

Estas relaciones son

$$\frac{\left\| \Delta X \right\|}{\left\| X \right\|} \leq \left\| A \right\|{\ \ }\left\| A^{- 1} \right\|\frac{\left\| \Delta C \right\|}{\left\| C \right\|} \nonumber$$

y

$$\frac{\left\| \Delta X \right\|}{\left\| X + \Delta X \right\|}\leq \left\| A \right\|{\ \ }\left\| A^{- 1} \right\|\frac{\left\| \Delta A \right\|}{\left\| A \right\|} \nonumber$$

Las dos desigualdades anteriores muestran que el cambio relativo en la norma del vector del lado derecho o la matriz de coeficientes puede amplificarse tanto como$\left\| A \right\|\left\| A^{- 1} \right\|$.

Este número$\left\| A \right\|\left\| A^{- 1} \right\|$ se llama el número de condición de la matriz y junto con la máquina épsilon, podemos cuantificar la precisión de la solución de$\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack C\rbrack$.

Demostrar para

$\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack C\rbrack$

que

$$\frac{\left\| \Delta X \right\|}{\left\| X + \Delta X \right\|} \leq \ \ \left\| A \right\|{\ \ }\left\| A^{- 1} \right\|\frac{\left\| \Delta A \right\|}{\left\| A \right\|} \nonumber$$

Prueba

Let

$$\left\lbrack A \right\rbrack{\ \ }\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack C \right\rbrack \;\;\;\;\;\;\;(1) \nonumber$$

Entonces si$\lbrack A\rbrack$ se cambia a$\left\lbrack A' \right\rbrack$, el$\lbrack X\rbrack$ cambiará a$\left\lbrack X' \right\rbrack$, tal

que

$$\left\lbrack A' \right\rbrack{\ \ }\left\lbrack X' \right\rbrack = \left\lbrack C \right\rbrack\;\;\;\;\;\;\;(2) \nonumber$$

De las ecuaciones (1) y (2),

$$\left\lbrack A \right\rbrack{\ \ }\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack A' \right\rbrack\left\lbrack X' \right\rbrack \nonumber$$

Denotando cambio en$\lbrack A\rbrack$ y$\lbrack X\rbrack$ matrices como$\left\lbrack \Delta A \right\rbrack$ y$\left\lbrack \Delta X \right\rbrack$, respectivamente

$$\left\lbrack \Delta A \right\rbrack = \left\lbrack A' \right\rbrack - \left\lbrack A \right\rbrack \nonumber$$

$$\left\lbrack \Delta X \right\rbrack = \left\lbrack X' \right\rbrack - \left\lbrack X \right\rbrack \nonumber$$

entonces

$$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \ \ \left( \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack \Delta A \right\rbrack \right)\ \left( \left\lbrack X \right\rbrack + \left\lbrack \Delta X \right\rbrack \right) \nonumber$$

Ampliando la expresión anterior

$$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \ \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack + \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack \Delta X \right\rbrack + \left\lbrack \Delta A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack + \left\lbrack \Delta A \right\rbrack\left\lbrack \Delta X \right\rbrack \nonumber$$

$$\lbrack 0\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack \Delta X \right\rbrack + \left\lbrack \Delta A \right\rbrack\left( \left\lbrack X \right\rbrack + \left\lbrack \Delta X \right\rbrack \right) \nonumber$$

$$- \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack \Delta X \right\rbrack = \left\lbrack \Delta A \right\rbrack\left( \left\lbrack X \right\rbrack + \left\lbrack \Delta X \right\rbrack \right) \nonumber$$

$$\left\lbrack \Delta X \right\rbrack = - \left\lbrack A \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack \Delta A \right\rbrack\left( \left\lbrack X \right\rbrack + \left\lbrack \Delta X \right\rbrack \right) \nonumber$$

Aplicando el teorema de las normas, que la norma de matrices multiplicadas es menor que la multiplicación de las normas individuales de las matrices,

$$\left\| \Delta X \right\|\leq \left\| A^{- 1} \right\| \left\| \Delta A \right\| \left\| X + \Delta X \right\| \nonumber$$

Multiplicando ambos lados por$\left\| A \right\|$

$$\left\| A \right\|\ \left\| \Delta X \right\|\leq \left\| A \right\| \left\| A^{- 1} \right\| \left\| \Delta A \right\|\left\| X + \Delta X \right\| \nonumber$$

$$\frac{\left\| \Delta X \right\|}{\left\| X + \Delta X \right\|}\leq \left\| A \right\|\ \left\| A^{- 1} \right\|\ \frac{\left\| \Delta A \right\|}{\left\| A \right\|} \nonumber$$

¿Cómo utilizo los teoremas anteriores para encontrar cuántos dígitos significativos son correctos en mi vector de solución?

El error relativo en una norma de vector de solución es$\leq$ Cond (A) error$\times$ relativo en la norma vectorial derecha.

El posible error relativo en la norma del vector de solución es$\leq$$Cond(A) \times \in_{mach}$

De ahí que nos$Cond(A) \times \in_{mach}$ debieran dar el número de dígitos significativos, m que son al menos correctos en nuestra solución al averiguar el mayor valor de m para el cual$Cond(A) \times \in_{mach}$ es menor que$0.5 \times 10^{- m}$.

Ejemplo 4

¿Cuántos dígitos significativos puedo confiar en la solución del siguiente sistema de ecuaciones?

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3.999 \\ \end{bmatrix}\ \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Solución

Para

$$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3.999 \\ \end{bmatrix}\ \nonumber$$

se puede mostrar

$$\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1} = \begin{bmatrix} - 3999 & 2000 \\ 2000 & - 1000 \\ \end{bmatrix}\ \nonumber$$

$$\left\| A \right\|_{\infty} = 5.999 \nonumber$$

$$\left\| A^{- 1} \right\|_{\infty} = 5999 \nonumber$$

$$\begin{split} {Cond}\left( A \right) &= \left\| A \right\|\left\| A^{- 1} \right\|\\ &= 5.999 \times 5999.4\\ &= 35990 \end{split} \nonumber$$

Asumiendo una sola precisión con 23 brocas utilizadas en la mantisa para números reales, la máquina épsilon es

$$\begin{split} \in_{mach} &= 2^{- 23}\\ &= 0.119209 \times 10^{- 6} \end{split} \nonumber$$

$$\begin{split} {Cond}(A) \times \in_{mach} &= 35990 \times 0.119209 \times 10^{- 6}\\ &= 0.4290 \times 10^{- 2} \end{split} \nonumber$$

Para qué valor positivo máximo de m,${Cond}(A) \times \in_{mach}$ sería menor o igual a$0.5 \times 10^{- m}$

$$0.4290 \times 10^{- 2} \leq 0.5 \times 10^{- m} \nonumber$$

$$0.8580 \times 10^{- 2} \leq 10^{- m} \nonumber$$

$$log(0.8580 \times 10^{- 2}) \leq log(10^{- m}) \nonumber$$

$$- 2.067 \leq - m \nonumber$$

$$m \leq 2.067 \nonumber$$

$$m \leq 2 \nonumber$$

Entonces, dos dígitos significativos son al menos correctos en el vector de solución.

Ejemplo 5

¿Cuántos dígitos significativos puedo confiar en la solución del siguiente sistema de ecuaciones?

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\ \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Solución

Para

$$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\ \nonumber$$

se puede mostrar

$$\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1} = \begin{bmatrix} - 3 & 2 \\ 2 & - 1 \\ \end{bmatrix}\ \nonumber$$

Entonces

$$\left\| A \right\|_{\infty} = 5, \nonumber$$

$$\left\| A^{- 1} \right\|_{\infty} = 5. \nonumber$$

$$\begin{split} Cond\ (A) &= \left\| A \right\|{\ \ }\left\| A^{- 1} \right\|\\ &= 5 \times 5\\ &= 25 \end{split} \nonumber$$

Asumiendo una sola precisión con 23 brocas utilizadas en la mantisa para números reales, la máquina épsilon

$$\begin{split} \in_{mach} &= 2^{- 23}\\ &= 0.119209 \times 10^{- 6} \end{split} \nonumber$$

$$\begin{split} {Cond}(A) \times \in_{mach} &= 25 \times 0.119209 \times 10^{- 6}\\ &= 0.2980 \times 10^{- 5} \end{split} \nonumber$$

Para qué valor positivo máximo de m,${Cond}(A) \times \in_{mach}$ sería menor o igual a$0.5 \times 10^{- m}$

$$0.2980 \times 10^{- 5} \leq 0.5 \times 10^{- m} \nonumber$$

$$m \leq 5 \nonumber$$

Entonces, cinco dígitos significativos son al menos correctos en el vector de solución.

Cuestionario de adecuación de soluciones

Quiz 1

La norma de suma de filas de la matriz

$$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 6 & - 7 & 3 & 13 \\ 19 & - 21 & 23 & - 29 \\ 41 & 47 & - 51 & 61 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$ es

(A)$29$

(B)$61$

(C)$98$

(D)$200$

Quiz 2

La adecuación de la solución de ecuaciones lineales simultáneas $$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack C \right\rbrack \nonumber$$ depende de

(A) el número de condición de la matriz de coeficientes$\left\lbrack A \right\rbrack$

(B) la máquina epsilon

(C) el número de condición para la matriz$\left\lbrack A \right\rbrack$ y el epsilon de la máquina

(D) norma de la matriz de coeficientes$\left\lbrack A \right\rbrack$

Quiz 3

Dado un conjunto de ecuaciones en forma de matriz $$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack C \right\rbrack, \nonumber$$ $$\left\| A \right\| = 250,\left\| A^{- 1} \right\| = 40 \;\;and \nonumber$$ $$\varepsilon_{mach} = 0.119 \times 10^{- 6}, \nonumber$$ , entonces el número de dígitos significativos en los que al menos puede confiar en la solución son

(A)$1$

(B)$2$

(C)$3$

(D)$4$

Quiz 4

La solución a un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 44 \\ 94 \\ 138 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$ se da como

$$\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 7 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$ La solución a otro conjunto de ecuaciones lineales simultáneas viene dada por (tenga en cuenta que la matriz de coeficientes es la misma que la anterior)

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 43.99 \\ 93.98 \\ 138.03 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

se da como

$$\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 214.01 \\ - 208.01 \\ 60 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Según la norma de suma de filas, el número de condición de la matriz de coeficientes es mayor que (elija el mayor valor posible)

(A)$1$

(B)$138$

(C)$4500$

(D)$139320$

Quiz 5

El número de condición de la matriz de$n \times n$ identidad basado en la norma de suma de filas es

(A)$0$

(B)$1$

(C)$n$

(D)$n^{2}$

Quiz 6

Vamos$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 1 & 2 + \delta \\ 2 - \delta & 1 \\ \end{bmatrix}$. Basado en la norma de suma de filas y dado que$\delta \rightarrow 0$,$\delta > 0$, el número de condición de la matriz es

(A)$\displaystyle \frac{3 - \delta}{3 + \delta}$

(B)$\displaystyle \frac{9 - \delta^{2}}{3 - \delta^{2}}$

(C)$\displaystyle \frac{(3 + \delta)^{2}}{3 - \delta^{2}}$

(D)$\displaystyle \frac{3 - 2\delta - \delta^{2}}{3 - \delta^{2}}$

Ejercicio de Adecuación de Soluciones

Ejercicio 1

La adecuación de la solución de ecuaciones lineales simultáneas depende de

1. Número de condición
2. Máquina epsilon
3. Producto de número de condición y máquina epsilon
4. Norma de la matriz.

Contestar

C

Ejercicio 2

Si un sistema de ecuaciones$\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack C\rbrack$ está mal condicionado, entonces

1. $det(A) = 0$
2. $Cond(A) = 1$
3. $Cond(A)$es grande.
4. $\left\| A \right\|$es grande.

Contestar

C

Ejercicio 3

Si$Cond(A) = 10^{4}$ y$\in_{mach}$ = 0.119$\times$ 10 ^-6, entonces en$\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack C\rbrack$, al menos estos muchos dígitos significativos son correctos en su solución,

1. $0$
2. $1$
3. $2$
4. $3$

Contestar

C

Ejercicio 4

Hacer un pequeño cambio en la matriz de coeficientes de$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3.999 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 7.999 \\ \end{bmatrix}$
y encontrar
$$\frac{\left\| \Delta X \right\|_{\infty}/\left\| X \right\|_{\infty}}{\left\| \Delta A \right\|_{\infty}/\left\| A \right\|_{\infty}} \nonumber$$

¿Es un número grande o pequeño? ¿Cómo se relaciona este número con el número de condición de la matriz de coeficientes?

Contestar

Cambiando$\lbrack A\rbrack$ a

$$\begin{bmatrix} 1.001 & 2.001 \\ 2.001 & 4.000 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Resultados en solución de

$$\begin{bmatrix} 5999 \\ -2999 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

$$\frac{\frac{\left\| \Delta X \right\|_{\infty}}{\left\| X \right\|_{\infty}}}{\frac{\left\| \Delta A \right\|_{\infty}}{\left\| A \right\|_{\infty}}} = \frac{\frac{5999.7}{2}}{\frac{0.002}{5.999}} \nonumber$$

4$= 8.994 \times 10^{6}$ $

Ejercicio 5

Hacer un pequeño cambio en la matriz de coeficientes de
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 7 \\ \end{bmatrix}$
y encontrar
$$\frac{\left\| \Delta X \right\|_{\infty}/\left\| X \right\|_{\infty}}{\left\| \Delta A \right\|_{\infty}/\left\| A \right\|_{\infty}}. \nonumber$$ ¿Es un número grande o pequeño? Compara tus resultados con el problema anterior. ¿Cómo se relaciona este número con el número de condición de la matriz de coeficientes?

Contestar

Cambiando$\lbrack A\rbrack$ a

$$\begin{bmatrix} 1.001 & 2.001 \\ 2.001 & 3.000 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

Resultados en solución de

$$\begin{bmatrix} 2.003 \\ 0.9970 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

$$\frac{\frac{\left\| \Delta X \right\|_{\infty}}{\left\| X \right\|_{\infty}}}{\frac{\left\| \Delta A \right\|_{\infty}}{\left\| A \right\|_{\infty}}} = \frac{\frac{0.003}{2.000}}{\frac{0.002}{5}} \nonumber$$

$$= 3.75 \nonumber$$

Ejercicio 6

Demostrar

$$\frac{\left\| \Delta X \right\|}{\left\| X \right\|}\ \ \left\| A \right\|\ \left\| A^{- 1} \right\|\ \frac{\left\| \Delta C \right\|}{\left\| C \right\|} \nonumber$$

Contestar

Utilice el teorema de que si$\lbrack A\rbrack\lbrack B\rbrack = \lbrack C\rbrack$ entonces$\left\| A \right\|\left\| B \right\| \geq \left\| C \right\|$

Ejercicio 7

Para

$$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ - 3 & 2.099 & 6 \\ 5 & - 1 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

da

$$\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1} = \begin{bmatrix} - 0.1099 & - 0.2333 & 0.2799 \\ - 0.2999 & - 0.3332 & 0.3999 \\ 0.04995 & 0.1666 & 6.664 \times 10^{- 5} \\ \end{bmatrix} \nonumber$$

1. ¿Cuál es el número de condición de$\lbrack A\rbrack$?
2. ¿Cuántos dígitos significativos podemos al menos confiar en la solución de$\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack C\rbrack$ if$\in_{mach} = 0.1192 \times 10^{- 6}$?
3. Sin calcular la inversa de la matriz$\lbrack A\rbrack$, ¿se puede estimar el número de condición de$\lbrack A\rbrack$ usar el teorema en el problema #6?

Contestar

A.$\left\| A \right\| = 17$
$\left\| A^{- 1} \right\| = 1.033$
${Cond}(A)=17.56$

B. 5

C. Pruebe diferentes valores del lado derecho de$C = \lbrack \pm 1\ \ \pm 1\ \ \pm 1\rbrack^{T}$ con signos elegidos al azar. Luego$\left\| A^{- 1} \right\| \leq \left\| X \right\|$ se obtiene de resolver el conjunto de ecuaciones$\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack C\rbrack$ como$\left\| C \right\| = 1$.

Ejercicio 8

Demostrar que el${Cond}(A) \geq 1$.

Contestar

Sabemos que

$$\left\| A\ B \right\| \leq \left\| A \right\|\left\| B \right\| \nonumber$$

entonces si

$$\lbrack B\rbrack = \lbrack A\rbrack^{- 1}, \nonumber$$

$$\left\| A\ A^{- 1} \right\| \leq \left\| A \right\|\left\| A^{- 1} \right\| \nonumber$$

$$\left\| I \right\| \leq \left\| A \right\|\left\| A^{- 1} \right\| \nonumber$$

$$1 \leq \left\| A \right\|\left\| A^{- 1} \right\| \nonumber$$

$$\left\| A \right\|\left\| A^{- 1} \right\| \geq 1 \nonumber$$

$${Cond}(A) \geq 1 \nonumber$$